x
2
3
y
7
z
1
9
y
2
z
3
CHƯƠNG 2
4
y
5
z
0
x 3 x
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
3
5
2
x 3
x 4
2
3
4
0
x 2 x 2
x 3
x 4
8
5
3
2
x 2
4
2
7
9
x 2
x 3 x 3
x 4 x 4
x 2 1 x 1 3 x 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
2
3
5
2
x 4
2
3
4
0
2 1
3 2
5 3
1 4
x 1 x 1
x 2 x 2
x 3 x 3
x 4
A
3
8
5
3
2
x 1
x 2
3 0
8 4
5 2
3 7
4
2
7
9
x 2
x 3 x 3
x 4 x 4
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
2
3
5
2
2
2
3
0
x 1 x 1
x 2 x 2
x 3 x 3
x 4 x 4 4
B
8
5
3
2
0 2
x 1
x 2
9
4
2
7
9
x 2
x 3 x 3
x 4 x 4
3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
3
5
2
0
3
x 4 x 4 4
x 2 x 2
x 3 x 3
8
5
3
2
x 2
9
7
2
4
x 4 x 4
x 3 x 3
x 2
Ví dụ: Cho hệ phương trình 2 x 2 1 x 1 3 x 1
bs A
2 1 3
3 2 8
5 3 5
1 2 0 4 2 3
0
4
2
7 9
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ:
2
7
1
3
1 4
5
9
2
x y z
9 0 5
7 y
z 4 z
9 0
9
y
x
2
z
5
y x 2 3 x 5
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Ví dụ: Giải hệ phương trình tuyến tính sau:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ Grame
1
2
Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 1
2
1
x 3
= -19
5
1
3
D 1
2
3
5
2
1
1 2
2 1 1 1
x 1 x 1 x 1
x 2 x 2 x 2
x 3 x 3
3
2 5
3
D 2
= -29
1
1
2
3 1
1
D
3
2
1
= -8
3
2
1
1 2
1 1 1 5
D 3
3
= -9 Gi¶ng viªn: Phan §øc 2 1 TuÊn
§5: Hệ Grame
D 1
19
x 1
D
8
D 2
29
x 2
D
8
D 3
9
x 3
D
8
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
0
0
Các phép biến đổi tương đương hệ phương trình Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của hệ. Đổi chỗ hai PT của hệ. Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào PT khác của hệ.
y y
z z 3
1 2
z 1 y z 3 y z 2 2 4
z
1
10
2
y
z
5
2
x
2
x x 2 x
x y x 2 x y 2 x y y 2 x 4 2 z
10 z 3 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ PT chính là các phép BĐSC trên dòng của ma trận bổ sung tương ứng.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Xét hệ phương trình tổng quát sau:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ta có ma trận bổ sung tương ứng
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:
a
a
...
a
...
a
b
' 1
r
' 1
n
' 11 0
a
' 12 '
...
a
'
...
a
'
b
' 1 '
r
n
...
22 ...
...
2 ...
...
2 ...
2 ...
A
'
0
0
...
a
'
...
a
'
b
'
r
0 .. 0
0 .. 0
... .. ...
r r 0 .. 0
... .. ...
r n k 0 .. .. 0 0 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT
...
...
' 11 1
...
...
a x b ' ' n n 1 1 b a x ' ' n n 2 2
...
... ...
...
b ' r
0
...
k
x 2
x 1
a x ' 1 r r a x ' r 2 r ... a x ' r rr ... x 0 r
a x ' rn n x 0 n
a x a x ' 12 2 a x ' 22 2 ... 0
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Khi đó ta có: 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy
0
k ra hệ PT vô nghiệm.
2. Nếu thì hệ có nghiệm:
k
0
a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiện duy nhất. b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
a. Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:
a
a
...
a
...
a
b
' 11
x 1
a
...
a
...
a
x 2 x 2
' r 1 ' 2
x r x r
' n 1 ' 2
n
x n x n
' 1 b ' 2
' 12 ' 22 ...
...
a
... ...
... b
a
r ... x r
' r
' rn
x n
' rr ...
...
... b
'
a
'
n
nn
x n
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
...
...
...
...
x 1 r x r
1
a x b ' ' n n 1 1 a x b ' ' n n 2 2
a ' 1( 1) r a ' 2( 1) r ...
...
...
...
...
a ' ( 1) r r
a x ' rr r
x 1 r
a x ' rn n
b ' r
b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế phải của hệ PT ta được hệ PT sau: a x a x a x ' ' ' 1 r 11 1 12 2 r a x a x ' ' 2 r 22 2 r ...
Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
x 2 y 3 z 5 x 2 y 5 3 z
y 5 z 3 3 5 y z
x 5 3 z 2(5 3) x 7 z 1 z
y 5 z 3 y 5 z 3
6 x x 7 m 1
y m 5 3, m 1 y 2
z 1 z m
m 2 13 7
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
2 x y z
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
x
2
y
3
z
t
5
x
2
y
5 3
z
t
y
5
z
t 4
3
3 5
y
z
t 4
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
h h 2 1 2 h h 4 1 4 h h 5 1
….
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Vậy hệ phương trình
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:
bsA
...
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài Tập: Giải hệ phương trình:
2
2
x 2
x 3
1
2
3
2
2
2
x 1 x 1
x 2
x 4 x 4
4
5
1
0
1
2
3
0
x 1 x 2 x 3 x 4
x 2 x 2
x 3 x 3 x 3
x 4 x 4
3 x 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
1
1
2
1
2
0
3
7
4
2
1 2
1 1
2 3
1 2
2 2
h 2 h 4
2 h 1 h 1
0
3
4
5
0
0
4
2
2
1
0 1
3 1
4 2
5 3
1 0
1 0
1 3
2 7
1 4
2 2
1 0
1 3
2 7
1 4
2 2
4 h h 11 3 4
h h 3 2
0
0
11
1
1
0
0
0
18 18
0 0
0 0
11 4
1 2
1 2
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài Tập: Giải hệ phương trình:
2
5
1
x 2
x 4
3
4
3
1
x 4
4
7
1
x 2 x 2
x 3 x 3 x 3
2
5
8
2
5
2
x 3 5
x 4 x 4 1
x 2
x 2
3
2
0
x 3 x 3
x 4 x 4
x 2
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung về dạng:
a
a
...
a
...
a
b
' 11 0
a
' 12 '
...
a
' r 1 '
...
a
' n 1 '
b
' 1 '
r
n
...
22 ...
...
2 ...
...
2 ...
2 ...
bs A
a
a
r
0 0
0 0
... ...
' r r 0
... ...
' r n 0
b ' k
..
..
..
..
..
..
..
0
0
...
0
...
0
0 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Khi đó ta có: 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy
0
k ra hệ PT vô nghiệm.
2. Nếu thì hệ có nghiệm:
k
0
a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiện duy nhất. b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
x
1 2
1
1
0 1
3
2
2
bsA
0 0
1
3
z y 2 t 3 z y 2 t 2 z t
2 2
2
0 0
m
0
1
m
t m
1)
m
1
(
1
Biện luận theo m số nghiệm của hệ: 1 1 2 3
bs
Hệ vô nghiệm
m
1
r A (
) 3
r A (
)
4
m
1
r A ( )
bs r A (
) 3
n
Hệ có VSN
m
1
r A ( )
r A (
)bs
n
Hệ có Ng duy nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình
1 t 2 t 0
x 2
x
y 2 5
z y z 3
x
3 1
t z 3 2 y z m t y
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp
1 2
1
2
1
bsA
0 1 0 0
5 7
3 0
2 5
0 0
0
7
m
77 43
m
11
r A (
) 3
bs r A (
)
4
hệ vô nghiệm
bs
m
11
r A ( )
r A (
)
4
hệ có nghiệm duy nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài tập: Biện luận theo a, b số nghiệm của hệ phương trình
x 2
x
y 2 z t 3 y t z 5 2 at z y
0 1 b
x
2
z
3
t
1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp
0 1
3 7
1 2 1 0 1 0
bsA
2
a
3
20
13
b
a
) 3 4 ) b
hệ có vô số nghiệm hệ vô nghiệm bs r A ( 4
)
4,
a
0 0 1 0 0 0 ) 3 r A ( 13 bs r A b ( 2 bs ( b 2 r A r A ) 13 ( hệ có nghiệm duy nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình
x
3
y
2
z
1
2
x
3
y mz
2
3
x
4
y
2
z
1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma
trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ sung ..
0
a 11 a
a 12 a
..
0
bs A
21 ..
22 ..
a 1 n a 2 n ..
..
..
a
a
..
0
a m 1
m
2
m n
Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan tâm hạng của ma trận hệ số
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:
Hệ có nghiệm duy nhất
Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương
trình
Hệ có vô số nghiệm
Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ
phương trình
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,…,0). Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm
thường.
Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài
nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác nữa. Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm không
tầm thường.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau
có nghiệm không tầm thường.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Ta có:
1
2
1
A
0 0
3 0
m
Biến đổi sơ cấp
1 2
m
2
r A (
) 3
Do đó với
m
2
Vậy với thì hệ có nghiệm không tầm thường
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Ví dụ: Tìm m để hệ phương trình sau
có nghiệm không tầm thường.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Ta có
det(
A )
1 2
2 1
1 3
1
1
m
m (3
6) 0
m 2
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
![Tài liệu giảng dạy Vi tích phân A2 [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260323/hoatudang2026/135x160/54651774420904.jpg)
![Tài liệu giảng dạy Hình học Affine và Euclide [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2026/20260323/hoatudang2026/135x160/52531774414221.jpg)
