Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 4 - Nguyễn Minh Hải

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

12
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Chương 4: Cơ sở lý thuyết mẫu, cung cấp những kiến thức như Khái niệm phương pháp mẫu; Tổng thể nghiên cứu; Mẫu ngẫu nhiên; Thống kê đặc trưng mẫu; Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng mẫu; Suy diễn thống kê. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 4 - Nguyễn Minh Hải

Chương 4. Cơ sở lý thuyết mẫu  Khái niện phương pháp mẫu  Tổng thể nghiên cứu  Mẫu ngẫu nhiên  Thống kê đặc trưng mẫu  Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng mẫu  Suy diễn thống kê 1
4.1. Khái niệm phương pháp mẫu Phương pháp mô tả Phương pháp mô tả số liệu Mẫu ngẫu Tổng nhiên thể Dấu hiệu Wn  ( X1,..., X n ) (N) X F ( x, ) Phương pháp chọn mẫu Tham số đặc trưng Thống kê đặc trưng 2
4.2. Tổng thể nghiên cứu  Mô tả tổng thể  Biến ngẫu nhiên X làm đại diện và để lượng hóa cho dấu hiệu nghiên cứu χ của tổng thể được gọi là biến ngẫu nhiên gốc, quy luật phân phối xác suất của nó gọi là quy luật phân phối gốc.  Bản chất. Biến ngẫu nhiên gốc có thể là rời rạc hoặc liên tục. 3
 Giả sử, tổng thể có kích thước là N, dấu hiệu nghiên cứu χ nhận các giá trị là: x1, x2,…, xn.  Trung bình tổng thể: N k k 1 1 m xi Ni xi pi xi E(X) N i 1 N i 1 i 1  Phương sai tổng thể: N k 2 1 1 (xi m)2 N i (xi m)2 N i 1 N i 1  Phương sai tổng thể tính bằng: k 2 1 2 Ni x2 i m2 E(X 2 ) E(X) N i 1 4
4.3. Mẫu ngẫu nhiên  Tập hợp của n biến ngẫu nhiên độc lập X1, X2,…, Xn được thành lập từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể nghiên cứu được gọi là mẫu ngẫu nhiên kích thước n, ký hiệu: Wn = (X1, X2,…, Xn). Tính chất E(X1 ) E(X 2 ) ... E(X n ) E(X) m 2 V(X1 ) V(X 2 ) ... V(X n ) V(X)  Khi thực hiện phép thử trên mẫu ngẫu nhiên W, ta thu được các giá trị x1, x2,…,xn. Tập hợp (x1, x2,…,xn ) là một mẫu cụ thể, ký hiệu: w (x1,x2 ,...,x n ) 5
 Ví dụ 4. Nghiên cứu về “ số chấm” xuất hiện khi gieo một con xúc xắc đối xứng đồng chất.  X = {1,2,3,4,5,6} - là biến ngẫu nhiên gốc (N = ∞).  Lấy một mẫu kích thước n = 4, gọi Xi (i =1,2,3,4) là số chấm xuất hiện ở lần tung thứ i (chưa xác định được).  Khi đó, các Xi (i =1,2,3,4) tạo nên một mẫu ngẫu nhiên có kích thước n = 4.  Rõ ràng: 1 21 E(X i ) (1 2 3 4 5 6) E(X), i 6 6 1 2 2 2 2 2 2 21 2 35 V(X i ) (1 2 3 4 5 6 ) ( ) V(X), i 6 6 12 6
Nếu tiến hành gieo con xúc xắc 4 lần thực sự: Lần 1 được mặt 1 chấm; Lần 2 được mặt 4 chấm; Lần 3 được mặt 3 chấm; Lần 4 được mặt 4 chấm. thì ta có một mẫu cụ thể là: w = (1,4,3,4). Nếu tiến hành phép thử khác, ta được một mẫu cụ thể khác, chẳng hạn là: w2 = (2,5,6,1) Kết luận: ??? Có thể có rất nhiều mẫu cụ thể, tùy thuộc vào kết quả phép thử. 7
: 4.4. Thống kê đặc trưng mẫu  Thống kê là một hàm bất kỳ của mẫu ngẫu nhiên.  Thống kê là một biến ngẫu nhiên nên tuân theo một quy luật phân phối xác suất nhất định. 8
: Trung bình mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên được xây dựng từ biến ngẫu nhiên gốc X: Wn = (X1, X2,…, Xn)  Trung bình mẫu là một thống kê, ký hiệu là X là trung bình số học của các giá trị mẫu: n 1 X Xi n i 1  Nếu biến ngẫu nhiên gốc X có kỳ vọng toán E(X) = m và phương sai V(X) = σ2 thì: 2 E(X) m,V(X) n 9
; ; Tổng bình phương các sai lệch giữa các giá trị trong mẫu với trung bình mẫu ký hiệu là SS và bằng: n SS   ( X i  X )2 i 1 Độ lệch bình phương trung bình: 1 n SS MS   ( X i  X )  X  ( X ) , MS  2 2 2 n i 1 n Nếu biến ngẫu nhiên gốc X có: E( X )  m , V ( X )   thì: 2 n 1 2 E ( MS )   n 10
 Phương sai mẫu, ký hiệu là S2 và bằng 1 n 1 k  ( X i  X )  n  1[ ni X i  nX ] 2 S  2 2 2 n  1 i 1 i 1 n S  2 MS  Ta có: n 1  n  n E (S )  E  2 MS   E (MS )  V ( X )   2  n 1  n 1  Phương sai mẫu S*2 1 n S *2   ( X i m)2 , E (S *2 )   2 n i 1 11
4.5.Quy luật phân phối xác suất của một số thống kê đặc trưng mẫu: X N (; 2 ) 2  Trung bình mẫu: X N ( , ) n (n  1) S 2  Phương sai mẫu:   2  2  2 (n  1) 2 ( X  ) T n T T ( n1) S  Tần suất mẫu: X A( p) n p(1  p) X i f N ( p, ), f  i 1 n n 12
4.6. Suy diễn thống kê Giả sử, X ~ N(μ, σ2) với μ và σ2 cho trước. Ba thống kê cơ bản thường suy diễn là:  Trung bình mẫu;  Phương sai mẫu;  Tần suất mẫu. sẽ nằm trong khoảng nào? Tối đa và tối thiểu là bao nhiêu? Với một mức xác suất cho trước. 13
 Suy diễn về giá trị trung bình mẫu Ta có thống kê: ( X  ) n U N (0,1)  Với xác suất 1- α, có thể tìm được các giá trị 1 ,2 : 1  2   và tìm được các giá trị tới hạn chuẩn u11 , u2 sao cho : P(u11  U  u2 )  1   Khi đó ta có:   P(   u  X    1 u )  1   2 n n Khoảng đối xứng, khoảng tối đa, khoảng tối thiểu cho trung bình mẫu ??? 14
 Suy diễn về phương sai mẫu Ta có thống kê: 2 (n 1)S 2 2(n 1) 2 Với xác suất 1- α, có thể tìm được các giá trị 1 ,2 : 1  2   và tìm được các giá trị tới hạn chuẩn 12( 1) ,  n1) sao cho : P  1 1)  2  2( n   1   1 n 2( 2 2( n 1 2 1) Khi đó ta có:   2 2( n1)  2 2( n1)  P 11  S 2  2   1    n 1 n 1  Khoảng hai phía, khoảng tối đa, khoảng tối thiểu cho phương sai mẫu ??? 15
 Ví dụ 1. Biết điểm thi môn xác suất thống kê của sinh viên là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình là 6,5 điểm và phương sai là 0,81 điểm2. Với một tập hợp ngẫu nhiên gồm 40 sinh viên và mức xác suất là 95% cho trước, trả lời các câu hỏi sau: 1. Điểm trung bình môn học của các sinh viên nằm trong khoảng nào? 2. Phương sai và độ lệch chuẩn điểm số của các sinh viên tối đa là bao nhiêu? 16
 Suy diễn về tần suất mẫu (n ≥ 100) Ta có thống kê: (f p) n U N(0,1) p(1 p) Với xác suất 1- α, có thể tìm được các giá trị 1 ,2 : 1  2   và tìm được các giá trị tới hạn chuẩn u11 , u2 sao cho : P(u11  U  u2 )  1   Khi đó ta có:  p(1  p) p(1  p)  P p  u1  f  p  u2   1      n n  Khoảng đối xứng, khoảng tối đa, khoảng tối thiểu cho trung bình mẫu ??? 17
 Ví dụ 2. Giả sử xác suất sinh sinh con trai tự nhiên là 0,5; chọn ngẫu nhiên 100 trẻ sơ sinh, với xác suất 95%.  1. Tỷ lệ sinh cháu trai tối thiểu là bao nhiêu?  2. Có tối thiểu bao nhiêu con trai? 18