Bài giảng Xác suất thống kê kinh tế - Đoàn Hồng Chương

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

131
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Xác suất thống kê kinh tế gồm 3 chương. Nội dung bài giảng lần lượt trình bày về đại số tổ hợp, xác suất và công thức tính xác suất, biến ngẫu nhiên và một số nội dung liên quan khác. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê kinh tế - Đoàn Hồng Chương

XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ Đoàn Hồng Chương1 1 Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật
Chương 1 NHẮC LẠI VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1.1 Qui tắc cộng Nếu một công việc có thể thực hiện theo k phương án A1, A2 . . . , Ak và mỗi phương án có ni(i = 1, 2, . . . , k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là n = n1 + n2 + . . . + nk . (1.1) Ví dụ 1.1. Một người muốn mua một đôi giày cỡ 39 hoặc 40. Cỡ 39 có hai màu đen và trắng, cỡ 40 có ba màu đen, trắng và nâu. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mua giày? (Đáp số: n = 2 + 3 = 5). Trang 1
1.2 Qui tắc nhân Nếu một công việc bao gồm k giai đoạn và mỗi giai đoạn có ni (i = 1, 2, ..., k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là n = n1.n2 . . . nk (1.2) Ví dụ 1.2. Trong một trò chơi, mỗi thí sinh phải trả lời 5 câu hỏi trắc nghiệm có sẵn của ban tổ chức, mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu phương án trả lời? (Đáp số: n = 45 = 1024). 1.3 Hoán vị Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự gọi là một hoán vị. Trang 2
Tính chất 1.1. Số hoán vị của n phần tử là Pn = n! (1.3) • Qui ước: 0! = 1. Ví dụ 1.3. Một bàn có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi? Giải. Vì mỗi cách xếp học sinh vào một bàn dài là một hoán vị nên số cách xếp là P4 = 4! = 24. Ví dụ 1.4. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn học sinh vào một bàn dài biết rằng 2 bạn Hoa và Lan muốn ngồi cạnh nhau? Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau? Giải. Nếu 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau thì ta có thể giải bài toán theo 2 bước sau đây: • Bước 1: Xem 2 bạn Hoa và Lan như là 1 người. Khi đó số cách xếp là số hoán vị của 4 phần tử P4 = 4! = 24. Trang 3
• Bước 2: Đổi chỗ 2 bạn Hoa và Lan. Khi đó số cách xếp là số hoán vị của 2 phần tử P2 = 2! = 2. Vậy số cách xếp là n = P4.P2 = 48. Trường hợp 2 bạn Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau là phần bù của trường hợp trên. Do đó số cách xếp là hiệu của số cách xếp tùy ý 5 người và số cách xếp 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau n = P5 − 48 = 5! − 48 = 72. 1.4 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.2. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách xếp k phần tử (1 ≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử của tập hợp theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n. Tính chất 1.2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là n! Ak = . (1.4) n (n − k)! Trang 4
Ví dụ 1.5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau? Giải. Ý tưởng giải bài toán này là nguyên lý phần bù. Gọi Ω là tập hợp các số gồm 3 chữ số abc trong đó chữ số đầu tiên có thể nhận giá trị 0 và A là tập hợp các số thỏa đề bài. Khi đó A (phần bù của A trong Ω) là tập hợp các số gồm 3 chữ số trong đó chữ số đầu tiên bằng 0. Mỗi phần tử của Ω là một cách chọn có thứ tự 3 số trong tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 7}. Số phần tử của Ω là n(Ω) = A3. Đối với tập hợp A, vì chữ số đầu tiên bằng 0 nên mỗi phần 6 tử của A là một cách chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 4, 7}. Số phần tử của A là n(Ω) = A2. Khi đó số phần tử của A là 5 n(A) = A3 − A2 = 100. 6 5 Trang 5
1.5 Tổ hợp Định nghĩa 1.3. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách chọn k phần tử (1 ≤ k ≤ n) từ n phần tử của tập hợp gọi là một tổ hợp chập k của n. Tính chất 1.3. Số tổ hợp chập k của n phần tử là k n! Cn = . (1.5) k!(n − k)! Tính chất 1.4. k n−k Cn = Cn . (1.6) k k+1 k+1 Cn + Cn = Cn+1 . (1.7) Ví dụ 1.6. Một lớp học có 30 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Cần lập ra một đội văn nghệ gồm 5 nam và 5 nữ từ các học sinh nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách thực 5 5 hiện việc này? (Đáp số: n = C30.C20). Ví dụ 1.7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 6, 7, 8, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số trong đó chữ số 8 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện tối đa 1 lần? Trang 6
Giải. Với mỗi số tự nhiên thỏa mãn đề bài, ta biễu diễn thành một hàng gồm 4 ô, trong đó có 2 ô chứa số 8, 2 ô còn lại là số tùy ý trong tập hợp {1, 2, 3, 6, 7}. Như vậy, bài toán có thể chia thành 2 bước như sau: 2 • B1: Chọn 2 ô trong 4 ô để xếp chữ số 8. Số cách chọn sẽ là C4 . • B2: Chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 6, 7}. Số cách chọn là A2. 5 Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là C4 .A2 = 120. 2 5 1.6 Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.4. Tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm k phần tử không phân biệt thứ tự, có thể trùng nhau được chọn ra từ n phần tử đã cho. Chú ý: có thể k < n hoặc k = n hoặc k > n. Ví dụ 1.8. Một cửa hàng có 3 loại sản phẩm a1, a2, a3. Một khách hàng muốn mua 2 sản phẩm của cửa hàng. Vì không có điều kiện ràng buộc nên khách hàng đó có Trang 7
thể mua 2 sản phẩm a1, hoặc 2 sản phẩm a2 hoặc 1 sản phẩm a1 và 1 sản phẩm a3. Mỗi trường hợp được liệt kê ở trên chính là một tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử. Sau đây là liệt kê đầy đủ các trường hợp của bài toán: a1a1, a2a2, a3a3, a1a2, a1a3, a2a3. Tính chất 1.5. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là k k Cn = Cn+k−1. (1.8) Ví dụ 1.9. Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, tím, vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua 6 chiếc bút? (giả sử số lượng bút bi mỗi loại lớn hơn 6). Giải. Vì khách hàng chọn 6 chiếc bút trong 4 loại và có thể chọn cùng một màu nên mỗi cách chọn là một tổ hợp lặp chập 6 của 4. Số cách chọn là 6 6 6 C4 = C4+6−1 = C9 = 84. Ví dụ 1.10. Giả sử có 8 viên bi màu hoàn toàn giống nhau. Nam muốn xếp các viên 8 8 bi này vào 5 ngăn kéo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (Đáp số: n = C5 = C13 = 1287) Trang 8
BẢNG TÓM TẮT ĐẠI SỐ TỔ HỢP Trang 9
Chương 2 XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT §1. Phép thử và biến cố 1.1 Phép thử và biến cố Định nghĩa 1.1. Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình thực hiện một nhóm các điều kiện để quan sát hiện tượng mà kết quả của nó không đoán trước được. Định nghĩa 1.2. Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu, kí hiệu Ω. Ví dụ 1.1. Xét phép thử tung hai đồng xu, nếu xét kết quả xuất hiện là mặt "sấp" S hay "ngửa" N thì không gian mẫu sẽ là Ω = {SS, SN, N S, N N }. Quy ước: "ngửa" là mặt hiện giá trị của đồng xu và "sấp" là phía ngược lại. Ví dụ 1.2. Trong ví dụ (1.1), nếu xét kết quả là tổng số mặt sấp S thì không gian mẫu sẽ là Ω = {0; 1; 2}. Trang 10
Ví dụ 1.3. Xét phép thử tung một đồng xu cho đến khi xuất hiện mặt sấp S. Không gian mẫu của phép thử này sẽ là Ω = {1; 2; 3; 4; ...}. Định nghĩa 1.3. Biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu. Các biến cố thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B, C, ... Định nghĩa 1.4. Biến cố A gọi là biến cố sơ cấp nếu A chỉ chứa một phần tử của không gian mẫu Ω. Định nghĩa 1.5. Biến cố chắc chắn là Ω; Biến cố không thể là ∅. Ví dụ 1.4. Xét phép thử tung 2 đồng xu của ví dụ (1.1). Khi đó • Biến cố "có ít nhất một mặt S" là A = {SS, SN, N S}. • Các biến cố sơ cấp là A1 = {SS}, A2 = {SN }, A3 = {N S}, A4 = {N N }. • Biến cố Ω = {SS, SN, N S, N N } là biến cố chắc chắn. • Biến cố "có 3 mặt sấp" là biến cố không thể. Trang 11
1.2 Quan hệ giữa các biến cố 1. Biến cố giao Định nghĩa 1.6. Giao của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∩ B hoặc A.B, là biến cố "A và B đồng thời xảy ra". Ví dụ 1.5. Xét phép thử tung hai đồng xu. Gọi A là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở đồng xu thứ nhất", B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở đồng xu thứ hai". Khi đó A ∩ B là biến cố "xuất hiện mặt sấp ở cả hai đồng xu". Ví dụ 1.6. Một lớp có 30 sinh viên biết ít nhất một trong hai ngoại ngữ Anh văn hoặc Pháp văn, trong đó có 20 sinh viên giỏi Anh văn, 15 sinh viên giỏi Pháp văn. Hỏi có bao nhiêu sinh viên giỏi cả hai môn. (Đáp số: n = 5). 2. Biến cố hợp Định nghĩa 1.7. Hợp của hai biến cố A và B, kí hiệu A ∪ B, là biến cố "có ít nhất một trong hai biến cố A, B xảy ra". Trường hợp A ∩ B = ∅ thì ta dùng kí hiệu A + B thay cho A ∪ B. Trang 12
Ví dụ 1.7. Xét phép thử tung ba đồng xu. Gọi A là biến cố "xuất hiện đúng hai mặt sấp trong ba đồng xu", B là biến cố "cả 3 mặt đều sấp". Khi đó A ∪ B là biến cố "có ít nhất hai mặt sấp trong ba đồng xu". 3. Biến cố kéo theo Định nghĩa 1.8. Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B, nếu A ⊂ B. 4. Biến cố xung khắc Định nghĩa 1.9. Biến cố A và B gọi là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra trong một phép thử, nghĩa là A ∩ B = ∅. Trang 13
Ví dụ 1.8. Xét phép thử trong ví dụ (1.7). Biến cố A ∩ B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc Ví dụ 1.9. Xét phép thử tung một con súc sắc cân đối đồng chất. Các biến cố nào sau đây là xung khắc với nhau? A: "xuất hiện mặt chẵn". C: "xuất hiện mặt lẻ". B: "xuất hiện mặt nhị". D: "xuất hiện mặt nhất hoặc tam". 5. Biến cố bù Định nghĩa 1.10. Biến cố bù của biến cố A, kí hiệu A hoặc Ac, là biến cố "A không xảy ra". Ví dụ 1.10. Xét phép thử tung một đồng xu 2 lần và A là biến cố "mặt sấp S xuất hiện ít nhất một lần". Khi đó biến cố bù A là "mặt sấp không xuất hiện". Ví dụ 1.11. Bắn lần lượt ba viên đạn vào một bia. Gọi Ai là biến cố "viên đạn thứ i trúng bia" (i = 1, 2, 3). Khi đó biến cố 1. "có đúng một viên đạn trúng bia" là A = A1.A2.A3 ∪ A1.A2.A3 ∪ A1.A2.A3. Trang 14
2. "có đúng hai viên đạn trúng bia" là B = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3. 3. "có 3 viên đạn trúng bia" là C = A1A2A3. 4. "không có viên đạn nào trúng bia" là D = A1.A2.A3. 6. Tính chất Tính chất 1.6. Giả sử A, B, C là các biến cố trong không gian mẫu Ω. Khi đó ta có các tính chất sau: 1. Tính chất giao hoán A.B = B.A và A ∪ B = B ∪ A. 2. Tính chất kết hợp (A.B).C = A.(B.C) và (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). 3. Luật De-Morgan a) A ∪ B = A.B. b) A.B = A + B. c) A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An = A1.A2 . . . An. d) A1.A2 . . . An = A1 ∪ A2 . . . ∪ An. Trang 15
4. A + A = Ω và A.A = ∅. Ví dụ 1.12. Cho A, B là các biến cố. Chứng minh rằng A ∪ B = A + B.A. Giải. Ta có B.A ⊂ B, do đó với mỗi x ∈ A + B.A, suy ra x ∈ A hoặc x ∈ B. Vậy A + B.A ⊂ A ∪ B. Ngược lại, nếu x ∈ A ∪ B thì x ∈ A hoặc x ∈ B\A. Do đó x ∈ A + B.A. Trang 16
§2. Xác suất và công thức tính Xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít khi) của một biến cố. Số gán cho biến cố A, kí hiệu là P (A), gọi là xác suất của biến cố A. 2.1 Định nghĩa xác suất Định nghĩa 2.1. Giả sử không gian mẫu Ω của một phép thử gồm có n(Ω) biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm có n(A) biến cố sơ cấp. Khi đó xác suất của biến cố A là n(A) P (A) = . (2.1) n(Ω) Ví dụ 2.1. Xét phép thử tung hai đồng xu cân đối, đồng chất. A là biến cố "có đúng một mặt sấp S", nghĩa là A = {SN, N S}. Khi đó xác suất của biến cố A là n(A) 2 1 P (A) = = = . n(Ω) 4 2 Trang 17
Ví dụ 2.2. Một lô hàng có 50 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm để kiểm tra. Tính xác suất để cả 5 sản phẩm đều tốt. Giải. Gọi A là biến cố "5 sản phẩm đều tốt". Không gian mẫu của bài toán trên là tập hợp các cách chọn tùy ý 5 sản phẩm trong 50 sản phẩm. Khi đó 5 n(Ω) = C50. Mỗi cách chọn được 5 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 5 của 47 5 sản phẩm tốt. Số cách chọn 5 sản phẩm tốt là n(A) = C47. Vậy xác suất chọn 5 C47 1419 được 5 sản phẩm tốt là P (A) = 5 = . C50 1960 Ví dụ 2.3. Một nhóm học sinh gồm 3 nam và 4 nữ xếp thành một hàng dài. Hãy tính xác suất để 3 bạn nam a) Đứng cạnh nhau. b) Không đứng cạnh nhau. c) Không có ai đứng cạnh nhau. Giải. Nếu xếp 3 bạn nam và 4 bạn nữ một cách tùy ý thì mỗi cách xếp là một hoán vị của 7 người. Vậy n(Ω) = 7! cách xếp. Trang 18
a) Gọi A là biến cố "3 bạn nam đứng cạnh nhau". Chúng ta thực hiện như sau: • Bước 1: Xem 3 bạn nam là một người. Khi đó số cách xếp là P5 = 5!. • Bước 2: đổi chỗ của 3 bạn nam. Số cách xếp là P3 = 3!. Số cách xếp 3 bạn nam cạnh nhau là n(A) = 3!.5!. 3! × 5! 1 Vậy xác suất để 3 bạn nam đứng cạnh nhau là P (A) = = . 7! 7 b) Gọi B là biến cố "3 bạn nam không đứng cạnh nhau". Khi đó B là biến cố bù của A nên số phần tử của B là hiệu của n(Ω) và n(A). Vậy n(B) = 7! − 5!.3! = 4320. Xác suất để 3 nam không đứng cạnh nhau là 4320 6 P (B) = = . 7! 7 c) Với yêu cầu xếp 3 bạn nam không có ai đứng cạnh nhau, chúng ta thực hiện như sau: Trang 19