UBND TỈNH QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG
------------
BÀI GIẢNG
TOÁN CAO CẤP B1
NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ
ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN
QuảngNgãi, tháng 04 - 2014
2
GIỚI THIỆU MÔN HỌC
Toán cao cấp B1 là chương trình toán dành cho sinh viên khối ngành kỹ
thuật. Nội dung của toán cao cấp B1 gồm những kiến thức cơ bản về dãy số, hàm
số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyên hàm và tích phân của hàm một
biến số. Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số thực. Phương trình vi phân,
lý thuyết chuỗi. Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong kỹ thuật.
Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2013 của
Trường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kỹ thuật, trình độ cao đẳng đào
tạo theo học chế tín chỉ.
Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học).
Chương 1: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến.
Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về dãy số, hàm số, giới hạn của
dãy số và hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kỹ thuật.
Chương 2: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến.
Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấp
của hàm số. Áp dụng của đạo hàm vi phân trong kỹ thuật.
Chương 3: Tích phân của hàm số một biến.
Sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích
phân xác định của các hàm số (hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ...). Nắm và
biết khai thác các ứng dụng của tích phân trong kỹ thuật và cuối cùng nắm được tích
phân suy rộng.
Chương 4: Hàm số nhiều biến số.
Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề về
tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biến
số. Áp dụng trong kỹ thuật.
Chương 5: Phương trình vi phân.
Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp1, 2 cơ bản
thường gặp. Các ứng dụng thực tế của chúng
Chương 6: Chuỗi số.
Sinh viên nắm vững các khái niệm chuỗi số, sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số.
Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương, chuỗi số bất kỳ.
Chương 7: Chuỗi hàm số.
Sinh viên nắm vững các khái niệm dãy hàm số, định nghĩa và các dấu hiệu về
sự hội tụ, hội tụ đều của dãy hàm số, chuỗi hàm số. Định nghĩa, cách khai triển và
ứng dụng của chuỗi lũy thừa, Chuỗi lượng giác.
Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ để
minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng
trong tiếp thu bài học, cũng như tự học. Cuối chương có các câu hỏi và bài tập
3
luyện tập, giúp sinh viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bài
học. Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương.
Để học tốt học phần này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau:
+ Thu thập đầy đủ các tài liệu tham khảo.
[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình
toán cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM.
[2] Nguyễn Công Khanh (2003), Toán cao cấp 1 , ĐHQG Tp HCM.
[3] Thái Xuân Tiên (2005), Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Đà Nẵng.
[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II ,
NXBGD.
[5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học và kỹ thuật
[6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP.
[7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM
[8] ĐanKô- A.G. PoPôp- T.IA.CogiepNhiCôVa (1996), bài tập toán cao cấp
(Sách dùng cho các trường Đại học kỹ thuật), NXB Giáo dục.
+ Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm những kiến thức cốt lõi của bài
giảng trước khi lên lớp học.
+ Khi kết thúc mỗi chương sinh viên phải hoàn thành các bài tập do giảng viên yêu
cầu của chương đó vào tuần tiếp theo, cuối mỗi phần lớn có các bài tập tổng hợp.
4
Chương 1. HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
1.1 Dãy số và giới hạn của dãy số
1.1.1 Dãy số
Định nghĩa 1.1.1 Ánh xạ *
:
f N R
từ tập số nguyên dương
*
N
vào tập số
thực R được gọi là dãy số. Đặt ( )
n
f n a
thì dãy số được viết dưới dạng
1 2
, ,..., ,...
n
a a a (1) hay
n
a
hay
( )
n
a
Gọi n
a là số hạng ( hay phần tử) tổng quát thứ n của dãy số (1).
Thí dụ 1.1.1
1, 3, 5, ..., 2 1,...
n
là một dãy số có số hạng tổng quát:
2 1
n
a n
.
3 2
1, 2, , ..., ,...
2 1
n
n
là một dãy số có số hạng tổng quát:
2
1
n
n
a
n
1.1.2 Các dãy số đặc biệt
1.1.2.1 Dãy số đơn điệu
Định nghĩa 1.1.2 Dãy
n
a được gọi là:
- Dãy số tăng (hoặc tăng nghiêm ngặt) nếu 1
n n
a a
.(hoặc
*
1) ;
n n
a a N
- Dãy số giảm ( hoặc giảm nghiêm ngặt) nếu 1
n n
a a
.(hoặc
*
1) ;
n n
a a n N
- Dãy số có tất cả các phần tử đều bằng nhau được gọi là dãy dừng
- Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là dãy số đơn điệu
Thí dụ 1.1.2 Dãy
*
2
1
; N
1
n
a n
n
là dãy giảm nghiêm ngặt
Dãy
n
a
với
1 1 1
1 1 ... 1
2 4
2
nn
a
là dãy tăng nghiêm ngặt
Dãy
1 1
( 1) 1, 1,1,...,( 1) ,...
n n
n
a
là dãy số không đơn điệu
1.1.2.2 Dãy số bị chặn
Định nghĩa 1.1.3 Dãy
n
a được gọi là:
- Dãy số bị chặn trên nếu với
*
: ;
n
k R a k n N
- Dãy số bị chặn dưới nếu với
*
: ;
n
k R a k n N
- Dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy số bị chặn
( tức là
k R: k 0
sao cho n
a k
với
n N
* )
Thí dụ 1.1.3 Dãy
*
2
2
; N
1
n
a n
n
là dãy số giảm nghiêm ngặt và bị chặn (bị
chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0).
5
1.1.3 Dãy con
Định nghĩa 1.1.4 Từ dãy số
1 2
, , ..., ,...(1)
n n
a a a a ta trích ra một dãy
1 2
, ,..., ;...
n n n n
k k
a a a aVới các chỉ số 1 2
, ,..., ,...
k
n n n là dãy số tự nhiên tăng
nghiêm ngặt. Khi đó, dãy số
n
k
a
được gọi là dãy con trích ra từ dãy số
n
a.
Thí dụ 1.1.4 Cho dãy số
n
n
a1 .thế thì dãy
2
1 1,1,...,1,...
k
nk
a là dãy
con của dãy
n
n
a1
Nhận xét:
;
k
n n n
1.1.4 Một số dãy số thường được dùng trong tin học:
- Dãy số theo thứ tự tăng (hoặc giảm) dần: Trong tin học thường yêu cầu nhập vào
một dãy số và sắp xếp dãy số ấy theo thứ thự tăng dần hoặc giảm dần, chẳng hạn bài
toán tuyển sinh sau khi có dãy các tổng điểm, để xác định điểm chuẩn và danh sách
trúng tuyển cần sắp xếp tổng điểm theo thứ tự giảm dần.
- Các dãy số được cho bởi công thức truy hồi (Chẳng hạn dãy số biểu thị bài toán
tháp Hà Nội, Dãy số Fibonaci, …)
1.1.5 Giới hạn của dãy số
1.1.5.1 Định nghĩa 1.1.5 Ta nói rằng dãy số thực
n
a
có giới hạn
l R
khi
n

và viết lim n
n
a l

hay n
a l
khi
n
nếu
0
bé tuỳ ý cho trước,
tồn tại số nguyên dương
( )
N
sao cho *: ( ) n
n N n N a l
Dãy số thực có giới hạn còn gọi là dãy hội tụ, dãy số không có giới hạn gọi là dãy
phân kỳ
Thí dụ 1.1.5 Chứng minh 1
lim 2 2
nn
Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là
1
2
n
a
n
Với
0
bé tuỳ ý cho trước, ta cần chứng minh tồn tại số nguyên dương
( )
N
sao cho *1 1
: ( ) 2 2
n
n N n N a l n n
. Muốn vậy ta xét n
a l
1 1
n
n
. Do đó chọn
1
( )N
(Với
x
là phần nguyên của số thực x)
1.1.5.2 Các dấu hiệu hội tụ
Định lý 1.1.1 Nếu 3 dãy số thực
, ,
nnn
a b c
thỏa mãn
*
0
; :
n n n
b a c n N n n
và lim lim
n n
n n
b c l

thì
n
a cũng hội tụ và lim n
n
a l

.