Bài giảng Dòng điện xoay chiều-Bài 5

Chia sẻ: Phan Thi Ngoc Giau | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn..)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Dòng điện xoay chiều-Bài 5

§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Bài giảng 5: TOÁN CỰC TRỊ VÀ ĐỘ LỆCH PHA I. CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và mẫu cho tử số chẳng hạn..) Bổ đề : a+b ♦ Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó ≥ ab ⇔ a + b ≥ 2 ab 2 Dấu bằng xảy ra khi a = b. ∆ 4ac − b 2 ∆' b ♦ Hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x = − ; y min = − = =− 2a 4a 4a a 1. Mạch RLC có R thay đổi Bài toán tổng quát 1: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở). Tìm giá trị của R để a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại. b) điện áp hiệu dụng hai đầu L hoặc C đạt cực đại. c) công suất tỏa nhiệt trên R là P0 cho trước. d) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại. Hướng dẫn giải: U U a) Cường độ hiệu dụng I = =  I max ⇔ R = 0. → R 2 + ( Z L − ZC ) Z 2 U Vậy R = 0 thì Imax và giá trị I max = Z L − ZC b) Ta có UL = I.ZL. Do L không đổi nên (UL)max khi Imax ⇒ R = 0. U.ZL Khi đó, ( U L )max = I max .ZL = ZL − ZC ( U C ) max ← R = 0 →  Tương tự ta cũng có  U.ZC ( U C ) max = I max .ZC = Z − Z  L C 2 U R = P0 ← P0 R 2 − U 2 R + P0 ( ZL − ZC ) = 0 c) Theo bài ta có P = P0 ⇔ I2 R = P0 ⇔ 2 → 2 R + ( Z L − ZC ) 2 Thay các giá trị của U, ZL, ZC và P0 vào phương trình trên ta giải được R cần tìm. d) Công suất tỏa nhiệt trên R: U2 U2 U2 U2 U2 P = I2 R= 2 R = 2 R= ≤ = R + ( Z L − ZC ) ( Z − ZC ) ( Z L − ZC ) 2 Z L − ZC 2 2 Z 2 R+ L 2 R. R R ( Z L − ZC ) 2 U2 Dấu bằng xảy ra khi R =  R = ZL − ZC và Pmax = → 2 Z L − ZC R  R = Z L − ZC  Vậy mạch RLC có R thay đổi, giá trị của R và Pmax tương ứng là  U2 Pmax =  2 Z L − ZC  Chú ý: Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu R R 1 ♦ Trong trường hợp Pmax thì hệ số công suất của mạch khi đó là cosφ = = = , do R = ZL − ZC R +R Z 2 2 2 ♦ Khi cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r ≠ 0 thì ta còn có thêm dạng bài tính công suât tỏa nhiệt trên R, trên cuộn dây và trên toàn mạch TH1: Công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch cực đại U2 U2 U2 U2 Ta có P = I2 ( R + r ) = 2 ( R + r ) = 2( R + r) = ≤ ( R + r ) + ( Z L − ZC ) ( Z L − ZC ) 2 Z L − ZC 2 2 Z (R + r) + (R + r)  R + r = Z L − ZC  R = Z L − ZC − r   ←  → Từ đó ta cũng được giá trị của R và Pmax tương ứng  2 U2 U Pmax = Pmax =   2 ZL − ZC 2 Z L − ZC   TH2: Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại U2 U2 U2 U2 Ta có PR = I2 R = 2 R = R= = ( R 2 + 2Rr + r 2 ) ( R + r ) + ( ZL − ZC ) r 2 + ( Z L − ZC ) ( Z − ZC ) 2 2 2 2 Z R + 2r + +L R R R 2 2 U U Áp dụng BĐT Cauchy cho mẫu số ta cũng được PR ≤ = r + ( Z L − ZC ) 2r + r 2 + ( Z L − ZC ) 2 2 2 2r + R. R R = r 2 + Z − Z 2 ( L C)   Từ đó ta được giá trị của R và (PR)max tương ứng là  U2 ( PR )max =  2r + r 2 + ( Z L − ZC ) 2   4.10−4 2 Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có u = 150 2cos (100π ) V, L = (H), C = (F), điện trở R có thể thay đổi 5π π được. Tìm R để a) công suất tỏa nhiệt P = 90 W và viết biểu thức của cường độ dòng điện khi đó. b) hệ số công suất của mạch là cosφ = 1/2. c) công suất tỏa nhiệt trên mạch cực đại Pmax và tính giá trị Pmax Hướng dẫn giải: Ta có ZL = 200 , ZC = 125 , U = 150 V.  R = 225 U2 1502 R a) Ta có P = I2 R = 90 ⇔ 90 = 2 R ⇔ 2 = 90 ⇔ 90R 2 − 1502 R + 90.752 = 0   →  R = 25 R + 75 2 Z U 0 150 2 2 ♦ Với R = 225  Z = 2252 + 752 = 75 10 →  I0 = → = = A. Z 75 10 5 Z − ZC 1 1 75 1 Độ lệch pha của u va i thỏa mãn tan φ = L = =  φ = arctan   = φ u − φi  φi = − arctan   → → 3 3 R 225 3   1  2 Biểu thức cường độ dòng điện là i = cos  100 πt − arctan    A.  3   5 U 0 150 2 6 ♦ Với R = 25 ⇒ Z = 252 + 752 = 25 10  I0 = → = = A. Z 25 10 5 ZL − ZC 75 = 3  φ = arctan ( 3) = φ u − φi  φi = − arctan ( 3) Độ lệch pha của u va i thỏa mãn tan φ = = → → R 25 cos (100 πt − arctan ( 3) ) A. 6 Biểu thức cường độ dòng điện là i = 5 R2 1 R 1 1 b) Từ công thức tính hệ số công suất ta có cosφ = ⇔ = ⇔2 =  R = 25 3 . → R + 75 R + (Z − Z ) 2 2 2 4 2 L C Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu  R = Z L − ZC  c) Ta có Pmax khi  U2 Pmax =  2 ZL − ZC  U2 1502 và Pmax = = = 150 W. Thay số ta được R = 75 2 ZL − ZC 2.75 Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm cuộn dây có r = 50 , L = 0,4/π (H) và tụ điện có điện dung C = 10–4/π (F) và điện trở thuần R thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là u = 100 2cos (100πt ) V. Tìm R để a) hệ số công suất của mạch là 1/2. b) công suất tỏa nhiệt trên toàn mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. c) công suất tỏa nhiệt trên điện trở R cực đại. Tính giá trị cực đại của công suất đó. Hướng dẫn giải: Ta có ZL = 40 , ZC = 100 , U = 100V R+r R+r 1 a) Hệ số công suất của mạch là cosφ = ⇔ = (R + r) + (Z − Z ) 2 Z 2 2 L C R + 50 1 ⇔ 4 ( R + 50 ) = ( R + 50 ) + 602  = 2 2 Thay số ta được   ( R + 50 ) 2 + 602 2 Giải phương trình trên ta được các nghiệm R cần tìm. b) Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt giá trị cực đại khi R + r = ZL − ZC ⇔ R + 50 = 60  R = 10 . → U2 1002 250 Khi đó, công suất cực đại của mạch Pmax = = = W. 2 ZL − ZC 2.60 3  R = r 2 + ( Z − Z )2  L C  c) Công suất tỏa nhiệt trên R cực đại khi  U2 ( PR )max =  2r + r 2 + ( ZL − ZC ) 2   R = r 2 + ( Z − Z ) 2 = 502 + 602 = 10 61 .  L C  Thay số ta được  U2 1002 ( PR )max = = W.  100 + 20 61 2r + 2 r 2 + ( ZL − ZC ) 2   Bài toán tổng quát 2: Cho mạch điện RLC có R thay đổi. Điện áp hiệu dụng hai đầu mạch điện là U. Khi R = R1 và R = R2 thì mạch tiêu thụ cùng một công suất (hay P1 = P2). Chứng minh rằng a) R 1 R 2 = ( Z L − Z C ) 2 π b) φ1 + φ 2 = , với φ1, φ2 lần lượt là độ lệch pha của u và i khi R = R1, R = R2. 2 U2 c) Công suất tỏa nhiệt tương ứng khi đó P1 = P2 = P = R1 + R 2 Hướng dẫn giải: a) Theo giả thiết ta có P1 = P2 U2 U2 R 2 ⇔ R 1  R 2 + ( Z L − ZC )  = R 2  R 1 + ( Z L − Z C )  ⇔ I1 R 1 = I2 R 2 ⇔ 2 R1 = 2 2 2 2 2 2    R 1 + ( Z L − ZC ) R 2 + ( Z L − ZC ) 2 2 2 ⇔ R 1 R 2 + R 1 ( Z L − ZC ) = R 2 R 1 + R 2 ( Z L − ZC ) ⇔ R 1 R 2 ( R 2 − R 1 ) = ( Z L − Z C ) ( R 2 − R 1 ) ⇔ R 1 R 2 = ( Z L − ZC ) 2 2 2 2 2 2 Z L − ZC   tan φ1 = Z − ZC  R1 R2 , do R 1R 2 = ( ZL − ZC )  L → = ← tan φ1 = cot φ 2 → 2 b) Ta có  Z L − ZC  tan φ = ZL − ZC R1  2 R2  Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu π Từ đó ta được φ1 + φ 2 =  dpcm. → 2 U2 U2 U2 c) Ta có P = P1 = P2 = I1 R1 ⇔ P = R1 = R1 =  dpcm → 2 R 1 + ( Z L − ZC ) R 1 + R 1R 2 R1 + R 2 2 2 2   R R = ( Z − Z )2 12 L C  π Vậy mạch RLC có R thay đổi mà R = R1 và R = R2 thì P1 = P2 sẽ thỏa mãn  φ1 + φ 2 = 2   2 U P = R1 + R 2  Ví dụ 1 : (Đề thi Đại học – 2009) Đặt điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi vào hai đầu đoạn mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với tụ điện. Dung kháng của tụ điện là 100 . Khi điều chỉnh R thì tại hai giá trị R1 và R2 công suất tiêu thụ của đoạn mạch như nhau. Biết điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R1 bằng hai lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu tụ điện khi R = R2 . Các giá trị R1 và R2 là A. R1 = 50 , R2 = 100 . B. R1 = 40 , R2 = 250 . C. R1 = 50 , R2 = 200 . D. R1 = 25 , R2 = 100 . Hướng dẫn giải: Theo giả thiết ta có P1 = P2 U2 U2 ⇔ I1 R 1 = I2 R 2 ⇔ 2 R1 = 2 R 2 ⇔ R 1  R 2 + ZC  = R 2  R 1 + Z 2  2 2 2 2   C R 1 + ZC R 2 + ZC 2 2 2 R1R 2 + R1 ZC = R 2 R1 + R 2 ZC ⇔ R1R 2 ( R 2 − R1 ) = ZC ( R 2 − R1 ) ⇔ R1R 2 = ZC ⇔ R1R 2 = 1002 , (1) 2 2 2 2 2 2 Mặt khác, gọi U1C là điện áp tụ điện khi R = R1 và U2C là điện áp tụ điện khi R = R2 I Khi đó theo bài ta được U1C = 2U 2C ⇔ I1ZC = 2I2 ZC ⇒ 1 = 2 I2 2 I  R Lại có P1 = P2 ⇔ I R 1 = I R 2 ⇔ 2 =  1  = 4 , (2) 2 2 1 2 R1  I2  Giải (1) và (2) ta được R1 = 50 , R2 = 200 . Vậy chọn đáp án C. Ví dụ 2: Một mạch điện gồm một tụ điện C, một cuộn cảm L thuần cảm kháng và một biến trở R được mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu mạch điện một điện áp xoay chiều u = 120 2cos (120πt ) V. . Biết rằng ứng với hai giá trị của biến trở R1 = 18 và R2 = 32 thì công suất tiêu thụ P trên đoạn mạch là như nhau. Công suất P của đoạn mạch có thể nhận giá trị nào ? Hướng dẫn giải: U2 1202 Theo chứng minh công thức ở trên ta được P = = = 288 W. R 1 + R 2 18 + 32 Vậy P = 288 W. Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u = 30 2cos(100πt)V, R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 = 9 thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 . Khi mạch có R = R2 = 16 thì độ lệch pha giữa u và i là φ2. biết π φ1 + φ 2 = . 2 a) Tính công suất ứng với các giá trị của R1 và R2 b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện ứng với R1, R2 10−3 c) Tính L biết C = (F). 2π d) Tính công suất cực đại của mạch. Hướng dẫn giải: Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu R = R1 , R = R 2  U2 302 π  P = P1 = P2 = → = = 36 W. a) Theo chứng minh công thức ở trên, khi  R 1 + R 2 9 + 16  φ1 + φ 2 = 2  R = R1 , R = R 2  π  ( ZL − ZC ) = R 1R 2 = 9.16 = 144 ⇒ ZL − ZC = ±12 . → 2 b) Ta có   φ1 + φ 2 = 2  U ♦ Khi R = R1 = 9 thì ta có tổng trở của mạch là Z = R 1 + ( ZL − ZC ) = 92 + 144 = 15  I = = 2 A. → 2 2 Z Z − ZC ±12  4  4 4 Độ lệch pha của u và i thỏa mãn tan φ = L = = ±  φ = arctan  ±  = φ u − φi  φi = m artan  ±  → →  3  3 R1 9 3   4  Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i = 2 2cos  100πt m artan  ±   A.  3   U thì ta có tổng trở của mạch là Z = R 2 + ( ZL − ZC ) = 162 + 144 = 20 ♦ Khi R = R1 = 16  I = → = 1,5A. 2 2 Z Z − ZC ±12  3  3 3 Độ lệch pha của u và i thỏa mãn tan φ = L = = ±  φ = arctan  ±  = φ u − φi  φi = m artan  ±  → →  4  4 R2 16 4   3  Từ đó, biểu thức cường độ dòng điện là i = 1,5 2cos 100 πt m artan  ±   A.  4    8  L = 25π (H)  ZL = 32 −3 10 c) Khi C = (F) ⇒ ZC = 20 . Mà ZL − ZC = ±12   → ← →  ZL = 8  L = 2 (H) 2π   25π 2 302 U d) Công suất cực đại của mạch khi R biến thiên được tính bởi Pmax = = = 37,5 W. 2 ZL − ZC 2.12 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch u = U 2cos( ωt )V , R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 = 90 thì độ lệch pha giữa u và i là φ1 . Khi mạch có R = R2 = 160 thì độ lệch pha giữa u và i là φ2. Biết rằng π φ1 + φ2 = . 2 a) Tìm L biết C = 10–4/π (F) và ω = 100π rad/s. 10 −4 3,2 b) Tìm ω biết L = ( H ),C = ( F ). π 2π Bài 2: Cho mạch điện RLC có điện áp hai đầu mạch là u = U 2cos( 100πt )V , R thay đổi được. Khi mạch có R = R1 = 90 và R = R2 = 160 thì mạch có cùng công suất P. a) Tính C biết L = 2/π (H). b) Tính U khi P = 40 W. Bài 3: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 200 2cos( 100πt )V , L = 2/π (H), C = 10–4/π (F). Tìm R để 3 a) hệ số công suất của mạch là . 2 b) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là U R = 50 2 V . c) công suất tỏa nhiệt trên R là P = 80 W. 10 −4 Bài 4: Cho mạch điện RLC, R có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là u = 240 2cos( 100πt )V ,C = ( F ). π Khi R = R1 = 90 và R = R2 = 160 thì mạch có cùng công suất P. a) Tính L, công suất P của mạch. b) Giả sử chưa biết L, chỉ biết Pmax = 240 W và với 2 giá trị R3 và R4 thì mạch có cùng công suất là P = 230,4 W Tính giá trị R3 và R4. 2. Mạch RLC có L thay đổi Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó L có thể thay đổi được. Tìm giá trị của L để a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại. b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị Pmax. c) điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại. Hướng dẫn giải: U U 1 a) Ta có I = =  I max ⇔ Zmin ← ZL − ZC = 0 ⇔ L = 2 → → ωC R + (Z − Z ) Z 2 2 L C 1 U V ậy L = thì Imax và giá trị I max = . ωC 2 R 1 b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I 2 R . Do R không đổi nên Pmax ← I max  L = → → . ω2 C U2 Từ đó Pmax = I 2 R = . max R c) Điện áp hiệu dụng hai đầu cuộn cảm là U U U U U ⇒ ( U L )max ← y min U L = I.ZL = .ZL = .ZL = = = → R 2 + ( Z L − ZC ) Z 2 2 2 y R 2  Z L − ZC  R 2  ZC  + + 1 −   Z2  ZL  Z2  ZL  L L 2 R2  Z  = x  y = R 2 x 2 + (1 − ZC x ) = ( R 2 + ZC ) x 2 − 2ZC x + 1 1 Với y = 2 +  1 − C  , đặt → 2 2 ZL  ZL  ZL −2ZC R 2 + ZC 2 Do hệ số a = ( R 2 + ZC ) > 0 ⇒ ymin khi x = − = − Z b 1 ⇔ = 2 C 2  ZL = → 2 . 2 ( R 2 + ZC ) Z L ( R + ZC ) 2 2a ZC ZC − ( R 2 + ZC ) 2 2 ∆ ∆' R2 U U U  ( U L ) max = Khi đó y min = − =− =− =2 → = = R 2 + ZC 2 R 2 + ZC R + ZC 2 2 4a a R R2 y min R + ZC 22 R 2 + ZC 2 U Vậy ( U L )max = R 2 + Z C khi Z L = 2 . R ZC Chú ý: ZL + ZL - Khi L = L1 hoặc L = L2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có Z C = 1 2 2 - Khi UL cực đại thì ta có (U L )max = U 2 + U R + U C 2 2 2 - Khi UL cực đại thì điện áp hai đầu đoạn mạch RC vuông pha với điện áp u của hai đầu mạch. - Khi L = L1 hoặc L = L2 mà UL không đổi, đồng thời khi L = L0 mà UL đạt cực đại thì ta có hệ thức liên hệ giữa các 2 1 1 =+. đại lượng là L0 L1 L2 10−4 Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 3 , C = (F). Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi 2π được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) V. Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các trường hợp sau ? a) Hệ số công suất của mạch cosφ = 1. 3 b) Hệ số công suất của mạch cosφ = . 2 c) Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại. Hướng dẫn giải: 1 Ta có ZC = = 200 . ωC 2 a) Từ cosφ = 1 ⇒ mạch có cộng hưởng điện. Khi đó ZL = ZC = 200  L = (H). → π Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu 3 R 3 ⇔ 4R 2 = 3Z 2 = 3  R 2 + ( ZL − ZC )   R 2 = 3 ( ZL − ZC ) b) Khi cosφ = ⇔= → 2 2   2 Z 2  3 L = (H)  Z L = 300 R π Thay số ta được ZL − ZC = ± = ±100   → ←  →  Z L = 100 L = 1 3 (H)   π ( ) 2 100 3 + 2002 R 2 + ZC 2 35 c) Theo chứng minh trên, UL đạt cực đại khi ZL = = = 350  L = → (H). 10π ZC 200 ( ) U 100 2 100 42 Giá trị cực đại là ( U L )max = 2 R 2 + ZC = 100 3 + 2002 = 2 V. R 3 100 3 Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là u = 170 2cos (100πt ) V. Biết 10−4 rằng R = 80 , C = (F). Tìm L để 2π a) công suất tỏa nhiệt trên R cực đại. Tính Pmax b) công suất tỏa nhiệt có giá trị P = 80W c) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta có R = 80 , ZC = 200 . 2 a) Do P = I2 R  Pmax ← ZL = ZC = 200 ⇔ L = (H). → → π 2 2 2 U U 170 Khi đó Pmax = I max R = 2 R = = = 361, 25 W. 2 R R 80  3,5  L = π (H) ZL = 350  2 2 U 170 .80 b) P = I2 R = 200 ⇔ 2 R = 80 ⇔ 2 = 80  → ←  → 80 + ( ZL − 200 )  ZL = 50 2  L = 1 (H) Z   2π R + ZC 80 + 200 2 2 2 2 58 c) Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi ZL = = = 232  L = → (H). 25π ZC 200 U 170 Giá trị cực đại của UL là ( U L )max = R 2 + ZC = 802 + 2002 = 85 29 V. 2 R 80 Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có L thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch điện là u = 200 2cos (100πt ) V. Khi 33 3 mạch có L = L1 = (H) và L = L 2 = (H) thì mạch có cùng cường độ dòng điện hiệu dụng nhưng giá trị π π tức thời lệch pha nhau góc 2π/3 rad. a) Tính giá trị của R và C. b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện chạy trong mạch. Hướng dẫn giải: Ta có ZL1 = 300 3 , ZL2 = 100 3 .  ZL1 = ZL2  ZL1 − ZC = ZL2 − ZC ( ) ( ) → 2 2 a) Do I1 = I 2 ⇔ Z1 = Z 2 ⇔ R + ZL1 − ZC = R + ZL2 − ZC   → ←  2 2 ZL1 + ZL2 ZL1 − ZC = ZC − ZL2  ZC =    2 ZL1 + ZL2 10−4 Chỉ có một trường hợp thỏa mãn, thay số ta được ZC = = 200 3  C = → (F). 2 2 3π Gọi φ1 là độ lệch pha của u và i khi L = L1, φ2 là độ lệch pha của u và i khi L = L2. Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu ZL1 − ZC 300 3 − 200 3 100 3   tan φ1 = = =  R R R Ta có   tan φ = ZL2 − ZC = 100 3 − 200 3 = − 100 3   2 R R R Do ZL1 − ZC = ZC − ZL2  1 = − ϕ2 →ϕ  π φ1 = 3 φ1 > 0  Mặt khác ZL1 > ZL2   → ←  → φ2 < 0 φ = − π  2  3 π 100 3 = = 3  R = 100 . → Từ đó ta được tan 3 R 10−4 Vậy các giá trị cần tìm là R = 100 , C = (F). 2 3π b) Viết biểu thức của i: 200 2 ♦ Với R = 100 , ZC = 200 3 , ZL1 = 300 3  Z = 200 →  I0 = → = 2 A. 200 ZL − ZC 100 3  π π π Độ lệch pha của u và i : tan φ = 1 = = 3 ⇒ φ = = φ u − φi ⇒ φi = −  i = 2cos 100 πt −  A. →  3 R 100 3 3 200 2 ♦ Với R = 100 , ZC = 200 3 , ZL2 = 100 3  Z = 200  I0 = → → = 2 A. 200 ZL − ZC −100 3  π π π Ta có tan φ = 2 = = − 3 ⇒ φ = − = φ u − φi ⇒ φi =  i = 2cos  100 πt +  A. →  3 R 100 3 3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 10 −4 Bài 1: Cho mạch điện RLC có C = ( F ), R = 120 . Điện áp hai đầu mạch là u = 200 2cos( 100πt )V , L có thể 0,9π thay đổi được. a) Tính L để ULmax. Tính giá trị ULmax b) Tính L để U L = 175 2 V . Bài 2: Cho mạch điện RLC có L có thể thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là u = 100 2cos( 100πt )V . Khi 1 3 L = L1 = ( H ) và L = L1 = ( H ) thì mạch có cùng công suất tỏa nhiệt P = 40 W. π π a) Tính R và C b) Viết biểu thức của i ứng với các giá trị L1 và L2. 10 −4 Bài 3: Cho mạch điện RLC có C = ( F ), R = 80 . Điện áp hai đầu mạch là u = 170 2cos( 100 πt )V , L có thể thay 2π đổi được. Tìm L để a) công suất tỏa nhiệt cực đại, tính giá trị Pmax b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt P = 80 W. 10 −4 Bài 4: Cho mạch điện RLC có C = ( F ), R = 200 3 . Điện áp hai đầu mạch là u = 200 2cos( 100πt )V , L có 4π thể thay đổi được. a) Khi L = 2/π (H) hãy tính P và viết biểu thức cường độ dòng điện chạy trong mạch. b) Tìm L để Pmax, tính giá trị Pmax khi đó. c) Tìm L để (UL)max, tính giá trị (UL)max. 3. Mạch RLC có C thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó C có thể thay đổi được. Tìm giá trị của C để a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại. b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị Pmax đó. c) điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt cực đại. Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Hướng dẫn giải: U U 1 a) Ta có I = =  I max ⇔ Zmin ← ZL − ZC = 0 ⇔ C = 2 → → ωL R 2 + ( Z L − ZC ) Z 2 1 U V ậy C = thì Imax và giá trị I max = . ωL 2 R 1 b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I 2 R . Do R không đổi nên Pmax ← I max  C = → → . ω2 L U2 Từ đó Pmax = I 2 R = . max R c) Điện áp hiệu dụng hai đầu tụ điện là U U U U U ⇒ ( U C ) max ← y min U C = I.ZC = .ZC = .ZC = = = → R + ( Z L − ZC ) Z 2 2 2 y R 2  ZL − ZC  2 R 2  ZL  + + − 1  2 2 ZC  ZC  Z L  ZC  2 R 2  ZL  = x  y = R 2 x 2 + (1 − ZL x ) = ( R 2 + ZL ) x 2 − 2ZL x + 1 1 Với y = + 1 − → 2 2  , đặ t 2 ZC  ZC  ZC −2ZL R 2 + ZL 2 Do hệ số a = ( R 2 + ZL ) > 0 ⇒ ymin khi x = − = − b 1 Z ⇔ = 2 L 2  ZC = → 2 2 ( R 2 + ZL ) ZC ( R + Z L ) 2 2a ZL Z2 − ( R 2 + Z2 ) ∆ ∆' R2 U U U  ( U C )max = =− =− =− =2 → = = R 2 + Z2 L L Khi đó y min R 2 + ZL R + ZL L 2 2 4a a R 2 y min R R 2 + ZL 2 R 2 + ZL 2 U Vậy ( U C )max = R 2 + Z L khi Z C = 2 . R ZL Chú ý: Z C + ZC - Khi C = C1 hoặc C = C2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có Z L = 1 2 2 ( ) 2 =U +UR +UL 2 2 2 - Khi UC cực đại thì ta có U C max - Khi UC cực đại thì điện áp hai đầu đoạn mạch RL vuông pha với điện áp u của hai đầu mạch. - Khi C = C1 hoặc C = C2 mà UC không đổi, đồng thời khi C = C0 mà UC đạt cực đại thì ta có hệ thức liên hệ giữa các C + C2 đại lượng là C0 = 1 . 2 Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 , L = 1/π (H), C thay đổi. Điện áp hai đầu mạch có biểu thức là u = 100 2cos (100πt ) V. Tìm giá trị của điện dung C để a) mạch tiêu thụ công suất P = 50W b) Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính Pmax c) UCmax Hướng dẫn giải: Ta có R = 100Ω, ZL = 100Ω 100 − ZC = 100  ZC = 0 U2 1002.100 a) P = I2 R = 50 ⇔ R = 50 ⇔ = 50 ⇔    → 100 + (100 − ZC ) 100 − ZC = −100  ZC = 200 2 2 2 Z 10−4 ta được C = Nhận nghiệm ZC = 200 (F). 2π 10−4 b) Từ P = I2R ta thấy do R không đổi nên Pmax ← I max ⇔ ZL − ZC = 0 ⇔ ZC = ZL = 100Ω  C = → → (F). π U2 U 2 1002 Khi đó, Pmax = I 2 R = R= = = 100 W. max R2 R 100 10−4 R 2 + ZL 1002 + 1002 2 c) (UC)max khi ZC = = = 200  C = → (F). 2π ZL 100 Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu U 100 Khi đó, ( U C ) max = R 2 + ZL = 1002 + 1002 = 100 2 V. 2 R 100 Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = 200 2cos (100πt ) V. Khi 10−4 10−4 C = C1 = (F) và C = C1 = (F) thì mạch có cùng công suất P = 200 W. 4π 2π a) Tính R và L. b) Tính hệ số công suất của mạch ứng với các giá trị C1, C2. Hướng dẫn giải: Từ giả thiết ta tính được ZC1 = 400 , ZC2 = 200 . a) Theo giải thiết ta có ZC1 + ZC2 3 P = P1 = P2 = 200 ⇔ I1 R = I 2 R ⇔ Z1 = Z2 ⇔ ZL − ZC1 = ZC2 − ZL ⇔ ZL = = 300  L = → 2 2 (H) 2 2 π 2 U2 2002 R R = 200 ⇔ 2 = 200 ⇔ R 2 − 200R + 1002 = 0 Với ZL = 300 , P1 = 200 W ta được ( ) R + 1002 2 R 2 + ZL − ZC1 Giải phương trình ta được nghiệm duy nhất R = 100 . 3 Vậy R = 100 , L = (H). π b) Tính hệ số công suất ứng với các trường hợp của C1 và C2. 10−4 R 100 1 (F)  Z = 1002 + ( 300 − 400 ) = 100 2  cosφ = = ♦ Khi C = C1 = → → = 2 4π Z 100 2 2 −4 10 R 100 1 (F)  Z = 1002 + ( 300 − 200 ) = 100 2  cosφ = = ♦ Khi C = C1 = → → = 2 2π Z 100 2 2 Nhận xét : Trong hai trường hợp L thay đổi và C thay đổi chúng ta thấy vai trò của L và C là bình đẳng nên hoán đổi vị trí của L R 2 + ZL  2 U ( UC )max = R 2 + ZL ← ZC = → 2   R ZL và C ta sẽ được kết quả  R 2 + ZC 2 U U ( L )max = R 2 + ZC ← ZL = → 2  R ZC  Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) V. Điều chỉnh C 10−4 10−4 đến các giá trị (F) hoặc (F) thì i1 và i2 đều lệch pha với u một góc π/3 rad. 5π π a) Tính R, L. b) Viết biểu thức i1 và i2 Hướng dẫn giải: a) Từ giả thiết ta tính được ZC1 = 100 , ZC2 = 50 . Gọi φ1 và φ2 tương ứng là các độ lệch pha của u và i ứng với hai trường hợp của C. ZL − ZC1 Z L − ZC 2 Ta có tan φ1 = ; tan φ 2 = . R R Do i1 và i2 đều lệch pha với u cùng một góc π/3 nên |φ1| = |φ2| = π/3 và trái dấu nhau (do u cố định)  π φ1 = − 3 φ1 < 0  Do ZC1 > ZC2  →   → φ 2 > 0 φ = π 2 3    π  ZL − ZC1  3  ZL = 75 L = 4 π (H)  tan  −  = =− 3   ZL − 100 = −R 3   3   R ←  →   → ←  → Từ đó ta được  25 3 π Z L − Z C2 R =  ZL − 50 = R 3   R = 25 3   tan 3 = =3  3    3 R Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu b) Viết biểu thức i1 và i2 tương ứng với các giá trị của C 2  25 3  50 3 100 2  3  + ( 75 − 100 ) = 3 ♦ Khi ZC1 = 100  Z =  →  I0 = → = 2 6 A. 2  50 3   3  π π π Độ lệch pha của u và i tương ứng là φ1 = − = φ u − φi ⇒ φi =  i1 = 2 6cos  100πt +  A. →  3 3 3 2  25 3  50 3 100 2  3  + ( 75 − 50 ) = 3 ♦ Khi ZC2 = 50  Z =  →  I0 = → = 2 6 A. 2  50 3   3  π π π Độ lệch pha của u và i tương ứng là φ1 = = φ u − φi ⇒ φi = −  i1 = 2 6cos 100 πt −  A. →  3 3 3 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 3,2 Bài 1: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp đầu mạch là u = 120 2cos( 100πt )V , R = 240 , L = ( H ). Tìm giá π trị của C để a) I = Imax, P = Pmax. Tính Imax, Pmax. Tính UL khi đó. b) (UC)max. Tính giá trị (UC)max Bài 2: Cho mạch điện RLC, C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là u = U0cos(100πt) V. Khi thay đổi C đến các giá 10 −4 10 −4 trị C = C1 = ( F ) và C = C1 = ( F ) thì mạch có cùng công suất, nhưng i1 và i2 (ứng với 2 giá trị của C) đều 2π π 1,5 lệch pha với nhau một góc π/3. Tính R và ω biết L = ( H ). π Bài 3: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu mạch có biểu thức là u = 120 2cos( 100πt )V . Khi C = C0 thì UCmax = 200 V. Khi đó công suất tỏa nhiệt tương ứng là P = 38,4 W. Tính R, L, C0 4. Mạch RLC có ω (hoặc f) thay đổi Bài toán tổng quát: Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó tần số góc ω thay đổi được. Tìm ω để a) cường độ hiệu dụng của dòng điện đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. b) công suất tỏa nhiệt trên mạch đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó. c) điện áp hiệu dụng hai đầu R, hai đầu L, hai đầu C đạt cực đại. Hướng dẫn giải:  1 f = U U 1 1 a) T ừ I = =  I max ⇔ ZL − ZC = 0 ⇔ ωL = →  ω = → ← → 2 π LC R 2 + ( Z L − ZC ) ωC Z 2 LC T = 2 π LC  U 1 Vậy khi ω = thì cường độ hiệu dụng trong mạch đạt giá trị cực đại và giá trị cực đại là I max = . R LC 2 b) Công suất tỏa nhiệt trên mạch P = I R, ta thấy do R không đổi nên Pmax khi Imax. Khi đó mạch xảy ra cộng hưởng  1 f = 1 1 điện. Ta được ZL − ZC = 0 ⇔ ω = ← ω = →  → 2 2π LC LC LC T = 2π LC  U2 Giá trị cực đại của công suất tỏa nhiệt khi đó là Pmax = I 2 R = . max R c) Điện áp hiệu dụng giữa các phần tử R, L, C đạt cực đại ♦ UR đạt cực đại 1 U R = IR  ( U R )max ⇔ I max ← ω = → → LC Khi đó ( U R )max = I max R = U. ♦ UL đạt cực đại Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu U.ωL U U U U L = IZL = ZL = = = Z 2 2 y  1  1 2 R R 2 +  ωL − + 1 −   ω2 L2  ω2 LC   ωC  2 2  R2 2 R2  1  x R2 1 1 Với y = + 1 − 2 , đặt 2 = x  y = 2 x +  1 − → = 2 2 x2 +  2 −  x +1   22 ω L  ω LC   LC  ω L LC  L LC 2 R2 −2 2LC − R 2 C 2 1 2LC − R 2 C 2 1 b 2 Do a = 2 2 > 0  y min ⇔ x = − = LC L = → ← 2 =→ ⇔ω= 2LC − R 2 C 2 2 ω LC 2a 2 2 22 LC 2 Vậy UL đạt cực đại khi ω = . 2LC − R 2C2 ♦ UC đạt cực đại U U U U U C = IZC = ZC = = = R 2 ω 2 C 2 + ( ω 2 LC − 1) Z 2 2 y  1 ωC R 2 +  ωL −   ωC  Với y = R 2 ω2 C 2 + ( ω2 LC − 1) , đặt ω2 = x  y = R 2 C2 x + ( LCx − 1) = L2 C2 x 2 + ( R 2 C 2 − 2LC ) x + 1 2 → 2 b 2LC − R 2 C2 2L − R 2 C 2L − R 2 C 2L − R 2 C Do a = L2 C 2 > 0  y min ⇔ x = − → = =  ω2 = → ← ω = → . 2L2 C 2 2L2 C 2L2 C 2L2 C 2a 2L − R 2C Vậy UC đạt cực đại khi ω = . 2L2C Nhận xét: Do việc tính toán để tìm các giá trị (UL)max hay (UC)max là tương đối phức tạp nên những bài toán dạng này chỉ dừng lại ở việc tìm giá trị ω (hay f ) để cho điện áp hiệu dụng giữa các phần tử đạt cực đại. Ví dụ 1: Cho đoạn mạch điện MN gồm một điện trở thuần R = 100 , cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm 10−4 1 L = (H) , tụ điện có điện dung C = (F) mắc nối tiếp. Mắc hai đầu M, N vào nguồn điện xoay chiều có 2π π điện áp tức thời u MN = 120 2cos ( 2 πft ) V có tần số f của nguồn điện có thể điều chỉnh thay đổi được. a) Khi f = f1 = 50 Hz, tính cường độ hiệu dụng của dòng điện và tính công suất tỏa nhiệt P1 trên đoạn mạch điện MN. Viết biểu thức cường độ dòng điện tức thời chạy trong đoạn mạch đó. b) Điều chỉnh tần số của nguồn điện đến giá trị f2 sao cho công suất tiêu thụ trên đoạn mạch điện MN lúc đó là P2 = 2P1. Hãy xác định tần số f2 của nguồn điện khi đó. Tính hệ số công suất. Hướng dẫn giải:  Z L = 100 a) Khi f = f1 = 50 Hz  ω = 100π   → →  Z = 1002 + 1002 = 100 2 . → ZC = 200  U 120 1, 2 Cường độ hiệu dụng của dòng điện trong mạch là I = = = (A) Z 100 2 2 2  1,2  Công suất tiêu thu trên đoạn mạch điện là P1 = I R =   .100 = 72 W. 2  2 Z − ZC −100 π π Độ lêch pha của u và i thỏa mãn: tan φ = L = = −1  φ = − = φ u − φi  φi = → → R 100 4 4  π Biểu thức của cường độ dòng điện trong mạch là i = 1, 2cos  100πt +  A.  4 b) Khi thay đổi f để P2 = 2P1 tức P2 = 144W 2  1 U2 R 1202.100 Ta có P2 = I 2 R = 144 ⇔ = 144 ⇔ = 144   ω 2 L − →  =0 2 2 2  1  1 ω2 C   R +  ω2 L − 1002 +  ω2 L − 2   ω2 C  ω2 C    Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu 1 1 Khi đó mạch xảy ra cộng hưởng điện, thay số ta được f 2 = = = 50 2 Hz. 1 10−4 2 π LC 2π . π 2π R Hệ số công suất khi đó là cos φ = = 1. Z 10−4 1 Ví dụ 2: Một đoạn mạch điện xoay chiều RLC có R = 100 , L = (H), C = (F). Đoạn mạch được mắc vào 2π π một điện áp xoay chiều có tần số f có thể thay đổi. Khi điện áp giữa hai đầu tụ điện đạt giá trị cực đại thì tần số f có giá trị là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải: U U U U Ta có U C = IZC = ZC = = = R 2 ω2 C 2 + ( ω2 LC − 1) Z 2 2 y  1 ωC R 2 +  ωL −   ωC  Với y = R 2 ω2 C 2 + ( ω2 LC − 1) , đặt ω2 = x  y = R 2 C2 x + ( LCx − 1) = L2 C2 x 2 + ( R 2 C 2 − 2LC ) x + 1 2 → 2 b 2LC − R 2 C 2 2L − R 2 C 2L − R 2 C 2L − R 2 C Do hệ số a = L2 C 2 > 0  y min ⇔ x = − → = =  2 = →ω ⇔ω= . 2L2 C 2 2L2 C 2L2 C 2L2 C 2a 10−4 2 − 1002. 2 π = 3 .1002 π 2 ≈ 100 π. 6  f = ω = 50 6 ≈ 61 Hz. Thay số ta được ω = π → −4 2  1  10 2π 2 2 4 2   π  2π Vậy UC đạt cực đại khi tần số dao động f ≈ 61 Hz. Chú ý: - Khi ω = ω1 hoặc ω = ω2 mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi đồng thời khi ω = ω0 mà công suất P cực đại (hoặc I cực đại, hoặc mạch có cộng hưởng điện) thì ta có hệ thức liên hệ giữa các đại lượng là ω0 = ω1 .ω2 ← f02 = f1 . f 2 → 2 II. ĐỘ LỆCH PHA 1. Mạch RLC có uRL vuông pha với uRC Ta có giản đồ véc tơ như hình vẽ. Từ giản đồ ta thu được một số kết quả quan trọng như sau: π ♦ Xét về độ lớn φ1 + φ 2 =  tan φ1 = cot φ 2 → 2 U U Từ đó, L = R ⇔ U 2 = U L U C ⇔ R 2 = ZL ZC R UR UC ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURLURC ta được U 2 + U RC = ( U L + U C ) 2 2 RL ♦ Cũng trong tam giác vuông OURLURC, từ công thức tính đường cao 1 1 1 1 1 1 ta được 2 = 2 + 2 ← 2 = 2 → + UR UR + U2 U2 + UC 2 U R U RL U RC L R Chú ý: Khi cuộn dây có thêm điện trở r, nếu urL vuông pha với uRC ta có U R U r = U L U C ⇔ Rr = ZL ZC 2. Mạch RLC có uRL vuông pha với u Mobile: 0985074831
§Æng ViÖt Hïng Bµi gi¶ng Dßng ®iÖn xoay chiÒu Ta có giản đồ véc tơ như hình vẽ. Từ giản đồ ta thu được một số kết quả quan trọng như sau: π ♦ Xét về độ lớn φ1 + φ 2 =  tan φ1 = cot φ 2 → 2 U UR ⇔ U 2 = U L ( U C − U L ) ⇔ R 2 = Z L ( ZC − Z L )  L = → UR UC − UL R ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURLU ta được U 2 + U 2 = U C ← U C = U 2 + U R + U L →2 2 2 2 RL ♦ Cũng trong tam giác vuông OURLU, từ công thức tính đường cao 1 1 1 1 1 1 ta được 2 = 2 + 2 ← 2 = 2 → +2 UR UR + UL U 2 U R U RL U 3. Mạch RLC có uRC vuông pha với u Ta có giản đồ véc tơ như hình vẽ. Từ giản đồ ta thu được một số kết quả quan trọng như sau: π ♦ Xét về độ lớn φ1 + φ 2 =  tan φ1 = cot φ 2 → 2 U − UC UR ⇔ U 2 = U C ( U L − U C ) ⇔ R 2 = ZC ( Z L − ZC )  L → = R UR UC ♦ Theo định lý Pitago cho tam giác vuông OURCU ta được U 2 + U 2 = U C ← U L = U 2 + U R + U C →2 2 2 2 RC ♦ Cũng trong tam giác vuông OURCU, từ công thức tính đường cao 1 1 1 1 1 1 ta được 2 = 2 + 2 ← 2 = 2 → +2 UR UR + UC U 2 U R U RC U Mobile: 0985074831