AX

 B

X

A B 1

Bài 3

§3: Ma trận nghịch đảo

 Ta xét hệ phương trình:

2 3

2

x

3

y

8

5 7

5

x

7

y

1

  

x       y   

    

8     1  

Hệ phương trình trên có thể viết ở dạng ma trận: A X=B. Câu hỏi đặt ra là X = ?

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Ta có:

b

x

1  aba

(.

)0

Xét phương trình: a x = b. b a

1 a

Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có

AX B

X

.

A B 1

   1A như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa như thế nào?

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Ta để ý:

 A X B

 bxa

 1

 1 A A X

 1 A B

a

ax

 1 ba

  I X

 1 A B

 1 x

 1 ba

  X

 1 A B

 x

 1 ba

1

Phải chăng

IAA

?

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

 Nhận xét:

§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

 Nhận xét:

§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

 Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:

A

3 0

2 4

11A  28 12A  14 13A  -6

21A  -29 22A  -5 23A  13

31A  -12 32A  -6 33A  8

5 7

1     2  4 

    

A 21

A 31

P A

A 22 A

A 11 A 12 A 13

23

A 32 A 33

    

    

    

     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

 Bài tập: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:

2 0 5 1

A

11A  -1 12A  5 13A  17

21A  0 22A  -2 23A  -8

31A  0 32A  0 33A  2

3 4

0   0   1  A 31

A 21

P A

A 22 A

A 11 A 12 A 13

23

A 32 A 33

          

    

    

     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

1

29

12

2

3

28

4

0

14

 5

 6

AAP

4

 6

5 7

13

8



Ví dụ:     2   

         

    

1 0 0

38

0

0

0 0

38 0

0 38

38 0 1 0 0 0 1

     

    

    

     Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

det(

A   )

1

1

 2

 5

sau: 1 2     A 0 1  0 0 

3   4   1 

1A 

0

1

2

5

0

0

    

  4   1 

AP 

 1

 4

0

0

1

 1  0   

    

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

sau: A

det(

A  )

2

AP 

2 6 1 4



 6 2

   

  

4    1

  

 6

1A 

 3 1

2

1 2

2 1  2

4    1

  

   

  

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

§3: Ma trận nghịch đảo

 Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

sau:

A

0 2 1 0

4 5

0

    

3   1    

det(

A )

 1   A

P A

?

1 det(

P A

  ?  

A ) Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

 Đáp số:

A 1

5  4

15  12

1 7

5

8

    

 2   3   2 

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

 Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

sau:

2 5

A

Đáp số:

A 1

1 2

   

 2   1 

5   2 



   Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2

a

b

d

 b

A

  P A

c

d

c

a

  

  

  

  

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

§3: Ma trận nghịch đảo

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

 Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãn 1) AX = B 2) XA = B 3) AXB = C 4) AX + kB = C

§3: Ma trận nghịch đảo

-1

-1

B

-1

IX=A

B B 1 A

X

2) XA B

 

 1 XAA

 1 BA

 1  XI BA

 1  X BA

1A B

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

  Ta có:  1) AX=B A AX=A

§3: Ma trận nghịch đảo

-1

-1 C

 1

-1 XBB =A

-1 C

B

 1

 1  X A CB

 ) AX kB C 4

  

AX C kB ) (

 1

 1 A AX A C kB )

(

 

 1 X A C kB ) (

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

  Ta có:  3) AXB=C A AXB=A

§3: Ma trận nghịch đảo

x

  z

  y

2

x

z

  1

1 3 4

2  1 3

    

1  x       y 2       z 5   

6     1       5  

5

4

3

x

y

z

5

phương trìnhsau: y 6 2   3   

1

AX B

  

X

A B 1

       X 2    1  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

  Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ

§3: Ma trận nghịch đảo

 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:

X

1 2 0 1 0 0

1 5 0 4 2 3

    

3   4   1  

    

    

Phương trình có dạng: AX=B

1

Ta có:

X

A B

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:

X

2

1 3 2 4

1 2

2 0

 3 5

  

  

  

1    0 

  

  

Phương trình có dạng  2 C (

XA   X

 B C B A 1  2 )

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

1

 Ta có

A

 

;

C

2

B

4  2

 3 1

0  4

1 2

  

  

  

 1   5 

C (

X

Với nên B A 1 2 )

0

4

 3

0

4

 3

X

(

)

 

 4

5

 2

1

4

5

2

1

1 2

1 2

  

1    

  

  

  

1      

  

1 2

 

1 2

17 2

1  2      26 17 

 1    13 

  

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

X

2 0

 2 4

1 3 0 4

5 0

 3

6

8

 Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:  2   2   

    

          Phương trình có dạng AX B A B 1   X

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn



§3: Ma trận nghịch đảo

 Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:

X

2 4 3 5

2 7 1 3

4 8  2 0

  

  

  

  

  

  

Phương trình có dạng

 1

AXB C   X

A CB 1

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn

