Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

649
lượt xem 119
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 trình bày phương pháp giải gần đúng phương trình phi tuyến f(x) = 0. Các nội dung cụ thể được trình bày trong chương bao gồm: Khái niệm tổng quát, công thức sai số, phương pháp chia đôi, phương pháp lặp đơn, phương pháp Newton (tiếp tuyến), hệ phương trình phi tuyến, phương pháp Newton – Raphson.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính: Chương 1 - TS. Nguyễn Quốc Lân

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK2 0506 CHƯƠNG 1 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN f(x) = 0 • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (02/2006)
NỘI DUNG --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1– KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT. CÔNG THỨC SAI SỐ 2– PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI 3– PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN 4– PHƯƠNG PHÁP NEWTON (TIẾP TUYẾN) 5– HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN. PHƯƠNG PHÁP NEWTON – RAPHSON.
1. KHÁI NIỆM TỔNG QUÁT – CÔNG THỨC SAI SỐ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phương trình f(x) = 0 (1), f: hàm số liên tục, có đạo hàm Khoảng cách ly nghiệm: Đoạn [a, b] (hoặc khoảng (a, b) ), trên đó phương trình (1) có nghiệm α duy nhất VD: Phương trình x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm: ĐK đủ: [a, b] là KCLN của (1) khi  Đạo hàm f’ không đổi dấu trên đoạn (hoặc khoảng) (a,b)  f(a).f(b) < 0 (giá trị 2 đầu trái dấu) Tìm KCLN: Tính f’, lập bảng biến thiên; Cách 2: Đồ thị (máy!)
CÔNG THỨC SAI SỐ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Công thức sai số tổng quát: Phương trình f(x) = 0 (1) với nghiệm chính xác α trên khoảng cách ly nghiệm [a, b]  x ∈ [ a, b] : Nghieäm ñuùng bieát gaàn ñaõ f ( x)  ⇒ x −α ≤  f ' ( x ) ≥ m > 0 ∀ x ∈ [ a, b] ⇔ m = min f ' ( x ) m1   1 1 [ a ,b ] VD: P/trình f(x) = x – cosx = 0 có khoảng cách ly nghiệm [0,1] a / 0.00014 ? Nếu chọn nghiệm gần đúng x = 0.739 ⇒ ∆ x :  b / 0.00015 ? Giải: Ghi nhớ: Sai số luôn làm tròn lên
PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ý tưởng: Liên tục chia đôi khoảng cách ly nghiệm f(x) = 0 trên KCL nghiệm [a, b]. Ký hiệu: a0 = a, b0 = b ⇒ f(a0).f(b0) < 0. Chia đôi: c0 = (a0 + b0)/2 ⇒ KCL nghiệm mới? a0 c0 b0 a0 c0 b0 f(a0).f(c0) < 0: KCL mới [a0, c0] f(c0).f(b0) < 0 → [c0, b0] Dừng với nghiệm xấp xỉ x = cn (trung điểm ở hàng thứ n) ( b − a )  log  b−a  ε  −1  Công thức sai số: x − α ≤ n +1 ≤ ε ⇔ n ≥ 2 log 2
VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xấp xỉ nghiệm của phương trình f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] với sai số 0.2 Giải: Lập bảng chứa mọi kết quả trung gian cần thiết n an bn cn εn Tìm n để có thể xấp xỉ nghiệm f(x) = x – cosx = 0 trên khoảng cách ly nghiệm [0, 1] bằng phương pháp chia đôi, sai số 10-8
DÃY LẶP ĐƠN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Dãy lặp đơn: Dãy{xn } xác định xn+1 = ϕ(xn), ϕ(x): hàm lặp VD: Kiểm tra những dãy sau có là lặp đơn? Nếu có, viết ra hàm lặp ϕ. Tính 5 số hạng đầu của dãy (x0 bất kỳ). Từ đó, đoán tính hội tụ? Tìm liên hệ giữa giới hạn dãy và hàm lặp ϕ  xn  a / xn +1 = cos  n xn n zn  10  0 0 b / yn +1 = 3 ny n 1 1 zn c / z n +1 = + 1 2 2 15 Dãy lặp đơn xn = ϕ(xn-1) hội tụ về α ⇒ α là nghiệm p/t x = ϕ(x)
DÃY LẶP ĐƠN HỘI TỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Minh hoạ sự hội tụ của dãy lặp đơn: xn+1 = ϕ(xn) = axn + b Dãy lặp hội tụ về nghiệm p/trình: x = ϕ(x) ⇒ α = b/(1 – a)
DÃY LẶP ĐƠN PHÂN KỲ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Phân kỳ Hội tụ khi dãy {xn} “co” lại ⇒ x2 − x1 = ϕ ( x1 ) − ϕ ( x0 ) ≤ q x1 − x0
HÀM CO ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Hàm y = ϕ(x) co trên [a, b] với hệ số co q ⇔ ∃ q, 0 < q < 1: ∀ x, y ∈ [ a , b ] : ϕ ( x ) − ϕ ( y ) ≤ q x − y |ϕ’(x)| ≤ q < 1 ∀ x∈[a, b] ⇒ ϕ(x) co trên [a, b] với hệ số co q VD: Hàm y = x2 co trên [-1/4, 1/4]??? VD: Trong những hàm sau đây, hàm nào thoả điều kiện co? Xác định hằng số q với các hàm co đó a / ϕ ( x ) = cos x , x ∈ [ 0,1] b / ϕ ( x ) = arcsin x , x ∈ R 1 c / ϕ ( x ) = 2 + 1 , x ∈ [ a, b] , 0 < a < b x
PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Ph. trình f(x) = 0. Xác định khoảng cách ly nghiệm [a, b]  Đưa pt f(x) = 0 về dạng lặp đơn x = ϕ(x), ϕ co trên [a, b] Lấy x0 bất kỳ ∈ [a,b] ⇒ Dãy lặp xn+1 = ϕ(xn) → α Chú ý: Nhiều cách chọn hàm ϕ ⇒ càng đơn giản càng tốt Ước lượng sai số (q: hệ số co của hàm lặp đơn ϕ(x) ) qn Số lần lặp tối Tiên nghiệm: xn − α ≤ x1 − x0 1− q q thiểxn − α ≤ ε ⇔ u: Hậu nghiệm: xn − α ≤ xn − xn −1 1− q log[ ε (1 − q ) x1 − x0 ] n≥ log q
VÍ DỤ PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Xấp xỉ nghiệm ptrình f(x) = x3 + x – 1000 = 0 với sai số 10-8 Giải: Khoảng cách ly nghiệm Lặp đơn: x = 1000 – x3 = ϕ(x): Kiểm tra điều kiện co? Xây dựng hàm lặp mới: x = 3 1000 − x = ϕ ( x ) ⇒ Hàm co?  x0 ∈ [ 9,10] Dãy lặp:   xn +1 = ϕ ( xn ) = 3 1000 − xn Sai số: n xn εn q xn − α ≤ xn − xn −1 0 1− q
CẢI TIẾN PHƯƠNG PHÁP LẶP ĐƠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nhận xét: q = 0.0034
PHƯƠNG PHÁP LẶP NEWTON (TIẾP TUYẾN) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f ( x) f(x) = 0 ⇔ Dạng lặp đơn x = g ( x ) = x − : hội tụ nhanh f ' ( x) f ( xn ) •Công thức lặp Newton: xn+1 = g ( xn ) = xn − f ' ( xn ) •Minh hoạ hình học:
ĐIỀU KIỆN LẶP NEWTON – SAI SỐ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- • • • • Lặp Newton thất bại: • • • Điều kiện hội1/ Đhàm f’, f” không đổi dấu trên [a, b] tụGiá trị lặp ban đầu thoả: f(x0) . f’’(x0) > 0 (ĐK Fourier) 2/ : •Ước lượng sai số : Công thức tổng quát (chủ yếu) hoặc ≤ M 2 ( xn − xn −1 ) 2 , M 2 = max f " •(Phức xn − α tạp 2m1 [ a ,b ] hơn)
VÍ DỤ LẶP NEWTON – TIẾP TUYẾN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải xấp xỉ f(x) = x – cosx = 0 trên [0, 1], sai số 10–8 1/ Kiểm tra điều kiện hội tụ 2/ Xây dựng dãy lặp: Sai số : n xn εn 0 1
HỆ PHI TUYẾN – PP NEWTON – RAPHSON -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Minh hoạ : Hệ 2 phương trình, 2 ẩn  f1 ( x1 , x2 ) = 0  f1  2  x1   ⇔ f ( x) = 0 , f =   : R → R , x =   2  f 2 ( x1 , x2 ) = 0  f2   x2  ∂f ∂f1  Ký hiệu ma trận f’(x)  1 ⇒ Có thể tính “giá  ∂x ∂x  (ma trận Jacobi): f ' ( x) =  1 2  trị” f’(x(0)) tại “điểm”  ∂f 2 ∂f 2   ∂x1 ∂x2  x(0) cho trước   Ký hiệu: x ( k ) = [ x1k , x2 ] : Bộ nghiệm gần đúng ở bước thứ k k Xem x(k) đã biết. Tính x(k+1): giải thuật Newton - Raphson 1/ Tính ma trận A = f’(x(k)) (thay x(k) vào) & vectơ b = –f(x(k)) 2/ Giải hệ p/tr (bằng máy bỏ túi) Ah = b. Tính x(k+1) = x(k) + h
VÍ DỤ LẶP NEWTON – RAPHSON VỚI HỆ PHI TUYẾN -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm nghiệm gần đúng x(1) của hệ phi tuyến sau với 3 chữ số lẻ:  f1 ( x1 , x2 ) ≡ x1 + 3 ln x1 − x2 = 0  2  , x ( 0) = [1.5,−1.5] T  f 2 ( x1 , x2 ) ≡ 2 x1 − x1 x2 − 5 x1 + 1 = 0  2 Giải: Ma trận A = f’(x) b “nhỏ”: x(k) gần nghiệm n x(n) Ma traän Jacobian A Vectô –f(x(n) ) Vectô h 1.5 0 − 1 .5
ỨNG DỤNG THỰC TẾ: LÝ THUYẾT MẠCH --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Mạch điện: Nguồn (pin) V0, Điện trở R, Tụ C, Cảm ứng L C R di q U R = iR, U L = L , U C = dt C i di q Kirchhoff: L + Ri + = 0 V0 L dt C dq d 2q dq q i= ⇒ L 2 +R + =0 dt dt dt C − Rt  1  R 2  Nghiệm: q( t ) = q0 e 2L cos −   t  , q0 = V0C  LC  2 L     Tìm R (L, C đã biết) để năng lượng tiêu hao của mạch có vận tốc cho trước: q/q0 = 0.01 với t = 0.05s, L = 5H, C = 10–4 F
LỜI GIẢI VÍ DỤ THỰC TẾ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Biến đổi phương trình thu được (ẩn R) − Rt  1  R 2  q f ( R ) = e 2 L cos −  t − = 0  LC  2 L   q0   [ ⇔ f ( R ) = e −0.005 R cos 2000 − 0.01R 2 ⋅ ( 0.05) − 0.01 = 0 ] Khoảng cách ly nghiệm: R ∈ [0, 400 Ω ] (2000 – 0.01R2 ≥ 0) Giải thực tế: Đồ thị P/p chia đôi (n = 21) P/p Newton ⇒ R = 328.1515 Ω