BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
NGUYỄN HUY CHIÊU
BÀI GIẢNG
ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN
(DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH SP TOÁN)
NGHỆ AN - 2019
MỤC LỤC
Lời nói đầu 4
Chương 1 Bổ sung về lý thuyết tập hợp 6
1 Lựclượngcủatậphợp .......................... 6
1.1 Khái niệm về lực lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 So sánh lực lượng của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Bảnsố................................... 7
2.1 Địnhnghĩa ............................ 7
2.2 Phéptoánbảnsố......................... 8
3 Tậpđếmđược............................... 10
3.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Tínhchất ............................. 10
4 Tập có lực lượng continum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.1 Lực lượng của đoạn [0,1]..................... 12
4.2 Giả thiết continum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 2 Độ đo 16
1 Đạisốcáctậpcon ............................ 16
1.1 Cácđịnhnghĩa .......................... 16
1.2 Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Gian và đại số sinh bởi lớp các gian trong Rn......... 18
2 Độ đo trên đại số các tập con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Định nghĩa, ví dụ và tính chất cơ bản của độ đo . . . . . . . . 19
2
3Bài giảng Độ đo và Tích phân
2.2 Tính liên tục dưới và tính liên tục trên của độ đo . . . . . . . 21
3 Độ đo sinh bởi thể tích các hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Định nghĩa thể tích các gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Xây dựng độ đo sinh bởi thể tích các gian . . . . . . . . . . . 25
4 Độđongoài................................ 27
4.1 Định nghĩa độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Các tính chất của độ đo ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5 Tậpđođược................................ 30
5.1 Tập đo được theo Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Định lý cơ bản về mở rộng độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Độ đo trong, tập đo được theo nghĩa Lebesgue và sự tương
đương giữa hai khái niệm đo được . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.4 Tính duy nhất nghiệm của bài toán mở rộng độ đo . . . . . . 38
6 Độ đo Lebesgue trong Rn......................... 39
6.1 Địnhnghĩa ............................ 39
6.2 Tínhchấtcơbản ......................... 39
Chương 3 Tích phân 44
1 Tích phân các hàm đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.1 Định nghĩa hàm đơn giản và tích phân hàm đơn giản . . . . . 44
1.2 Các tính chất của tích phân hàm đơn giản . . . . . . . . . . . 45
2 TíchphânRiemann............................ 48
2.1 Định nghĩa tích phân Riemann, các tổng Darboux và điều kiện
khảtích .............................. 49
2.2 Tổng Darboux là tích phân của hàm bậc thang . . . . . . . . 50
3 Hàmđođược ............................... 51
3.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Cấu trúc của hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Tích phân hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4Bài giảng Độ đo và Tích phân
4.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản của tích phân hàm đo được
khôngâm ............................. 55
4.2 ĐịnhlýBeppo-Levi........................ 56
5 Tích phân hàm đo được tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1 Địnhnghĩa ............................ 58
5.2 Cáctínhchất ........................... 58
6 Tích phân trên các tập con đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1 Địnhnghĩa ............................ 61
6.2 Cáctínhchất ........................... 61
7 Hộitụtheođộđo............................. 64
7.1 Địnhnghĩa ............................ 64
7.2 Cáctínhchất ........................... 64
8 Qua giới hạn dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.1 BổđềFatou............................ 65
8.2 Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 65
Tài liệu tham khảo 67
LỜI NÓI ĐẦU
Độ đo và Tích phân là học phần bắt buộc trong chương trình đào tạo đại học
ngành Sư phạm Toán học ở Trường Đại học Vinh. Học phần này cung cấp cho sinh
viên những kiến thức cơ bản của lý thuyết độ đo và tích phân, bao gồm:
- Các khái niệm và tính chất cơ bản của đại số, σ-đại số, độ đo, độ đo ngoài, tập
đo được theo nghĩa Caratheodory;
- Bài toán mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue và đặc trưng của các tập đo được
Lebesgue;
- Định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân Lebesgue.
- Các định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân (đặc biệt, định lý Beppo-Levy, bổ
đề Fatou, định lý hội tụ bị chặn Lebesgue);
- So sánh tích phân Lebesgue và tích phân Riemann.
Các kiến thức này sẽ làm cơ sở để sinh viên học một số học phần tiếp theo trong
chương trình đào tạo đại học, và là nền tảng cho sinh viên học tập ở các bậc học
cao hơn. Học phần này cũng có thể giúp sinh viên hiểu sâu sắc hơn một số kiến thức
trong chương trình Toán phổ thông.
Lưu ý khi sử dụng tập bài giảng này:
- Đây là tập bài giảng đang được phát triển; vì vậy nó vẫn còn lỗi chính tả và
một số nội dung có thể sẽ được điều chỉnh, bổ sung trong suốt quá trình giảng dạy.
- Những phiên bản mới hơn sẽ tiếp tục được cập nhật, thay thế phiên bản cũ trên
hệ thống LMS.
Tác giả rất mong nhận được các ý kiến góp ý của người đọc để tập bài giảng ngày
càng hoàn thiện hơn. Trân trọng cám ơn!
5