BÀI GIẢNG
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
ĐẠI HỌC THĂNG LONG
Học kỳ I, năm học 2005 - 2006
MỤC LỤC
Trang
Bài 1 Khái niệm trường 1
1.1 Các tính chất cơ bản của số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Định nghĩa trường ........................... 2
1.3 Một số tính chất của trường ...................... 3
1.4 Trường số hữu tỷ ........................... 5
1.5 Trường các số nguyên modulo p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bài 2 Không gian vectơ và không gian con 8
2.1 Định nghĩa không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Ví dụ về không gian vectơ ...................... 9
2.3 Một số tính chất của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Không gian vectơ con ......................... 13
2.5 Giao của một số không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Tổng hai không gian con ....................... 15
2.7 Tổ hợp tuyến tính ........................... 15
2.8 Không gian con sinh bởi một số vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Bài 3 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 20
3.1 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Một số tính chất độc lập và phụ thuộc tuyến tính ........... 21
3.3 Khái niệm cơ sở của một không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . 24
3.4 Sự tồn tại cơ sở ............................ 25
3.5 Khái niệm số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh ....... 26
3.6 Cơ sở trong không gian vectơ nchiều . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Tọa độ của một vectơ ......................... 28
3.8 Số chiều của không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
i
MỤC LỤC ii
3.9 Hạng của một hệ vectơ ........................ 33
Bài 4 Ánh xạ tuyến tính 38
4.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Ví dụ về ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Một số tính chất của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4 Ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Bài 5 Định thức 45
5.1 Phép thế ............................... 45
5.2 Khái niệm định thức ......................... 48
5.3 Các tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Các tính chất của định thức suy ra từ các tính chất cơ bản ...... 53
5.5 Tính định thức bằng cách đưa về dạng tam giác ........... 55
5.6 Khai triển định thức theo một dòng hoặc cột ............. 57
5.7 Định lý Laplace ............................ 60
Bài 6 Ma trận 65
6.1 Các phép toán ma trận ........................ 65
6.2 Tính chất của các phép toán ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.3 Định thức của tích hai ma trận vuông cùng cấp ........... 67
6.4 Nghịch đảo của ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.5 Một ứng dụng vui: mã hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.6 Hạng của một ma trận ......................... 74
6.7 Ma trận của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.8 Tính chất của ma trận của ánh xạ tuyến tính ............. 78
Bài 7 Hệ phương trình tuyến tính 84
7.1 Khái niệm ............................... 84
7.2 Tiêu chuẩn có nghiệm ......................... 85
7.3 Hệ Cramer ............................... 86
7.4 Phương pháp Gauss .......................... 88
7.5 Biện luận về số nghiệm ........................ 90
7.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.7 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . 91
MỤC LỤC iii
7.8 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất liên kết ............ 93
Tài liệu tham khảo 99
Chỉ mục 100
Bài 1
Khái niệm trường
1.1 Các tính chất cơ bản của số thực
Tập các số thực được ký hiệu là R. Ta đã biết hai phép toán cộng (+) và nhân (.)
thông thường trên Rcó các tính chất sau:
•Phép cộng có tính chất kết hợp: (a+b) + c=a+ (b+c),∀a, b, c ∈R,
•Có số 0∈Rsao cho: 0 + a=a+ 0 = a, ∀a∈R,
•Với mỗi số thực acó số thực đối của alà −asao cho: a+ (−a) =
(−a) + a= 0,
•Phép cộng có tính chất giao hoán: a+b=b+a, ∀a, b ∈R,
•Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c =a.(b.c),∀a, b, c ∈R,
•Phép nhân có tính chất giao hoán: a.b =b.a, ∀a, b ∈R,
•Có số 1sao cho với mọi số thực ata có: a.1 = 1.a =a,
•Với mỗi số thực a= 0 luôn có số thực 1
asao cho a.1
a= 1,
•Phép nhân phân phối đối với phép cộng: a.(b+c) = a.b+a.c và (b+c).a =
b.a +c.a với mọi a, b, c ∈R.
Tập các số thực với hai phép toán có các tính chất nói trên đủ để cho phép ta tiến
hành các tính toán trong thực tế và nhìn chung, một tập hợp nào đó được trang bị hai
phép toán thỏa mãn các tính chất nói trên có thể coi là "đủ mạnh" để chúng ta xem
xét một cách cụ thể.