Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 2 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên; Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên; các số đặc trưng chính của đại lượng ngẫu nhiên;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất thông kê: Chương 2 - TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai

Chương 2. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1. Định nghĩa và phân loại ĐLNN • Đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên) là đại lượng mà trong kết quả của phép thử sẽ nhận một và chỉ một trong các giá trị có thể có với một xác suất tương ứng xác định. • ĐLNN được ký hiệu : X, Y, Z,… Các giá trị có thể có được ký hiệu: x, y, z,…
Ví dụ. Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo súc sắc. X nhận các giá trị có thể có: 1, 2, 3, 4, 5, 6 X là một ĐLNN. Gọi Y là trọng lượng các bao hàng do một máy tự động đóng gói. Y cũng là một đại lượng ngẫu nhiên
Ví dụ. 1. X là số máy hỏng trong 5 máy. 2. Hộp đựng 6 bút đỏ, 2 bút xanh, lấy ngẫu nhiên có hoàn lại ra từng bút cho tới khi nào lấy được bút xanh thì dừng. Y là số lần lấy bút. 3. Chiều dài mỗi chi tiết máy theo thiết kế là 3 cm, sai số cho phép là 0.01 cm. Z là chiều dài của một chi tiết máy.
Phân loại ĐLNN • Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị có thể có của nó là đếm được. • Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu tập các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng bất kỳ trên trục số thực.
• Ví dụ: X là số chấm xuất hiện khi gieo 2 con súc sắc. → X là ĐLNN rời rạc. • Y là trọng lượng các bao hàng do một máy tự động đóng gói. → Y là ĐLNN liên tục • Z là thu nhập hằng năm của người lao động Việt Nam. Tuy Z nhận giá trị rời rạc, tuy nhiên vì số giá trị nhận được là rất nhiều nên ta có thể coi Z như ĐLNN liên tục 𝑍 ∈ 0, ∞ .
2. Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN Quy luật phân phối xác suất của ĐLNN là quy tắc cho biết những giá trị có thể có của nó cùng các xác suất tương ứng. 𝑥𝑖 ↔ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 )
a) Bảng phân phối xác suất Cho X là ĐLNN rời rạc nhận các giá trị có thể có là x1, x2, …, xn … và các xác suất tương ứng p1, p2, …, pn … X x1 x2 ... xn … P p1 p2 ... pn … ∑ pi = ∑ P(X = xi) = 1
Ví dụ 1. Gieo ngẫu nhiên một đồng xu đồng chất cân đối. Gọi 𝑋 là số lần xuất hiện mặt sấp. Lập bảng phân phối xác suất của 𝑋. Ví dụ 2. Có 3 máy hoạt động độc lập với xác suất gặp sự cố trong khoảng thời gian T của mỗi máy lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3. Lập bảng phân phối xác suất của số máy gặp sự cố trong khoảng thời gian T.
b) Hàm phân phối xác suất. Hàm phân phối xác suất của ĐLNN X (rời rạc hoặc liên tục) tại điểm 𝑥, với 𝑥 là số thực bất kì, ký hiệu 𝐹(𝑥), là xác suất để ĐLNN X nhận giá trị nhỏ hơn 𝑥. 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥) ∀ 𝑥 ∈ ℝ
Tính chất. 1. 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1 ∀ 𝑥 ∈ ℝ. 2. 𝐹 𝑥 là hàm không giảm, tức là: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝐹 𝑥1 ≤ 𝐹 𝑥2 3. Nếu 𝑋 là ĐLNN rời rạc thì: 𝐹 𝑥 = ෍ 𝑝𝑖 𝑖:𝑥𝑖
Hệ quả 1. P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a) Hệ quả 2. Nếu X là ĐLNN liên tục thì: • P(X = x0 ) = 0 • P(a ≤ X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b)
Tính chất 4. lim F( x ) = F(+) = 1 lim F( x ) = F(−) = 0 x →+ x →− Hệ quả. Nếu X chỉ nhận giá trị trong [a, b] thì: • F(x) = 0 với mọi x ≤ a. • F(x) = 1 với mọi x > b.
c) Hàm mật độ xác suất. • Cho ĐLNN liên tục 𝑋 có hàm phân phối xác suất 𝐹(𝑥), nếu 𝐹(𝑥) có đạo hàm tại 𝑥 thì hàm số 𝑓 𝑥 = 𝐹′(𝑥) được gọi là hàm mật độ xác suất của ĐLNN 𝑋. • Hàm mật độ xác suất tại 𝑥0 thể hiện mức độ tập trung xác suất của các giá trị của 𝑋 xung quanh 𝑥0 .
Ví dụ. Nếu hàm phân phối của ĐLNN 𝑋 cho bởi công thức: 𝑥 1 𝑡2 −2 𝐹 𝑥 = න 𝑒 𝑑𝑡 2𝜋 −∞ Thì hàm mật độ của ĐLNN 𝑋 là: 1 −𝑥 2 𝑓 𝑥 = 𝑒 2 2𝜋
Minh họa hình học hàm phân phối và hàm mật độ
Tính chất. 1. f ( x)  0 ( x  R ) x 2. F ( x) =  f (t )dt − b 3. P(a  X  b) =  f ( x)dx a + 4.  f ( x)dx = 1 − Nếu hàm số f(x) thỏa tính chất 1 và 4 thì f(x) sẽ là hàm mật độ xác suất của một ĐLNN nào đó.
3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CHÍNH CỦA ĐLNN • Kỳ vọng toán • Mode • Phương sai • Độ lệch tiêu chuẩn
3.1. Kỳ vọng toán Kỳ vọng toán của ĐLNN 𝑋, ký hiệu 𝐸 𝑋 hoặc 𝜇, là số được xác định như sau: • 𝑋 là ĐLNN rời rạc: E ( X ) =  xi pi i + • X là ĐLNN liên tục: E( X ) =  xf ( x)dx −
Ý nghĩa của kỳ vọng toán • Kỳ vọng toán đặc trưng cho giá trị trung bình của ĐLNN theo nghĩa xác suất.
Ví dụ: Một người mua sổ xố có 100 bộ số có khả năng trúng như nhau. Nếu thắng, người đó sẽ được trả gấp 70 lần số tiền đặt cược, nếu thua người đó mất tiền cược. Hỏi giá trị kì vọng thu được từ 1$ đặt cược là bao nhiêu? Gọi 𝑋 là ĐLNN chỉ số tiền người đó có thêm (hoặc mất đi) sau mỗi lần cược. 𝐸(𝑋) = −1$ . 0,99 + 70$. 0,01 = −0,29$