Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 3 - TS. Nguyễn Mạnh Thế

Chia sẻ: Nguyễn Hoàng Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Quy luật phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên" giới thiệu các quy luật phân phối thường gặp bao gồm quy luật phân phối không – một; quy luật phân phối nhị thức; quy luật phân phối Poisson; quy luật phân phối đều; quy luật phân phối chuẩn; quy luật phân phối khi bình phương...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Bài 3 - TS. Nguyễn Mạnh Thế

BÀI À 3 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN TS N TS. Nguyễn ễ MMạnh h Thế 1 v1.0012107210
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG Tình huống Siêu thị Metro nhận thấy thời gian số lượng khách hàng phải đợi ở quầy để chờ được thanh toán là quá lâu. Siêu thị quyết q y định ị cần thêm số qquầyy p phục ụ vụ.ụ Số lượng ợ gqquầyy p phục ụ vụ sau khi nâng cấp là bao nhiêu thì hợp lý. Biết: Thời gian phục vụ trung bình 01 khách là 3 phút. Điều t trong tra t 100 giờ iờ đếm đế số ố khách khá h hàng hà đế quầy đến ầ phục h vụ trong vòng một giờ: Số khách/giờ 0 100 200 300 400 500 600 700 Số lần 13 27 27 18 9 4 1 1 2 v1.0012107210
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG (tiếp theo) Câu hỏi gợi mở Câu 1: Một quầy một giờ phục vụ được bao nhiêu khách? Câu 2: Số khách trung bình đến quầy phục vụ trong vòng 1 giờ là bao nhiêu? Câu 3: Số quầy phục vụ cần thiết là bao nhiêu? Câu 4: Nếu gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số người đến quầy phục vụ. X tuân theo phân phối gì? Câu 5: Thời gian phục vụ của mỗi khách hàng là khác nhau. Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian phục vụ của một khách hàng Y tuân theo phân phối gì? hàng. 3 v1.0012107210
TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG (tiếp theo) Kết luận 1. Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poát Xông thường được dùng để mô tả số lần xuất hiện 1 sự kiện trong một khoảng thời gian. Ví dụ: Số lượng người đến một quầy phục vụ trong một ột khoảng kh ả thời gian i cho h trước. t ướ 2. Phân phối mũ được dùng để mô hình các quá trình Poisson,, đó là các tình huống g mà khi đó một ộ đối tượng ợ g đang ở trạng thái A có thể chuyển sang trạng thái B với xác suất không đổi λ trong mỗi đơn vị thời gian. Ví dụ: d Thời giani phục h vụ 1 khách khá h hàng hà (khá h hàng (khách hà chuyển từ trạng thái chưa phục vụ sang đã phục vụ). 4 v1.0012107210
NỘI DUNG Giới thiệu các quy luật phân phối thường gặp: • Quy luật ậ phân â phối ố không ô – một; ộ • Quy luật phân phối nhị thức; • Quy luật phân phối Poisson; • Quy luật phân phối đều; • Quy luật phân phối chuẩn; • Quy luật phân phối khi bình phương; • Quy luật phân phối Student; • Quy luật phân phối Fisher – Snedecor; • Quy luật phân phối lũy thừa. 5 v1.0012107210
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT A(p) Khái hái niệm iệ Biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1 với xác suất được cho bởi công thức: P  X  x   p x q1 x trong đó q = 1 1- p. Thì X có phân phối theo quy luật 0 - 1 với tham số p: X ~ A(p) Ví dụ: Tại một phòng thí nghiệm, xác suất thành công của một thí nghiệm là 25% Chọn 25%. Ch ngẫu ẫ nhiên hiê 1 cuộc ộ thí nghiệm. hiệ Khi đó biến biế ngẫu ẫ nhiên hiê X là số ố kết quả thành công chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Vậy ậy X là àbbiến ế ngẫu gẫu nhiên ê có p phân â pphối ố A (0, (0,25). 5) P  X  1   0,25   0,75   0,25 1 0 P  X  0    0,25   0,75   0,75 0 1 6 v1.0012107210
1. QUY LUẬT PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT A(p) (tiếp theo) Các tham số đặc trưng Cho X ~ A(p), ta có: • Kì vọng: E  X   0.q  1.p  p   E X 2  02.q  12.p  p • Phương sai: V X E X    E  X  2 2  p  p2  pq • Độ lệch chuẩn: x  pq 7 v1.0012107210
2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n, p) Khái niệm Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi là có phân phối theo quy luật nhị thức với tham số n, p, ký hiệu: X~ B(n, p) nếu X nhận một trong các giá trị: 0, 0 1, 1 2,..., 2 n với xác suất ương ứng cho bởi công thức Bernoulli: p  X  x   Cnx p x qn  x trong đó: x  0,1,...,n và q  1  p 8 v1.0012107210
2. QUY LUẬT PHÂN PHỐI NHỊ THỨC B(n, p) (tiếp theo) Các tham số đặc trưng: Cho n biến ngẫu độc lập có Xi có cùng phân phối A(p) n Lập biến ngẫu nhiên X là tổng của Xi: X   X i S ra: X~B(n, Suy X B( p)) i 1 Ta có: E  X i   p ; V  X i   pq; i  1, 1 2,..., 2 n  n  n Từ đó suyy ra: E  X   E   X i    E  X i   np  i1  i1  n  n V  X   V   X i    V  X1   npq  i1  i1 9 v1.0012107210
VÍ DỤ Ví dụ: Tỷ lệ các thí nghiệm thành công trong một viện nghiên cứu là 25%. Tiến hành qquan sát 5 cuộc ộ thí nghiệm g ệ của viện ệ nghiên g cứu. Gọi ọ X là số thí nghiệm thành công trong 5 cuộc thí nghiệm đó. 1. Hãy tính P(X) 2 Tính 2. Tí h kì vọng và à phương h saii của ủ X Giải: X nhận ậ các g giá trị: ị 0,, 1,, 2,, 3,, 4,, 5 với xác suất: P  X  x   C  0.25   0.75  x x 5 x 5 E  X  =5×0.25=1.25 5×0.25 1.25 V  X  =5×0.25×0.75=0.9375 10 v1.0012107210
3. QUY LUẬT PHÂN PHỐI POISSON Khái hái niệm iệ Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số   0 Ký hiệu: X~P(λ) Nếu X nhận một trong các giá trị: 0, 1, 2,…, n,… với xác suất tương ứng cho bởi công thức: P  X  x   e  x x! Các tham số đặc trưng E  X   , V  X    Các công thức chứng minh đã được cung 11 cấp trong giáo trình v1.0012107210
4. QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU U[a, b] Khái niệm Biến ngẫu nhiên liên tục X có phân phối đều trên đoạn [a,b]. Ký hiệu: X ~ U [a,b] Nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:  1  x   a,b  f  x   b  a  x   a,b 0 ,  13 v1.0012107210
4. QUY LUẬT PHÂN PHỐI ĐỀU U[a, b] (tiếp theo) Các tham số đặc trưng: Cho biến ngẫu nhiên liên tục X ~ U[a,b] Ta có: E(X)  a  b 2 1 2 Kì vọng: E(X 2 )  (a  ab  b2 ) 2 Phương sai:  b  a 2 2 1 2 ab V  X  3   b  ab  a2     2   12 . 14 Các công thức chứng minh đã được cung cấp trong giáo trình v1.0012107210
5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N  , 2  Khái hái niệm iệ Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có quy luật phân phối chuẩn ký hiệu là X ~ N(, 2 ) nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng: 2   x   1 f x  e 2 2  2 Các tham số đặc trưng Cho X ~ N(, 2 ) Ta có E  X    V  X   2 16 v1.0012107210
5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N  , 2  (tiếp theo) Phân phối chuẩn tắc: Biến ngẫu nhiên liên tục U có phân phối theo quy luật chuẩn N(0;1) được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc. tắc Hàm mật độ xác suất của U được ký hiệu là   x  x2 1  x  e 2 2 Hàm phân phối xác suất của U được ký hiệu là   x  . x x2 1   x   e 2 dx 2  x x2 1  Trước tiên ta định nghĩa hàm  0  x  như sau:  0  x    e 2 dx 2 0 Từ đó ta thấy: 1 x  x 2 0 Giá trị của hàm   x  có thể được tra trong bảng phân phối chuẩn tắc. 17 v1.0012107210
5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N  , 2  (tiếp theo) Công thức tính xác suất: Biến ngẫu nhiên liên tục X ~ N(, 2 ) Đặt: U  X   ; Suy ra: U ~ N(0,1)  Ta có các công thức tính xác suất cho biến ngẫu nhiên có quy luật phân phối chuẩn: b  a p  a  X  b   0     0        18 v1.0012107210
5. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN N  , 2  (tiếp theo) Giá trị tới hạn chuẩn tắc Giá trị u được gọi là giá trị tới hạn chuẩn tắc mức   0    1 của biến ngẫu nhiên U nếu: P  U  u    Về mặt ặt hình hì h học, h  là diện diệ tích tí h của ủ tam giác cong giới hạn bởi đường cong hàm mật độ   x  , trục Ox, và đường thẳng x  u 19 v1.0012107210