intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Một số vấn đề chọn lọc trong toán dành cho kỹ sư: Phần 2 - Nguyễn Linh Giang (tt)

Chia sẻ: Nhân Sinh ảo ảnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST
Báo xấu
200
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Một số vấn đề chọn lọc trong toán dành cho kỹ sư - Phần 2: Xác suất và thống kê" cung cấp cho sinh viên các kiến thức: Hàm của hai biến ngẫu nhiên, ước lượng tham số và sai số thống kê, cơ sở thống kê toán học, các quá trình ngẫu nhiên. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Một số vấn đề chọn lọc trong toán dành cho kỹ sư: Phần 2 - Nguyễn Linh Giang (tt)

  1. Một số vấn đề chọn lọc trong toán cho kỹ sư Nguyễn Linh Giang Viện CNTT&TT
  2. Phần II. Xác suất và thống kê † Mô tả khóa học „ Dành cho sinh viên đại học „ Xây dựng các mô hình xác suất và cơ sở thống kê „ Phân tích sự bất định „ Suy diễn thống kê „ Phân tích số liệu thực nghiệm
  3. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên † Hai biến ngẫu nhiên „ X và Y là hai biến ngẫu nhiên trên , ta có: P ( x 1 < X (ξ ) ≤ x 2 ) = F X ( x 2 ) − F X ( x 1 ) = x2 ∫x1 f X ( x ) dx , P ( y 1 < Y (ξ ) ≤ y 2 ) = FY ( y 2 ) − FY ( y 1 ) = y2 ∫ y1 f Y ( y ) dy . „ Xác suất của cặp (X, Y) trên một miền bất kỳ D bằng bao nhiêu ? P[( x1 < X (ξ ) ≤ x2 ) ∩ ( y1 < Y (ξ ) ≤ y2 )] = ?
  4. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Hàm phân bố xác suất liên hợp của X và Y, với x và y là hai số thực bất kỳ: FXY ( x, y ) = P[( X (ξ ) ≤ x ) ∩ (Y (ξ ) ≤ y )] = P( X ≤ x, Y ≤ y ) ≥ 0, † Tính chất: FXY ( −∞, y ) = FXY ( x,−∞) = 0, FXY ( +∞,+∞) = 1. P ( x 1 < X (ξ ) ≤ x 2 , Y (ξ ) ≤ y ) = F XY ( x 2 , y ) − F XY ( x 1 , y ). P ( X (ξ ) ≤ x , y 1 < Y (ξ ) ≤ y 2 ) = F XY ( x , y 2 ) − F XY ( x , y 1 ).
  5. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên † Tính chất P ( x1 < X (ξ ) ≤ x2 , y1 < Y (ξ ) ≤ y2 ) = FXY ( x2 , y2 ) − FXY ( x2 , y1 ) − FXY ( x1 , y2 ) + FXY ( x1 , y1 ). „ Hàm mật độ phân bố xác suất liên hợp ∂ 2 FXY ( x , y ) f XY ( x , y ) = . ∂x ∂y x y F XY ( x , y ) = ∫ ∫ −∞ −∞ f XY ( u , v ) dudv . +∞ +∞ ∫ ∫ −∞ −∞ f XY ( x , y ) dxdy = 1 .
  6. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Xác suất để cặp (X, Y) trong một miền D nào đó: P ( x < X (ξ ) ≤ x + Δx, y < Y (ξ ) ≤ y + Δy ) = FXY ( x + Δx, y + Δy ) Y − FXY ( x, y + Δy ) − FXY ( x + Δx, y ) + FXY ( x, y ) x + Δx y + Δy =∫ ∫ f XY (u, v )dudv = f XY ( x, y )ΔxΔy. D Δy x y Δx P (( X , Y ) ∈ D ) = ∫ ∫ f XY ( x, y )dxdy. ( x , y )∈D X † Các thống kê biên FX ( x ) = FXY ( x , +∞ ), FY ( y ) = FXY ( +∞ , y ). +∞ +∞ f X ( x ) = ∫ f XY ( x , y ) dy , f Y ( y ) = ∫ f XY ( x , y ) dx . −∞ −∞
  7. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên † Đạo hàm của hàm dưới dấu tích phân b( x ) H ( x) = ∫ a(x) h ( x , y ) dy . dH ( x ) db( x ) da ( x ) b ( x ) ∂h ( x , y ) = h ( x , b) − h( x, a ) + ∫ dy. dx dx dx a ( x ) ∂x
  8. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Trường hợp rời rạc † X, Y: các biến ngẫu nhiên rời rạc † pij = P(X = xi, Y = yj) là hàm phân bố liên hợp † Các hàm phân bố biên là: P( X = xi ) = ∑ P( X = xi , Y = y j ) = ∑ pij j j ∑ p ij P(Y = y j ) = ∑ P( X = xi , Y = y j ) = ∑ pij i p11 p12 L p1 j L p1n i i p21 p22 L p2 j L p2 n † Hàm mật độ phân bố biên: M M M M M M ∑ j p ij pi1 pi 2 L pij L pin M M M M M M p m1 pm 2 L pmj L pmn
  9. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên Y „ Ví dụ † Cho các biến ngẫu nhiên X, Y với 1 y ⎧ c, 0 < x < y < 1, f XY ( x , y ) = ⎨ X ⎩ 0, 0otherwise . 1 † Xác định các hàm mật độ biên fX(x) và fY(y) † Giải: +∞ +∞ „ Ta có: do ∫ ∫ −∞ −∞ f XY ( x, y ) dxdy = 1. 2 1 +∞ +∞ ⎛1 y ⎞ 1 cy c ∫ ∫ −∞ −∞ f XY ( x, y )dxdy = ∫ ⎜ ∫ c ⋅ dx ⎟dy = ∫ cydy = y =0 ⎝ x =0 ⎠ y =0 2 = =1⇒ c = 2 2 0 „ Từ đó: +∞ 1 f X ( x) = ∫ −∞ f XY ( x , y ) dy = ∫ y=x 2 dy = 2 (1 − x ), 0 < x < 1, +∞ y fY ( y ) = ∫ −∞ f XY ( x , y ) dx = ∫ x =0 2 dx = 2 y , 0 < y < 1.
  10. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Ví dụ: X và Y là hai biến ngẫu nhiên Gauss có hàm mật độ phân bố liên hợp: N ( μ , μ , σ 2 , σ 2 , ρ ). X Y X Y −1 ⎛⎜ ( x − μ X ) 2 2 ρ ( x − μ X )( y − μY ) ( y − μY ) 2 ⎞ ⎟ − + 1 2 (1− ρ 2 ) ⎜⎝ σ X2 σ XσY σ Y2 ⎟ f XY ( x, y ) = e ⎠ , 2πσ X σ Y 1 − ρ 2 − ∞ < x < +∞, − ∞ < y < +∞, | ρ |< 1.b † Các hàm mật độ biên sẽ là: +∞ 1 ∫ 2 2 fX ( x) = f XY ( x , y ) dy = e −( x− μ X ) / 2σ X N ( μ X , σ X2 ), −∞ 2 πσ 2 X +∞ 1 ∫ 2 / 2 σ Y2 fY ( y ) = f XY ( x , y ) dx = e − ( y − μY ) N ( μ Y , σ Y2 ), −∞ 2 πσ 2 Y
  11. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Các biến ngẫu nhiên độc lập † Hai biến ngẫu nhiên X và Y được coi là độc lập thống kê nếu hai sự kiện {X(ξ)∈A} và {Y(ξ)∈B} là độc lập đối với hai tập A, B bất kỳ trên trục x và y. † Đối với hai sự kiện: {X(ξ)≤x} và {Y(ξ)≤y}, nếu hai biến ngẫu nhiên X và Y là độc lập, sẽ có: P (( X (ξ ) ≤ x ) ∩ (Y (ξ ) ≤ y ) ) = P ( X (ξ ) ≤ x ) P (Y (ξ ) ≤ y ) FXY ( x , y ) = FX ( x ) FY ( y ) f XY ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y ). † Trong trường hợp rời rạc: P( X = xi , Y = y j ) = P( X = xi ) P(Y = y j ) for all i, j.
  12. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên † Ví dụ: Cho fXY(x, y), xác định xem X, Y có độc lập hay không. ⎧ xy 2e − y , 0 < y < ∞, 0 < x < 1, f XY ( x, y ) = ⎨ ⎩ 0, otherwise. „ Giải: tính fX(x), fY(y) và kiểm tra hệ thức: fXY(x, y)= fX(x)fY(y) +∞ ∞ f X ( x) = ∫ 0 f XY ( x , y ) dy = x ∫ 0 y 2 e − y dy = x ⎛⎜ − 2 ye − y ye − y dy ⎞⎟ = 2 x , 0 < x < 1 . ∞ ∞ + 2∫ ⎝ 0 0 ⎠ 1 y2 −y f Y ( y ) = ∫ f XY ( x , y ) dx = e , 0 < y < ∞. 0 2 f XY ( x , y ) = f X ( x ) fY ( y ),
  13. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên † Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên và g(x, y) „ Biến Z = g(X, Y), xác định fZ(z) theo fXY(x, y) „ Ta có: FZ ( z ) = P (Z (ξ ) ≤ z ) = P (g ( X , Y ) ≤ z ) = P[( X , Y ) ∈ Dz ] =∫ ∫ f XY ( x, y )dxdy , x , y∈Dz Y † DZ là miền trong không gian x, y sao cho g(x, y)≤z Dz Dz X
  14. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Ví dụ: Z = X+Y, xác đinh fZ(z) † Lấy đạo hàm Fb(z), ta sẽ có fZ(z)b +∞ z− y FZ ( z ) = P ( X + Y ≤ z ) = ∫ ∫ f XY ( x, y )dxdy , y = −∞ x = −∞ b( z) H (z) = ∫ a(z) h ( x , z ) dx . dH ( z ) db ( z ) da ( z ) b ( z ) ∂h ( x , z ) = h (b( z ), z ) − h (a ( z ), z ) + ∫ dx . dz dz dz a ( z ) ∂z ⎛ ∂ z− y +∞ ⎛ z − y ∂f ⎞ XY ( x, y ) ⎞ +∞ f Z ( z) = ∫ ⎜ ∫ f XY ( x, y )dx ⎟ dy = ∫ ⎜ f XY ( z − y, y ) − 0 + ∫ ⎟ dy −∞ ∂z −∞ ∂z ⎝ ⎠ −∞ ⎝ −∞ ⎠ +∞ =∫ f XY ( z − y, y )dy. −∞
  15. 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Ví dụ: X, Y là hai biếnngẫu nhiên hàm mũ độc lập với cùng tham số λ. Xác định hàm mật độ fZ(z) của Z = X+Y. f X ( x ) = λe − λxU ( x ), fY ( y ) = λe − λyU ( y ), z z ∫ ∫ − λx −λ ( z− x ) − λz fZ (z) = λe 2 e dx = λ e 2 dx = z λ 2 e − λ zU ( z ). 0 0
  16. Moment liên hợp và hàm đặc tính liên hợp -Mô tả các tham số biểu diễn thông tin trong hàm phân bố liên hợp của hai đại lượng ngẫu nhiên. -Cho hai biến ngẫu nhiên X và Y và hàm hai biến g ( x, y ), Xác định biến ngẫu nhiên Z: Z = g ( X ,Y ) Ta có kỳ vọng của Z: +∞ μZ = E (Z ) = ∫ −∞ z f Z ( z ) dz .
  17. Theo định nghĩa hàm của biến ngẫu nhiên, ta sẽ xác định hàm của Z Z = g( X ,Y ) tính theo các đặc trưng của XY f XY ( x, y) mà không phải tính f Z (z). P (z < Z ≤ z + Δ z ) = f Z ( z ) Δ z = P (z < g ( X , Y ) ≤ z + Δ z ) = ∑ ∑f ( x , y )∈D Δ z XY ( x , y ) ΔxΔy Trong đó DΔz là vùng không gian trong mặt phẳng xy thỏa mãn bất đẳng thức trên. Ta có: z f Z ( z )Δz = g ( x, y )∑ ∑ f XY ( x , y ) Δ x Δ y . ( x , y )∈ D Δ z .
  18. Lấy tích phân, ta có +∞ +∞ +∞ E(Z ) = ∫ z f Z ( z )dz = ∫ ∫ g ( x, y ) f XY ( x, y )dxdy. −∞ −∞ −∞ Hay: +∞ +∞ E[ g ( X , Y )] = ∫ ∫ g ( x, y ) f XY ( x, y )dxdy. −∞ −∞ Nếu X và Y là rời rạc, E[ g ( X , Y )] = ∑∑ g ( xi , y j ) P( X = xi , Y = y j ). i j Vì kỳ vọng là toán tử tuyến tính, ta có ⎛ ⎞ E ⎜ ∑ ak gk ( X , Y ) ⎟ = ∑ ak E[ gk ( X , Y )]. ⎝ k ⎠ k
  19. Nếu X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập,Z = g ( X ) W = h (Y ) +∞ +∞ E[ g ( X )h(Y )] = ∫ ∫ g ( x)h( y ) f X ( x) fY ( y )dxdy −∞ −∞ +∞ +∞ = ∫ g ( x) f X ( x)dx ∫ h( y ) fY ( y )dy = E[ g ( X )]E[h(Y )]. −∞ −∞
  20. Hiệp biến: Cho hai biến ngẫu nhiên bất kỳ X và Y Cov ( X , Y ) = E [( X − μ X ) (Y − μ Y ) ] . Ta có: Cov ( X , Y ) = E ( XY ) − μ X μ Y = E ( XY ) − E ( X ) E (Y ) ____ __ __ = XY − X Y . Ta thấy Cov ( X , Y ) ≤ Var ( X )Var (Y ) . Nếu U = aX + Y , thì [ Var (U ) = E {a ( X − μ X ) + ( Y − μ Y ) } 2 ] = a 2Var ( X ) + 2 a Cov ( X , Y ) + Var ( Y ) ≥ 0 .
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2