Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4. Không gian vectơ

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ môn Toán ứng dụng ------------------------------------------------------ Ñaïi soá tuyeán tính Chöông 4: KHOÂNG GIAN VEÙCTÔ (tt) • Giaûng vieân TS. Ñaëng Vaên Vinh Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Toạ độ của véctơ. II – Không gian con. III - Tổng và giao của hai không gian con. Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. I. Toạ độ của véctơ ------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa toạ độ của véctơ Cho E ={e1, e2,...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 4. Không gian vectơ

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ môn Toán ứng dụng ------------------------------------------------------ Ñaïi soá tuyeán tính Chöông 4: KHOÂNG GIAN VEÙCTÔ (tt) • Giaûng vieân TS. Ñaëng Vaên Vinh
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Nội dung --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- I – Toạ độ của véctơ. II – Không gian con. III - Tổng và giao của hai không gian con.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. I. Toạ độ của véctơ ------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa toạ độ của véctơ Cho E ={e1, e2, …, en} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V x V  x  x1e1  x2e2  ...  xnen Bộ số ( x1 , x 2 ,..., x n ) được gọi là tọa độ của véctơ x trong cơ sở E.  x1  x  [ x ]E   2   x   n
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho E  {x 2  x  1; x 2  2 x  1; x 2  x  2} là cơ sở của không gian P2 [x] 3 Tìm véctơ p(x), biết toạ độ trong cơ sở E là [ p ( x)]E   5   2  3 [ p ( x)]E   5   2   p ( x)  3( x 2  x  1)  5( x 2  2 x  1)  2( x 2  x  2)  p ( x )  5 x  2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho E  {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)} là cơ sở của R3 và x = (3,1,-2) là một véctơ của R3. Tìm toạ độ của véctơ x trong cơ sở E.  x1  [ x]E   x2   x  x1e1  x2e2  x3e3 Giả sử  x   3  (3,1, 2)  x1 (1,1,1)  x2 (1,0,1)  x3 (1,1,0)  x1  x2  x3 3  4    1  [ x ]E   2   x1  x3  5  x x  2 12 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho E  { x 2  x  1; x  1;2x  1 laø sôû 2 [ x ]. } cô P Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x2+4x-1 trong cơ sở E. a [ p ( x)]E   b   p ( x)  a.e1  b.e2  c.e3 Giả sử  c   3 x 2  4 x  1  a ( x 2  x  1)  b( x  1)  c(2 x  1) a 3 3   a  b  2c  4  [ p ( x)]E   9    5  a  b  c  1  
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính chất của tọa độ véctơ  x1   y1  x  y  [ x ]E   2  [ y ]E   2    x  y   n  n  x1  y1  x1  y1  x  y  x  y  1. x  y   2 2 2. [ x  y ]E   2 2   x  y   xn  yn  n n   x1   x  3. [ x]E   2    x   n
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- Ý nghĩa của toạ độ véctơ. Trong không gian n chiều V cho một cơ sở E ={e1, e2, …, en}. Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ. Hai phép toán cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp. Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép toán này giống hoàn toàn trong Rn. Suy ra cấu trúc của không gian vectơ V hoàn toàn giống Rn. Chứng minh được V và Rn đồng cấu với nhau, vậy nên trong nghiên cứu ta đồng nhất V và Rn. Tất cả các không gian n chiều đều coi là Rn.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. I. Toïa ñoä cuûa veùctô ------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho M  {x 2  x  1;3x 2  2 x  1; 2 x 2  x} laø p con cuû P2 [ x]. taä a Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính. Chọn cơ sở chính tắc của P2[x] là E  { x 2 , x,1 . }  1  3  2 [ x 2  x  1] E   1 [3x 2  2 x  1] E   2  [2x 2  x] E   1      1 1 0    Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ. 1 3 2  A  1 2 1   r ( A)  2 Vậy M phụ thuộc tuyến tính   1 1 0   
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- V là K-kgvt Kg con F Tậpcon F Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa. 1.f , g  F : f  gF 2.f  F ,   K :  f  F
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ F  ( x1 , x2 , x3 )  R3 | x1  2 x2  x3  0 1. Chứng tỏ F là không gian con của R3 2. Tìm cơ sở và chiều của F. Giải câu 2. x  ( x1, x2 , x3 )  F  x1  2 x2  x3  0  x3  x1  2 x2 x  ( x1, x2 , x3 )  ( x1, x2 , x1  2 x2 ) Khi đó  x  x1 (1,0,1)  x2 (0,1, 2) Suy ra E  { (1,0,1);(0,1, 2)} là tập sinh của F. Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.  dim( F )  2
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ F   p ( x)  P2 [x] | p (1)  0 & p (2)  0 1. Chứng tỏ F là không gian con của P2[x]. 2. Tìm cơ sở và chiều của F. 2 Giải câu 2. p ( x)  ax  bx  c  F  p (1)  0 & p (2)  0  a  b  c  0  a   ; b  3 ; c  2  4a  2b  c  0  p ( x)   x 2  3 x  2  p ( x)   ( x 2  3 x  2) 2 E  { x  3 x  2} là tập sinh của F. Suy ra Hiển nhiên E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.  dim( F )  1
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ 1 1  F   A  M 2[ R]| A    0 2 2  1. Chứng tỏ F là không gian con M2[R] 2. Tìm cơ sở và chiều của F.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- M  {v1 , v2 ,, vn }  V L(M)=Span{v1 , v2 ,..., vn }  {1v1   2v2     n vn  i  R} 1. L(M) là không gian con của V 2. dim(L(M)) = Hạng của họ M.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Không gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giả sử dim(V) = n Hạng M = Hạng Ma trận M phụ thuộc tt M  {x1 , x2 ,..., xm } Kgian con M độc lập tt x là tổ hợp tt của M M là cơ sở của V M tập sinh của V hạng M < m hạng M = m hạng M = dim(V) hạng M = dim(V) = số vectơ trong M hạng M = hạng M thêm vectơ x Chiều kgian con M = hạng M
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ F  (1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)  Cho Tìm cơ sở và chiều của F.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Cho F  x 2  x  1, 2 x 2  3 x  1, x 2  2 x  2  Tìm cơ sở và chiều của F.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ a  b a  2b  F    a, b  R   b 2a   Tìm cơ sở và chiều của F.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. II. Khoâng gian con --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ  1 1  2 1  3 1  1 0  F   ,  0 1 ,  2 1 ,  2 0   2 1     Tìm cơ sở và chiều của F.