intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Tích phân - Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Dương Lữ Điện | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST
Báo xấu
237
lượt xem 67
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng tích phân của thầy Đặng Việt Hùng dành cho các bạn học sinh lớp 12 tham khảo, giúp các bạn dễ dàng luyện thi đại học ôn lại những kiến thức cơ bản với tài liệu này. Tích phân là một khái niệm toán học có thể hiểu như là diện tích hoặc diện tích tổng quát hóa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tích phân - Đặng Việt Hùng

  1. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 1 LUY N THI I H C TR C TUY N §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GI NG TR NG TÂM TÍCH PHÂN H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  2. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 2 01. I CƯƠNG V NGUYÊN HÀM I. NH C L I KHÁI NI M V VI PHÂN C A HÀM S Vi phân c a hàm s y = f(x) ư c kí hi u là dy và cho b i công th c dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví d : d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: T công th c vi phân trên ta d dàng thu ư c m t s k t qu sau 1 d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) 2 1 d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 3  x2  1  2  2 1 2 ( ) 1 ( xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2 2 ) ( )    x3  1  3  3 ( ) 1 ( x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3 3 1 3 ) ( )   1 d ( ax + b ) 1 = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) dx dx = ax + b a ax + b a x sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ... 1 1 1 → a a 2 cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ... 1 1 1 → a a 2 1 a 1 a ( ) 1 eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  e2 x dx = d e 2 x ... → 2 ( ) dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 = = d  tan ( ax + b )     → = d ( tan 2 x ) ... cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a 2 2 2 cos 2 x 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 = = − d cot ( ax + b )     → 2 = − d ( cot 2 x ) ... sin 2 ( ax + b ) a sin ( ax + b ) 2 a sin 2 x 2 II. KHÁI NI M V NGUYÊN HÀM Cho hàm s f(x) liên t c trên m t kho ng (a; b). Hàm F(x) ư c g i là nguyên hàm c a hàm s f(x) n u F’(x) = f(x) và ư c vi t là ∫ f ( x)dx . T ó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nh n xét: V i C là m t h ng s nào ó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên t ng quát hóa ta vi t ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi ó F(x) + C ư c g i là m t h nguyên hàm c a hàm s f(x). V i m t giá tr c th c a C thì ta ư c m t nguyên hàm c a hàm s ã cho. Ví d : Hàm s f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x Hàm s f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CH T CƠ B N C A NGUYÊN HÀM Cho các hàm s f(x) và g(x) liên t c và t n t i các nguyên hàm tương ng F(x) và G(x), khi ó ta có các tính ch t sau: a) Tính ch t 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Ch ng minh: Do F(x) là nguyên hàm c a hàm s f(x) nên hi n nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ pcm. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  3. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 3 b) Tính ch t 2: ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx Ch ng minh: Theo tính ch t 1 ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo nh nghĩa nguyên hàm thì v ph i chính là nguyên hàm c a f(x) + g(x). T ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx ó ta có c) Tính ch t 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0 Ch ng minh: ′ ( ) Tương t như tính ch t 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x)  ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ pcm. → d) Tính ch t 4: ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du.. Tính ch t trên ư c g i là tính b t bi n c a nguyên hàm, t c là nguyên hàm c a m t hàm s ch ph thu c vào hàm, mà không ph thu c vào bi n. IV. CÁC CÔNG TH C NGUYÊN HÀM Công th c 1: ∫ dx = x + C Ch ng minh: Th t v y, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫ du = u + C x n +1 Công th c 2: ∫ x n dx = +C n +1 Ch ng minh:  x n +1 ′ x n +1 Th t v y, do  + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C  n +1  n +1 Chú ý: u n +1 + M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫ u n du = +C n +1 1 dx dx du +V i n=− ⇒∫ = 2∫ = 2 x + C ← ∫ → =2 u +C 2 x 2 x u dx 1 du 1 + V i n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ← ∫ 2 = − + C → x x u u Ví d : x3 a) ∫ x 2 dx = + C 3 x5 b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C 5 1 1 3 x − x2 x3 − 2 x2 x 3 x2 x2 c) ∫ x dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − = x 2 1 − + C = 33 x − + C 2 2 3 ( 2 x + 1) + C 5 1 d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1)  I = u n du → 4 4 2 5 (1 − 3x ) + C 2011 1 e) I = ∫ (1 − 3x ) dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )  I = − u n du → 2010 2010 3 2011 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  4. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 4 1 d ( 2 x + 1) u 2 du dx 1 1 1 f) I = ∫ = ∫ ( 2 x + 1)2 → I = − 2 . 2 x + 1 + C = − 2 ( 2 x + 1) + C ( 2 x + 1) 2 2 3 3 1 1 2 3 g) I = ∫ 4 x + 5dx = 4 ∫ 4 x + 5d ( 4 x + 5 ) ⇒ I = 4 . 3 ( 4 x + 5 ) 2 + C = 8 ( 4 x + 5 ) 2 + C dx Công th c 3: ∫ = ln x + C x Ch ng minh: Th t v y, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C 1 dx x x Chú ý: du + M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫u = ln u + C  dx 1 dx 1 d ( ax + b ) 1  ∫ 2x + k = 2 ln 2 x + k + C  + ∫ ax + b a ∫ ax + b = = ln ax + b + C   → a  dx = − 1 ln k − 2 x + C ∫ k − 2 x  2 Ví d :  1 1 1 dx x 4 a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + 2 x + ln x + C  x x x x 4 1 d ( 3x + 2 ) u du dx 1 b) I = ∫ = ∫  I = ln 3x + 2 + C → 3x + 2 3 3x + 2 3 2x + x + 3 2  3  dx 3 d ( 2 x + 1) 3 c) ∫ dx = ∫  2 x +  dx = ∫ 2 xdx + 3∫ = x2 + ∫ = x 2 + ln 2 x + 1 + C 2x + 1  2x + 1  2x + 1 2 2x + 1 2 Công th c 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Ch ng minh: Th t v y, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫ sinudu = − cos u + C 1 1 1 + ∫ sin ( ax + b ) dx = ∫ sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − a cos ( ax + b ) + C  ∫ sin 2 xdx = − 2 cos 2 x + C → a Ví d :  1  dx 3 1 d ( 2 x − 1) a) ∫  x x + s inx +  dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ = ∫ x 2 dx − cos x + ∫ =  2x −1  2x −1 2 2x −1 5 2x 2 1 = − cos x + ln 2 x − 1 + C 5 2  3  dx 1 3 d ( 4 x − 3) 1 3 b) ∫  sin 2 x +  dx = ∫ sin 2 xdx +3∫ = ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫ = − cos2 x + ln 4 x − 3 + C  4x − 3  4x − 3 2 4 4x − 3 2 4  x  c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx  2   x 1 x 1 1 Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 2 2 3 T ó:  x  x x  x 1 1 ∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x )     x 1 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 2 3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  5. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 5 Công th c 5: ∫ cos xdx = sin x + C Ch ng minh: Th t v y, do ( sin x + C )′ = cos x ⇒ ∫ cos xdx = sin x + C Chú ý: + M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫ cosudu = sin u + C 1 1 1 + ∫ cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C a∫ → a 2 Ví d :  4x − 1   5  a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −  dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C  x +1   x +1 1 x2 b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos 2 xdx + ∫ sin xdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C 2 2 1 − cos 2 x 1 1  1 1 1 1 c) ∫ sin 2 xdx = ∫ dx = ∫  − cos 2 x  dx = x − ∫ cos 2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C 2 2 2  2 4 2 4 dx Công th c 6: ∫ = tan x + C cos 2 x Ch ng minh: Th t v y, do ( tan x + C )′ = 1 dx 2 ⇒∫ = tan x + C cos x cos 2 x Chú ý: du + M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫ cos u = tan u + C 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 + ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C  ∫ cos 2 2 → 2 = tan 2 x + C 2x 2 Ví d :  1  dx 1 a) ∫  2 + cos x − sin 2 x  dx = ∫ 2 + ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C  cos x  cos x 2  1 2  dx dx 1 d ( 2 x − 1) 2 d (5 − 4x) b) I = ∫   cos 2 ( 2 x − 1) + 5 − 4 x  dx = ∫ cos 2 ( 2 x − 1) + 2 ∫ 5 − 4 x = 2 ∫ cos 2 ( 2 x − 1) − 4 ∫ 5 − 4 x    du 1 1  = → tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C 2 cos u 2 2 1 d (3 − 2x ) du dx 1 c) I = ∫ =− ∫  I = − tan ( 3 − 2 x ) + C cos 2 u → cos 2 ( 3 − 2 x ) 2 cos 2 ( 3 − 2 x ) 2 dx Công th c 7: ∫ = − cot x + C sin 2 x Ch ng minh: Th t v y, do ( − cot x + C )′ = 1 dx 2 ⇒ ∫ 2 = − cot x + C sin x sin x Chú ý: du + M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫ sin u = − cot u + C 2 dx 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 + ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C  ∫ sin 2 2 → 2 2x = − cot 2 x + C 2 Ví d :  1  dx 1 x6 a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C  sin x  sin x 2 3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  6. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 6 1 d (1 − 3 x ) du dx 1 1 b) I = ∫ =− ∫ 2  I = − − cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C sin 2 u →   sin (1 − 3x ) 2 3 sin (1 − 3 x ) 3 3  x d  du c) I = ∫ dx = 2∫  2   I = −2 cot  x  + C sin 2 u →    x x 2 sin 2   sin 2   2 2 Công th c 8: ∫ e x dx = e x + C Ch ng minh: Th t v y, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: + M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫ eu du = eu + C  2 x+ k 1 2 x+k 1 ax + b 1  ∫ e dx = 2 e  +C + ∫ e ax + b dx = e d ( ax + b ) = e ax + b a∫ + C   → a  e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C ∫  2 Ví d :  1 4  dx 4 1 1 d ( 3x ) a) ∫  e −2 x +1 − 2 +  dx = ∫ e −2 x +1 dx − ∫ 2 + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x  sin 3x x sin 3 x x 2 3 sin 3 x 1 1 = − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C 2 3 ∫ ( 4e + cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx = 4 3x+2 1 ∫ e d ( 3x + 2) − 3 ∫ cos (1 − 3x ) d (1 − 3x ) 3 x+2 b) 3 4 1 = e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C 3 3 ax Công th c 9: ∫ a x dx = +C ln a Ch ng minh:  ax ′ a x ln a ax Th t v y, do  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C  ln a  ln a ln a Chú ý: + M r ng v i hàm s h p u = u ( x) , ta ư c ∫ a u du = a u + C 1 kx + m 1 kx + m + ∫ a kx + m dx = k ∫ a d ( kx + m ) = k a + C Ví d : 23 x 32 x a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = 1 3x 1 2 d ( 3x ) + ∫ 32 x d ( 2 x )  I = 3∫ a u du → + +C 2 3ln 2 2ln 3 21− 2 x 3 4 x + 3 ∫ (2 − e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = − 1− 2 x 1 3 b) + e +C 2 4 2ln 2 4 BÀI T P LUY N T P: ∫(x )  1  1) I1 = + 2 x dx ∫ 2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx 5 3) x  I3 = ∫( 5 x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx )  1 2 x  1  2 x4 + 3 4) I 4 =   5  x ∫− 4 x 3 + 2  dx  x  5) I 5 = ∫  x +  dx x 6) I 6 = ∫ x2 dx H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  7. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 7 ( ) (x + 4) 2 2 x −1 2 8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx 2 7) I 7 = ∫ dx 3 9) I 9 = ∫ dx x x2 3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1 x2 − x x − x  1 1  10) I10 = ∫ dx 11) I11 = ∫ dx 12) I12 = ∫  − 3  dx x2 x  x x ( ) 2  1  3  1  2 2 x − 3 3x 13) I13 = ∫  x −   dx x 14) I14 = ∫  x + 3  dx  x 15) I15 = ∫ x dx 16) I16 = ∫ ( x − 24 x )( x − x ) dx 17) I17 = ∫ 1 (2 x − 3)5 dx 18) I18 = x +1 ∫ ( x − 3) 4 dx  x π  x  x  ∫ 19) I19 = sin  +  dx 2 7  3∫ 20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx 21) I 21 = ∫  sin + x  dx  2    π x +1 2 x x ∫ 22) I 22 =  sin  3x +  − sin   4  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 2  2 24) I 24 = ∫ sin 2 dx 2 28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx dx dx 26) I 26 = ∫ 27) I 27 = ∫ cos 2 4 x cos ( 2 x − 1) 2 dx 29) I 29 = ∫ tan 4 x dx 30) I 30 = ∫ cot 2 x dx 31) I 31 = ∫ sin ( 2 x + 3) 2 dx  1   1  32) I 32 = ∫ 33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx 34) I 34 = ∫  x 2 +  dx 1 − cos 6 x  x   3x + 2   1  x+2 2x −1 35) I 35 = ∫  sin 2 x −  dx 36) I 36 = ∫ dx 37) I 37 = ∫ dx  2 − 5x  x−3 4x + 3 x x 2 + x + 11 2x2 − x + 5 38) I 38 = ∫ dx 39) I 39 = ∫ dx 40) I 40 = ∫ dx 6 − 5x x+3 x −1 3x 3 + 2 x 2 + x + 1 4 x3 + 4 x 2 − 1 4 x2 + 6x + 1 41) I 41 = ∫ dx 42) I 42 = ∫ dx 43) I 43 = ∫ dx x+2 2x + 1 2x + 1 ∫ 44) I 44 = e−2x +3dx 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx 2      e− x  49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx 2 47) I 47 = ∫  e− x + 2  dx 48) I 48 = ∫ e x  2 +  dx  sin (3 x + 1)   cos 2 x  1 2x 50) I 50 = ∫ 2x dx 51) I 51 = ∫ 7x dx ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  8. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 8 02. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM CÁC BI U TH C VI PHÂN QUAN TR NG 1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 ) 1 1 1 dx 6. = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) 2 2 2 sin 2 x 2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 ) 1 3 1 3 1 3 7. dx 2 x =d ( x) = d( ) ( x ± a = −d a − x ) 3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) 8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) dx 4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) 9. = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x dx 1 1 5. = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) 10. dx = d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) cos 2 x a a Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: x x 2 dx a) I1 = ∫ 1+ x 2 dx b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx ∫ c) I 3 = ∫ x3 + 1 Hư ng d n gi i:  x  1 ( ) ( ) 2 1  xdx = d   = d x = d x ± a 2 2   2  2 2 a) S d ng các công th c vi phân   du  u = d ( ln u )  1 d x 2 ( ) 1 d x +1 2 du ( ) Ta có I1 = x ∫ 1+ x 2 dx = 2 1+ x 2 =∫2 1+ x 2 ∫ ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C ←→ I1 = ln x 2 + 1 + C. 1 2 ( )   x2  1  xdx = d   = d x = d x ± a 2 1 ( ) 2 ( )   2  2 2 b) S d ng các công th c vi phân   n  u n +1   u du = d     n +1 (1 + x ) 11 2 ∫ ( ) ∫ (1 + x ) d ( x ) 10 1 10 Ta có I 2 = x 1 + x 2 dx = 2 2 +1 = + C. 2 22  2  x3  1   x dx = d   = d x 3 ± a ( ) c) S d ng các công th c vi phân   3 3  du 2 u = d u  ( ) 1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1 3 3 x 2 dx Ta có I 3 = ∫ = ∫ = ∫ = + C. x3 + 1 3 x3 + 1 3 2 x3 + 1 3 Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx b) I 5 = ∫ c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx 2x −1 Hư ng d n gi i: H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  9. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 9   x2  1 1  xdx = d   = d x = − d a − x 2  2 2 2 2 ( ) ( )   a) S d ng các công th c vi phân   n  u n +1  u du = d     n +1 1 1 (1 − x ) 2 3 Ta có I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = − 1 1 + C. 2 2 3  1 1 dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  b) S d ng các công th c vi phân   du = d u  2 u ( ) 1 d ( 2 x − 1) d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u ) du dx Ta có I 5 = ∫ = ∫ =∫ ← I 5 = 2 x − 1 + C . → 2x −1 2 2x − 1 2 2x −1  1 1  dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  c) S d ng các công th c vi phân   n +1  u n du = d  u     n +1 3 1 2 (5 − 2x )2 (5 − 2x) 3 1 1 1 ⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − . +C = − + C. 2 2 2 3 3 Ví d 3. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 2 x3 dx ln 3 x a) I 7 = ∫x −5 5 4 dx b) I 8 = ∫ (3 − 2 x)5 c) I 9 = ∫ x dx Hư ng d n gi i:  3 x  1 ( ) ( ) 4 1  x dx = d   = d x ± a = − d a − x 4 4   4  4 4 a) S d ng các công th c vi phân   du  u − n +1   un =d    −n + 1   x4  ( ) 4 d  ( ) 4 1 5 x4 − 5 5 5 5 x4 − 5 ∫( ) ( ) 3 4  1 − 2x  1 ⇒ I7 = ∫ dx = 2 ∫ = x −5 5 d x4 − 5 = +C = + C. 4 . x −5 5 4 x −5 2 5 4 2 4 8 ( 3 − 2 x ) + C. 6 dx 1 b) Ta có I 8 = ∫ = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − 5 (3 − 2 x) 5 2 12 ln 3 x ln 4 x = d ( ln x ) ta ư c I 9 = ∫ dx c) S d ng công th c vi phân dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = + C. x x 4 Ví d 4. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 3 dx cos x a) I10 = ∫ ( 4 − 2x) 2010 b) I11 = x dx ∫ c) I12 = cos x sin x dx ∫ Hư ng d n gi i: 3 (4 − 2x) −2009 3 dx 3 3 = − ∫ ( 4 − 2x ) d (4 − 2x) = − −2010 a) Ta có I10 = ∫ +C = + C. ( 4 − 2x ) 2 −2009 4018 ( 4 − 2 x ) 2010 2009 2 cos u du = d ( sin u )  ( ) b) S d ng các công th c vi phân  dx  =d x 2 x Ta có I11 = ∫ cos x x dx = 2 cos x 2 x ∫ dx = 2 cos x d ∫ ( x ) = 2sin x + C. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  10. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 cos u du = d ( sin u )  c) S d ng các công th c vi phân  sin x dx = −d ( cos x )  3 1 2 ( cos x ) 2 2 cos3 x Ta có I12 = ∫ cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ 2 =− + C. 3 3 Ví d 5. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: sin x a) I13 = ∫ 3 sin x cos x dx cos5 x dx b) I14 = ∫ c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx Hư ng d n gi i: sin u du = −d ( cos u )  a) S d ng các công th c vi phân  cos x dx = d ( sin x )  3   1 4 4 1 u 3 du = d  u 3    3 ( sinx ) 3 3 3 sin 4 x ∫ ( sinx ) d (sin x ) ← I13 = 4 Ta có I 3 = ∫ 3 sin x cos x dx = 3 →   4 +C = 4 +C ( cos x ) + C = 1 + C. −4 sin x d (cos x) b) Ta có I14 = ∫ dx = − ∫ =− 5 cos x 5 cos x −4 4 cos 4 x cos x dx = d ( sin x )  c) S d ng các công th c vi phân  n  u n +1  u du = d     n +1  u5  u 4 du = d    5  sin 5 x Khi ó ta ư c I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← I15 = 4 →4   + C. 5 Ví d 6. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: sin x dx a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin 4 x cos 4 x dx c) I18 = ∫ 1 + 3cos x Hư ng d n gi i:  sin x dx = −d (cos x)  a) S d ng các công th c  du  ∫ u = ln u + C  sin xdx d ( cos x ) Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ = −∫ = − ln cos x + C. cos x cos x 1 1 ∫ b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx = sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) = ∫ ∫ sin 4 x d ( sin 4 x ) 4 4 3 1 2 ( sin 4 x ) 2 sin 3 4 x = . +C = + C. 4 3 6 sin x dx d ( cos x ) 1 d ( 3cos x + 1) 1 c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln 1 + 3cos x + C. 1 + 3cos x 1 + 3cos x 3 1 + 3cos x 3 Ví d 7. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 2cos x dx cos x dx a) I19 = ∫ b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx ( 2 − 5sin x ) 4sin x − 3 2 Hư ng d n gi i: cos xdx = d (sin x)  a) S d ng công th c vi phân  du  1  u2 = d  − u     2cos x dx 2 d ( sin x ) 2 d ( 2 − 5sin x ) 2 ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C. ( 2 − 5sin x ) 2 ( 2 − 5sin x ) 2 5 ( 2 − 5sin x ) 2 5 ( 2 − 5sin x ) cos xdx = d (sin x)  ( ) b) S d ng công th c vi phân  du 2 u = d u  H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  11. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 11 cos x dx d ( sin x ) 1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1 Ta ư c I 20 = ∫ =∫ = ∫ = ∫ = 4sin x − 3 + C. 4sin x − 3 4sin x − 3 4 4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2  sin xdx d ( cos x )  ∫  tan xdx = ∫ cos x =− ∫ cos x = − ln cos x + C c) S d ng các công th c nguyên hàm cơ b n  2  u du = u + C   ∫ 2 d ( cos x ) = − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) = sin x Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x ) dx = − ∫ ln ( cos x ) cos x cos x ln 2 (cos x) ln 2 (cos x) =− + C  I 21 = − → + C. 2 2 Ví d 8. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: tan x tan 3 x tan 2 x + 1 a) I 22 = ∫ 2 cos x dx b) I 23 = ∫ 4 cos x dx c) I 24 = ∫ cos 2 2 x dx Hư ng d n gi i:  dx  cos 2 x = d ( tan x )  a) S d ng các công th c  2  u du = u + C ∫  2 tan x dx tan 2 x tan 2 x Ta có I 22 = ∫ ∫ dx = tan x. = tan x d ( tan x ) = ∫ + C  I 22 = → + C. cos 2 x cos 2 x 2 2  dx  cos 2 x = d ( tan x )  b) S d ng các công th c   1 = 1 + tan 2 x  cos 2 x  Ta có I 23 = ∫ tan 3 x 4 cos x ∫ dx = tan 3 x. 2 . 1 dx cos x cos 2 x ∫ ( ) ∫( ) = tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x) tan 6 x tan 4 x tan 6 x tan 4 x = + + C  I 23 = → + + C. 6 4 6 4  dx 1 d (ax) 1  cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) )  c) S d ng các công th c  2  u du = u + C ∫  2 tan 2 x + 1 tan 2 x dx dx 1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x) Ta có I 24 = ∫ 2 cos 2 x dx = ∫ 2 cos 2 x + ∫ 2 cos 2 x 2 = ∫ cos 2 2 x + ∫ 2 cos 2 2 x 1 1 tan 2 2 x tan 2 x tan 2 2 x tan 2 x = 2 ∫ tan 2 x d (tan 2 x) + 2 ∫d (tan 2 x) = 4 + 2 + C  I 24 = → 4 + 2 + C. Ví d 9. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: cot x tan x cot x a) I 25 = ∫ 2 dx b) I 26 = ∫ dx c) I 27 = ∫ dx sin x 3 cos x  π cos  x +   2 Hư ng d n gi i:  dx  sin 2 x = − d ( cot x )  a) S d ng các công th c  2  u du = u + C   ∫ 2 cot x dx cot 2 x cot 2 x Ta có I 25 = ∫ dx = cot x. 2 = − cot x d ( cot x ) = − ∫ ∫ + C  I 25 = − → + C. sin 2 x sin x 2 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  12. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 12 sin x dx = −d ( cos x )  b) S d ng các công th c  du u − n +1 ∫ n = +C  u −n + 1 d ( cos x ) ( cos x ) + C = 1 + C  I = 1 + C. −3 tan x sin xdx Ta có I 26 = ∫ dx = ∫ = −∫ =− → 26 3 cos x 4 cos x 4 cos x −3 3cos3 x 3cos3 x  cos x dx = d ( sin x )    π c) S d ng các công th c cos  x +  = − sin x   2  du 1 ∫ 2 = − + C  u u cot x cos x cos x dx d (sin x) 1 1 Ta có I 27 = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = −∫ = + C  I 27 = → + C.  π sin x. ( − sin x ) 2 sin x 2 sin x sin x sin x cos  x +   2 Ví d 10. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: 3e x e tan x + 2 dx a) I 28 = ∫ b) I 29 = ∫ c) I 30 = ∫ x.e1− x dx 2 dx x cos 2 x e 2 ln x + 3 d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx e) I 32 = ∫ dx x Hư ng d n gi i:  dx  a) S d ng các công th c  2 x =d x ( )  eu du = eu + C ∫ ( x ) = 6e x 3e dx Ta có I 28 = ∫ ∫ dx = 3.2 e ∫ = 6 e xd + C  I 28 = 6e → + C. x x x x 2 x  dx  cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k ) b) S d ng các công th c   eu du = eu + C ∫ tan x + 2 e dx dx Ta có I 29 = ∫ 2 = ∫ e tan x + 2 2 = ∫ e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C  I 29 = e tan x + 2 + C. → cos x cos x   x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x ) 1 2 1 2 c) S d ng các công th c   eu du = eu + C ∫ Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C  I 30 = − e1− x + C . 1 1 1 → 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x dx = −d ( cos x )  d) S d ng các công th c  u  ∫ e du = e + C u  Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C  I 31 = −ecos x + C . →  dx  = d ( ln x ) = d ( ln x ± k ) e) S d ng các công th c  x  eu du = eu + C ∫ 2 ln x + 3 e dx 1 1 Ta có I 32 = ∫ dx = ∫ e 2 ln x + 3 = ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C. x x 2 2 e2 ln x + 3 1 2 ln x + 3 V y I 32 = ∫ dx = e + C. x 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  13. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 13 BÀI T P LUY N T P: x cos x 1) I1 = ∫ 1 + x2 dx ∫ 2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx 3) I 3 = ∫ x dx sin x 4) I 4 = ∫ cos x sin xdx 5) I 5 = ∫ cos 3 x dx 6) I 6 = ∫ 3 sin x cos xdx x dx 7) I 7 = ∫ dx 4) I 8 = ∫ 3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx x2 + 5 2x −1 ln 3 x I10 = ∫ 11) I11 = ∫ x.e x +1dx 12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx 2 10) dx x sin x tan x 13) I13 = ∫ dx 14) I14 = ∫ cot x dx 15) I15 = ∫ dx cos5 x cos 2 x e tan x e x 16) I16 = ∫ dx 17) I17 = ∫ dx 18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx cos 2 x x dx x 2 dx 19) I19 = ∫ 20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx 21) I 21 = ∫ (3 − 2 x)5 x3 + 1 22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx 23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx 24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx +2 sin x dx 25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx 26) I 26 = ∫ x.e x 27) I 27 = ∫ 2 dx 1 + 3cos x e2 ln x +1 ∫ 28) I 28 = x.e1− x dx ∫ (e ) 2 29) I 29 = sinx + cos x cos x dx 30) I 30 = ∫ dx x H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  14. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 14 03. PHƯƠNG PHÁP I BI N S TÌM NGUYÊN HÀM D NG 1: I BI N S HÀM LƯ NG GIÁC dx = d (a sin t ) = a cos t dt  N u hàm f(x) có ch a a 2 − x 2 thì t x = a sin t   2 →  a − x = a − a sin t = a cos t 2 2 2 2   adt dx = d (a tan t ) = cos 2 t  N u hàm f(x) có ch a a 2 + x 2 thì t x = a tan t   →  a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a   cos t   a  − a cos t dt dx = d  sin t  = sin 2 t a    N u hàm f(x) có ch a x 2 − a 2 thì t x=   → sin t  2 a2 a  x − a2 = 2 − a2 =  sin t cot t Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx a) I1 = ∫ ; ( a = 2) b) I 2 = ∫ 1 − x 2 dx ; ( a = 1) 4 − x2 x 2 dx c) I 3 = ∫ ; ( a = 1) d) I 4 = x 2 9 − x 2 dx ; ( a = 3) ∫ 1− x 2 Hư ng d n gi i:  dx = d (2sin t ) = 2cos t dt  dx 2cos t dt a) t x = 2sin t   →  I1 = ∫ → =∫ = ∫ dt = t + C  4 − x = 4 − 4sin t = 2cos t 4− x 2 2  2 2cos t x  x T phép t x = 2sin t ⇔ t = arcsin    I1 = arcsin   + C → 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt  b) t x = sin t   →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2  1 + cos 2t 1 1 t 1 Khi ó I 2 = ∫ ∫ 1 − x 2 dx = cos t.cos t dt = ∫ 2 dt = 2∫dt + 2 ∫ cos 2t dt = + sin 2t + C 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2  T x = sin t ⇒   sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 →   t = arcsin x arcsin x 1  I 2 = → + x 1 − x2 + C 2 2 dx = d (sin t ) = cos t dt  c) t x = sin t   →  1 − x = 1 − sin t = cos t 2 2  x 2 dx sin 2 t.cos t dt 1 − cos2t 1 1 Khi ó, I 3 = ∫ =∫ = ∫ sin 2 t dt = ∫ dt = t − sin 2t + C 1 − x2 cos t 2 2 4 cos t = 1 − sin 2 t = 1 − x 2  T x = sin t ⇒   sin 2t = 2sin t.cos t = 2 x 1 − x 2 → t = arcsin x  arcsin x 1  I 3 = → − x 1 − x2 + C 2 2  dx = d (3sin t ) = 3cos t dt  d) t x = 3sin t   →  9 − x = 9 − 9sin t = 3cos t 2 2  81 81 1 − cos4t ∫ ∫ ∫ Khi ó, I 4 = x 2 9 − x 2 dx = 9sin 2 t.3cos t.3cos t dt = 81 sin 2 t.cos 2 t dt = 4 sin 2 2t dt = ∫ 4 2 dt ∫ H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  15. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 15 81  1 1  81  t 1  = 4 ∫ ∫  2 dt − 2 cos4t dt  = 4  2 − 8 sin 4t  + C     x2 cos t = 1 − sin t = 1 − 2  9 2x x2 T x = 3sin t ⇒   sin 2t = → 1− t = arcsin  x  3 9     3 2  x 2x2 2x x2  2x2  M t khác, cos2t = 1 − 2sin 2 t = 1 − 2   = 1 −  sin 4t = 2sin 2t.cos2t = 2. → 1 − .1 −  3 9 3 9  9    x  arcsin   81  3 − x x2  2 x2  T ó ta ư c I 4 =  1 − .1 −   + C. 4 2 6 9  9      Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx x 2 dx a) I1 = 2 ∫ ; ( a = 1) b) I 2 = x 2 + 2 x + 5 dx ∫ c) I 3 = ∫ ; ( a = 2) x +1 x2 + 4 Hư ng d n gi i:  dt  dx = d (tan t ) = = (1 + tan 2 t )dt (1 + tan 2 t )dt a) t x = tan t   → cos t2  I1 = ∫ → = ∫ dt = t + C 1 + x 2 = 1 + tan 2 t 1 + tan 2 t  T gi thi t t x = tan t ⇔ t = arctan x  I1 = arctan x + C. → t = x +1 b) Ta có I 2 = ∫ x 2 + 2 x + 5 dx = ∫ ( x + 1) 2 + 4 d ( x + 1)  I = → ∫ t 2 + 4 dt  2du  dt = d (2 tan u ) = cos 2 u  2du du cos u du t t = 2 tan u   →  I 2 = ∫ → =∫ =∫  4 + t 2 = 4 + 4 tan 2 u = 2 2 .cos 2 u cos u cos 2 u   cos u cos u d (sin u ) 1 (1 + sin u ) + (1 − sin u ) 1 d (sin u ) 1 d (sin u ) 1 1 + sin u =∫ = ∫ d (sin u ) = ∫ 2 1 − sin u 2 ∫ 1 + sin u 2 1 − sin u + = ln + C. 1 − sin u 2 (1 + sin u )(1 − sin u ) 2 t 1 t2 4 t2 T phép t t = 2 tan u ⇔ tan u =  → = 1 +  sin 2 u = 1 − cos 2u = 1 − → = 2 cos 2 u 4 4 + t2 4 + t2 t x +1 1+ 1+ 1 1 + sin u 1 4 + t + C = 1 ln 2 x + 2 x + 5 + C. 2 T ó ta ư c I 2 = ln + C = ln 2 1 − sin u 2 1− t 2 1− x +1 4+t 2 x + 2x + 5 2  2dt  dx = d (2 tan t ) = cos 2 t = 2(1 + tan t ) dt 2 c) t x = 2 tan t  →  x 2 + 4 = 4 tan 2 t + 4  4 tan t.2(1 + tan 2 t ) dt 2 sin 2 t sin 2 t.cos t dt sin 2 t. d (sin t )  I 3 = ∫ → = 4 ∫ tan 2 t 1 + tan 2 t dt = 4 ∫ dt = 4 ∫ = 4∫ cos3 t cos 4 t (1 − sin 2 t ) 2 2 1 + tan 2 t 2  1 (1 + u ) − (1 − u )  2 u2  u  t u = sin t  I 3 = 4∫ → du = 4 ∫  2  du = 4 ∫   du (1 − u ) 2 2 1− u   2 (1 + u )(1 − u )  d (1 − u ) d (1 + u ) (1 − u ) + (1 + u )du 2  1 1  du du 2du = ∫ −  du = ∫ +∫ −∫ = −∫ +∫ −∫ 1− u 1+ u  (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) (1 − u ) (1 + u ) (1 − u )(1 + u ) 2 2 2 2 1 1  1 1  1 1 du du 1 1 − − − ∫ +  du = − − −∫ −∫ =− − − ln 1 + u + ln u − 1 + C 1− u 1+ u 1+ u 1− u  1− u 1+ u 1+ u 1− u 1− u 1+ u H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  16. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 16 1 1 u −1 1 1 u −1 1 1 sin t − 1 = − + ln + C  I 3 = → − + ln +C = − + ln + C. u −1 1+ u u +1 u −1 u +1 u +1 sin t − 1 sin t + 1 sin t + 1 x 1 x2 4 x2 T gi thi t x = 2 tan t ⇔ tan t =  → = 1 + tan 2 t = 1 + ⇔ cos 2t =  sin 2 t = → 2 cos 2t 4 4 + x2 4 + x2 x −1 ⇔ sin t = x  I 3 = → 1 − 1 + ln 4 + x2 + C. 4 + x2 x x x −1 +1 +1 4 + x2 4 + x2 4 + x2 Ví d 3. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx dx dx a) I1 = ∫ x −1 2 b) I 2 = x x −4 2 2∫ c) I 3 = x − 2x − 2 2 ∫ Hư ng d n gi i:   1  − cos t dt  dx = d  sin t  = sin 2t  − cos t dt 1     dx = sin 2 t dx − cos t dt a) t x =   → ←  →  I1 = ∫ → =∫ 2 sin t  x2 − 1 = 1  x 2 − 1 = cot t x −1 2 sin t.cot t  2 −1   sin t sin t dt d (cos t ) d (cos t ) 1 (1 − cos t ) + (1 + cos t ) 1 1 + cos t = −∫ =∫ =∫ = ∫ d (cos t ) = ln + C. 2 sin t 1 − cos t 2 (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 (1 − cos t )(1 + cos t ) 2 1 − cos t x2 − 1 1+ 1 1 x −1 2 1 x T phép t x=  cos 2 t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t = →  I1 = ln → + C. sin t x x 2 x −1 2 1− x   2  −2cos t dt  −2 cos t dt dx = d  sin t  = sin 2 t  dx = sin 2 t 2     b) t x =   → ← → sin t  2 4  x 2 − 4 = 2cot t ⇒ x 2 x 2 − 4 = 8cot t  x − 4 = sin 2 t − 4    sin 2 t dx −2cos t dt 1 1 Khi ó, I 2 = ∫ x x −4 2 2 = ∫ 8cot t 4 4∫ = − sin t dt = cos t + C. sin 2 t. 2 sin t 2 4 x2 − 4 x2 − 4 T x=  cos 2t = 1 − sin 2 t = 1 − 2 ⇔ cos t = →  I 2 = → + C. sin t x x 4x dx d ( x − 1) t = x −1 dt dt c) I 3 = ∫ = ∫  I 3 = → ∫ =∫ x − 2x − 2 ( x − 1) − 3 t2 − 3 ( ) 2 2 2 t2 − 3   3  − 3 cos u du  dt = d   sin u  =   − 3 cos u du 3    sin 2u  dt = t t=   → ←  → sin 2 u sin u  2 3  2  t −3 = 2 −3  t − 3 = 3 cot u  sin u dt − 3 cos u du sin u du d (cos u ) d (cos u )  I 3 = ∫ → =∫ = −∫ =∫ =∫ t2 − 3 2 sin u. 3 cot u 2 sin u 1 − cos u 2 (1 − cos u )(1 + cos u ) 1 (1 − cos u ) + (1 + cos u ) 1 1 + cos u 2∫ = d (cos u ) = ln + C. (1 − cos u )(1 + cos u ) 2 1 − cos u t2 − 3 x2 − 2x − 2 1+1+ 3 3 t −3 2 1 t 1 x −1 T t= ⇒ cos 2u = 1 − 2 ⇔ cos t =  I 3 = ln → + C = ln + C. sin u t t 2 t −3 2 2 x2 − 2 x − 2 1− 1− t x −1 Chú ý: T ng h p các k t qu ta thu m t s k t qu quan tr ng sau: H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  17. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 17 dx 1 x ∫x 2 +a 2 = arc tan   + C. a a dx 1 x+a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x − a + C. dx 1 x−a ∫ a 2 − x 2 = 2a ln x + a + C. dx ∫ x 2 ± a = ln x + x ± a + C. 2 BÀI T P LUY N T P: x 2 dx 1 − x2 x 2 dx 1) I1 = ∫ 2) I 2 = ∫ dx 9) I 3 = ∫ x2 + 4 x2 4 − x2 1 dx 4) I 4 = ∫ 3x − 2 x 2 dx 5) I 5 = ∫ 2 x 2 + 1 dx 6) I 6 = ∫ 2 x2 − 5 D NG 2: I BI N S HÀM VÔ T Phương pháp gi i: N u hàm f(x) có ch a n g ( x) thì t t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)  n.t n −1 = g '( x)dx → Khi ó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , vi c tính nguyên hàm ∫ h(t )dt ơn gi n hơn so v i vi c tính ∫ f ( x)dx. Ví d 1. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: xdx x 2 dx a) I1 = 4x + 1∫ b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx ∫ c) I 3 = ∫ 1− x Hư ng d n gi i: 2tdt = 4dx t 2 − 1 tdt .  xdx 2 = 1 (t 2 − 1)dt a) t t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1   → t 2 − 1  I1 = → ∫ = ∫ 4 ∫ 2  x= 4x + 1 t 8  4 1  t3  1  (4 x + 1)  3 =  −t+C =  − 4 x + 1  + C. 8 3  8 3    b) t t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2  x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt  x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt → → ( ) ( ) 5 3 x2 + 2 2 x2 + 2 ∫ ( ) ∫( ) t5 t3 Khi ó I 2 = ∫ x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C = − +C 2 3 2 4 2 5 3 5 3 dx = −2tdt ( ) 2  x 2 dx 1 − t 2 .tdt c) t t = 1 − x ⇔ t 2 = 1 − x ⇔ x = 1 − t 2   2 → x = 1 − t 2 2  I 3 = → 1− x ( = −2 ) t ∫ ∫   t 5 2t 3   (1 − x)5 2 (1 − x)3  ∫( ) ∫( ) 2 = −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  − + t  + C = −2  − + 1− x  + C 5 3   5 3    (x ) (x ) 5 3 2 +2 2 2 +2 ∫ ( ) ∫ (t ) t5 t3 Khi ó I 2 = ∫ x 2 + 2 .x 3 dx = t. t 2 − 2 tdt = − 2t 2 dt = − 2. + C = − + C. 4 5 3 5 3 Ví d 2. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: ln x dx ln 2 x dx ln x 3 + 2ln x dx a) I 4 = ∫ x 1 + ln x b) I 5 = x 3 2 − ln x ∫ c) I 6 = ∫ x Hư ng d n gi i: H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  18. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 18 ln x = t 2 − 1  ln x dx t 2 − 1 .2tdt ( ) a) t t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x   dx →  I 4 = → = ∫ ∫ 2  = 2tdt 1 + ln x x t x  t3   (1 + ln x)3  2 (1 + ln x)3 = 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2  − 1 + ln x  + C  I 4 = → − 2 1 + ln x + C . 3   3  3   ln x = 2 − t 3  ln 2 x dx (2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt b) t t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x   dx →  I 5 = 3 → = ∫ ∫ 3 3 .  = 3t dt 2 2 − ln x x t  x  t 8 4t 5  3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5  2 = 3∫ ( t − 4t + 4t ) dt = 3  − 7 4 + 2t  + C = 3  − + 2 3 (2 − ln x)2  + C 8 5   8 5     t2 − 3  ln x =  2 c) t t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x   →  2dx = 2tdt  x  ln x 3 + 2ln x dx  t2 − 3  ∫ (t ) dx 1 ó ta có I 6 = ∫ ∫ = ln x 3 + 2ln x . =   .t.tdt = ∫ − 3t 2 dt 4 T x x  2  2 1  t5  t5 t3 ( 3 + 2 ln x )5 ( 3 + 2ln x )3 ( 3 + 2ln x )5 ( 3 + 2ln x )3 =  − t3  + C = − + C = − + C  I 6 = → − + C. 2 5  10 2 10 2 10 2 Ví d 3. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx e 2 x dx dx dx a) I 7 = ∫ b) I8 = ∫ c) I 9 = ∫x d) I10 = ∫x ex −1 ( ) x +4 x4 + 1 3 2 ex + 1 Hư ng d n gi i: e x = t 2 − 1 e x = t 2 − 1   a) t t = e − 1 ⇔ t = e − 1   x x 2 x → ← → 2tdt e dx = 2tdt  dx = 2  t −1 dx 2tdt 2dt 2dt (t + 1) − (t − 1) dt dt Khi ó I 7 = e −1 x = t.(t − 1) 2 ∫= 2 t −1 = ∫ (t − 1)(t + 1) = ∫ (t − 1)(t + 1) ∫dt = t −1 − t +1 ∫ ∫ ∫ t −1 ex −1 −1 ex −1 − 1 = ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln + C = ln + C  I 7 = ln → + C. t +1 ex − 1 + 1 ex −1 + 1 e x = t 2 − 1  e 2 x dx e x .e x dx (t 2 ) − 1 .2tdt t t = e + 1 ⇔ t = e + 1   x →  I8 = → ∫ = ∫ = ∫ x 2 x b) e dx = 2tdt (e ) (e ) 3  3 3 t x +1 x +1 (t 2 − 1 .2tdt) t2 −1  dt   1  1  = ∫ t3 =2 ∫ t2  ∫ t  ∫ dt = 2  dt − 2  = 2  t +  + C = 2  e x + 1 +  t    + C.  ex + 1   x2 = t 2 − 4 x2 = t 2 − 4   c) t t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4   → ←  dx xdx → tdt 2 xdx = 2tdt   = 2 = 2 x x t −4 dx 1 dx 1 tdt dt 1 (t + 2) − (t − 2) 1  dt dt  Khi ó, I 9 = x x2 + 4 = ∫ x2 + 4 x = . 2 t t −4 = 2∫ = t − 4 4 (t + 2)(t − 2)∫ dt =  4 t −2∫− t +2  ∫ ∫ ∫ − x2 + 4 − 2 x2 + 4 − 2 = 1 ( ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = 1 ln tt + 2 + C = 1 ln + C  I 9 = → 1 ln + C. 4 4 2 4 x2 + 4 + 2 4 x2 + 4 + 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  19. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 19  x4 = t 2 − 1  x4 = t 2 − 1   d) t t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1   3 → ←  dx x3 dx → tdt 4 x dx = 2tdt   = 4 =  x x 2(t 2 − 1) dx 1 dx 1 tdt 1 dt 1 (t + 1) − (t − 1) Khi ó, I10 = x x +1 4 ∫= x +1 x 4 ∫ . = . 2 = ∫ 2 = t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1) ∫ dt ∫ 1  dt dt  1 1 t −1 x4 + 1 − 1  = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln 1 =  ∫ 4  t −1 − t +1 4 ∫ 4 t +1 + C = ln 4 x4 + 1 + 1 + C. Ví d 4. Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: dx x dx a) I11 = ∫ 1 + 2 − 5x b) I12 = ∫1− 2 + x2 x 3 dx 1 + 4ln 2 x ln x c) I13 = ∫ 3 4 + x2 d) I14 = ∫ x dx Hư ng d n gi i: 2tdt a) t t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx  dx = − → 5 2 1+ t −1 2  1   dt = − ( t − ln t + 1 ) + C dx 2 t dt 2 Khi ó, I11 = ∫ 1 + 2 − 5x =− 5 1+ t =− ∫ 5 1+ t dt = − 1 − ∫ 5  1+ t  5 ∫  I11 = − → 2 5 ( 2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C . ) b) t t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx  xdx = tdt → x dx t dt 1 − (1 − t )  1  d (1 − t ) Khi ó, I12 = 1− 2 + x ∫ 2 = 1− t = ∫ 1− t ∫ dt =  − 1 dt = − 1− t  ∫ 1− t ∫ − dt = − ln 1 − t − t + C ∫  I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C . → x2 = t3 − 4  x2 = t 3 − 4 c) →  t t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2   2  ←  → 3 3 3t 2 dt  x dx = 2 t − 4 t dt → 3 2 ( ) 3t dt = 2 xdx   xdx =  2 3 ( t − 4 ) t dt 3 4 (4 + x )2 5 33 ( 4 + x2 ) 2 3 2 3 x 3 dx 3  t5 2 3  I13 = ∫ → = ∫ = ∫ ( t − 4t ) dt =  − 2t  + C = − + C. 3 4 + x2 2 t 2 2 5  10 4 dx ln x dx tdt d) t t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ← 2tdt = 4.2ln x. →  → = x x 4 (1 + 4 ln x ) 2 3 ln x dx tdt 1 2 t3  I14 = → ∫ 1 + 4ln 2 x x = t.∫ = 4 4 ∫ t dt = + C = 12 12 + C. BÀI T P LUY N T P: dx x3 dx 1 + 3ln x ln x 1) I1 = ∫ 1 + 1 + 3x 2) I 2 = ∫ 3 1 + x2 3) I 3 = ∫ x dx dx xdx 4) I 4 = ∫ x 3 1 − x 2 dx 5) I 5 = ∫ 6) I 6 = ∫ x x3 + 1 2x + 1 x +1 xdx 7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx 8) I 8 = ∫ dx 9) I 9 = ∫ x 1 + x −1 4 − 3x e 2 x dx 10) I10 = ∫ x 2 3 − 2 x dx 11) I11 = ∫ dx 12) I12 = ∫ x +1 1 + ex −1 D NG 3: I BI N S HÀM A TH C B C CAO H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  20. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 20 Phương pháp gi i: dt = adx  N u hàm f(x) có ch a (ax + b) thì n t t = ax + b   → t −b x = a  Ví d . Tìm nguyên hàm c a các hàm s sau: x2 + 2 a) I1 = x ( 3 x + 1) dx ∫ ∫ ∫ 19 b) I 2 = x 2 (2 − x)99 dx c) I 3 = dx ( x + 1) 2010 Hư ng d n gi i: dt = 3dx t − 1 19 ∫( )  t 21 t 20 t − 1  I1 = x ( 3x + 1) dx = ∫ ∫ 19 a) t t = 3x + 1   → → .t .3dt = t 20 − t19 dt = − +C x = 3  3 21 20  I1 → = ( 3x + 1)21 − ( 3x + 1)20 + C. 21 20 dt = −dx  I 2 = x 2 ( 2 − x ) dx = − ( 2 − t ) .t 99 dt = − 4t 99 − 4t100 + t101 dt ∫ ∫ ∫( ) 99 2 b) t t = 2 − x   → → x = 2 − t  t100 t101 t102  t100 4t101 t102 (2 − x) 100 4(2 − x) 101 ( 2 − x )102 = −  4. − 4. + +C = + − +C = + − + C.  100 101 102  25 101 102 25 101 102 V y I2 = ( 2 − x )100 + 4 ( 2 − x )101 − ( 2 − x )102 + C. 25 101 102 dt = dx ( t − 1)2 + 2 dt = t 2 − 2t + 3 dt =  1 − 2 + 3  dt c) t t = x + 1   → x = t −1  I 3 = → t 2010 ∫ t 2010 ∫  2008 t t 2009 t 2010   ∫ 1 1 3 1 1 3 =− + − +C = − + − + C. 2007 ( x + 1) 1004 ( x + 1) 2009 ( x + 1) 2007 2008 2009 2007 2008 2009 2007t 1004t 2009t 1 1 3  I 3 = − → + − + C. 2007 ( x + 1) 1004 ( x + 1) 2009 ( x + 1) 2007 2008 2009 BÀI T P LUY N T P: ∫ 1) I1 = x(1 − x) 20 dx ∫ 2) I 2 = x(3 x + 1)9 dx ∫ 3) I 3 = (2 x + 1)( x + 3) 4 dx x + 2x + 2 ( ) 2 ∫ ( 2 x − 1) 5) I 5 = ∫ x 2 + 3 x − 5 ( 2 x − 3) dx 6) I 6 = ∫ ( x − 1) ( x + 2 ) dx 10 2 21 4) I 4 = 6 dx H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2