15/10/2018
1
LOG
O
Chương 3:
Đạo hàm và vi phân
hàm một biến
GV. Phan Trung Hiếu
§1. Đạo hàm và vi phân của hàm một biến
§2. Đạo hàm và vi phân cấp cao
§3. Ứng dụng trong toán học
§4. Ứng dụng trong kinh tế
2
§1. Đạo hàm và vi phân của
hàm một biến
3
I. Đạo hàm cấp một:
Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên
khoảng mở chứa x0.Đạo hàm (cấp một) của
hàm số f(x) tại x0, ký hiệu , được
tính bởi
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
0 0
( ) ( )
y x f x
nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
Chú ý 1.2. Nếu tồn tại thì f(x) được
gọi là khả vi tại x0.
( )
f x
4
Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số
2
ln(1 )
khi 0
( )
0 khi 0
xx
f x x
x
tại
0
0.
x
Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
5
Định lý 1.5:
0 0 0
( ) ( ) ( )
f x L f x f x L
Ví dụ 1.2: Xét sự khả vi của hàm số
1 , 1,
( )
(1 )(2 ), 1
x x
f x x x x
tại
0
1.
x
6
Định lý 1.6:
f(x) có đạo hàm tại x0f(x) liên tục tại x0.
Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số
2
( ) khi 0
( )
khi 0
x
e x x x
f x m x
có đạo hàm tại
0
0.
x
15/10/2018
2
7
Định nghĩa 1.7 (Đạo hàm trên khoảng, đoạn):
Cho hàm số f(x) xác định trên [a,b].
-Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên (a,b) nếu f(x) có
đạo hàm tại mọi điểm xthuộc (a,b).
-Hàm f(x) được gọi là có đạo hàm trên [a,b] nếu f(x) có
đạo hàm trên (a,b) và có tại mọi điểm xthuộc (a,b).
II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:
8
2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.
2
( . ) .
( )
( . ) . .
. .
k u k u
u v u v
u v u v u v
u u v u v
v v
2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó
( ) ( ). ( )
y x u x y u x
2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với , ta có
( ), ( )
u u x v v x
9
Ví dụ 1.4: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a)
arctan
y x
b)
2
(arcsin )
y x
c)
2
arctan ln 1
x x x
y e e e
d)
3
2
( 1)
x
y x
Ví dụ 1.5: Nếu , trong đó
( ) ( )
F x f g x
( 2) 8,
f
( 2) 4,
f
(5) 3,
f
(5) 2,
g
(5) 6.
g
Tìm
(5).
F
III. Vi phân cấp một:
10
Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là
( ) ( )
df x f x dx
dy y dx
hay
Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số
2
.
x
y e
11
Định lý 2.3. Nếu u,vlà các hàm khả vi thì
1) ( ) .
d u v du dv
2) ( . ) . .
d k u k du
3) ( . ) .
d u v vdu udv
2
4) .
u vdu udv
dvv
Ví dụ 1.7. Tính
3
) ( )
x
a d x e
3
) ( )
x
b d x e
3
)
x
x
c d
e
12
§2. Đạo hàm và vi phân
cấp cao
15/10/2018
3
I. Đạo hàm cấp cao:
13
Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp
một thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)
là
Tương tự, ta có đạo hàm cấp ncủa f(x) là
y
( ) ( )
y f x f x
( ) ( ) ( 1)
( ) ( )
n n n
y f x f x
Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp
ba, cấp bốn, cấp ncủa hàm số
, .
kx
y e k const
14
Định lý 2.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và
v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó
( ) ( ) ( )
0
( . ) n
n k k n k
n
k
u v C u v
Ví dụ 2.3. Tính của hàm số
2 2
.
x
y x e
(20)
y
Ví dụ 2.2. Cho hàm số Chứng
minh
sin .
y x x
2( sin ) 0.
xy y x xy
II. Vi phân cấp cao:
15
Định nghĩa 2.3. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến
cấp nthì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là
1 ( )
n n n n
d y d d y y dx
Ví dụ 2.4. Cho Tính
3
(2 3) .
y x 2 3
, , .
dy d y d y
16
§3. Ứng dụng trong toán học
I. Quy tắc L’Hospital khử các dạng vô định:
17
Định lý 3.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong
lân cận nào đó của x0(hoặc có thể trừ x0). Nếu
i)hay
và tồn tại
thì
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
f x g x
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
0 0
( ) ( )
lim lim
( ) ( )
x x x x
f x f x
g x g x
18
Chú ý 3.2.
Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc
L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định
Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital
nhiều lần.
0
0
hoặc
.
15/10/2018
4
19
Ví dụ 3.1. Tính các giới hạn sau
2
3 2
2
5 6
)lim
2
x
x x
a
x x x
2
2
0
2 4
)lim
9 3
x
x
bx
3
0
sin
)lim
x
x x
c
x
2
) lim
3

x
x
x x
d
e
2
3
ln
) lim
x
x
e
x
0
) lim sin .ln
x
f x x
0
1 1 1
)lim t an2 sin
x
g
x x x
cot
0
) lim(1 sin4 )
x
x
h x
II. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân:
20
( ) ( ) ( )( )
f x f a f a x a
Phép xấp xỉ (*)
được gọi là xấp xỉ tuyến tính hoặc xấp xỉ tiếp tuyến
của ftại a.
Hàm tuyến tính
( ) ( ) ( )( )
L x f a f a x a
được gọi là tuyến tính hóa của ftại a.
3,98.
Ví dụ 3.2: Tính gần đúng giá trị của
21
Đặt . Từ (*), ta có
x x a
( ) ( ) ( )
f a x f a f a x
( ) ( ) ( )
f a x f a f a x
( )
y f a x
y
là lượng tăng hoặc giảm của y khi x tăng hoặc giảm
một lượng là
x
22
Ví dụ 3.3: Để chuẩn bị cho việc lát gạch nền nhà hình
vuông, thầy Hiếu đo chiều dài một cạnh được kết quả
là 100m. Giả sử, phép đo của thầy có độ chính xác
trong phạm vi mm (sai số cho phép).
a) Ước tính sai số diện tích nền nhà theo sai số cho
phép nói trên. So sánh kết quả đó với sai số thực sự.
b) Nếu mỗi viên gạch có diện tích 1 m2và một hộp
gồm 12 viên gạch có giá là 24$ thì thầy Hiếu nên
dự trù chi phí tăng thêm là bao nhiêu để đảm bảo lót
đủ gạch cho nền nhà?
6
23
§4. Ứng dụng trong kinh tế
I. Trung bình của hàm:
24
Xét hai đại lượng kinh tế xvà ycó quan hệ hàm với
nhau y= f(x). Tỉ số
được gọi là trung bình của y.
( )
f x
Ay
x
Ví dụ 4.1: Xét hàm tổng doanh thu R= P.Q.
Khi đó là doanh thu trung bình.
.
P Q
AR P
Q
Ví dụ 4.2: Xét hàm tổng chi phí C = C(Q).
Khi đó là chi phí trung bình.
( )
C Q
AC
Q
15/10/2018
5
II. Tốc độ biến thiên:
25
Xét hai đại lượng kinh tế xvà ycó quan hệ hàm với
nhau y= f(x).
Nếu x biến thiên từ x1 đến x2 thì độ thay đổi của x là
và độ thay đổi tương ứng của y là
Tỉ số
được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của y tương
ứng với x.
2 1
x x x
2 1
( ) ( )
y f x f x
2 1
2 1
( ) ( )
f x f x
y
x x x
26
Tốc độ thay đổi (tức thời) của y tương ứng với x tại
x = x1 là
2 1
2 1
1
02 1
( ) ( )
lim lim ( )
x x x
f x f xy
f x
x x x
Ví dụ 4.3: Cho D(t) là nợ quốc gia của Mỹ tại thời
điểm t. Bảng dưới đây biểu thị các giá trị xấp xỉ của
hàm này bằng cách cung cấp các con số ước tính vào
cuối năm, đơn vị tính là tỷ USD, từ năm 1980 đến năm
2005.
27
a) Tìm mức tăng trưởng trung
bình của nợ quốc gia
(i) từ năm 1985 đến 1990.
(ii) từ năm 1990 đến 1995.
b) Ước tính mức tăng trưởng
tức thời của nợ quốc gia vào
năm 1990 bằng cách lấy trung
bình của hai tốc độ biến thiên
trung bình. Đơn vị tính của nó
là gì? Giải thích ý nghĩa của kết
quả đó.
II. Ý nghĩa kinh tế của đạo hàm:
28
Cho hàm số y= f(x) xác định trên Dvới x, ylà các biến
số kinh tế (xlà biến đầu vào, ylà biến đầu ra). Gọi
0
.
x D
Gọi là lượng thay đổi của ytại mức x=x0khi biến x
tăng thêm 1 đơn vị từ x0lên x0+ 1. Khi đó, được gọi
là giá trị cận biên (Marginal value) hay biên tế của
biến ytại mức x0.
y
Trong kinh tế, ta thường quan tâm đến sự biến thiên của
y như thế nào tại một mức khi x tăng lên 1 đơn vị
từ lên .
0
x x
0
x
0
1
x
y
4.1. Biên tế (Giá trị cận biên-Marginal value):
0 0
( 1) ( )
y f x f x
29
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim
x x
f x f x
f x x x
Từ định nghĩa
ta đặt và , ta có
0
x x x
0
( ) ( )
y f x f x
00
( ) lim
x
y
f x
x
0
( ).
y f x x
Khi thì . Nghĩa là, là xấp xỉ
của giá trị cận biên của y tại mức x0.
1
x
0
( )
y f x
0
( )
f x
30
0
.
x D
Hàm số được gọi là hàm biên tế (hàm cận
biên)của biến y.
( )
My f x
Giá trị được gọi là biên tế (giá trị cận
biên)của hàm số f(x) tại điểm x0.
0 0
( ) ( )
My x f x
Như vậy, cho hàm số y= f(x) xác định trên Dvới x, ylà
các biến số kinh tế, gọi