Chương 5: Dạng Toàn Phương
Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
trong đó A là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của
dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc)
Định nghĩa
Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực
:
n
f R R
1 2
( , ,..., ) :
n
n
X x x x R
( ) T
Khi đó ta có dạng toàn phương trong R2
Ví dụ. Cho
1
2
x
x
x
2 3
3 4
A
T
x Ax
1
1 2
2
2 3
3 4
x
x x
x
2 2
1 1 2 2
2 6 4
x x x x
Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng
1 2 3
( ) ( , , )
f x f x x x
2 2 2
1 2 3
x x x
1 2 1 3 2 3
2 2 2
A B C Dx x Ex x Fx x
Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng
A D E
M D B F
E F C
Khi đó f(x) có thể viết lại
1 2 3
( ) ( , , )
f x f x x x
1
1 2 3 2
3
( )
A D E x
x x x D B F x
E F C x
T
x M x
Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3 2 3
2 2 1
3 1 4
A
Giải
Ví dụ.
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
( ) 3 2 4 4 6 2
f x x x x x x x x x x
Viết ma trận của dạng toàn phương.
1
3
2
3
:
x
x x R
x
1
1 2 3 2
3
3 2 3
( ) 2 2 1
3 1 4
T
x
f x x Ax x x x x
x
Dạng Toàn phương
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho dạng toàn phương với
( ) ,
T
f x x Ax
1 2 3
( )
T
x x x x
Vì A là ma trận đối xứng thực nên A chéo hóa được bởi ma trận
trực giao P và ma trận chéo D:
T
A PDP
Khi đó: ( )
T T
f x x PDP x
( ) ( )
T T T
P x D P x
Đặt T
y P x x Py
Ta có ( ) T
f y y Dy
1 1
1 2 3 2 2
3 3
0 0
( ) ( ) 0 0
0 0
y
f y y y y y
y
2 2 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3
( ) ( , , )
f y f y y y y y y