Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Các bất đẳng thức cơ bản
Bất đẳng thức Markov
Cho Xlà một BNN. Khi đó, với mọi a>0,p>0 ta có:
P[|X|>a]≤E[|X|p]
ap.
Bất đẳng thức Chebyshev
Cho Xlà một BNN. Khi đó, với mọi a>0 ta có:
P[|X−E[X]|>a]≤Var[X]
a2.
Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 2 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Các bất đẳng thức cơ bản...
Bất đẳng thức H¨
older
Cho X,Ylà hai BNN. Khi đó, với mọi p,q>0 thỏa mãn 1
p+1
q=1, ta có:
E[|X||Y|]≤(E[|X|p])1/p(E[|Y|q])1/q.
Bất đẳng thức Jensen
Cho Xlà một BNN. Khi đó, với mọi hàm lồi ϕ(x)ta có:
E[ϕ(X)] 6ϕ(E[X]).
Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 3 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Các dạng hội tụ
Cho X1,X2, ..., Xn, ... là dãy các BNN phụ thuộc vào chỉ số n. Ta nói dãy
BNN X1,X2, ..., Xn, ... được gọi là:
hội tụ hầu chắc chắn tới BNN Xkhi n→+∞nếu
P[ω∈Ω|Xn(ω)→X(ω)] = 1.
Kí hiệu: Xn
h.c.c
−→ X.
hội tụ theo xác suất tới BNN Xkhi n→+∞nếu với mọi ε > 0,
P[|Xn−X|> ε]→0 khi n→+∞.
Kí hiệu: Xn
P
−→ X.
hội tụ theo trung bình bậc p(với p>0) tới BNN Xkhi n→+∞
nếu:
E[|Xn−X|p]→0 khi n→+∞.
Kí hiệu: Xn
Lp
−→ X.
Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 4 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên...
Các dạng hội tụ
hội tụ theo phân phối tới BNN Xkhi n→+∞nếu:
FXn(x)→FX(x)khi n→+∞ ∀x∈C(FX),
với C(FX)là tập các điểm liên tục của FX(x). Kí hiệu: Xn
d
−→ X.
hội tụ yếu tới BNN Xkhi n→+∞nếu:
E[f(Xn)] →E[f(X)] khi n→+∞ ∀f(x)∈Cb(R),
với Cb(R)là tập các hàm liên tục và bị chặn trên R.
Kí hiệu: Xn
w
−→ X.
Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 5 / 42
