Bài giảng Thống kê toán

Chia sẻ: Nguyễn Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo về Lý thuyết xác suất và Thống kê toán

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Thống kê toán

LÝ thuyÕt x¸c suÊt 1 C¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n vÒ biÕn cè ngÉu nhiªn 1. Kh«ng gian x¸c suÊt Tr−íc hÕt chóng ta ®−a v o kh¸i niÖm mét hä A c¸c tËp con n o ®ã cña kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n ®−îc gäi l σ -®¹i sè nÕu: 1. ∈A 2. A ∈ A suy ra \A ∈ A 3. NÕu A1 , A2 , ... l d y c¸c tËp hîp thuéc A, khi ®ã Ai còng thuéc A. i Trong lÝ thuyÕt x¸c xuÊt, tËp c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn l mét σ -®¹i sè A. Mét ¸nh x¹ P tõ A v o tËp c¸c sè thùc R P :A→R tho¶ m n c¸c tiªn ®Ò sau: 1. Víi mäi A ∈ A 0 P (A) 1 2. P( ) = 1 3. NÕu A1 , A2 , ..., Ai , ... l c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn ®«i mét xung kh¾c nhau thuéc A, khi ®ã P Ai = P (Ai ) i i P (A) ®−îc gäi l x¸c suÊt cña biÕn cè ngÉu nhiªn A. Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt ( , A, P ) ®−îc gäi l kh«ng gian x¸c suÊt. TÝnh chÊt cña x¸c suÊt (A) P (∅) = 0. (B) P (B ). A ⊂ B ⇒ P (A) (C) P (A) = 1 − P (A). (D) P (A + B ) = P (A) + P (B ) − P (AB ). (E) P (A + B + C ) = P (A) + P (B ) + P (C ) − P (BC ) − P (AB ) − P (AC ) + P (ABC ). (F) P (A1 ) + P (A2 ) + · · · + P (An ). P (A1 + A2 + ... + An ) (G) Víi d y c¸c biÕn cè gi¶m dÇn A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ ... (hoÆc t¨ng dÇn A1 ⊂ A2 ⊂ ...), khi ®ã lim P (An ) = P ( lim An ). n→∞ n→∞ 2. øng dông ®Ó tÝnh x¸c suÊt c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn Kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n gåm n biÕn cè ®ång kh¶ n¨ng = {ω1 , ω2 , ..., ωn }, P (ω1 ) = P (ω2 ) = ... = P (ωn ) 1 Khi ®ã do P ( ) = 1, suy ra P (ωi ) = víi mäi i v nÕu n m A = {ωn1 , ωn2 , ..., ωnm } ⇒ P (A) = . n http://www.ebook.edu.vn 1
Ta cßn nãi Sè tr−êng hîp thuËn lîi cho biÕn cè A P (A) = . Sè tr−êng hîp ®ång kh¶ n¨ng Tr−êng hîp kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n l mét miÒn h×nh häc, gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n thuéc miÒn A tØ lÖ víi ®é ®o cña A, khi ®ã ®é ®o cña A P (A) = . ®é ®o cña (§é ®o ë ®©y ®−îc hiÓu nh− l ®é d i, diÖn tÝch hoÆc thÓ tÝch tïy theo ®−îc nh¾c ®Õn l miÒn h×nh häc n o). B i tËp 1 1. Gieo liªn tiÕp mét xóc x¾c, kÝ hiÖu Ak l biÕn cè: lÇn gieo thø k l lÇn ®Çu tiªn mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn. a. H y tÝnh P (Ak ). b. T×m x¸c suÊt ®Ó mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn ë mét lÇn gieo n o ®ã. c. H y t×m x¸c suÊt ®Ó sau mét sè lÎ lÇn gieo, mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn. 2. Mét tËp 10 vÐ trong ®ã cã 3 vÐ cã th−ëng. Chän ngÉu nhiªn 5 vÐ, t×m x¸c suÊt ®Ó trong ®ã cã ®óng 2 vÐ cã th−ëng. 3. Mét hép ®ùng 3 bi ®á, 3 bi tr¾ng, 3 bi xanh. Chän ngÉu nhiªn ra 6 viªn bi, t×m x¸c suÊt ®Ó cã ®ñ 3 m u trong sè 6 viªn bi ®−îc chän ra. 4. Chøng minh r»ng N −n+1 CN−1 n n CN = (n N) −k k =1 5. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ 0, lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1 ®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 1 . T×m x¸c suÊt ®Ó sau n b−íc, chÊt ®iÓm tíi vÞ trÝ k trªn trôc sè. 2 6. B i to¸n gÆp gì v b i to¸n gieo kim cña Buffon. 3. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn v sù ®éc lËp cña c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn X¸c suÊt cña A víi ®iÒu kiÖn B x¶y ra, kÝ hiÖu P (AB ) P (A/B ) = P (B ) Tõ ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, suy ra c«ng thøc nh©n x¸c suÊt P (AB ) = P (A/B )P (B ) P (A1 A2 · · · An ) = P (An /A1 A2 · · · An−1 )P (An−1 /A1 A2 · · · An−2 ) · · · P (A2 /A1 )P (A1 ) NhËn xÐt r»ng víi kÝ hiÖu P ∗ (A) = P (A/B ) l x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè A víi ®iÒu kiÖn B (B cè ®Þnh), khi ®ã ( , A, P ∗ ) còng l kh«ng gian x¸c suÊt. Hai biÕn cè A v B ®éc lËp nhau nÕu P (A/B ) = P (A) ⇔ P (AB ) = P (A)P (B ). C¸c biÕn cè A1 , A2 , ..., An ®éc lËp, nÕu víi bÊt k× k biÕn cè ®«i mét kh¸c nhau Ai1 , Ai2 , ..., Aik k = 2, 3, ...n trong d y c¸c biÕn cè trªn P (Ai1 Ai2 · · · Aik ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) · · · P (Aik ) Trong øng dông thùc tÕ hÖ c¸c biÕn cè m mçi biÕn cè liªn quan tíi mét phÐp thö ngÉu nhiªn trong d y c¸c phÐp thö ®−îc tiÕn h nh ®éc lËp nhau t¹o th nh hÖ c¸c biÕn cè ®éc lËp. §Þnh lÝ 1 (®Þnh lÝ x¸c suÊt ®Çy ®ñ) NÕu A1 , A2 , ..., An , ... l hÖ ®Çy ®ñ c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn, A l biÕn cè ngÉu nhiªn bÊt k×, khi ®ã ∞ P (A) = P (A/Ai )P (Ai ). i=1 http://www.ebook.edu.vn 2
B i tËp 2 1. Mét chÊt ®iÓm xuÊt ph¸t tõ x = k , lang thang ngÉu nhiªn trªn trôc sè, nã dÞch chuyÓn sang ph¶i hoÆc sang tr¸i 1 ®¬n vÞ víi x¸c suÊt b»ng 1 . ChÊt ®iÓm dõng l¹i nÕu nã ®¹t tíi c¸c vÞ trÝ hót x = 0 hoÆc x = n. T×m x¸c 2 suÊt ®Ó mét lóc n o ®ã nã dÞch chuyÓn tíi tr¹ng th¸i hót x = 0. (XÝch Markov). 2. R¶i ngÉu nhiªn N viªn bi v o n hép. Víi ®iÒu kiÖn mét hép x¸c ®Þnh tõ tr−íc (vÝ dô hép thø nhÊt) kh«ng rçng, t×m x¸c suÊt ®Ó hép ®ã cã ®óng K viªn bi (K ≥ 1). 3. Mét x¹ thñ b¾n bia, x¸c suÊt tróng bia cña x¹ thñ b»ng p. T×m x¸c suÊt ®Ó sau n lÇn b¾n liªn tôc, lÇn b¾n thø n l lÇn ®Çu tiªn x¹ thñ b¾n tróng bia. 4. A v B ch¬i mét trß ch¬i nh− sau: A gieo xóc x¾c, kÕt qu¶ gi¶ sö mÆt k chÊm xuÊt hiÖn. A gieo tiÕp ®ång thêi 2 ®ång xu k lÇn. NÕu Ýt nhÊt cã mét lÇn x¶y ra biÕn cè c¶ hai ®ång xu cïng xuÊt hiÖn mÆt ngöa, khi ®ã A th¾ng cuéc, ng−îc l¹i A bÞ thua. Hái trß ch¬i ®ã cã lîi cho A hay B ? 5. A v B ch¬i mét trß ch¬i nh− sau: A gieo ®ång thêi 2 xóc x¾c. NÕu tæng b»ng 7 hoÆc 11, A th¾ng cuéc, nÕu tæng b»ng 2,3 hoÆc 12, A thua cuéc. C¸c tr−êng hîp cßn l¹i, A lÆp l¹i trß ch¬i cho ®Õn khi cã ng−êi th¾ng ng−êi thua. T×m x¸c suÊt ®Ó A th¾ng. (§S: 2 ) 3 6. Cho n hép, mçi hép chøa ®óng a bi tr¾ng v b bi ®á. LÊy ngÉu nhiªn 1 viªn bi tõ hép thø nhÊt v bá sang hép thø hai, sau ®ã lÊy tiÕp 1 viªn bi tõ hép thø hai v bá sang hép thø ba,... Cuèi cïng lÊy 1 viªn bi tõ hép thø n. Gäi A l biÕn cè viªn bi lÊy tõ hép thø nhÊt bá sang hép thø hai l viªn bi tr¾ng, B l biÕn cè viªn bi lÊy tõ hép thø n l viªn bi tr¾ng. KÝ hiÖu pn = P (B/A). Chøng minh r»ng a b (a + b + 1)1−n . pn = + a+b a+b 7. C¸c hép ®−îc ®¸nh sè 0, 1, 2, ..., N v hép mang sè k chøa k bi ®á, N − k bi tr¾ng (k = 0, 1, 2, ..., N ). Chän ngÉu nhiªn mét hép v tõ hép n y chän lÇn l−ît cã ho n l¹i tõng viªn bi. Gäi An l l biÕn cè lÇn chän thø n lÊy ®−îc viªn bi ®á. a. TÝnh P (A3 /A1 A2 ) b. Gi¶ sö tõ hép ® chän ngÉu nhiªn chän lÇn l−ît hai viªn bi kh«ng ho n l¹i. T×m x¸c suÊt ®Ó c¶ hai bi ® chän l bi ®á. 4. C«ng thøc Bernoulli Gi¶ sö x¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A l p. Khi ®ã x¸c suÊt ®Ó trong n lÇn tiÕn h nh phÐp thö ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau cã ®óng k lÇn x¶y ra A b»ng Pk;n = Cn pk q n−k k (trong ®ã p + q = 1). B i tËp 3 1. T×m x¸c suÊt ®Ó mét gia ®×nh 5 ng−êi con cã ®óng 3 trai, 2 g¸i. 2. BiÕt x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ bãng b n A th¾ng B ë mçi sÐc l p. Hai ®Êu thñ ®Êu víi nhau tèi ®a 5 sÐc, ng−êi n o th¾ng tr−íc 3 sÐc l ng−êi th¾ng chung cuéc. T×m x¸c suÊt ®Ó ®Êu thñ A th¾ng chung cuéc. X¸c suÊt cÇn t×m: P (A) = p3 (1 + 3q + 6q 2 ) p 0,3 0,16308 0,4 0,31744 §S: 0,5 0,5 0,6 0,68256 0,7 0,83692 2 §¹i l−îng ngÉu nhiªn v ph©n bè x¸c suÊt 1. Kh¸i niÖm c¬ b¶n Mét ¸nh x¹ X : → R trªn kh«ng gian x¸c suÊt ( , A, P ) tháa m n {ω : X (ω) < x} ∈ A víi mäi x ∈ R http://www.ebook.edu.vn 3
®−îc gäi l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X . H m F (x) = P (X < x) víi mäi x∈R ®−îc gäi l h m ph©n bè x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X . HiÓn nhiªn X < b) = F (b) − F (a) P (a NÕu tån t¹i mét h m kh«ng ©m f : R → [0, +∞) sao cho h m ph©n bè F (x) cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X tho¶ mn b víi mäi a < b ∈ R, F (b) − F (a) = P (a X < b) = f (x) dx a khi ®ã h m f ®−îc gäi l mËt ®é x¸c suÊt cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X . §¹i l−îng ngÉu nhiªn cã h m mËt ®é ®−îc gäi l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc. §Æc biÖt x víi mäi x ∈ R. F (x) = f (x) dx −∞ T¹i c¸c ®iÓm h m mËt ®é liªn tôc F ′ (x) = f (x). Chó ý r»ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c (®¹i l−îng ngÉu nhiªn m miÒn gi¸ trÞ l tËp kh«ng qu¸ ®Õm ®−îc) kh«ng cã h m mËt ®é, ph©n bè cña nã th−êng ®−îc cho d−íi d¹ng pn = P (X = xn ), n = 0, 1, 2, ... trong ®ã pn = 1 n hoÆc d−íi d¹ng b¶ng X ... ... x1 x2 xn trong ®ã pn = 1. n P ... p1 p2 ... pn TÝnh chÊt h m ph©n bè, h m mËt ®é 1. F (+∞) = limx→+∞ F (x) = 1. F (−∞) = limx→−∞ F (x) = 0, 2. H m ph©m bè ®¬n ®iÖu t¨ng v liªn tôc tr¸i trªn R. +∞ 3. f (x) dx = F (+∞) − F (−∞) = 1. −∞ 4. Víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, x¸c suÊt ®Ó X nhËn c¸c gi¸ trÞ trong mét tËp h÷u h¹n hoÆc v« h¹n ®Õm ®−îc lu«n b»ng 0. Suy ra b) = F (b) − F (a). P (a X < b) = P (a < b) = P (a X B i tËp 4 1. X l sè lçi in sai trong mét trang s¸ch gi¸o khoa NXB Gi¸o dôc. Ng−êi ta biÕt r»ng P (X = 0) = 0.85, P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.05 Nh− vËy X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c nhËn c¸c gi¸ trÞ 0, 1, 2 v b¶ng ph©n bè cña X th−êng ®−îc viÕt X 0 1 2 d−íi d¹ng sau P 0.85 0.1 0.05 H m ph©n bè cña X khi ®ã b»ng  nÕu 0 x0   0.85 nÕu 0
3. X l ®iÓm chän ngÉu nhiªn trªn ®o¹n [a, b] (gi¶ thiÕt r»ng x¸c suÊt ®Ó X thuéc kho¶ng (u, v ) ⊂ [a, b] tØ lÖ víi ®é d i ®o¹n [u, v ]). Khi ®ã X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi h m mËt ®é 1 nÕu a < x b b −a f (x) = nÕu x a hoÆc x > b 0 (X ®−îc gäi l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [a, b].) 4. NÕu f (x) l h m mËt ®é cña X , khi ®ã h m mËt ®é cña Y = aX + b b»ng y−b 1 g (y ) = f |a| a 5. T×m h m mËt ®é cña ξ 2 , biÕt ξ ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [−1, 1]. 2. K× väng, ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Víi c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c cã ph©n bè X ... ... x1 x2 xn P ... p1 p2 ... pn K× väng cña X , kÝ hiÖu E (X ) b»ng ∞ nÕu chuçi héi tô tuyÖt ®èi. E (X ) = x i pi i=1 Tr−êng hîp X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc cã f (x) l h m mËt ®é +∞ nÕu tÝch ph©n héi tô tuyÖt ®èi. E (X ) = xf (x)dx −∞ Chó ý r»ng k× väng l to¸n tö tuyÕn tÝnh v +∞ trong ®ã f (x) l h m mËt ®é cña X . E (ϕ(X )) = ϕ(x)f (x)dx −∞ Ph−¬ng sai D(X ) v ®é lÖch tiªu chuÈn σX cña X D(X ) = E (X − EX )2 = EX 2 − (EX )2 , σX = D(X ). HiÓn nhiªn ph−¬ng sai cña h»ng sè b»ng 0 v D(αX ) = α2 D(X ). B i tËp 5 1. X l sè trÎ s¬ sinh trong mét ng y ë mét bÖnh viÖn nhá. BiÕt ph©n bè cña X X 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.2 0.1 Khi ®ã trung b×nh sè trÎ em míi sinh trong mét ng y b»ng EX = 0 × 0.3 + 1 × 0.4 + 2 × 0.2 + 3 × 0.1 = 1.1 2. Gäi X l sè lÇn gieo xóc x¾c liªn tôc cho ®Õn khi mÆt 6 chÊm xuÊt hiÖn. H y tÝnh sè lÇn gieo trung b×nh. 3. Mét c«ng viÖc trong x©y dùng dù tÝnh sÏ ®−îc ho n th nh trong kho¶ng thêi gian tõ 10 ®Õn 14 ng y. Gi¶ sö X l sè ng y c«ng ®Ó ho n th nh c«ng viÖc ®ã, ph©n bè cña X ®−îc dù tÝnh nh− sau X 10 11 12 13 14 ⇒ E (X ) = 11.9 ng y, D (X ) = 1.29 P 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 http://www.ebook.edu.vn 5
Nh thÇu −íc l−îng chi phÝ to n bé cho c«ng tr×nh gåm 85 triÖu tiÒn vËt liÖu x©y dùng v tiÒn nh©n c«ng l 1.6 triÖu ®ång mét ng y c«ng. Khi ®ã chi phÝ to n bé cho c«ng tr×nh b»ng (triÖu ®ång) Y = 85 + 1.5X VËy k× väng hay gi¸ trÞ trung b×nh cña to n bé chi phÝ l E (Y ) = 85 + 1.5E (X ) = 85 + 1.5 × 11.9 = 102.85 (triÖu ®ång) √ D(Y ) = 1.52 × D(X ) = 1.52 × 1.29 = 2.9025 ⇒ σY = 2.9025 = 1.7037 4. K× väng v ph−¬ng sai cña ph©n bè ®Òu trªn [a, b] (a − b)2 a+b EX = , DX = 2 12 3. C¸c ph©n bè th−êng gÆp 1. Ph©n bè nhÞ thøc X 0 1 ... k ... n P ... ... p0 p1 pk pn trong ®ã pk = P (X = k ) = Cn pk q n−k , p + q = 1, k = 0, 1, ..., n k NhËn xÐt r»ng ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè nhÞ thøc cã thÓ biÓu diÔn d−íi d¹ng n X= Xi i=1 trong ®ã Xi ghi l¹i kÕt qu¶ cña viÖc xuÊt hiÖn hay kh«ng xuÊt hiÖn biÕn cè A trong d y c¸c phÐp thö ngÉu nhiªn ®éc lËp (P (A) = p) nÕu A x¶y ra trong phÐp thö thø i 1 Xi = nÕu A kh«ng x¶y ra trong phÐp thö thø i 0 2. Ph©n bè Poisson X 0 1 2 ... k ... P ... ... p0 p1 p2 pk trong ®ã λk pk = P (X = k ) = e−λ , λ > 0, k = 0, 1, 2, ... k! 3. Ph©n bè h×nh häc X 1 2 ... ... n q n−1 p P ... ... p qp trong ®ã p + q = 1. 4. Ph©n bè mò X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè mò, nÕu h m mËt ®é cña X b»ng λe−λx nÕu x > 0 víi λ > 0 f (x) = nÕu x 0 0 5. Ph©n bè chuÈn X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn, kÝ hiÖu X ∈ N (m, σ 2 ) nÕu h m mËt ®é cña X b»ng 1 (x−m)2 e− 2σ2 trong ®ã σ > 0, m ∈ R. f (x) = √ 2πσ http://www.ebook.edu.vn 6
Sö dông √ ∞ π −x 2 I= e dx = 2 0 ta dÔ d ng chøng minh h m f (x) nãi trªn l h m mËt ®é v EX = m, DX = σ 2 . X −m NhËn xÐt r»ng X ∈ N (m, σ 2 ) khi v chØ khi Z = ∈ N (0, 1). Ng−êi ta th−êng kÝ hiÖu h m ph©n bè cña σ X ∈ N (0, 1) x 1 u2 e− Φ(x) = √ du. 2 2π −∞ Tra b¶ng ph©n bè chuÈn, ta cã Quy t¾c 3σ NÕu X ∈ N (m, σ 2 ), khi ®ã 3 X −m 1 x2 e− 3) = √ P (m − 3σ dx = 2Φ(3) − 1 = 0, 9973 X m + 3σ ) = P ( 2 σ 2π −3 3 §¹i l−îng ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu 1. H m ph©n bè v h m mËt ®é chung XÐt mét cÆp hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn (ξ, η ). NÕu chóng ta ®ång thêi kh¶o s¸t hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ v η , chóng ta sÏ coi chóng nh− c¸c to¹ ®é cña mét vÐc t¬ ngÉu nhiªn (hay mét ®iÓm ngÉu nhiªn) (ξ, η ). C¸c gi¸ trÞ cã thÓ cã cña nã l c¸c ®iÓm (x, y ) trong mÆt ph¼ng to¹ ®é xOy. Gäi tËp E l mét miÒn ph¼ng bÊt k× E ⊂ R2 v Pξ,η (E ) = P ((ξ, η ) ∈ E ) l x¸c suÊt ®Ó ®iÓm ngÉu nhiªn (ξ, η ) ri v o tËp E . Ng−êi ta gäi Pξ,η (E ), víi mäi E ⊂ R2 l ®é ®o x¸c suÊt cña c¸c tËp hîp trªn mÆt ph¼ng sinh bëi vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η ). §Þnh nghÜa 1 H m H (x, y ) = P (ξ < x, η < y ) = P ({ξ ∈ (−∞, x)} · {η ∈ (−∞, y)}) víi mäi x, y ∈ R l h m ph©n bè chung cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ v η (hay cßn gäi l h m ph©n bè ®ång thêi cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η )). NÕu tån t¹i mét h m kh«ng ©m h(x, y ) ≥ 0 sao cho P ((ξ, η ) ∈ E ) = h(x, y ) dxdy E víi mäi miÒn E cña mÆt ph¼ng. Khi ®ã ta nãi h(x, y ) l h m mËt ®é cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (ξ, η ) (hay cßn gäi l h m mËt ®é chung cña ξ v η ). §èi víi c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c, thay cho h m ph©n bè ®ång thêi H (x, y ) l c¸c x¸c suÊt (hoÆc viÕt gän h¬n P (ξ = xi , η = yj ).) P (xi , yj ) = P (ξ = xi ∩ η = yj ) Chóng th−êng ®−îc viÕt d−íi d¹ng b¶ng. §Ó minh ho¹, ta xÐt vÝ dô sau. VÝ dô §¹i l−îng ngÉu nhiªn X ®o møc ®é h i lßng cña ng−êi d©n sèng trong mét khu chung c− míi x©y dùng v Y biÓu thÞ sè n¨m ng−êi d©n sèng trong khu chung c− ®ã. Gi¶ sö møc ®é h i lßng cña ng−êi ë biÓu thÞ qua c¸c gi¸ trÞ X = 1, X = 2, X = 3 hoÆc X = 4 (gi¸ trÞ X c ng lín t−¬ng øng víi møc h i lßng c ng cao). §¹i l−îng ngÉu nhiªn Y nhËn c¸c gi¸ trÞ 1 nÕu ng−êi d©n sèng kh«ng qu¸ 1 n¨m trong khu chung c− ®ã v nhËn gi¸ trÞ 2 trong tr−êng hîp ng−îc l¹i. 1 2 3 4 Tæng X Y 1 0.04 0.17 0.18 0.1 0.49 2 0.06 0.15 0.2 0.1 0.51 Tæng 0.1 0.32 0.38 0.2 1 http://www.ebook.edu.vn 7
B¶ng ph©n bè trªn cho biÕt, ch¼ng h¹n P (3, 2) = P (X = 3, Y = 2) = 0.2 l x¸c suÊt ®Ó khi chän ngÉu nhiªn mét ng−êi sèng ë khu chung c−, ng−êi ®ã cã møc h i lßng 3 v sèng trªn 1 n¨m trong khu chung c− ®ã. Cét tæng cho ph©n bè cña Y P (Y = 1) = 0.49, P (Y = 2) = 0.51 H ng tæng x¸c ®Þnh ph©n bè cña X P (X = 1) = 0.1, P (X = 2) = 0.32, P (X = 3) = 0.38, P (X = 4) = 0.2 Tr−êng hîp tån t¹i h m mËt ®é chung, hiÓn nhiªn víi mäi tËp E ⊂ R2 . P ((X, Y ) ∈ E ) = h(x, y ) dxdy E x y ∂2H H (x, y) = P (X < x, Y < y ) = h(u, v ) dudv, = h(x, y) ∂x∂y −∞ −∞ x +∞ l h m ph©n bè cña X. F (x) = H (x, +∞) = h(u, v ) dv du −∞ −∞ y +∞ l h m ph©n bè cña Y. G(y ) = H (+∞, y ) = h(u, v ) du dv −∞ −∞ H m mËt ®é cña X, Y t−¬ng øng l ∞ ∞ f (x) = h(x, y ) dy, g (y ) = h(x, y) dx −∞ −∞ §Þnh nghÜa 2 C¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ v η ®−îc gäi l ®éc lËp nhau nÕu víi mäi x, y ∈ R H (x, y ) = P (ξ < x, η < y ) = P (ξ < x)P (η < y ) = F (x)G(y) ⇔ h(x, y ) = f (x)g (y ) §Þnh lÝ 2 Gi¶ sö X, Y cã h m mËt ®é chung h(x, y), khi ®ã ∞ ∞ E (ϕ(X, Y )) = ϕ(x, y )h(x, y) dxdy. −∞ −∞ §Æc biÖt nÕu X, Y l c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau, khi ®ã E (XY ) = EX · EY, D (X + Y ) = DX + DY. VÝ dô 1. Gi¶ sö h m mËt ®é chung cña X v Y 6 + y2 ) nÕu 0 < x < 1, 0 < y < 1 5 (x h(x, y ) = trong tr−êng hîp ng−îc l¹i 0 ∞ Sö dông f (x) = h(x, y ) dy , h m mËt ®é cña X −∞ 1 6 + y2 ) dy = 6 (x + 1 ) nÕu 0 < x < 1 0 (x 5 5 3 f (x) = nÕu x ∈ (0, 1) 0 / h m mËt ®é cña Y 1 6 + y2 ) dx = 6 ( 1 + y2 ) nÕu 0 < y < 1 (x 5 52 0 g (y ) = nÕu y ∈ (0, 1) 0 / http://www.ebook.edu.vn 8
VÝ dô 2. (X, Y ) ph©n bè ®Òu trªn h×nh trßn t©m (0, 1) b¸n kÝnh b»ng 1. H m mËt ®é chung cña X v Y 1 nÕu x2 + (y − 1)2 < 1 π h(x, y ) = trong tr−êng hîp ng−îc l¹i 0 H m mËt ®é Y b»ng √ 2y −y2 ∞ 2 nÕu 0
3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng v ph−¬ng sai cña XA . 4. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè cña XB . 5. XA v XB cã ®éc lËp víi nhau kh«ng? Gi¶i b i tËp: N cã ph©n bè Poisson víi tham sè λ. λn P (N = n) = e−λ n! 1. Víi k, n l hai sè nguyªn, P (XA = k/N = n) = Cn pk q n−k . k 2. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè ®ång thêi cña (N, XA ) λn P (N = n, XA = k ) = P (XA = k/N = n)P (N = n) = Cn pk q n−k · e−λ k = n! 1 1 e−λ λn pk q n−k = e−λ (λp)k (λq )n−k víi n ≥ k. = k !(n − k )! k!(n − k )! 3. X¸c ®Þnh luËt ph©n bè, k× väng v ph−¬ng sai cña XA . ∞ ∞ 1 e−λ (λp)k (λq )n−k P (XA = k ) = P (XA = k, N = n) = = k !(n − k )! n=k n=k ∞ ∞ (λp)k (λq )n−k (λp)k (λq )i (λp)k λq (λp)k = e −λ = e−λ = e −λ · e = e−λp (n − k )! k! k! i! k! k! i=0 n=k 4. T−¬ng tù luËt ph©n bè cña XB (λq )i P (XB = i) = e−λq i! 5. XA v XB ®éc lËp víi nhau. ThËt vËy xÐt P (XA = k, XB = i), kÝ hiÖu n = k + i, khi ®ã 1 P (XA = k, XB = i) = P (XA = k, N = n) = e−λ (λp)k (λq )n−k = k!(n − k )! (λp)k −λq (λq )i = e−λp víi mäi k, i ≥ 0. ·e = P (XA = k )P (XB = i), k! i! Gi¶ thiÕt (X, Y ) l vÐc t¬ ngÉu nhiªn cã h(x, y ) l h m mËt ®é chung. Khi ®ã Y l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, h m mËt ®é cña Y l ∞ g (y ) = h(x, y ) dx. −∞ Ta ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn cña biÕn cè {X < x} víi ®iÒu kiÖn Y = y nh− l giíi h¹n cña P (X < x/y Y < y + ∆y ) khi ∆y dÇn tíi 0. H m F (x/y ) = lim P (X < x/y Y < y + ∆y ) ∆y →0 ®−îc gäi l h m ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y , tÊt nhiªn víi gi¶ thiÕt tån t¹i giíi h¹n trªn. Do ®Þnh nghÜa x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn v tÝnh chÊt cña h m ph©n bè chung H (x, y + ∆y ) − H (x, y) P (X < x, y Y < y + ∆y) P (X < x/y Y < y + ∆y ) = = G(y + ∆y ) − G(y ) P (y Y < y + ∆y ) (H (x, y ) l h m ph©n bè chung cña X v Y , G(y) l h m ph©n bè cña Y ). Chia c¶ tö v mÉu cho ∆y, chuyÓn qua giíi h¹n khi ∆y → 0 ta ®−îc ∂2 ∂ ∂y H (x, y ) ∂x∂y H (x, y ) ∂ h(x, y) ⇒ F (x/y) = f (x/y ) = F (x/y ) = = . g (y ) ∂x g (y ) g (y) f (x/y ) ®−îc gäi l h m mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y . http://www.ebook.edu.vn 10
Chó ý r»ng c¸c h m mËt ®é cã ®iÒu kiÖn còng nh− ph©n bè cã ®iÒu kiÖn ë ®©y chØ ®−îc x¸c ®Þnh t¹i y sao cho g (y ) > 0. T¹i nh÷ng ®iÓm m g (y ) = 0, h m mËt ®é f (x/y ) ®−îc x¸c ®Þnh tïy ý (®Ó ®¬n gi¶n, t¹i ®ã ng−êi ta th−êng g¸n cho f (x/y) gi¸ trÞ 0). ViÕt chÝnh x¸c h¬n, mËt ®é cã ®iÒu kiÖn h(x,y ) nÕu g(y ) > 0 g (y ) f (x/y ) = nÕu 0 g(y ) = 0 T−¬ng tù h m mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Y víi ®iÒu kiÖn X = x h(x,y ) nÕu f (x) > 0 f (x) g(y/x) = nÕu 0 f (x) = 0 Suy ra h(x, y) = f (x/y )g (y ) = g(y/x)f (x). Tõ ®ã ta nhËn ®−îc c¸c c«ng thøc t−¬ng tù nh− c«ng thøc x¸c suÊt ®Çy ®ñ ∞ ∞ f (x) = h(x, y) dy = f (x/y )g(y) dy −∞ −∞ ∞ ∞ g (y ) = h(x, y ) dx = g(y/x)f (x) dx −∞ −∞ Chó ý r»ng nÕu X, Y l c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp nhau khi ®ã c¸c h m mËt ®é cã ®iÒu kiÖn f (x/y ) = f (x) kh«ng phô thuéc v o y còng nh− g(y/x) = g (y ) kh«ng phô thuéc v o x. §Þnh lÝ 3 Gi¶ sö ϕ l mét song ¸nh D ⊂ R2 , T ⊂ R2 ϕ:D→T kh¶ vi t¹i mäi ®iÓm thuéc D. (X, Y ) l vÐc t¬ ngÉu nhiªn nhËn c¸c gi¸ trÞ trong D v h(x, y ) l h m mËt ®é ®ång thêi cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn ®ã. Khi ®ã h m mËt ®é cña (U, V ) = ϕ(X, Y ) b»ng g (u, v ) = h ϕ−1 (u, v ) |J (u, v )| trong ®ã J (u, v ) l Jacobien cña ϕ−1 . ∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y KÝ hiÖu (x, y) = ϕ−1 (u, v ), khi ®ã Jacobien cña ϕ−1 b»ng J (u, v ) = ∂u ∂v − = ∂y ∂y ∂u ∂v ∂v ∂u ∂u ∂v NhËn xÐt 1 Gi¶ sö h(x, y ) l h m mËt ®é chung cña (X, Y ). C¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn U v V ®−îc x¸c ®Þnh X = a11 U + a12 V Y = a21 U + a22 V Khi ®ã mËt ®é chung cña (U, V ) b»ng g(u, v ) = h (a11 u + a12 v, a21 u + a22 v ) |det(A)| a11 a12 trong ®ã A = l ma trËn kh«ng suy biÕn. a21 a22 VÝ dô X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp thuéc N (0, 1). Khi ®ã ξ = X + Y v η = X − Y còng √ ®éc lËp v cã cïng ph©n bè chuÈn (∈ N (0, ( 2)2 )). ThËt vËy X = 1 (ξ + η ) 2 2 (u+v) (u−v) 1 √1 e− √1 e− 1 2 ⇒ | det A| = ⇒ g (u, v ) = · · 8 8 2 2 Y = 1 (ξ − η ) 2π 2π 2 Suy ra 1 1 u2 u2 g(u, v ) = √ √ e− 2·2 · √ √ e− 2·2 2π 2 2π 2 NhËn xÐt 2 1. NÕu X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, khi ®ã h m ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y trïng víi h m ph©n bè cña X , (kh«ng phô thuéc v o ®iÒu kiÖn Y = y ) F (x/Y = y) = P (X < x/Y = y ) = P (X < x) = F (x). 2. Tæng qu¸t h¬n, gi¶ sö ϕ(x, y ) l mét h m hai biÕn bÊt k×, X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp. Khi ®ã h m ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña ϕ(X, Y ) víi ®iÒu kiÖn Y = y trïng víi h m ph©n bè cña ϕ(X, y ) P (ϕ(X, Y ) < x/Y = y ) = P (ϕ(X, y ) < x. http://www.ebook.edu.vn 11
Ch¼ng h¹n ®Ó tÝnh h m mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp X v Y , cã thÓ suy ra tõ nhËn xÐt trªn nh− sau: XÐt Z = ϕ(X, Y ) = X + Y , h m ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ hiÖu H (z/y )), theo nhËn xÐt trªn b»ng h m ph©n bè cña ϕ(X, y )(= X + y) H (z/y ) = P (X + y < z ) = F (z − y ) ®¹o h m hai vÕ theo z ®Ó x¸c ®Þnh h m mËt ®é, ta ®−îc mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña Z víi ®iÒu kiÖn Y = y (kÝ hiÖu h(z/y)) h(z/y ) = f (z − y). ¸p dông c«ng thøc ”x¸c suÊt ®Çy ®ñ më réng” ®Ó tÝnh h m mËt ®é cña Z (kÝ hiÖu r (z )), ta ®−îc ∞ ∞ f (z − y )g (y ) dy. r (z ) = h(z/y )g (y ) dy = −∞ −∞ §©y chÝnh l c«ng thøc x¸c ®Þnh h m mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp. Ho n to n t−¬ng tù ta cã thÓ thiÕt lËp ®−îc c¸c h m mËt ®é cña XY v X/Y , nÕu X, Y ®éc lËp nhau. B¹n ®äc tù chøng minh c¸c kÕt qu¶ sau: a. H m mËt ®é cña XY b»ng ∞ 1 z s(z ) = f ( )g (y ) dy |y| y −∞ X b. H m mËt ®é cña b»ng Y ∞ |y|f (zy))g (y) dy t(z ) = −∞ Ch¼ng h¹n ta ph¸c qua c¸ch dÉn d¾t ®Õn kÕt qu¶ a. ®Ó tÝnh h m mËt ®é cña XY . Tr−íc tiªn ta t×m h m ph©n bè cã ®iÒu kiÖn cña XY víi ®iÒu kiÖn Y = y (xÐt hai tr−êng hîp y > 0 v y < 0). H m ph©n bè cã ®iÒu kiÖn ®ã b»ng h m ph©n bè cña y · X (kh«ng ®iÒu kiÖn), suy ra, h m mËt ®é cña y · X b»ng |y| f ( z ), vËy h m 1 y mËt ®é cña XY ∞ 1 z s(z ) = f ( )g(y) dy. |y | y −∞ B i tËp 1. Gi¶ sö X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1). H y tÝnh h m mËt ®é cña X + Y . 2. Gi¶ sö X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè ®Òu trªn (a, b) (®Ó ®¬n gi¶n ta gi¶ thiÕt a, b l c¸c sè d−¬ng 0 < a < b). H y tÝnh h m mËt ®é cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tÝch XY . 3. Gi¶ sö X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. H y tÝnh h m mËt ®é cña |X − Y |. 4. Gäi X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, cã cïng ph©n bè mò víi tham sè λ. KÝ hiÖu g(y/x) l h m mËt ®é cña X + Y víi ®iÒu kiÖn X = x v f (x/y ) l h m mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn X + Y = y. H y x¸c ®Þnh c¸c h m mËt cã ®iÒu kiÖn g(y/x) v f (x/y). 4’. Kh¸c mét chót víi b i tËp 4, gi¶ sö X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp, X cã ph©n bè mò víi tham sè λ, trong khi Y cã ph©n bè mò víi tham sè µ, (µ = λ). KÝ hiÖu g (y/x) l h m mËt ®é cña X + Y víi ®iÒu kiÖn X = x v f (x/y ) l h m mËt ®é cña X víi ®iÒu kiÖn X + Y = y . H y x¸c ®Þnh c¸c h m mËt cã ®iÒu kiÖn g (y/x) v f (x/y ). 5. Gi¶ sö X = (X1 , X2 ) v Y = (Y1 , Y2 ) l hai ®iÓm chän ngÉu nhiªn (theo ph©n bè ®Òu) ®éc lËp nhau trªn ®−êng trßn ®¬n vÞ: x2 + y 2 = 1 H y t×m h m mËt ®é cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X1 X2 Z= Y1 Y2 http://www.ebook.edu.vn 12
3. K× väng cã ®iÒu kiÖn Gi¶ sö A l biÕn cè cã x¸c suÊt P (A) > 0 v X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tïy ý. T−¬ng tù nh− ®Þnh nghÜa k× väng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, ta cã ®Þnh nghÜa sau §Þnh nghÜa 4 NÕu X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c chØ nhËn c¸c gi¸ trÞ xi , i = 1, 2, ..., khi ®ã E (X/A) = xi P (X = xi /A) i ®−îc gäi l k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra. Tr−êng hîp X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x/A) l h m mËt ®é cã ®iÒu kiÖn, khi ®ã ∞ E (X/A) = xf (x/A) dx −∞ ®−îc gäi l k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn biÕn cè A x¶y ra. NÕu X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x) v g(x) l c¸c h m mËt ®é cña chóng. Gäi f (x/y ) l h m mËt ®é cã ®iÒu kiÖn cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y K× väng cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y, ®−îc kÝ hiÖu E (X/Y = y) l tÝch ph©n ∞ E (X/Y = y) = xf (x/y ) dx, −∞ nÕu tÝch ph©n tån t¹i v héi tô tuyÖt ®èi. §Þnh lÝ 4 Gi¶ thiÕt r»ng X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc, tån t¹i k× väng cã ®iÒu kiÖn cña X ®èi víi Y , khi ®ã E (X ) = E (E (X/Y )). Chøng minh KÝ hiÖu h(y ) = E (X/Y = y) (ng−êi ta gäi h(y ) l h m håi quy cña X víi ®iÒu kiÖn Y = y ) ∞ ∞ E (h(Y )) = h(y )g (y ) dy = E (X/Y = y )g (y ) dy = −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = xf (x/y ) dx g(y) dy = x f (x/y)g(y)dy dx −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ MÆt kh¸c f (x) = f (x/y )g (y ) dy nªn −∞ ∞ ®.p.c.m. E (h(Y )) = E (E (X/Y )) = xf (x) dx = E (X ) −∞ 4. T−¬ng quan v hÖ sè t−¬ng quan §Þnh nghÜa 5 NÕu X v Y l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng E (X ) v E (Y ), khi ®ã cov (X, Y ) = E [(X − E (X ))(Y − E (Y ))] ®−îc gäi l covarian (hay cßn gäi l m« men t−¬ng quan) cña X v Y . HiÓn nhiªn nÕu X v Y ®éc lËp , khi ®ã cov (X, Y ) = E [(X − E (X ))(Y − E (Y ))] = E (X − E (X )) · E (Y − E (Y )) = 0 http://www.ebook.edu.vn 13
Tr−êng hîp X = Y , khi ®ã covarian cov (X, X ) = D(X ). M« men t−¬ng quan cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã c¸c tÝnh chÊt sau i) cov (X, Y ) = E [(X − E (X ))(Y − E (Y ))] = E (XY ) − E (X )E (Y ) ii) cov (αX, Y ) = cov (X, αY ) = αcov (X, Y ) iii) KÝ hiÖu σx = D(X ) v σy = D(Y ) l c¸c ®é lÖch tiªu chuÈn cña X v Y . Khi ®ã |cov (X, Y )| σx σy . ThËt vËy xÐt E [(Y − tX )2 ] = E (Y 2 − 2tXY + t2 Y 2 ) = E (Y 2 ) − 2E (XY )t + E (Y 2 )t2 ≥ 0 víi mäi t. §©y l tam thøc bËc hai kh«ng ©m víi mäi t, suy ra [E (XY )]2 E (X 2 )E (Y 2 )hay |E (XY )| E (X 2 ) E (Y 2 ) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc trªn víi X − E (X ) v Y − E (Y ) thay cho X v Y |cov (X, Y )| = |E [(X − E (X ))(Y − E (Y ))]| D(X ) D (X ) = σx σy . NhËn xÐt r»ng tõ chøng minh trªn suy ra Y l mét h m bËc nhÊt cña X : Y = aX + b. |cov (X, Y )| = σx σy ⇔ §Þnh nghÜa 6 E [(X − E (X ))(Y − E (Y ))] cov (X, Y ) ̺(X, Y ) = = σx σy D(X ) D(X ) ®−îc gäi l hÖ sè t−¬ng quan cña X v Y . HiÓn nhiªn hÖ sè t−¬ng quan cã c¸c tÝnh chÊt i) −1 ̺(X, Y ) 1. DÊu b»ng x¶y ra khi v chØ khi Y = aX + b (hoÆc X = aY + b) ii) NÕu X v Y ®éc lËp, khi ®ã hÖ sè t−¬ng quan ̺(X, Y ) = 0 HÖ sè t−¬ng quan ®o møc ®é phô thuéc tuyÕn tÝnh gi÷a Y v X . NÕu |̺(X, Y )| xÊp xØ 1 khi ®ã c¸c ®iÓm ngÉu nhiªn (X, Y ) gÇn nh− t¹o th nh mét ®−êng th¼ng trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é. Khi ̺(X, Y ) = 0 ta nãi X v Y kh«ng t−¬ng quan. Chó ý r»ng nÕu X v Y ®éc lËp khi ®ã chóng kh«ng t−¬ng quan, ng−îc l¹i tõ sù kh«ng t−¬ng quan cña X v Y kh«ng suy ra chóng ®éc lËp víi nhau. §Þnh nghÜa 7 KÝ hiÖu c = cov (X, Y ) l m« men t−¬ng quan cña X v Y . Khi ®ã ma trËn D (X ) c C= c D (Y ) ®−îc gäi l ma trËn covarian (ma trËn t−¬ng quan) cña X v Y . Duy tr× c¸c kÝ hiÖu σx , σy l c¸c ®é lÖch tiªu chuÈn cña X v Y , ̺ l hÖ sè t−¬ng quan cña X v Y . Tõ ®Þnh nghÜa hÖ sè t−¬ng quan suy ra c = ̺σx σy . Khi ®ã ma trËn covarian cã thÓ viÕt d−íi d¹ng 2 σx ̺σx σy C= 2 ̺σx σy σy Do |̺| 1 nªn 2 σx ̺σx σy = (1 − ̺2 )σx σx ≥ 0 22 det(C ) = 2 ̺σx σy σy Ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cho ta biÕt ®é lÖch ®¹i l−îng ngÉu nhiªn v gi¸ trÞ trung b×nh cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®ã. Ma trËn c¸c hÖ sè t−¬ng quan còng ®ãng vai trß t−¬ng tù nh− ph−¬ng sai khi xÐt ®é dao ®éng cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn. Gi¶ sö d l ®−êng th¼ng ®i qua (EX, EY ) (gi¸ trÞ trung b×nh cña vÐc t¬ ngÉu nhiªn (X, Y )) v − (α, β ) l →n vÐc t¬ ®¬n vÞ chØ ph−¬ng cña d. Gäi Z = α(X − EX ) + β (Y − EY ) http://www.ebook.edu.vn 14
l h×nh chiÕu vu«ng gãc cña (X − EX, Y − EY ) lªn ®−êng th¼ng d. Ph−¬ng sai cña Z sÏ ®−îc tÝnh th«ng qua ma trËn covarian C nh− sau D(Z ) = α2 E (X − EX )2 + β 2 (Y − EY )2 + 2αβE (X − EX )E (Y − EY ) = = α2 σx + β 2 σy + 2αβ̺σx σy 2 2 NhËn xÐt r»ng ph−¬ng sai cña Z l d¹ng to n ph−¬ng víi ma trËn covarian C l ma trËn cña d¹ng to n ph−¬ng ®ã. Do det(C ) ≥ 0, nãi chung C l ma trËn b¸n x¸c ®Þnh d−¬ng. NÕu X v Y ®éc lËp tuyÕn tÝnh (|̺| < 1), khi ®ã C l ma trËn x¸c ®Þnh d−¬ng thùc sù. NhËn xÐt 3 Sö dông c¸c phÐp to¸n ®èi víi ma trËn, ta cã thÓ më réng kh¸i niÖm ma trËn covarian cho nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Xi , E (Xi ) = mi , cov (Xi , Xj ) = σij , i, j = 1, 2, ..., n Khi ®ã ma trËn covarian cña (X1 , X2 , ..., Xn ) l   ··· σ11 σ12 σ1n  σ21 σ2n  ··· σ22 C (X ) =     ··· ··· ··· σn1 σn2 σnn Gi¶ sö ai , i = 1, 2, ...n l c¸c sè thùc bÊt k×. Khi ®ã 2 n n ai (Xi − mi ) D( ai X i ) = E = i=1 i=1 = ai aj σij i j T−¬ng tù n n cov ( ai X i , b i Xi ) = ai bj σij i=1 i=1 i j KÝ hiÖu A,B,X,M l c¸c vÐc t¬ cét víi c¸c th nh phÇn ai , bi , Xi , mi t−¬ng øng. C(X) l ma trËn covarian cña X. Tõ c¸c ®¼ng thøc trªn suy ra E (AT X ) = AT E (X ) = AT M D(AT X ) = AT C (X )A cov (AT X, B T X ) = AT C (X )B = B T C (X )A. 4 H m ®Æc tr−ng 1. §¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc Trong lÝ thuyÕt x¸c suÊt ng−êi ta sö dông h m ®Æc tr−ng nh− l mét c«ng cô quan träng ®Ó chøng minh c¸c ®Þnh lÝ giíi h¹n, ®Ó nghiªn cøu c¸c ®Æc tr−ng sè cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn nh−: k× väng, ph−¬ng sai... Tr−íc khi dÉn v o kh¸i niÖm h m ®Æc tr−ng, ta cÇn t×m hiÓu mét chót vÒ ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc. Gäi ξ v η l hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn, khi ®ã ζ = ξ + iη ®−îc gäi l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc. Nã thùc chÊt l mét h m víi gi¸ trÞ phøc ®−îc x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian c¸c biÕn cè ngÉu nhiªn c¬ b¶n . K× väng v ph−¬ng sai cña ζ ®−îc x¸c ®ônh nh− sau E (ζ ) = E (ξ ) + iE (η ) D(ζ ) = E (|ζ − E (ζ )|2 ) Hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc ζ1 = ξ1 + iη2 v ζ2 = ξ2 + iη2 ®éc lËp nhau nÕu c¸c vÐct¬ ngÉu nhiªn (ξ1 , η1 ) v (ξ2 , η2 ) ®éc lËp nhau. Sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc còng l sù ®éc lËp cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn 2 chiÒu. DÔ d ng chøng minh ®−îc khi ®ã E (ζ1 ζ2 ) = E (ζ1 ) + E (ζ2 ) D(ζ1 + ζ2 ) = D(ζ1 ) + D(ζ2 ) http://www.ebook.edu.vn 15
KÕt qu¶ n y còng më réng cho tr−êng hîp nhiÒu h¬n hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp. 2. H m ®Æc tr−ng v c¸c tÝnh chÊt cña h m ®Æc tr−ng H m ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ ®−îc x¸c ®Þnh trªn R ϕ(t) = E (eitξ ) = E (cos tξ ) + iE (sin tξ ) ... ... ξ x1 x2 xn Tr−êng hîp ξ l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn rêi r¹c P ... ... p1 p2 pn khi ®ã +∞ +∞ +∞ pn eitxn . ϕ(t) = pn cos txn + i pn sin txn = n=1 n=1 n=1 NÕu ξ l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn liªn tôc víi f (x) l h m mËt ®é, h m ®Æc tr−ng cña ξ +∞ +∞ +∞ f (x)eitx dx. ϕ(t) = f (x) cos tx dx + i f (x) sin tx dx = −∞ −∞ −∞ H m ®Æc tr−ng lu«n lu«n tån t¹i v chóng cã c¸c tÝnh chÊt sau 1. Gi¸ trÞ h m ®Æc tr−ng t¹i t = 0 lu«n b»ng 1, ϕ(0) = 1 v |ϕ(t)| 1 víi mäi t ∈ R. ThËt vËy, ϕ(0) = 1 l hiÓn nhiªn. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc E (X ) 2 E (X 2 ) víi bÊt k× X |ϕ(t)|2 = E 2 (cos tξ ) + E 2 (sin tξ ) E (cos2 tξ ) + E (sin2 tξ ) = 1. 2. Víi mäi t ∈ R ϕ(−t) = E (e−itξ ) = E (cos(−t)ξ ) + iE (sin(−t)ξ ) = ϕ(t). NÕu ξ cã ph©n bè x¸c suÊt ®èi xøng qua 0 (hay h m ph©n bè cña ξ v −ξ trïng nhau), khi ®ã h m ®Æc tr−ng cña ξ nhËn c¸c gi¸ trÞ thùc v ϕ(t) l h m ch½n. 3. Víi c¸c sè thùc bÊt k× a v b, h m ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X = aξ + b b»ng E (itX ) = eibt ϕ(at). 4. H m ®Æc tr−ng ϕ(t) liªn tôc ®Òu trªn to n bé R. ε Chän ε > 0 tïy ý. KÝ hiÖu Aλ l biÕn cè |ξ | > λ sao cho P (Aλ ) = P (|ξ | > λ) < 3 . Khi ®ã ϕ(t) = E (eitξ /Aλ )P (Aλ ) + E (eitξ /Aλ )P (Aλ ). Suy ra ε |ϕ(t) − E (eitξ /Aλ )P (Aλ )| = |E (eitξ /Aλ )P (Aλ )| 1 · |P (Aλ )| 3 Tõ ®©y ta suy ra 2ε 2ε E (|eit1 ξ − eit2 ξ |/Aλ )P (Aλ ) + |ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| E (|(t1 − t2 )ξ |/Aλ ) + 3 3 ε Do E (|(t1 − t2 )ξ |/Aλ ) |t1 − t2 |λ nªn |ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| ε nÕu |t1 − t2 | < δ = 3λ . 5. H m ®Æc tr−ng cã tÝnh chÊt ®Æc biÖt quan träng sau ®©y: Gi¶ sö ξ1 , ξ2 , ..., ξn l c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ho n to n ®éc lËp, khi ®ã h m ®Æc tr−ng cña tæng X = ξ1 + ξ2 + · · · ξn b»ng n ϕX (t) = ϕξi (t) i=1 Do nhËn xÐt sù ®éc lËp cña nhiÒu ®¹i l−îng ngÉu nhiªn phøc còng l sù ®éc lËp cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn nhiÒu chiÒu, nªn kÕt qu¶ trªn ®−îc suy ra tõ ®Þnh lÝ k× väng cña tÝch c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp b»ng tÝch c¸c k× väng. http://www.ebook.edu.vn 16
6. NÕu tån t¹i c¸c m«ment cÊp k, (k = 1, 2, ..., n) cña ξ , khi ®ã h m ®Æc tr−ng ϕξ (t) kh¶ vi cÇp n v (k ) ϕξ (0) = ik E (ξ k ) (k = 1, 2, ..., n). +∞ +∞ xeitx f (x) dx héi tô ®Òu theo t, suy ra Theo gi¶ thiÕt f (x)|x| dx tån t¹i v h÷u h¹n nªn −∞ −∞ +∞ +∞ ′ ′ ixeitx f (x) dx ⇒ ϕξ (0) = i ϕξ (t) = xf (x) dx = iE (ξ ) −∞ −∞ LËp luËn t−¬ng tù víi k = 2, ..., n. 7. Ta c«ng nhËn kÕt qu¶ rÊt m¹nh sau ®©y cña h m ®Æc tr−ng: C¸c h m ph©n bè ®−îc x¸c ®Þnh duy nhÊt +∞ bëi h m ®Æc tr−ng cña nã. Ngo i ra nÕu gi¶ thiÕt tÝch ph©n −∞ |ϕ(t)| dt < +∞ khi ®ã h m mËt ®é f (x) liªn tôc, v +∞ 1 ϕ(t)e−itx dt f (x) = 2π −∞ 8. Cho mét d y c¸c h m ph©n bè F (x), F1 (x), F1 (x), ... cïng víi c¸c h m ®Æc tr−ng t−¬ng øng ϕ(t), ϕ1 (t), ϕ2 (t), ... §iÒu kiÖn cÇn v ®ñ ®Ó lim Fn (x) = F (x) t¹i mäi ®iÓm liªn tôc cña F (x) n→∞ l , víi mäi sè thùc t ∈ R lim ϕn (t) = ϕ(t). n→∞ B i tËp 6 1. H m ®Æc tr−ng cña ξk (k = 1, 2, ..., n) ph©n bè theo luËt 0, 1 E (eitξk ) = eit (1 − p) + eit p = 1 + p(eit − 1) n Suy ra h m ®Æc tr−ng cña ph©n bè nhÞ thøc ξ = i=1 ξi (do ξ l tæng cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp ξi ) ϕ(t) = E (eitξ ) = (1 + p(eit − 1))n 2. H m ®Æc tr−ng cña ph©n bè Poisson ∞ ∞ k (λeit )k itk −λ λ it −λ = eλ(e −1) ϕ(t) = e e =e k! k! k =0 k =0 3. H m ®Æc tr−ng cña ph©n bè mò +∞ 1 e−x(λ−it) dx = ϕ(t) = λ it 1− 0 λ 4. H m ®Æc tr−ng cña ph©n bè ®Òu trªn (−1, 1) 1 1 sin t eitx dx = ϕ(t) = 2 t −1 Chó ý r»ng t−¬ng tù nh− h m ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ξ víi f (x) l h m mËt ®é, ng−êi ta cßn ®−a v o mét h m kh¸c ®−îc ®Þnh nghÜa nh− sau +∞ G(t) = E (etξ ) = etx f (x) dx −∞ Kh¸c víi h m h m ®Æc tr−ng, h m G(t) kh«ng ph¶i lu«n lu«n tån t¹i. §èi víi ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (0, 1) +∞ +∞ +∞ 1 1 1 (x−t)2 (x−t)2 x2 2 t2 t2 + t2 etx e− e− e− G(t) = √ dx = √ dx = √ e 2 dx = e 2 2 2 2 2π 2π 2π −∞ −∞ −∞ Sö dông nã ta cã thÓ tÝnh h m ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn http://www.ebook.edu.vn 17
5. H m ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (0, 1) (it)2 t2 = e− 2 ϕ(t) = G(it) = e 2 6. Sö dông tÝnh chÊt 3. h m ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn ξ ∈ N (m, σ 2 ) 2 t2 ϕ(t) = eimt−σ 2 7. H m ®Æc tr−ng cña ph©n bè χ2 = ξ1 + ξ2 + · · · + ξn . §©y l tæng cña n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp 2 2 2 n 2 cã cïng ph©n bè χ víi mét bËc tù do. Ta ® biÕt r»ng h m mËt ®é cña mçi sè h¹ng b»ng x √ 1 e− 2 nÕu x > 0, 2πx h(x) = nÕu x < 0 0 H m ®Æc tr−ng cña χ2 b»ng 1 ∞ ∞ 1 1 x x eitx √ e− 2 dx = e− 2 (1−2it) dx = √ ϕξk (t) = 2 2πx 2πx 0 0 ∞ 2 − u2 (1−2it) 1 du = √ = e2 π 1 − 2it 0 χ2 VËy h m ®Æc tr−ng cña ph©n bè víi n bËc tù do n n ϕ(t) = (1 − 2it)− 2 Chó ý r»ng tõ tÝnh chÊt 6. cã thÓ tÝnh k× väng, ph−¬ng sai v m«ment c¸c cÊp cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn dùa v o h m ®Æc trung cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®ã. Ch¼ng h¹n ph−¬ng sai cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ph©n ′′ bè χ2 víi n bËc tù do b»ng: −ϕ (0) − n2 = 2n. n B i tËp 1. C¸c h m n o l h m ®Æc tr−ng trong sè c¸c h m sau 1 a) ϕ(t) = 1+t2 e−|x| 1 XÐt h m mËt ®é f (x) = 2. H m ®Æc tr−ng cña ph©n bè ®ã b»ng ϕ(t) = 1+t2 . NÕu ¸p dông tÝch ph©n trong tÝnh chÊt 7. +∞ +∞ e−|x| 1 1 1 e−itx dt ⇔ e−|u| = eiux dx = 1 + t2 π (1 + x2 ) 2 2π −∞ −∞ VËy ϕ(t) = e−|t| l h m ®Æc tr−ng cña ph©n bè Cauchy. 4 b) ϕ(t) = e−t kh«ng l h m ®Æc tr−ng. ′′ Do ϕ (0) = 0 suy ra D(ξ ) = 0, v« lÝ. c) ϕ(t) = sin t kh«ng l h m ®Æc tr−ng. d) ϕ(t) = cos t l h m ®Æc tr−ng cña ξ víi ph©n bè cña ξ : P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 1 . 2 e) ϕ(t) = 1 (1 + cos t) l h m ®Æc tr−ng cña ξ víi ph©n bè cña ξ : P (ξ = 1) = P (ξ = −1) = 1 4, 2 P (ξ = 0) = 1 . 2 f) T×m h m ®Æc tr−ng cña ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã h m mËt ®é f (x) = 1 − |x|, víi |x| 1 2 1 2 t eitx (1 − |x|)dx = ϕ(t) = sin t 2 −1 Ta còng cã thÓ ®¹t ®−îc kÕt qu¶ trªn b»ng c¸ch chøng minh f (x) = 1 − |x| l h m mËt ®é cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp ph©n bè ®Òu trªn ®o¹n [− 1 , 1 ]. 22 http://www.ebook.edu.vn 18
1 B i tËp 2. Chøng tá r»ng nÕu ϕ(t) l h m ®Æc tr−ng, khi ®ã còng l h m ®Æc tr−ng. 2−ϕ(t) Gi¶ sö ξ1 , ξ2 , ... l d y c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cïng cã ϕ(t) l h m ®Æc tr−ng. Gäi ν l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp víi d y trªn v 1 P ( ν = n) = (n = 0, 1, ...). 2n+1 XÐt nÕu ν > 0, ξ1 + ξ2 + · · · + ξν ξ= nÕu ν = 0 0 ¸p dông ®Þnh lÝ k× väng ®Çy ®ñ ∞ ∞ (ϕ(t))n 1 ϕξ (t) = E (eitξ ) = E (eitξ /{ν = n})P (ν = n) = = 2n+1 2 − ϕ(t) n=0 n=0 B i tËp 3. Chøng minh r»ng tæng cña hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã ph©n bè chuÈn (víi c¸c tham sè tïy ý) còng l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn cã ph©n bè chuÈn. ThËt vËy h m ®Æc tr−ng cña tæng hai ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã d¹ng h m ®Æc tr−ng cña ph©n bè chuÈn 2 t2 2 t2 2 t2 2 ϕ1 (t)ϕ2 (t) = eim1 t−σ1 2 eim2 t−σ2 2 = ei(m1 +m2 )t−(σ1 +σ1 ) 2 . 5 LuËt sè lín v ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m 1. C¸c d¹ng héi tô v kh¸i niÖm vÒ luËt sè lín Sù æn ®Þnh dÇn cña tÇn suÊt tíi x¸c suÊt cña biÕn cè A chÝnh l d¹ng ®¬n gi¶n nhÊt cña luËt sè lín. Ng−êi ta gäi chung c¸c quy luËt kh¼ng ®Þnh sù héi tô tíi h»ng sè C cña trung b×nh céng cña d y n ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Y1 + Y2 + · · · + Yn khi n → ∞ →C n l luËt sè lín. §Þnh nghÜa 8 Cho d y Yn , n = 1, 2, ... c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn. Ta nãi Yn héi tô theo x¸c suÊt tíi ®¹i P l−îng ngÉu nhiªn Y , kÝ hiÖu Yn → Y , nÕu víi bÊt k× ǫ > 0 lim P (|Yn − Y | > ǫ) = 0. n→∞ h.c.c Ta nãi d y c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn Xn , n = 1, 2, ... héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi X , kÝ hiÖu Xn → X , nÕu P ( lim Xn = X ) = 1. n→∞ Ta cã thÓ chøng minh héi tô hÇu ch¾c ch¾n kÐo theo héi tô theo x¸c suÊt. §iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng. ThËt vËy ∞∞∞ 1 { ω : Xn → X } = |Xm − X | < k n=1 m=n k =1 h.c.c Gi¶ sö Xn → X , suy ra víi mäi ε > 0 ∞ ∞ ∞ {|Xm − X | < ǫ} {|Xm − X | < ǫ} P = lim P = 1. n→∞ n=1 m=n m =n Do vËy P hay Xn → X. lim P (|Xm − X | < ε) = 1 n→∞ h.c.c NhËn xÐt r»ng Xn → X t−¬ng ®−¬ng víi ∞ P víi mäi ε > 0 {|Xm − X | < ǫ} ⇔ sup |Xm − X | → 0. lim P =1 n→∞ m≥n m =n http://www.ebook.edu.vn 19
§Þnh lÝ 5 (Trªb−sÐp) Gi¶ sö X l ®¹i l−îng ngÉu nhiªn tån t¹i k× väng m = E (X ) v ph−¬ng sai σ 2 = D(X ). Khi ®ã víi mäi ǫ > 0 ta cã: σ2 P (|X − m| ≥ ǫ) ǫ2 E (Y ) Chøng minh Víi ®¹i l−îng ngÉu nhiªn kh«ng ©m Y , ta biÕt r»ng P (Y ≥ ǫ) . Do ®ã ǫ E (|X − m|2 ) σ2 P (|X − m| ≥ ǫ) = P (|X − m|2 ≥ ǫ2 ) = 2. 2 ǫ ǫ 2. LuËt sè lín v ®Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m B©y giê ta ph¸t biÓu v chøng minh ®Þnh lÝ sau vÒ luËt sè lín §Þnh lÝ 6 (LuËt yÕu sè lín) Gi¶ sö X1 , X2 , ... l c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng k× väng v ph−¬ng sai E (Xi ) = m, D(Xi ) = σ 2 , i = 1, 2, ... X1 +X2 +...+Xn Khi ®ã héi tô theo x¸c suÊt tíi m n X1 + X2 + ... + Xn P →m n Chøng minh Ta cã σ2 X1 + X2 + ... + Xn X1 + X2 + ... + Xn E = m, D = n n n ¸p dông ®Þnh lÝ Trªb−sÐp ta ®−îc ®.p.c.m. σ2 X1 + X2 + ... + Xn −m >ǫ P . nǫ2 n NhËn xÐt r»ng ®Þnh lÝ trªn vÉn ®óng nÕu ta thay gi¶ thiÕt sù ®éc lËp b»ng sù kh«ng t−¬ng quan cña c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn X1 , X2 , ... Cuèi cïng ta ph¸t biÓu, kh«ng chøng minh ®Þnh lÝ sau cña Kolgomorov §Þnh lÝ 7 (LuËt m¹nh sè lín) Gi¶ sö X1 , X2 , ... l c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cã cïng h m ph©n bè. Khi ®ã ®iÒu kiÖn cÇn v ®ñ ®Ó X1 +X2n ...+Xn héi tô hÇu ch¾c ch¾n tíi µ + X1 + X2 + ... + Xn h.c.c →µ n l tån t¹i k× väng E (Xi ) v E (Xi ) = µ. Sö dông c¸c kÕt qu¶ vÒ h m ®Æc tr−ng ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lÝ giíi h¹n sau §Þnh lÝ 8 Cho mét d y c¸c ®¹i l−îng ngÉu nhiªn ®éc lËp cïng ph©n bè X1 , X2 , X3 , ..., Xn , ... víi E (Xk ) = m, D(Xk ) = σ 2 víi mäi k = 1, 2, ... Khi ®ã x X1 + X2 + · · · + Xn − nm 1 u2 e− √ =√ lim P