1

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

NỘI DUNG CHƯƠNG 1:  1.1. Ma Trận  1.2. Định thức  1.3. Ma trận nghịch đảo  1.4. Hạng của ma trận

S h T - p ấ C o a C n á o T

2

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

3

1.1. MA TRẬN 1.1.1. Định nghĩa Ma trận cấp là một bảng số hình chữ nhật gồm có m dòng và n cột, thường được viết như sau: Trong đó: + được gọi là phần tử thứ (i, j) của ma trận A. + Tập hợp các ma trận cấp được ký hiệu là:

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

1.1.2. Các ma trận đặc biệt + Ma trận không: + Ma trận đơn vị cấp n: hoặc + Ma trận vuông: + Ma trận chéo + Ma trận hàng + Ma trận cột + Ma trận bậc thang + Ma trận đối xứng

4

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

1.1.3. Các tính chất

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

5

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

1.1.4. Một số kiến thức nâng cao 1) Các khái niệm + A là ma trận lũy linh + A là ma trận đối xứng + A là ma trận phản đối xứng + A là ma trận lũy đẳng + A là ma trận đối hợp + A là ma trận trực giao:

S h T - p ấ C o a C n á o T

6

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

2) Hạng của ma trận + Nếu B khả nghịch thì:

rank(A) = rank(AB) = rank(BA)

7

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

3) Vết của ma trận 4) Hai ma trận đồng dạng

8

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

9

5) Các phép biến đổi sơ cấp a. Đổi hai dòng cho nhau: b. Nhân một dòng với một số khác không: c. Cộng vào một dòng một dòng khác đã nhân với một số: Chú ý: Ta có thể kết hợp phép biến đổi thứ hai và thứ ba như sau:

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

10

Ví dụ 1.1. Cho và Tìm x, y để A = B? Ví dụ 1.2. Cho và Tính A + B; A – B?

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Ví dụ 1.3. Cho và Tính AB? Ví dụ 1.4. Cho A là ma trận vuông cấp 2 thực thỏa . Với mỗi đặt: . Tính B? Ví dụ 1.5. Cho Tính ?

11

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

1.2. ĐỊNH THỨC 1.2.1. Định nghĩa Định thức của một ma trận vuông cấp n là một số thực, kí hiệu là detA hoặc , được xác định như sau:  Nếu A là một ma trận vuông cấp 1; ; thì:  Nếu A là một ma trận vuông cấp 2; ; thì:

S h T - p ấ C o a C n á o T

12

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

 Nếu A là một ma trận vuông cấp 3; thì:

S h T - p ấ C o a C n á o T

13

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

14  Nếu A là một ma trận vuông cấp n; thì: Trong đó là ma trận cấp (n – 1) nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j; được gọi là ma trận con của A tương ứng với phần tử .

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

1.2.2. Các tính chất

S h T - p ấ C o a C n á o T

15

6. Nếu đổi hai dòng cho nhau thì định thức đổi dấu. 7. Nếu định thức có hai dòng tỷ lệ nhau thì định thức bằng không. 8. Nếu tất cả các phần tử của một dòng là tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức. 9. Thừa số chung của một dòng có thể đưa ra ngoài định thức. 10. Nếu cộng vào một dòng một dòng khác đã nhân với một số thì định thức không đổi.

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

Ví dụ 1.6. Tính các định thức của các ma trận sau:

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

16

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 1.3.1. Định nghĩa Cho , nếu : AB = BA = I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A. Kí hiệu là 1.3.2. Định lý Cho , A được gọi là ma trận khả nghịch khi và chỉ khi 1.3.3. Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 1) Phương pháp định thức

17

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Khi đó: Trong đó: 2) Phương pháp biến đổi sơ cấp

18

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

Lưu ý: việc áp dụng các phép biến đổi sơ cấp để tìm ma trận nghịch đảo phải tuân theo thủ theo các trình tự sau + Biến đổi tam giác dưới bằng 0. + Biến đổi đường chéo chính bằng 1. + Biến đổi tam giác trên bằng 0. Ví dụ 1.7. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp định thức:

S h T - p ấ C o a C n á o T

19

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

Ví dụ 1.8. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp Gauss

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

20

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

21

CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 - 1855)

Carl Friedrich Gauss là nhà toán học Đức vĩ đại nhất trong thế kỷ XIX và là một trong ba nhà toán học vĩ đại nhất mọi thời đại. Ông có nhiều công trình về lý thuyết số. Tác phẩm “Disquistiones Arithemeticae” của ông được công bố năm 1801 được xem là khởi đầu của đại số hiện đại. Ngoài ra những thành công của Gauss trong thiên văn học, trắc địa, vật lý cũng hết sức to lớn.

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

Ví dụ 1.9. Cho Tìm X thỏa X A = B?

Ví dụ 1.10. Cho

Biết A là nghiệm của phương trình .

Chứng minh rằng không khả nghịch.

S h T - p ấ C o a C n á o T

22

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

23

1.4. HẠNG CỦA MA TRẬN 1.4.1. Định thức con  Định nghĩa 1: Cho A ma trận cấp . Ma trận vuông cấp k lập từ các phần tử nằm trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma trận con cấp k của A.  Định nghĩa 2: Cho A là ma trận cấp . Định thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A.  Định lý: Nếu trong ma trận A tất cả các định thức con cấp k đều bằng không thì tất cả các định thức con cấp k + 1 cũng bằng không.

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

24 1.4.2. Định nghĩa hạng của ma trận  Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A, kí hiệu  Lưu ý: + + Nếu A là ma trận không, ta quy ước 1.4.3. Cách tìm hạng của ma trận 1. Ta có thể dùng định nghĩa để tìm hạng của ma trận A. 2. Hạng của ma trận A chính là số dòng khác không sau khi đã đưa A về dạng ma trận bậc thang dòng bằng các phép biến đổi sơ cấp.

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

Ví dụ 1.11. Tìm hạng của các ma trận sau bằng định nghĩa: Ví dụ 1.12. Tìm hạng của các ma trận sau bằng phép biến đổi sơ cấp:

25

Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

26

Ví dụ 1.13. Biện luận theo m hạng của ma trận sau: Ví dụ 1.14. Cho thõa mãn: Chứng minh rằng:

KẾT THÚC CHƯƠNG 1!

g n a i G g n ờ ư r T ê L

.

S h T - p ấ C o a C n á o T

27