zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 4 - Trường ĐH Sư phạm Hà Nội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Báo xấu

16
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 4 trình bày những kiến thức về luật số lớn nhất và các định lý giới hạn. Những nội dung chính được trình bày trong chương này gồm có: Các bất đẳng thức cơ bản, các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, hàm đặc trưng, định lý giới hạn trung tâm,... Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất: Chương 4 - Trường ĐH Sư phạm Hà Nội

CHƯƠNG IV LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN Khoa Toán - Tin Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 1 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các bất đẳng thức cơ bản Bất đẳng thức Markov Cho X là một BNN. Khi đó, với mọi a > 0, p > 0 ta có: E[|X |p ] P [|X | > a] ≤ . ap Bất đẳng thức Chebyshev Cho X là một BNN. Khi đó, với mọi a > 0 ta có: Var [X ] P [|X − E[X ]| > a] ≤ . a2 Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 2 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các bất đẳng thức cơ bản... Bất đẳng thức H¨lder o 1 1 Cho X , Y là hai BNN. Khi đó, với mọi p, q > 0 thỏa mãn p + q = 1, ta có: E[|X ||Y |] ≤ (E [|X |p ])1/p (E [|Y |q ])1/q . Bất đẳng thức Jensen Cho X là một BNN. Khi đó, với mọi hàm lồi ϕ(x) ta có: E[ϕ(X )] ϕ(E[X ]). Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 3 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ Cho X1 , X2 , ..., Xn , ... là dãy các BNN phụ thuộc vào chỉ số n. Ta nói dãy BNN X1 , X2 , ..., Xn , ... được gọi là: hội tụ hầu chắc chắn tới BNN X khi n → +∞ nếu P [ω ∈ Ω|Xn (ω) → X (ω)] = 1. h.c.c Kí hiệu: Xn −→ X . hội tụ theo xác suất tới BNN X khi n → +∞ nếu với mọi ε > 0, P[|Xn − X | > ε] → 0 khi n → +∞. P Kí hiệu: Xn −→ X . hội tụ theo trung bình bậc p (với p > 0) tới BNN X khi n → +∞ nếu: E[|Xn − X |p ] → 0 khi n → +∞. Lp Kí hiệu: Xn −→ X . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 4 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Các dạng hội tụ hội tụ theo phân phối tới BNN X khi n → +∞ nếu: FXn (x) → FX (x) khi n → +∞ ∀x ∈ C (FX ), d với C (FX ) là tập các điểm liên tục của FX (x). Kí hiệu: Xn −→ X . hội tụ yếu tới BNN X khi n → +∞ nếu: E[f (Xn )] → E[f (X )] khi n → +∞ ∀f (x) ∈ Cb (R), với Cb (R) là tập các hàm liên tục và bị chặn trên R. w Kí hiệu: Xn −→ X . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 5 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Bổ đề Borel-Cantelli ∞ ∞ Cho (An ) là dãy các biến cố. Đặt: lim sup An = Ak . n=1 k=n ∞ Nếu P (An ) < ∞ thì P ( lim sup An ) = 0. n=1 ∞ Nếu (An ) là dãy các biến cố độc lập và P (An ) = ∞ thì n=1 P (lim sup An ) = 1. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 6 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Hệ quả của Bổ đề Borel-Cantelli ∞ h.c.c Nếu P [|Xn − X | > ε] < ∞ ∀ε > 0 thì Xn −→ X . n=1 ∞ h.c.c Nếu 0 < εn ↓ 0 và P [|Xn − X | > εn ] < ∞ thì Xn −→ X . n=1 ∞ Nếu εn > 0 và εn < ∞ và P [|Xn − X | > εn ] < ∞ thì n=1 h.c.c Xn −→ X . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 7 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Ví dụ Cho {Xn } là dãy các BNN có phân phối xác suất như sau: 1 1 P[Xn = 1] = ; P[Xn = 2] = 1 − . n n Chứng minh: Xn hội tụ theo bình phương trung bình. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 8 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Ví dụ Cho {Xn } là dãy các BNN có phân phối xác suất như sau: 1 1 P[Xn = 0] = 1 − ; P[Xn = n] = . n n Chứng minh: Xn hội tụ tới 0 theo xác suất nhưng không hội tụ tới 0 theo bình phương trung bình. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 9 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Ví dụ Cho {Xn } là dãy các BNN có phân phối xác suất như sau: 1 1 P[Xn = 0] = 1 − ; P[Xn = n] = 2 . n2 n 1 Chứng minh: Xn hội tụ tới 0 theo xác suất. 2 Chứng minh: Xn hội tụ tới 0 theo trung bình. 3 Chứng minh: Xn hội tụ tới 0 hầu chắc chắn. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 10 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Ví dụ Cho {Xn } là dãy các BNN độc lập có cùng phân phối đều trên đoạn [0; 1]. Đặt Yn = max Xi và Zn = min Xi . 1≤i≤n 1≤i≤n 1 Chứng minh: Yn hội tụ tới 1 theo xác suất. 2 Chứng minh: Zn hội tụ tới 0 theo xác suất. 3 Chứng minh: Yn hội tụ tới 1 hầu chắc chắn. 4 Chứng minh: Zn hội tụ tới 0 hầu chắc chắn. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 11 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Ví dụ Cho {Xn } là dãy các BNN có phân phối xác suất như sau: 1 1 P[Xn = 1] = P[Xn = −1] = ; P[Xn = 0] = 1 − . 2n n 1 Chứng minh: Xn hội tụ tới 0 theo xác suất. 2 Chứng minh: Xn không hội tụ tới 0 hầu chắc chắn. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 12 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 13 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ h.c.c P 1 Nếu Xn −→ X thì Xn −→ X . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 13 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ h.c.c P 1 Nếu Xn −→ X thì Xn −→ X . Thật vậy, với ε > 0 bất kì, ta đặt: A = ω ∈ Ω| lim Xn (ω) = X (ω) , n→∞ An = {ω ∈ Ω| |Xn (ω) − X (ω)| > ε} . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 13 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ h.c.c P 1 Nếu Xn −→ X thì Xn −→ X . Thật vậy, với ε > 0 bất kì, ta đặt: A = ω ∈ Ω| lim Xn (ω) = X (ω) , n→∞ An = {ω ∈ Ω| |Xn (ω) − X (ω)| > ε} . h.c.c Vì Xn −→ X nên P(A) = 1 ⇒ P A = 0. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 13 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ h.c.c P 1 Nếu Xn −→ X thì Xn −→ X . Thật vậy, với ε > 0 bất kì, ta đặt: A = ω ∈ Ω| lim Xn (ω) = X (ω) , n→∞ An = {ω ∈ Ω| |Xn (ω) − X (ω)| > ε} . h.c.c Vì Xn −→ X nên P(A) = 1 ⇒ P A = 0. Khi đó, với mỗi ω ∈ A, tồn tại một số nguyên dương n0 sao cho: |Xn (ω) − X (ω)| ≤ ε ∀n ≥ n0 . Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 13 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ 1 Suy ra, với mọi n ≥ n0 , ta có: ω ∈ An ⇒ A ∩ An = ∅ ⇒ P (AAn ) = 0. / Do đó, lim P (AAn ) = 0. n→∞ Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 14 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ 1 Suy ra, với mọi n ≥ n0 , ta có: ω ∈ An ⇒ A ∩ An = ∅ ⇒ P (AAn ) = 0. / Do đó, lim P (AAn ) = 0. n→∞ Mặt khác, với mọi n ≥ 1, P AAn ≤ P A = 0 ⇒ P AAn = 0. Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 14 / 42
Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên... Mối quan hệ giữa các dạng hội tụ 1 Suy ra, với mọi n ≥ n0 , ta có: ω ∈ An ⇒ A ∩ An = ∅ ⇒ P (AAn ) = 0. / Do đó, lim P (AAn ) = 0. n→∞ Mặt khác, với mọi n ≥ 1, P AAn ≤ P A = 0 ⇒ P AAn = 0. Vậy, với mọi ε > 0, ta có: P lim P (An ) = lim P [|Xn − X | > ε] = 0 ⇒ Xn −→ X . n→∞ n→∞ Khoa Toán - Tin LUẬT SỐ LỚN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN K69 14 / 42

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.