1
Bài giảng của thầy Thạc sỹ: Đỗ Thanh Sơn, chuyên viên Hình học
Chương I Véc tơ trong không gian.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.Ðịnh nghĩa véc tơ.
Véc tơ là một đoạn thẳng có quy định một chiều.Chiều của véc tơ là thứ tự hai đầu
mút của đoạn thẳng.Ðầu mút thứ nhất được gọi là điểm đầu hoặc điểm gốc, đầu mút
thứ hai được gọi là điểm cuối hoặc điểm ngọn.Ðộ dài của đoạn thẳng là độ dài véc
tơ.Ðường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc tơ được gọi là phương của véc
tơ.
Véc tơ được ký hiệu bằng một trong hai cách sau: Dùng hai chữ in la tinh viết liền
nhau
→
và phía trên hai chữ đó ta đặt một mũi tên,chẳng hạn AB (đọc là véc tơAB), chữ A chỉ
→
gốc, chữ B chỉ ngọn của véc tơ.Ðộ dài véc tơ đó được ký hiệu AB hoặcAB.Một
cách
→
khác là dùng một chữ thường và phía trên đặt một mũi tên, chẳng hạn U (đọc là véc tơ
→
U ).Ðộ dài của véc tơ đó được ký hiệu là U hoặc U.
Véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc tơ không.Véc tơ không
→
có độ dài bằng 0, phương và chiều không xác định.Véc tơ không được ký hiệu AA
hoặc
→
0 .
2.Quan hệ của các véc tơ trong không gian.
Hai véc tơ đồng phương hoặc không đồng phương
→ → →
Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là đồng phương,nếu chúng nằm trên cùng một
đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.Ta ký hiệu U // V.
→ → →
Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là không đồng phương,nếu chúng nằm trên hai
→ →
đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.Ta ký hiệu U // V.
→
Hiển nhiên nếu hai véc tơ (khac 0) cùng đồng phương với một véc tơ thứ ba (khác
→ →
0 ), thì hai véc tơ đó đồng phương.Ta quy ước một véc tơ 0 luôn cùng phương với
một véc tơ khác không.
2
Hai véc tơ cùng chiều hoặc ngược chiều
→ → → → →
Cho hai véc tơ khác 0 và đồng phương U , V.Khi đó tồn tại một mặt phẳng P chứa U,
V.
→ →
Nếu trong P cả hai véc tơ đó cùng chiều, thì ta nói U và V cùng chiều trong không
gian.
→ →
Nếu trong P cả hai véc tơ đó ngược chiều, thì ta nói U và V ngược chiều trong không
gian.
→ →
Hiển nhiên hai véc tơ khác 0 cùng chiều với một véc tơ thứ ba (khác 0), thì hai véc
tơ đó cùng chiều.Nếu một trong hai véc tơ cùng chiều với véc tơ thứ ba, véc tơ còn lại
ngược chiều với véc tơ thứ ba, thì hai véc tơ ngược chiều.
→ → → →
Ta ký hiệu hai véc tơ U , V cùng chiều là U ↑↑ V.Nếu hai véc tơ đó ngược chiều,
thì
→ →
được ký hiệu là U ↑↓ V. Ta quy định một véc tơ không luôn cùng chiều với một véc tơ
khác không.
Hai véc tơ bằng nhau hoặc hai véc tơ đối nhau
→ → → →
Hai véc tơ U, V được gọi là bằng nhau và được ký hiệu U = V, nếu chúng cùng
chiều và cùng độ dài.
→ → → →
Hai véc tơ U, V được gọi là đối nhau và được ký hiệu U = - V, nếu chúng ngược
chiều và cùng độ dài.
Ba véc tơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng
→ → →
Cho các véc tơ khác không : U , V , W. Nếu chúng cùng nằm trong một mặt
phẳng
→ → →
hoặc nằm trong các mặt phẳng song song, thì ta nói U , V, W đồng phẳng. Nếu ba véc
tơ không có các tính chất đó, thì ta nói ba véc tơ không đồng phẳng.
→ → →
Từ định nghĩa ta suy ra rằng, nếu U, V, W đồng phẳng, thì luôn tồn tại một mặt
→ → →
phẳngP mà trong đó ta dựng được các véc tơ U’, V’, W’ bằng các véc tơ đã cho. Nếu
→ → →
các véc tơ đó không đồng phẳng và nếu P chứa các véc tơ U’, V’ thì P không chứa W’
→
3
hoặc song song với W’.
3.Các phép toán véc tơ.
Phép cộng véc tơ.
Ðịnh nghĩa.
→ → → → →
Cho hai véc tơ U, V.Tổng của U và V là véc tơ a được xác định theo quy tắc
sau(quy tắc tam giác).Từ một điểm A bất kỳ trong không gian ta đặt liên tiếp các véc tơ
→ → → → → → → →
AB = U và BC =V. Véc tơ AC là tổng của hai véc tơ đã cho và ta ký hiệu a = U + V.
Tính chất
→ → → → → → → → → → → → → → → →
i) U + 0 = U ; ii) U + (-U) = 0; iii) U + V = V + U ; iv) ( U + V)+W = U+( V + W).
Trường hợp tổng của nhiều véc tơ
→ → → →
Cho n véc tơ U1,U2,..,Un.Tổng của n véc tơ đó là một véc tơ U’ được xác định theo
quy tắc sau ( quy tắc đường gấp khúc):
→ → → →
Từ một điểm A0 bất kỳ ta dựng liên tiếp các véc tơ A
0A1, A1A2, A2A3,…, An-
1An.Véc
→ → → → → →
tơ A0An là tổng của n véc tơ đã cho và được ký hiệu U’ = U1+U2 + U3 +…+ Un.
Phép trừ hai véc tơ.
Ðịnh nghĩa.
→ → → → → → → → →
Hiệu của U và V là một véc tơ W và được ký hiệu U – V = W, nêu W+ V = U.
→ → →
Theo định nghĩa ta xác địnhWnhư sau: từ một điểm A bất kỳta dựng các véc tơAB =U,
→ → → →
AC = V. Khi đó W = CB.
Nhân một véc tơ với một số thực
Ðịnh nghĩa
→ → → →
Cho U ≠ 0 và số thực k ≠ 0.Tích của U với k là một véc tơ V có độ dài bằng
→ → →
|k|.| U | và cùng chiều với U,khi k >0;ngược chiều với U,khi k <0.Ta ký hiệu phép toán
→ →
đó V=k.U.
→ → → → → →
Nếu U = 0, thì k.U = 0 ; Nếu k = 0, thì 0.U = 0.
Tính chất.
→ → → → → → → → → → →
4
i). 1.U = U ; ii). m.(n.U) = (m.n).U ; iii). m(U + V) = m U+ m.V ; (m+n) U = mU+ nU
(m , n là các số thực).
Hệ quả
→ → → → →
i) U+ U+ U +…+ U = n. U
→ → → →
ii) Nếu U // V , thì tồn tại một số thực k sao cho V = k.U và k là duy nhất thoã
mãn điều kiện đó.
4.Ðiều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ.
→ → → → →
Cho U , V , W khác không và U // V.Ðể ba véc tơ đó đồng phẳng cần và đủ là tồn
→ → →
tại hai số thực m , n sao cho W = m. U + n. V.Cặp số m , n là duy nhất thoã mãn điều
kiện đó.
Hệ quả.
→ → → → → → →
i) Nếu U, V , W không đồng phẳng và m.U + n.V + k.W = 0 , thi m = n = k = 0.
→
ii) Với mọi véc tơ a tồn tại duy nhất một bộ 3 số thực x,y,z sao cho
→ → → →
a = xU + yV + zW
→ → → → →
Các véc tơ U, V , W được gọi là cơ sở của a. Bộ sô (x,y,z) được gọi là toạ độ của a.
→ →
Véc tơ a có biễu diên như vậy được gọi là phân tích a theo một cơ sở.
5.Góc tạo bởi hai véc tơ trong không gian.
Ðịnh nghĩa.
→ → →
Cho hai véc tơ U , V khác 0. Gọi O là một điểm bất kỳ trong không gian và từ
đó
→ → → → ∧ → →
ta dựng OA = U, OB = V, khi đó góc AOB là góc tạo bởi U và V.Ta thấy rằng nếu O’
là
→ → → → → → →
một điểm khác O và từ O’ ta dựng O’A’ = U, O’B’ = V, thì ta có OA = O’A’ , OB =
→ → → ∧ ∧
O’B’ và AB = A’B’.Từ đó ta suy ra AOB =A’O’B’.Chứng tỏ góc tạo bởi hai véc tơ
5
không phụ thuộc cách chọn điểm O.Ta ký hiệu ( U , V ) là góc tạo bởi hai véc tơ U ,
V.
Góc tạo bởi một véc tơ không và một véc tơ khác không không xác định.
Tính chất.
→ → → → → → → →
i) Nếu U’ ↑↑ U và V’ ↑↑ V, thì ( U’ , V’ ) = ( U , V ).
→ → → → → →
ii) Nếu ( U , V ) = α , thì ( - U , V ) = ( U , - V ) = 1800 - α.
→ → → → → → → →
iii) Nếu U ↑↑ V , thì ( U , V ) = 0. Nếu U ↑↓ V , thì ( U , V ) = 1800.
Ðộ dài hình chiếu của một véc tơ trên một trục toạ độ
→
Cho AB và trục toạ độ Ox.Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B
trên Ox. Ta gọi A’B’ là hình chiếu của AB trên Ox .Ta có hệ thức sau A’B’=
AB.cosα, trong đó α là góc tạo bởi AB và véc tơ đơn vị trên Ox, A’B’ là độ dài đại số
của A’B’ trên Ox.
6.Tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian.
Ðịnh nghĩa.
→ → →
Cho hai véc tơ U và V khác 0.Tích vô hướng của hai véc tơ đó là một số thực
bằng tích độ dài hai véc tơ nhân với cosα ; α là góc tạo bởi hai véc tơ đó.
→
Nếu một trong hai véc tơ bằng 0, thì tích vô hướng của chúng bằng 0.Ta ký hiệu
Tính chất.
→ → → →
• U . V = V . U .
→ → → → → → →
• U.( V + W ) = U. V + U. W.
→ → → →
• (k.U). V = k.( U .V ), k là số thực.
→ → → →
• U . U = ( U )2 = | U |2.
→ → → → → →
• | U . V | ≤ | U | . | V |. Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi U // V.
Hệ quả: Các hằng đẳng thức về tích vô hướng trong mặt phẳng vẫn còn hiệu lực trong
không gian.
→ → → → → → → → → → → →
U. V = 0 ⇔ (U , V ) = 900 ; U. V > 0⇔ (U , V ) < 900 ; U . V < 0⇔ (U , V ) > 900.
→ →
tích vô hướng của hai véc tơ là U . V.