Bài giảng Xác suất (Dành cho HS THPT)

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT (Dành cho HS THPT)<br /> Biên soạn : TS. Nguyễn Viết Đông, Khoa Toán –Tin học, ĐHKHTN, ĐHQG TP.HCM.<br /> I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT<br /> 1. Qui tắc đếm<br /> a) Qui tắc cộng : Giả sử đối tượng X có m cách chọn khác nhau, đối tượng Y có n cách chọn<br /> khác nhau và không có cách chọn đối tượng X nào trùng với mỗi cách chọn đối tượng<br /> Y. Khi đó có m + n cách chọn một trong hai đối tương ấy.<br /> b) Qui tắc nhân : Giả sử có hai hành động đựợc thực hiện liên tiếp. Hành động thứ nhất có m<br /> kết quả. Ứng với mỗi kết quả của hành động thứ nhất, hành động thứ hai có n kết quả.<br /> Khi đó có m.n kết quả của hai hành động liên tiếp đó.<br /> 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp<br /> Cho A là tập hợp gồm n phần tử (n 1).<br /> a) Mỗi cách sắp đặt tất cả n phần tử của A theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị<br /> của n phần tử . Số các hoán vị của n phần tử đựoc ký hiệu là Pn .<br /> Công thức : Pn = n !<br /> b) Mỗi cách lấy ra k phần tử từ tập A (1 k n) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định được<br /> gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được<br /> kí hiệu là Ank .<br /> k<br /> Công thức An  n(n  1)(n  2)...( n  k 1) <br /> <br /> n!<br /> (n  k )!<br /> <br /> c) Mỗi tập con gồm k phần tử của tập hợp A(1 k n) được gọi là một tổ hợp chập k của n<br /> phần tử . Qui ước tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.<br /> k<br /> Công thức Cn <br /> <br /> n!<br /> k !(n  k )!<br /> <br /> 3. Phép thử và biến cố<br /> a) Một phép thử mà kết quả của nó không thể đoán trước được, nhưng có thể liệt kê ra tất cả<br /> các kết quả có thể xảy ra gọi là phép thử ngẫu nhiên. Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy<br /> ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó. Không gian mẫu được kí hiệu bởi<br /> .<br /> b) Trong một phép thử ngẫu nhiên, mỗi tập con của không gian mẫu được gọi là một biến cố.<br /> Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của biến cố A, thì ta nói trong phép thử đó, biến<br /> cố A xảy ra.<br /> 1<br /> <br /> VD1. Gieo một con xúc xắc, gọi 1, 2, …, 6 là số chấm xuất hiện thì không gian mẫu là<br />  = {1,2,…, 6}.<br /> VD2. Gieo một đồng xu hai lần, thì không gian mẫu là<br />  = {SS, SN, NS, NN}.<br /> VD3. Gieo một con xúc xắc. Biến cố B = {1, 3, 5} là biến cố số chấm xuất hiện của xúc<br /> xắc là số lẻ.<br /> 4. Một số lọai biến cố<br /> a) Biến cố sơ cấp<br /> Mỗi tập hợp con gồm đúng một phần tử của không gian mẫu gọi là một biến cố sơ cấp.<br /> VD4. Trong ví dụ 1 thì biến cố A = {1} là biến cố sơ cấp.<br /> b) Biến cố chắc chắn, biến cố không thể<br /> Bản thân tập  được gọi là biến cố chắc chắn. Tập rỗng là biến cố không thể.<br /> c) Biến cố hợp (tổng), biến cố giao(tích), biến cố bù<br /> Biến cố A B (còn kí hiệu là A+ B) gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B. Biến cố<br /> A B( còn kí hiệu là AB) gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B. Biến cố A   \ A<br /> gọi là biến cố bù của biến cố A.<br /> VD5. Trong ví dụ 1, xem các biến cố A={1,3,5}, B= {3,6}.<br /> Khi đó :<br /> - Biến cố AB là biến cố {1,3,5,6} nó chỉ không xảy ra khi số chấm xuất hiện là 2<br /> hoặc 4.<br /> - Biến cố AB là biến cố {3}.<br /> - Biến cố bù của biến cố A là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt chẵn.<br /> Nhận xét: Biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai biến cố A và B xảy ra.<br /> Biến cố AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời xảy ra.<br /> Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.<br /> d) Biến cố xung khắc<br /> Hai biến cố gọi là xung khắc nếu chúng không thể xảy ra trong cùng một phép thử.<br /> e) Biến cố đồng khả năng<br /> Các biến cố được gọi là đồng khả năng nếu chúng có cùng khả năng xuất hiện khi tiến<br /> hành phép thử.<br /> f) Biến cố độc lập<br /> Các biến cố được gọi là độc lập nếu việc xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng gì đến<br /> việc xảy ra của những biến cố còn lại.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 5. Định nghĩa xác suất<br /> Nếu không gian mẫu gồm n biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm m biến cố sơ<br /> m<br /> cấp thì xác suất của biến cố A là P( A)  .<br /> n<br /> Nhận xét : 0  P( A)  1. P()  1. P()  0<br /> VD6. Một bình đựng 5 viên bi, trong đó có 3 viên bi xanh và 2 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra hai<br /> viên bi. Tính xác suất để được hai viên bi xanh.<br /> Giải. Có<br /> C52  10<br /> <br /> cách chọn 2 viên bi trong 5 bi. (không gian mẫu gồm 10 phần tử).<br /> Có<br /> C32  3<br /> <br /> cách chọn 2 bi xanh trong 3 bi (đây là số phần tử của biến cố đang xét).<br /> Do đó xác suất để lấy được 2 bi xanh là 3/10.<br /> 6. Công thức cộng xác suất<br /> a) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P(A  B ) = P(A) + P(B).<br /> b) Nếu A và B là hai biến cố tùy ý thì P (A  B ) = P(A) + P( B) – P (AB).<br /> c)<br /> <br /> P( A)  1  P( A) .<br /> <br /> VD7. Trong bình đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên . Tính xác suất<br /> a) Lấy được một hoặc hai viên bi đỏ.<br /> b) Lấy được ít nhất một viên bi đỏ.<br /> Giải.<br /> a) Đặt A1 là biến cố trong 3 viên lấy ra có đúng một viên đỏ và A2 là biến cố trong 3 viên lấy<br /> ra có đúng hai viên đỏ. Ta phải tính xác suất của biến cố A là biến cố trong ba viên lấy ra<br /> có một hoặc hai viên đỏ. Các biến cố A1 và A2 là xung khắc . Do đó<br /> P(A1 A2) = P(A1) + P(A2).<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> C4C62 1<br /> P ( A1 )  3 <br /> C10<br /> 2<br /> <br /> P ( A2 ) <br /> <br /> 2 1<br /> C 4 C6 3<br /> <br /> 3<br /> C10<br /> 10<br /> <br /> 1 3 4<br />  <br /> 2 10 5<br /> b) Gọi B là biến cố lấy được ít nhất một viên bi đỏ thì<br /> P ( A) <br /> <br /> 3<br /> C6<br /> P( B)  1  P( B)  1  3<br /> C10<br /> <br /> .<br /> <br /> VD8. Một lớp học có 50 học sinh, trong đó có 12 học sinh giỏi Toán, 8 học sinh giỏi Văn<br /> và 2 học sinh giỏi cả Văn lẫn Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh . Tính xác suất chọn<br /> được một học sinh giỏi Văn hay Toán (giỏi cả hai môn càng tốt).<br /> Giải. Gọi A là biến cố chọn được học sinh giỏi Toán , B là biến cố chọn được học sinh giỏi<br /> Văn. Ta cần tính P(A B). Ta có<br /> 12<br /> 50<br /> 8<br /> P( B) <br /> 50<br /> P ( A) <br /> <br /> P( A  B) <br /> <br /> 2<br /> 50<br /> <br />  P( A  B) <br /> <br /> 12 8<br /> 2<br />  <br />  0,36.<br /> 50 50 50<br /> <br /> 7. Công thức nhân xác suất<br /> Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(AB) = P(A).P(B) .<br /> VD9. Hai người bạn X và Y cùng đi câu cá. Xác suất để X câu được ít nhất một con là 0,1.<br /> Xác suất để Y câu được ít nhất một con là 0,15. Tính xác suất để hai bạn X, Y không trở về tay<br /> không.<br /> Giải. Xác suất để X trở về tay không là<br /> P(A) = 1 – 0,1 = 0,9.<br /> Xác suất để Y trở về tay không là<br /> P(B) = 1 – 0,15 = 0,85.<br /> Các biến cố A và B là độc lập. Vậy xác suất để cả X và Y trở về tay không là<br /> 4<br /> <br /> P(AB) = P(A). P(B) = 0,9 . 0,85 = 0,765.<br /> Vậy sau buổi câu cá, gom số cá đã câu được, xác suất để hai bạn được ít nhất một con là<br /> 1 – P ( A  B) = 1 – 0,765 = 0, 235.<br /> 8. Biến ngẫu nhiên rời rạc<br /> Đại lượng X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu<br /> hạn nào đó và giá trị ấy là ngẫu nhiên không dự đoán trước được.<br /> VD10. Gieo đồng xu 5 lần liên tiếp. Kí hiệu X là số lần xuất hiện mặt ngửa thì X là biến ngẫu<br /> nhiên rời rạc, giá trị của X là một số thuộc tập {0, 1, 2, 3, 4, 5}.<br /> 9. Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc<br /> Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 , …, xn . Gỉa sử P(X = xk) = pk.<br /> Bảng sau đây được gọi là bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.<br /> X<br /> P<br /> <br /> x1<br /> p1<br /> <br /> x2<br /> p2<br /> <br /> x3<br /> p3<br /> <br /> ….<br /> ….<br /> <br /> xn<br /> pn<br /> <br /> Chú ý : p1 + p2 + p3 + …+ pn = 1 .<br /> 10. Kì vọng, phƣơng sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc<br /> Cho biến ngẫu nhiên rời rạc như trong mục 9.<br /> a) Kì vọng của X, kí hiệu là E(X), là một số được tính theo công thức:<br /> E(X) = x1 p1 + x2p2 + … + xnpn.<br /> b) Phương sai của X, kí hiệu là V(X) là một số được tính theo công thức<br /> n<br /> <br /> V ( X )   ( xi   ) 2 pi , trong do   E ( X ).<br /> i 1<br /> <br /> Chú ý<br /> n<br /> <br /> V ( X )   xi 2 pi   2 .<br /> i 1<br /> <br /> c) Căn bậc hai của phương sai , kí hiệu là (X) , được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là<br /> <br />  ( X )  V ( X ).<br /> <br /> II. BÀI TẬP MẪU<br /> BT1. Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất tổng số chấm ở hai mặt trên bằng 5.<br /> 5<br /> <br />