HỌC VIỆN NGÂN HÀNG
BỘ MÔN TOÁN
———————o0o——————–
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên:Trần Thị Xuyến
HÀ NỘI - 2013
GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP
Số tín chỉ: 3.
Phân bố thời gian:
Lý thuyết 60 %
Bài tập 40 %
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm
Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến.
Chương 4: Tích phân
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 6: Phương trình sai phân
TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN
Điểm chuyên cần: 10 %
Điểm kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 %
Thi hết học phần: 60%
Thang điểm 10.
Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3
Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6
1
CHƯƠNG 1
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1 HÀM SỐ
1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
A. Biến số
Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên
một tập số X6=∅.
Ta thường kí hiệu biến số là chữ cái: x, y, z... và Xgọi là miền biến thiên.
Các biến số kinh tế hay gặp
p: giá cả.
QS: Lượng cung.
QD: Lượng cầu.
π: Lợi nhuận
T C: Tổng chi phí
V C: Chi phí biến đổi
F C: Chi phí cố định
AT C: Tổng chi phí bình quân
AV C: Chi phí biến đổi bình quân
T R: Tổng doanh thu
K: Vốn
L: Lao động
C: Lượng tiêu dùng
S: Lượng tiết kiệm.
Y: Thu nhập.
B.Hàm số
Định nghĩa 1.1.2. Một hàm số fxác định trên X⊂Rlà một quy tắc cho tương
ứng mỗi số thực x∈Xvới một và chỉ một số thực y.
Kí hiệu: y=f(x)
2
xgọi là biến độc lập.
Xgọi là miền xác định.
ygọi là biến phụ thuộc.
f(X) = {y∈R|y=f(x), x ∈X}là miền giá trị của hàm số.
Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y=f(x), x ∈X}
C. Các cách cho hàm số
1. Hàm số cho bởi bảng.
2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích.
Ví dụ 1.1.1. y=√5−x2hay y=
x3−1, x > 3
5 + x, x ≤3
3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số.
D. Hàm ẩn
Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x)thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa xvà y:F(x, y) = 0
thì ygọi là hàm ẩn của x.
Ví dụ 1.1.2. x2+y2−1 = 0 hay x3−y3+ 1 = 0
E. Hàm ngược
Định nghĩa 1.1.4. Cho hàm số y=f(x)với miền xác định X, miền giá trị Y.
Nếu ∀y0∈Y, phương trình f(x) = y0có nghiệm duy nhất thuộc X thì ta có thể
xác định một hàm số cho tương ứng mỗi y0∈Ymột và chỉ một x0∈Xsao cho
f(x0) = y0.
Hàm số này gọi là hàm ngược của hàm số y=f(x), kí hiệu là: f−1.
Cách tìm hàm ngược
•Viết f(x) = yvà tìm xtheo y
•Đổi chỗ kí hiệu x, y cho nhau để biểu diễn f−1như là hàm của x.
Ví dụ 1.1.3. Tìm hàm ngược của hàm sau
y= (x−1)2,∀x≥1
3
Các hàm ngược của các hàm số cơ bản
1. Khi xét hàm số y= sin xxác định trên X=−π
2,π
2và có MGT [−1,1] có hàm
ngược là y= arcsin xxác định trên [−1,1] và có MGT là −π
2,π
2.
2. Khi xét hàm số y= cos xxác định trên X= [0; π]và có MGT [−1,1] có hàm
ngược là y= arccos xxác định trên [−1,1] và có MGT là [0; π].
3. Khi xét hàm số y= tan xxác định trên X=−π
2,π
2và có MGT Rcó hàm
ngược là y= arctan xxác định trên Rvà có MGT là −π
2,π
2.
4. Khi xét hàm số y= cot xxác định trên X= (0; π)và có MGT Rcó hàm ngược
là y=arccot xxác định trên Rvà có MGT là (0; π).
5. Khi xét hàm số y=axxác định trên Rvà có MGT (0; +∞)có hàm ngược là
y= logaxxác định trên (0; +∞)và có MGT là R.
F. Một số đặc trưng của hàm số
Hàm số đơn điệu
•Hàm số y=f(x)gọi là đơn điệu tăng trên miền X nếu x1< x2thì f(x1)<
f(x2),∀x1, x2∈X.
•Hàm số y=f(x)gọi là đơn điệu giảm trên miền X nếu x1> x2thì f(x1)<
f(x2); ∀x1, x2∈X.
Hàm số bị chặn
•Hàm số f(x)xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃Msao
cho f(x)≤M, ∀x∈X.
•Hàm số f(x)xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃msao
cho f(x)≥m, ∀x∈X.
•Hàm số f(x)bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn.
f(x)bị chặn trong X ⇔ ∃a:|f(x)| ≤ a, ∀x∈X
Hàm số chẵn, hàm số lẻ
•Hàm số f(x)xác định trên X được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x∈X, ta có
−x∈Xvà f(−x) = f(x).
•Hàm số f(x)xác định trên X được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x∈X, ta có −x∈X
và f(−x) = −f(x).
4