intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng trọng tâm Mũ - Logarith (Đặng Việt Hùng)

Chia sẻ: Dương Lữ Điện | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST
Báo xấu
144
lượt xem 37
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo dành cho các bạn học sinh THPT, bài giảng trọng tâm mũ và logarith của thầy Đặng Việt Hùng, bài giảng sẽ giúp các bạn nắm vững những kiến thức cơ bản về mũ và logarith, gồm có công thức, lý thuyết và bài tập. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng trọng tâm Mũ - Logarith (Đặng Việt Hùng)

  1. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 1 LUY N THI I H C TR C TUY N §ÆNG VIÖT HïNG BÀI GI NG TR NG TÂM MŨ – LOGA H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  2. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 2 01. I CƯƠNG V MŨ VÀ LOGARITH I. CÁC CÔNG TH C CƠ B N V LŨY TH A 1) Khái ni m v Lũy th a Lũy th a v i s mũ t nhiên: a n = a.a.a...a, v i n là s t nhiên. 1 Lũy th a v i s nguyên âm: a − n = n , v i n là s t nhiên. a ( a) m m Lũy th a v i s mũ h u t : a n = n a m = n v i m, n là s t nhiên. 1 t bi t, khi m = 1 ta có a n = n a . 2) Các tính ch t cơ b n c a Lũy th a  a 0 = 1, ∀a  Tính ch t 1:  1  a = a, ∀a   a > 1: a m > a n ⇔ m > n Tính ch t 2 (tính ng bi n, ngh ch bi n):  0 < a < 1: a > a ⇔ m < n m n   am > bm ⇔ m > 0 Tính ch t 3 (so sánh lũy th a khác cơ s ): v i a > b > 0 thì  m a < b ⇔ m < 0 m  Chú ý: + Khi xét lu th a v i s mũ 0 và s mũ nguyên âm thì cơ s a ph i khác 0. + Khi xét lu th a v i s mũ không nguyên thì cơ s a ph i dương. 3) Các công th c cơ b n c a Lũy th a Nhóm công th c 1: Nhóm công th c 2: a m .a n = a m + n ( ) m 1 1 1 m n am = a n = n a  a = a 2 ; → 3 a = a3 ; n a = an am = a m−n n ab = n a . n b , ∀a, b ≥ 0 an (a ) m n = a mn = ( a n ) a na m n = , ∀a ≥, b > 0 b nb Ví d 1: Vi t các bi u th c sau dư i d ng lũy th a v i s mũ h u t , (coi các bi u th c ã t n t i) b3 a a) A = 4 x 2 3 x . b) B = 5 . c) C = 5 23 2 2 . a b 23 3 2 5 b2 b d) D = 3 . e) D = 4 3 a8 . f) F = . 3 2 3 3 b b Ví d 2: Có th k t lu n gì v s a trong các trư ng h p sau? −0,2 − 2 − 1 −3 −1 1 a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 . b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) . c)   < a2 . a 1 1 − − 1 − 1 3  1 2  1  d) (1 − a ) > (1 − a ) e) ( 2 − a)4 > (2 − a) . 2 2 3 2 . f)   >   . a a Ví d 3: Tính giá tr các bi u th c sau: −1    ( ) ( ) 1 1 a) A =  3+ 2 − 3− 2 2  3+ 2 2 + 3− 2       H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  3. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 3 b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 . 4x Ví d 4: Cho hàm s f ( x) = . 4x + 2 a) Ch ng minh r ng n u a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.  1   2   2010  b) Tính t ng S = f  + f   + ... + f  .  2011   2011   2011  Ví d 5: So sánh các c p s sau 5 10 10 5 2 3 π 2 π 3 π π  3 4  4 2 a)   và   b)   và   c)   và   2 2 2 5 5 7 3 2 5 2 6 7 π π d)   và   e)   và   7 8 6 5 Ví d 6: Tìm x th a mãn các phương trình sau? x +1 5 2 8 1 1) 4 x = 5 1024 2)   = 3) 81 − 3 x = 25 125 32 x−2 x −x x 2 −5 x + 6 1 2  8  3 4) ( 3 3 ) 2x 27 =  5)   .   = 6)   =1 9  9   27  64 2 −x 3 x −7 7 x −3 1  0, 25   9  7 7) .322 x −8 =   8) 0, 2 x = 0,008 9)   =  0,125  8   49  3 10) ( 12 ) . ( 3 ) = x x 1 1 11) 71− x.41− x = 6 28 II. CÁC CÔNG TH C CƠ B N V LOGARITH 1) Khái ni m v Logarith Logarith cơ s a c a m t s x > 0 ư c ký hi u là y và vi t d ng y = log a x ⇔ x = a y Ví d : Tính giá tr các bi u th c logarith sau log 2 4; log 3 81; log 2 32; log 2 (8 2 ) Hư ng d n gi i: • log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2  log 2 4 = 2 y → • log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4  log3 81 = 4 → ( 2 ) = 32 = 2 = ( 2 ) ⇔ y = 10  log 32 = 10 y 10 • log 2 32 = y ⇔ 5 → 2 (8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7  log (8 2 ) = 7 y 7 • log 2 3 → 2 Chú ý: Khi a = 10 thì ta g i là logarith cơ s th p phân, ký hi u là lgx ho c logx Khi a = e, (v i e ≈ 2,712818…) ư c g i là logarith cơ s t nhiên, hay logarith Nepe, ký hi u là lnx, ( c là len- x) 2) Các tính ch t cơ b n c a Logarith • Bi u th c logarith t n t i khi cơ s a > 0 và a ≠ 1, bi u th c dư i d u logarith là x > 0. • log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a b > c ⇔ a > 1 • Tính ng bi n, ngh ch bi n c a hàm logarith: log a b > log a c ⇔  b < c ⇔ 0 < a < 1 3) Các công th c tính c a Logarith Công th c 1: log a a x = x, ∀x ∈ » ,(1) Ch ng minh: Theo nh nghĩa thì hi n nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  4. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 4 ( 2) 8 Ví d 1: log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log 2 24 = log 2 = 8... Ví d 2: Tính giá tr các bi u th c sau: a 5 a 3 a2 a) P = log 1 . b) Q = log a a a a a. a a4 a Hư ng d n gi i: 1 2 1 2 28 67 1+ + a 5 a 3 a2 a.a 5 .a 3 a 5 3 a 15 28 3 − 67 67  1 − 60  67 a) Ta có = = = = a 15 4 = a 60  P = log 1 → a 60 = log 1   = − .   a4 a 1 1 1 1 + 3 a  60 a a a 2 .a 4 a2 4 a4 1 3 7 15 15 15 15 b) Ta có a a a a = a a a.a 2 = a a.a 4 = a.a 8 = a 16  Q = log → a a 16 = log a ( a)8 = 8 . Ví d 3: Tính giá tr các bi u th c sau: 1) log 1 125 = ..................................................... 2) 5 log 2 64 = .................................................................... 3) log16 0,125 = .................................................. 4) log 0,125 2 2 = .......................................................... 5) log 3 3 3 3 3 = ................................................ 6) log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................ Ví d 4: Tính giá tr các bi u th c sau: ( ) a) P = log a a 3 a 5 a = .................................................................................................................................. ( ) b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................ Công th c 2: a log a x = x, ∀x > 0 , (2) Ch ng minh: t log a x = t ⇒ x = at , ( 2 ) ⇔ at = at log 3 4 1 ( )  1 1 = ( 3 ) 2  = ( 3 )  2 = ( 4 ) 2 = 2... log 3 4 log 3 4 Ví d 1: 2log 2 3 = 3, 5log5 6 = 6, 3     Ví d 3: Tính giá tr các bi u th c sau: log 2 64 1) 2log8 15 = ..................................................... 2) 2 2 = ....................................................................  log81 5 1 3)   = ..................................................... 4)  3   log3 4 ( 9) 3 = .................................................................... Công th c 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3) Ch ng minh:  x = a log a x  Áp d ng công th c (2) ta có   x. y = a log a x .a log a y = a log a x + log a y → y = a log a y  Áp d ng công th c (1) ta ư c : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm Ví d 1: Tính giá tr các bi u th c sau: a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3 b) log 3 81 = log 3 ( 27.3 ) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4 Ví d 2: Tính giá tr các bi u th c sau: 4 4 10 a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = . 3 3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  5. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 5 1 1 −3 − 1   1 1 10 3 3 b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1 3 3  3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1   + log 1   3 = −3 − = − .  3    3   3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 2 c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log 2 5 32 = log 2 23 + log 2 2 = log 2 ( 2) + log 2 ( 2) = 6 + 2 = 8.  x Công th c 4: log a   = log a x − log a y , (4)  y Ch ng minh:  x = a log a x  x a log a x Áp d ng công th c (2) ta có   = log y = a log a x −log a y → y = a a log y y a a  x Áp d ng công th c (1) ta ư c : log a   = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm  y 5 4 32 5 4 7 Ví d : log 2 3 = log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = . 16 2 3 6 Công th c 5: log a b = m.log a b , (5) m Ch ng minh: ( ) m Theo công th c (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b = a m.loga b Khi ó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6 Ví d 1: 1 1 5 log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 = log 2 32 = 4 4 Ví d 2: −4 1 62.45 1 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1 = log 1 81 = log 1   = −4. 3 2 3 3 3 3 3 3 20 3 3 3 1 50 3 Ví d 3: log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 = log 5 25 = 2. 2 2 3 1 Công th c 6: log a n b = log a b , (6) n Ch ng minh: ( ) y t log a n b = y ⇒ a n = b ⇔ a ny = b 1 L y logarith cơ s a c hai v ta ư c : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y = log a b n 1 hay log a n b = log a b ⇒ dpcm n 1 log 2 16 = log 1 16 = log 2 16 = 2.4 = 8. 22 1 2 Ví d 1 : 1 log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30. 25 1 5 m H qu : T các công th c (5) và (6) ta có : log an b m = log a b n 3 ( 32 2 ) = log( ) ( 2 ) 1 (5 ) 9 11 11 11 Ví d 2: log 3 5 4 125 = log 1 3 4 = 4 log 5 5 = ; log 2 3 = log 2= . 53 1 4 2 2 3 2 3 3 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  6. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 6  27  log 3 3 27 + log 1  5  3  9 Ví d 3: Tính giá tr bi u th c A = 4 . 1 1 log 3 + log 1   3   81 3 Hư ng d n gi i: (3 3 ) 2 log 3 3 27 = log 3 3 =2  33  1  27  13  = 13 26 log 1  5  = log − 1 log 3 3 5 = −2. = − . 3  9   52  1 5 5  − 3 2 3 2  27  log 3 3 27 + log 1  5  26 2− 1 3  9  5 = 4. log = log 1 3−4 = −4.2 log 3 3 = −8  A = → = 3 81 32 1 1 4 −8 + 4 5 log 3 + log 1   3  81 3 log c b Công th c 7: (Công th c i cơ s ) log a b = , (7) log c a Ch ng minh: ( ) Theo công th c (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b = log c b log c a ⇒ dpcm Nh n xét : + cho d nh thì ôi khi (7) còn ư c g i là công th c “ch ng” cơ s vi t theo d ng d nh n bi t như sau log a b = log a c.log c b log b b 1 + Khi cho b = c thì (7) có d ng log a b = = . log b a log b a Ví d 1: Tính các bi u th c sau theo n s ã cho: a) Cho log 2 14 = a  A = log 2 49 = ? → b) Cho log15 3 = a  B = log 25 15 = ? → Hư ng d n gi i: a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1. Khi ó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .  1 1− a 1 1 log 3 5 = a − 1 = a  b) Ta có log15 3 = a ⇔ a = =   → log 3 15 1 + log 3 5 log 3 = a  5  1− a 1 1 log 3 15 1 1 B = log 25 15 = = a = a =  B = → . log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a ) 2 (1 − a ) a Ví d 2: Cho log a b = 3. Tính b b a) A = log b . b) B = log ab . a a a Hư ng d n gi i: 1 T gi thi t ta có log a b = 3 ⇒ log b a = . 3 a) b 1 1 1 1 A = log = log b − log a= − = − = b a b b  b  b  log b − log a log b − log a a a a log b   a  log a  a     b b a a     H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  7. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 7 1 1 1 1 3 −1 3 −1 = − = − =  A = → . 1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2 3 −2 3−2 3 −2 3 2 b  b log a Cách khác: Ta có ư c A = log b = log b b a = log a b − 1 = 3 − 1  b  2   = log b =  a a a log b log a b − 2 3−2 a  a     a2 a 2   a b 1 1 1 1 b) B = log ab . = log ab b − log ab a = − = − = a log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log a b 1 1 1 1 2 3 −1 2 3 −1 = − = − =  B = → . 1 1 1 + log a b 1 1 1+ 3 3 +1 3 +1 log b a + + 2 2 2 3 2 b2 2 log a  b  a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 . 2 b b Cách khác: Ta có B = log ab = log 2   = log ab = a ( ab )  a  a log a ab 1 + log a b 1+ 3 Ví d 3: Tính giá tr các bi u th c sau: a) log 6 3.log 3 36 = ...................................................................... b) log 3 8.log 4 81 = ...................................................................... 1 c) log 2 .log 25 3 2 = ................................................................. 5 Ví d 4: Cho log a b = 7. Tính a a) A = log a b . b) B = log b 3 ab 2 . 3 b a Ví d 5: Tính các bi u th c sau theo n s ã cho: 49 a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b  P = log 3 5 → =? 8 b b) Cho log ab a = 2  Q = log ab → =? a Công th c 8: a logb c = c logb a , (8) Ch ng minh: ( ) logb a Theo công th c (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a.loga c ⇔ a logb c = a loga c = c logb a ⇒ dpcm ( 2) 1 log 2 27 Ví d 1: 49 log 7 2 =2 log 7 49 = 2 = 4; 2 = 27 log 2 2 = 27 = 3 3... 2 Ví d 2: Tính giá tr các bi u th c sau: log3 4 a) A = 36log6 5 + 3 − 3log9 36 = .......................................................................... 32 − log3 2.4 2 log 3 b) B = = ........................................................................................... 27 log3 4 c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = ....................................................................... BÀI T P LUY N T P : Bài 1. Tính giá tr các bi u th c sau 1) log 25−1 5 4 5 2) log 3 3 729 3) log 9 27 3 1 log 3 4 12 4) log 9 3 5) log 3 3 (3 3 ) 6)   3 9  1 log27 81 7)     8) 103+2log10 3 9) 43log8 3+2log16 5  3   H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  8. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 8 1 log 9 2−log 1 5 log3 2−2log 27 3 10) 9 2 11) 42+log 2 3 12) 3 3 log 7 16 13) 25log5 6 + 49log7 8 14) 10 3 log10 8 15) log 7 15 − log 7 30 1 1 16) 3 1+log 9 4 +4 2−log 2 3 +5 log125 27 17) 25 log 8 5 + 49 log 6 7 Bài 2. Quy i các bi u th c sau theo các n ã cho a) Cho log23 = a ; log25 = b. Tính log 2 3; log 2 3 135; log 2 180 theo a, b. b) Cho log53 = a, tính log2515. c) Cho log96 = a, tính log1832. d) Cho lg5 = a; lg3 = b. Tính log308. Bài 3. Ch ng minh các ng th c sau (v i gi thi t các bi u th c u có nghĩa) a+b 1 a) lg = ( lg a + lg b ) , v i a2 + b2 = 7ab. 3 2 1 b) lg ( a + 2b ) − 2lg 2 = ( lg a + lg b ) , v i a2 + 4b2 = 12ab 2 2a + 3b log c a + log c b c) log c = , v i 4a2 + 9b2 = 4ab 4 2 d) Cho log1218 = a, log2454 = b, ch ng minh r ng: ab + 5(a – b) = 1. log a c log a b + log a x e) = 1 + log a b f) log ax bx = log ab c 1 + log a x log a N − log b N log a N 1 1 1 k (k + 1) g) = , v i b2 = ac. h) + + ... + = logb N − log c N log c N log a x log a 2 x log a k x 2log a x H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  9. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 9 02. HÀM S MŨ VÀ LOGARITH 1. Hàm s mũ y = ax (v i a > 0, a ≠ 1). • T p xác nh: D = R. • T p giá tr : T = (0; +∞). • Khi a > 1 hàm s ng bi n, khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n. • Nh n tr c hoành làm ti m c n ngang. 2. Hàm s logarit y = loga x (v i a > 0, a ≠ 1) • T p xác nh: D = (0; +∞). • T p giá tr : T = R. • Khi a > 1 hàm s ng bi n, khi 0 < a < 1 hàm s ngh ch bi n. • Nh n tr c tung làm ti m c n ng. 3. Gi i h n c bi t 1 x  1 • lim (1 + = lim 1 +  = e x) x • x →0 x →±∞  x ln(1 + x) ln(1 + u ) lim = 1  lim → =1 x →0 x u →0 u ex −1 eu − 1 sin x sin u ( x) • lim = 1  lim → =1 • lim = 1  lim → =1 x →0 x u →0 u x →0 x x →0 u ( x ) Ví d 1. Tính các gi i h n sau: x − e2 x − 1 e −1 3 e3 x − e 2 x 1) lim 2) lim 3) lim x →0 x x →0 x x →0 x ln(1 + 3 x) ln(1 + 4 x) e−4 x − 1 4) lim 5) lim 6) lim x →0 x x →0 2x x →0 3x Hư ng d n gi i: e −1 2x  e2 x − 1  1) lim = lim  .2  = 2 x →0 x →0 x  2x  − x  −x  e 3 −1  e 3 − 1  −1   1 2) lim = lim  .  = − x →0 x x →0  −x  3    3  3  3) lim e3 x − e 2 x = lim ( e3 x − 1) − ( e2 x − 1) = lim e3 x − 1 − lim e2 x − 1 = 3 − 2 = 1. x →0 x x →0 x x →0 x x →0 x ln(1 + 3 x)  ln(1 + 3 x)  4) lim = lim  .3 = 3 x →0 x x →0  3x  ln(1 + 4 x)  ln(1 + 4 x)  5) lim = lim  .2  = 2 x →0 2x x →0  4x  e−4 x − 1  e −4 x − 1  −4   4 6) lim = lim  .   = − x →0 3x x →0  −4 x  3   3 BÀI T P LUY N T P Tính các gi i h n sau: ln (1 + 4 x ) 2 e x − cos x eax − ebx 1) lim 2) lim 3) lim x →0 sin x x →0 x2 x →0 x 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  10. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 10 x +1 x esin 2 x − esin x  x   1 x 4) lim 5) lim   6) lim  1 +  x →0 x x →+∞  1 + x  x →+∞  x x +1 2 x −1 x  x +1   3x − 4  3  2x + 1  7) lim   8) lim   9) lim   x →+∞  x − 2  x →+∞  3 x + 2  x →+∞  x − 1  4. o hàm c a hàm mũ và logarith  y = a x  y′ = a x .ln a → Hàm mũ:   y = au  y ′ = u ′.au .ln a  →  y = e x  y ′ = e x → c bi t, khi a = e thì ta có   y = e  y ′ = u ′.eu  u →  1  y = log a x  y ′ = x.ln a → Hàm logarith:   y = log u  y ′ = u ′ →   a u.ln a  1  y = ln x  y ′ = x → c bi t, khi a = e thì ta có   y = ln u  y ′ = u ′ →   u Chú ý: B ng o hàm c a m t s hàm cơ b n thư ng g p: Hàm sơ c p Hàm h p y = k  y′ = 0 → y = ku  y ′ = k .u ′ → 1 1 1 u′ y=  y′ = − 2 → y=  y ′ = − 2 → x x u u y = x n  y′ = n.x n −1 ⇒ → y = u n  y′ = n.u n −1 .u ′ ⇒ → 1 u′ y = x  y′ = → y = u  y ′ = → 2 x 2 u  y = sin x  y′ = cos x  →  y = sin u  y′ = u ′.cos u  →    y = cos x  y ′ = − sin x  →  y = cos u  y ′ = −u ′.sin u  →  1  u′  y = tan x  y ′ = cos 2 x  →  y = tan u  y ′ = cos 2 u  →    y = cot x  y ′ = −1 →  y = cot u  y′ = −u ′ →   sin 2 x   sin 2 u  u uv′ − u ′v  y =  y′ = →  v v2  y = u.v  y′ = uv′ + u ′v →  Ví d 2. Tính o hàm c a các hàm s sau: x2 − x + 1 1) y = 4 x3 − 3 x + 2 2) y = 3 y = 4 x3 − 3 x + 2 3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) x+3 Hư ng d n gi i: 1 −3 ( 1) y = 4 x3 − 3 x + 2 = x3 − 3x + 2 ) 4 1 ( )(  y ′ = . 3 x 2 − 3 x3 − 3 x + 2 → 4 ) 4 1 3 − ′ x2 − x + 1  x2 − x + 1 3 1  x2 − x + 1  3  x2 − x + 1  2) y = 3 =   y′ = .  →  .  = x+3  x+3  3  x+3   x+3  3 3 − ′ − 1  x 2 − x + 1  3  (2 x − 1)( x + 3) − x 2 + x − 1  1  x 2 − x + 1  3 x 2 + 5 x − 4 = .  .  = .  . 3  x+3   ( x + 3) 2  3  x+3  ( x + 3) 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  11. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 11 2 . ( sin ( 2 x − 1) )′ = . 2 1 4 1 3) y = 3 sin 2 ( 2 x − 1) = sin ( 2 x − 1)  3  y ′ = .   → cos ( 2 x − 1) 3 3 sin ( 2 x − 1) 3 3 sin ( 2 x − 1) BÀI T P LUY N T P: Bài 1: Tính o hàm c a các hàm s sau: 1 + 3 1 + 5x x+4 1) y = 2) y = 9 + 6 5 x9 3) y = 4 sin 11 1 + 2x 3 ( 4) y = x 2 − 4 x + 4 e x ) ( 5) y = x5 − x e −2 x ) 6) y = e−3 x .sin 4 x e2 x + e x 1 x− 7) y = x.e 3 8) y = 9) y = esin 3 x − 4x e2 x − e x 10) y = cos x.ecot x 11) y = 2 x.ecos x ( 12) y = ln x 2 + 4 x − sinx ) ln ( 2 x + 1) 13) y = ecos x .ln ( cos x ) ( 14) y = ln x + x 2 + 1 ) 15) y = x +1 ln ( x − cot x ) ( 16) y = log 1 x 4 − cos 2 x ) 17) y = 3x − 4 18) y = (2 x − 1) ln(3x 2 + x) 2 Bài 2: Ch ng minh r ng các hàm s sau th a mãn h th c ch ra tương ng? x2 ( ) − 1) y = x.e 2  xy ' = 1 − x 2 y → 2) y = ( x + 1) .e x  y '− y = e x → 3) y = e 4 x + 2e − x  y '''− 13 y '− 12 y = 0 → 5) y = e − x .sin x  y ''+ 2 y '+ 2 y = 0 → 6) y = esin x  y '.cos x − y.sin x − y '' = 0 → 1 7) y = x 2 .e x  y ''− 2 y '+ y = e x → 2 ( )( 8) y = x 2 + 1 . e x + 2011  y ' = → ) 2 xy x +1 2 ( + e x x2 + 1 ) 9) y = ln 1 1+ x  xy '+ 1 = e y → 1 + ln x 10) y = 1 1 + x + ln x  xy ' = y ( y.ln x − 1) → 11) y = x (1 − ln x ) (  2 x 2 y ' = x 2 y 2 + 1 → ) Ví d 3. Gi i các phương trình và b t phương trình sau, v i các hàm s cho dư i ây? ( 1) f '( x) = 2 f ( x); f ( x) = e x x 2 + 3 x + 1 ) 1 2) f '( x) + f ( x) = 0; f ( x) = x3 ln x x 3) f '( x) = 0; f ( x) = e 2 x −1 + 2.e1−2 x + 7 x − 5 4) f '( x) > g '( x); f ( x) = x + ln( x − 5); g ( x) = ln( x − 1) 1 5) f '( x) < g '( x); f ( x) = .52 x +1; g ( x) = 5 x + 4 x ln 5 2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  12. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 12 03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ - PH N 1 D NG 1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ B N Khái ni m: Là phương trình có d ng a x = b , trong ó 0 < a ≠ 1. Cách gi i: + N u b ≤ 0 thì phương trình vô nghi m. + N u b ≤ 0 thì a x = b ⇔ x = log a b Ví d m u: Gi i phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 . Hư ng d n gi i: 1 Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x. 5 x  2 7 5 ⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 +  .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔   = 5 ⇔ x = log 5 5  5 5 2 2 V y phương trình ã cho có 1 nghi m là x = log 5 5. 2 BÀI T P LUY N T P: 1) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342 2) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1 3) 2 x +1 + 2 x + 2 + 2 x + 3 = 3x −1 + 3x − 2 4) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 351 5) 2 x +1 + 2 x + 2 = 3x − 2 + 3x − 3 6) 7.5 x − 2.5x −1 = 11 7) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x 8) 4 x +1 + 4 x −1 = 2.6 x − 4.6 x − 2 9) x x +1 x −2 1 1 1   +  +  = 22 2 2 2 D NG 2. PHƯƠNG PHÁP ƯA V CÙNG CƠ S a = 1 Cơ s phương pháp: S d ng các công th c lũy th a ưa phương trình v d ng a f ( x ) = a g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x) m+ n a .a = a m n am = a m−n an Các công th c lũy th a cơ b n: (a )m n = a m.n = a n.m = ( a n ) m m 1 n a = a  a − n = m → n an Ví d m u: Ví d 1. Gi i các phương trình sau x +10 x +5 +3 x −2 1 = 16 x +1 2) 3− x +4 x 2 2 1) 2 x = 3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 243 Hư ng d n gi i: +3 x −2 x = 2 = 16 x +1 ⇔ 2 x +3 x − 2 = 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0   2 2 1) 2 x →  x = −3 V y phương trình có hai nghi m là x = 2 và x = –3. 1  x = −1 2) 3− x + 4 x = ⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔  2 2 243 x = 5 V y phương trình có nghi m x = −1; x = 5. x +10 x +5 3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 , (1) . H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  13. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 13  x − 10 ≠ 0  x ≠ 10 i u ki n:  ⇔  x − 15 ≠ 0  x ≠ 15 x +10 x +5 1 x + 10 x+5 = 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4. 4. 3. Do 16 = 24 ; 0,125 = = −3 + 3. 8 x − 10 x − 15 4( x + 10) x = 0 ⇔ x − 10 = 60 x − 15 ⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150   → ( x = 20 ) V y phương trình có nghi m x = 0; x = 20. Ví d 2. Gi i các phương trình sau: x x x −1 2 9 3) ( 5 + 2) =( 5 − 2 ) x +1 27 x −1 x −1 2 x +1 1)   .   = 2) 4.9 =3 2 3 8 64 Hư ng d n gi i: x x x 3 x 3 2 9 27 2 9 3 3 3 1)   .   = ⇔  .  =   ⇔   =    x = 3. → 3 8 64 3 8 4 4 4 V y phương trình có nghi m duy nh t x = 3. 2 x +1 2x − 3 0 4.9x −1 ( 2)  3   3  2− 3− 2x 3 x −1 2 x +1 2x − 3 2x − 3 2) 4.9 =3 2 ⇔ 2 x +1 =1 ⇔ 3 .2 2 =1⇔ 3 . =1⇔   =1 =   ⇔ x = 2. 3.2 2  2  2 3 V y phương trình có nghi m duy nh t x = . 2 x 2x 3 81x  81  18.81  9  9 3 Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16. = 9.2.4 x ⇔   = ⇔  =  ⇔ x= . 81  4 16  2 2 2 x −1 3) ( 5 + 2) =( 5 − 2 ) x +1 , (1) . x −1 i u ki n: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1. ( )( ) ( ) 1 −1 Do 5+2 5 − 2 = 1  5 − 2 = →= 5+2 5+2 1− x  1  x =1 (1) ⇔ x − 1 = ⇔ ( x − 1)  1 +  = 0 ⇔  x = −2 x +1  x +1  V y phương trình có hai nghi m là x = 1 và x = –2. Ví d 3. Gi i các phương trình sau: 2   ( ) ( ) 1 x −1 ( ) ( ) x 2 −5 x 6 x +3 2 2 2 +1 2 −1 2 −2 1)  2 2 x  =4 2) 3+ 2 = 3− 2 3) 5 x − 3x = 2 5x − 3x     Hư ng d n gi i: 2   ( ) x > 0 1 x −1 1)  2 2 x +3 2 x  = 4, (1) . i u ki n:      x ≠1 ( ) ) = 22 ⇔ 3 ( x + 1) = 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9. 3 x +1 (1) ⇔ 2 ( x x −1 x ( x −1 ) V y phương trình ã cho có nghi m x = 9. ( ) ( ) x 2 −5 x ( 2 ). 6 2) 3+ 2 = 3− 2 , ( )( ) ( ) ( ) 1 −1 Do 3+ 2 3 − 2 = 1  → 3− 2 = = 3+ 2 . ( 3+ 2 ) x = 2 ( 2) ⇔ ( ) ( ) x2 −5 x −6 3+ 2 ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ = 3+ 2 x = 3 V y phương trình ã cho có nghi m x = 2 và x = 3. H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  14. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 14 2 3) 5 x − 3x 2 +1 = 2 5x ( 2 −1 − 3x 2 −2 )⇔5 x2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x 5 9 5 9 x2 x2 3 3 2 25 2 5 125 5 5 ⇔ 5 x = 3x ⇔   = ⇔   =    x = ± 3. → 5 9 3 27  3 3 V y phương trình ã cho có nghi m x = ± 3. BÀI T P LUY N T P: x 2 − x −5 2 x +3 3  2 1) ( 0, 2 ) x − x2 6 x −10 =5 2)   =  3) 2  3 (3 + 2 2 ) ( ) 4 x −1 2 x +3 = 3− 2 2 x 2 −3 ( ) 1 x2 − x x −1 5 x 2 − 4 x −1 x 2 −1 4) 9. 3 = 81 5) 10 =1 6) e =  e x −1 5 x −7 x +1 4 x−2 1 ( 4) 1 1 x x 2 − 4 x −1 7)   = 16. 3 8) 9 =  9) 27 x −1 = .81 x + 2 8  3 9 x x 1  1  ( ) ( ) 5 x −3 x3 2 x 2 −1 10) 3x.  =   11) 10 − 3 = 19 + 6 10  3   27  D NG 3. PHƯƠNG TRÌNH B C HAI THEO M T HÀM S MŨ  a f ( x ) = ... Cơ s phương pháp: Bi n i phương trình v d ng A.a 2 f ( x ) + B.a f ( x ) + C = 0   f ( x ) → a  = ... ; a 2n = ( a n ) 1 2 Chú ý: a − n = n a Ví d m u: Ví d 1. Gi i các phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0 Hư ng d n gi i: Phương trình ã cho tương ương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 . 2 t t = 5 x , i u ki n t > 0. t = 5 Khi ó phương trình tr thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔  t = 25 + V i t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x =1. x + V i t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 . V y phương trình ã cho có 2 nghi m là x = 1 và x = 2. Ví d 2. Gi i phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 . Hư ng d n gi i: 3x = 1 = 30 x = 0 Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔  x 1 1 2 ⇔ 3 3 = = 3 −2  x = −2   9 V y phương trình ã cho có 2 nghi m là x = 0, x = −2. Ví d 3. Gi i các phương trình sau: x 1− x 1) 5 x −5 +4=0 2) 3 x − 8.3 2 + 15 = 0 3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0 Hư ng d n gi i: 1) 5 x − 51− x + 4 = 0, (1) . i u ki n: x ≥ 0. 5  x =0 ( ) =1 x = 0 2 x 5 (1) ⇔ 5 x − +4=0⇔ 5 x + 4.5 x − 5 = 0   → ⇔ ⇔ 5 x  5 x = 5  x =1  x = 1 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  15. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 15 C hai nghi m u th a mãn i u ki n, v y phương trình có hai nghi m x = 0 và x = 1. x  3 x =3 x = 2 ( ) ( ) ( )  2x x 2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0   → ⇔ x = log 3 5 = log 3 25 ( ) x  3 =5   V y phương trình có hai nghi m x = 2 ; x = log3 25. 2 x +8 x+5 2( x + 4) x+4 2( x + 4) x+4 3x + 4 = 3 ⇒ x = −3 3) 3 − 4.3 + 27 = 0 ⇔ 3 − 4.3 .3 + 27 = 0 ⇔ 3 − 12.3 + 27 = 0   x + 4 → 3 = 9 = 3 ⇒ x = −2 2  V y phương trình ã cho có hai nghi m là x = –2 và x = –3. BÀI T P LUY N T P: 1) 92 x − 32 x − 6 = 0 2) 2 x − 4 x−1 = 1 3) 25 x − 5 x − 12 = 0 4) 100 x − 10 x+1 + 16 = 0 5) 9 x − 10.3x + 9 = 0 6) 3x + 2.32− x = 9 D NG 4. PHƯƠNG PHÁP T N PH GI I PHƯƠNG TRÌNH MŨ Lo i 1: Phương trình có ch a a f ( x ) ,b f ( x ) , c f ( x ) , d f ( x ) m n a c d  trong ó =  =  . gi i phương trình d ng này ta chia c hai v cho b f ( x ) v i b = min {a, b, c, d } hay b b  b g i m t cách dân rã, ta chia c hai v c a phương trình cho bi u th c lũy th a mà có cơ s nh nh t. Ví d 1. Gi i phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 . Hư ng d n gi i:  3  x 2 2x x   = ⇒ x = −1 3 3 2 3 Phương trình ã cho tương ương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔  . 2 2  x 3   = −3 < 0   2  V y phương trình ã cho có 1 nghi m là x = −1. Ví d 2. Gi i các phương trình sau: 1 1 1 − − − 1) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0 2) 4 x + 6 x = 9 x 3) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 4) ( H kh i A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0 Hư ng d n gi i: x 1) Chia c hai v c a (1) cho 9 ta ư c  4  x 4 x x 2x  = x x =1 (1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0   3  x 3  12   16  4  4  → ⇔ x = 2 2  9 9 3 3  4  16  4    = =    3  9 3 V y phương trình ã cho có hai nghi m x = 1 và x = 2. 2) i u ki n: x ≠ 0.  3 t 1 + 5 t t 2t t   = t − = t , ( 2 ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t 9 6 3 3 1 2      3  1 − 5 x 4 4 2 2   =
  16. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 16  3  x 4  3  −2 x x 2x x   = =   9 6 3 3 2 9 2 ⇔ 81.   + 45.   − 36 = 0 ⇔ 81.  + 45.   − 36 = 0 ⇔   x = −2. → 4 4 2 2  x  3  = −1 < 0  2   V y phương trình có nghi m duy nh t x = –2. 4) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0   3 x 3 x x x 3x 2x x .  =  12   18   27  3 3 ⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔ 3  2 2  x = 1. → 8 8  8  2 2 2  x . 3  2  = −2 < 0  V y phương trình có nghi m duy nh t x = 1. BÀI T P LUY N T P: 1) 10.25 x − 29.10 x + 10.4 x = 0 2) 5.36 x = 3.16 x + 2.81x 3) 25 x + 3.15 x + 2.9 x = 0 4) 15.25 x − 34.15 x + 15.9 x = 0 5) 4.49 x − 17.14 x = 392.4 x 6) 25 x + 4.9 x = 5.15 x 2 2 2 Lo i 2: Phương trình có tích cơ s b ng 1 Cách gi i: 1 Do ab = 1 ⇔ ( ab ) f ( x) = 1  b f ( x ) = → f ( x) a 1 T ó ta t a f ( x ) = t , (t > 0)  b f ( x ) = → t Chú ý: M t s c p a, b liên h p thư ng g p: ( 2 +1 )( ) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1 2 − 1 = 1; ( 5 + 2 )( 5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1... ( 2 ± 1) 2 3± 2 2 = M t s d ng h ng ng th c thư ng g p: 3 = (2 ± 3) 2 7±4 ... Ví d m u. Gi i các phương trình sau: ( ) +( ) ( ) +( ) x x x x 1) 2+ 3 2− 3 =4 2) 3 3+ 8 3 3− 8 =6 3) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3 4) ( 2 + 3 ) + (2 − 3) x x ( x −1) 2 x − 2 x −1 2 4 = 2− 3 Hư ng d n gi i: ( ) +( ) x x 1) 2+ 3 2− 3 = 4, (1) . ( )( ) ( ) .( ) ( ) x x x 1 Do 2+ 3 2 − 3 =1⇔ 2+ 3 2− 3 = 1  → 2− 3 = ( ) x 2+ 3 ( ) ( ) x x 1 t 2+ 3 = t ,(t > 0)  → 2− 3 = . t 1 t = 2 + 3 Khi ó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0   → t t = 2 − 3 ( ) ( )  x = 2. x 2 V i t =2+ 3 ⇔ 2+ 3 =2+ 3 = 2+ 3 → H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  17. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 17 ( ) ( ) −2 ( ) x −1 V i t =2− 3 ⇔ 2+ 3 =2− 3 = 2+ 3 = 2+ 3  x = −2. → V y phương trình có hai nghi m x = ±2. ( ) +( ) x x 2) 3 3+ 8 3 3− 8 = 6, ( 2). ( )( ) ( )( ) ( ) .( ) ( ) x x x 1 Do 3 3+ 8 3 3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔ 3 3+ 8 3 3− 8 = 1  → 3 3− 8 = ( ) x 3 3+ 8 ( ) ( ) x x 1 t 3 3+ 8 = t ,(t > 0)  → 3 3− 8 = . t 1 t = 3 + 8 Khi ó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0   → t t = 3 − 8 ( ) x ( ) x V i t = 3+ 8 ⇔ 3 3+ 8 = 3+ 8 ⇔ 3+ 8 3 = 3 + 8  x = 3. → 8⇔( 8) =3− x ( ) ( ) = (3 − 8 ) x −1 −1 V i t = 3− 3 3+ 8 = 3− 8 ⇔ 3+ 8 3  x = −3. → V y phương trình có hai nghi m x = ±3. x x  5 − 21   5 + 21  3) ( 5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) ( 3) . x x =2 x+ 3 ⇔  + 7.  = 8,  2   2  x x x x  5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21   5 − 21  1 Ta có     =  .  = 1   2  =  →   2   2   2 2   5 + 21  x    2  x x  5 + 21   5 − 21  1 t  = t ,(t > 0)   →  = .  2   2  t 1 t = 1 Khi ó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t 2 − 8t + 1 = 0   1 → t t =  7 x  5 + 21  V i t =1⇔   = 1  x = 0. →  2  x 1  5 + 21  1 1 V i t= ⇔  =  x = log 5+ →  . 7  2  7 21 7 2 x = 0 V y phương trình có hai nghi m  x = log 1  5 + 21     2 7 4) ( 2 + 3 ) + (2 − 3) ⇔ 2 − 3 (2 + 3) ( ) + 2 − 3 (2 − 3) ( ) ( x −1)2 x 2 − 2 x −1 4 x 2 − 2 x +1 x 2 − 2 x −1 = =4 2− 3 (2 − 3 )(2 + 3 )( 2 + 3 ) + (2 − 3) = 4 ⇔ (2 + 3) + (2 − 3) x2 − 2 x x2 − 2 x x2 − 2 x x2 − 2 x = 4, ( 4 ). t t = (2 + 3) , (t > 0)  ( 2 − 3 ) x2 − 2 x x2 − 2 x 1 → = . t H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  18. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 18  ( ) x2 − 2 x 1 t = 2 + 3  2+ 3 =2+ 3  x2 − 2 x = 1 Khi ó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0   2 → ⇔ ⇔ 2 t = 2 − 3 ( )  x − 2 x = −1 x2 − 2 x t   2+ 3 =2− 3   V i phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2 V i phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1. x = 1 V y phương trình có hai nghi m  x = 2 ± 2 BÀI T P LUY N T P: x x 7+3 5  7−3 5  1) ( 5 + 24 ) + (5 − 24 ) x x = 10 2)    + 7    =8   2   2  ( ) + (5 + 2 ) ( ) + (4 + ) x x x x 3) 5−2 6 6 = 10 4) 4 − 15 15 =8 ( ) ( ) ( ) +( ) x x x2 x2 − 1 5) 2 −1 + 2 +1 − 2 2 = 0 6) 10 + 3 10 − 3 = 10 + 4 ( ) ( ) x x x 7) 5 + 21 + 5 − 21 = 5.22 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  19. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 19 04. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH D NG 1. PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH CƠ B N Khái ni m: Là phương trình có d ng log a f ( x) = log a g ( x), (1) . trong ó f(x) và g(x) là các hàm s ch a n x c n gi i. Cách gi i: a > 0; a ≠ 1  - t i u ki n cho phương trình có nghĩa  f ( x) > 0  g ( x) > 0  f ( x) = g ( x) - Bi n i (1) v các d ng sau: (1) ⇔ a =1 Chú ý: - V i d ng phương trình log a f ( x) = b ⇔ f ( x) = ab - y lũy th a b c ch n: log a x 2 n = 2n log a x , n u x > 0 thì n log a x = log a x n  g ( x) ≥ 0  - V i phương trình sau khi bi n i ư c v d ng f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = [ g ( x)] 2  log a a x = x; a log a x = x  x - Các công th c Logarith thư ng s d ng: log a ( xy ) = log a x + log a y; log a   = log a x − log a y  y m 1 log an x m = log a x; log a b = n log b a Ví d m u: Ví d 1. Gi i các phương trình sau: ( ) 1) log 1 x 2 + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 ) 1 2) lg x = lg ( x + 1) 2 3 3 8− x 1 3) log 2 4 = log 1 x 2 ( ) 4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2 2 Hư ng d n gi i:  x > 1   x + 3x − 4 > 0   x < −4 x > 1 2  ( ) 1) log 1 x + 3 x − 4 = log 1 ( 2 x + 2 ) ⇔ 2 x + 2 > 0 2  ⇔  x > −1  ⇔   x = 2  x = 2. →  2  2   x = −3  x + 3x − 4 = 2 x + 2  x + x − 6 = 0  3 3   V y phương trình có nghi m x = 2. x > 0 x > 0  1  x > 0    x>0   x = 1+ 5 1+ 5 2) lg x = lg ( x + 1) ⇔  x + 1 > 0 ⇔ ⇔ 2 ⇔ 2  x = → 2 2lg x = lg x + 1 ( )   2 ( ) lg x = lg ( x + 1)  x = x + 1     2   x = 1 − 5   2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
  20. Khóa h c LT H môn Toán – Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 20 1+ 5 V y phương trình ã cho có nghi m x = . 2 8− x 1 3) log 2 = log 1 x, ( 3) . 4 2 2 8 − x > 0 i u ki n:  ⇔ 0 < x < 8. x > 0 8− x 8− x 8− x 1 1 − 1 Khi ó ( 3) ⇔ log 2 = − log 2 x ⇔ =x 2 ⇔ = ⇔ x (8 − x ) = 4 4 2 4 4 x ⇔ − x 2 + 8 x = 16 ⇔ ( x − 4 ) = 0  x = 4. 2 → Nghi m x = 4 th a mãn i u ki n, v y phương trình có nghi m x = 4. ( ) 4) log 5− x x 2 − 2 x + 65 = 2, ( 4) 5 − x > 0 x < 5    x < 5 i u ki n: 5 − x ≠ 1 ⇔ x ≠ 4 ⇔  2  x ≠ 4 x − 2 x + 65 > 0 ( x − 1) + 64 > 0, ∀x ∈ R 2   Khi ó ( 4 ) ⇔ x 2 − 2 x + 65 = ( 5 − x ) ⇔ 8 x + 40 = 0  x = −5. 2 → Nghi m x = –5 th a mãn i u ki n, v y phương trình có nghi m x = –5. Bình lu n: Trong các ví d 3 và 4 chúng ta c n ph i tách riêng i u ki n ra gi i trư c r i sau ó m i gi i phương trình. ví d 1 và 2 do các phương trình tương i ơn gi n nên ta m i g p i u ki n vào vi c gi i phương trình ngay. Ví d 2. Gi i các phương trình sau: 1 1 1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4 2) log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log5 ( 2 x + 1) 2 2 ( )  1  3) log 2 4 x + 15.2 x + 27 − 2log 1  =0 4.2 x − 3  2 Hư ng d n gi i: 1) lg ( x + 3) − 2lg ( x − 2 ) = lg 0, 4, (1) . x + 3 > 0  x > −3 i u ki n:  ⇔ ⇔ x > 2. x − 2 > 0 x > 2 Khi ó, (1) ⇔ lg ( x + 3) − lg ( x − 2 ) = lg 0, 4 ⇔ lg 2 ( x + 3) = lg 0, 4 ⇔ ( x + 3) = 0, 4 = 2 ⇔ 2 ( x − 2 ) − 5 ( x + 3) = 0 2 ( x − 2) ( x − 2) 2 2 5 x = 7 ⇔ 2 x − 13 x − 7 = 0   2 → x = − 1  2 i chi u v i i u ki n ta ư c nghi m c a phương trình là x = 7. 1 1 2) log 5 ( x + 5 ) + log 5 x − 3 = log 5 ( 2 x + 1) , ( 2 ) . 2 2   x+5>0  x > −5   i u ki n:  x − 3 > 0 ⇔  x > 3 ⇔ x > 3. 2 x + 1 > 0  1  x > −  2 H c offline: S 11 – ngách 98 – ngõ 72 Tôn Th t Tùng ( i di n H Y Hà N i) H c online: www.moon.vn
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2