Bài giảng Xác suất thống kê: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

Chia sẻ: Lôi Vô Kiệt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 của tập bài giảng Xác suất thống kê gồm 2 chương đầu, cung cấp cho sinh viên những nội dung, kiến thức về: chương 1 - Đại số tổ hợp, quy tắc cơ bản về phép đếm, hoán vị, tổ hợp; chương 2 - Xác suất, phép thử và biến cố, công thức tính xác suất;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê: Phần 1 - Trường ĐH Võ Trường Toản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÕ TRƯỜNG TOẢN XÁC SUẤT THỐNG KÊ BÀI GIẢNG MÔN HỌC Biên soạn: Phạm Thanh Dược Hậu Giang - 2021
2
Mục lục MỤC LỤC 2 1 Đại số tổ hợp 7 1.1 Qui tắc cơ bản về phép đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Qui tắc cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Qui tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Giai thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.2 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Bài tập trắc nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Xác suất 17 2.1 Phép thử và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Khái niệm phép thử và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Phân loại biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.3 Mối quan hệ giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Định nghĩa xác suất theo cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Công thức tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Công thức cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Công thức nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3
4 Mục lục 2.3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.4 Công thức xác suất toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.5 Công thức Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 45 3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2 Bảng phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.3 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.4 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.5 Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.6 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.7 Độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.1 Công thức Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2 Các tham số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.2 Các tham số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 57 4.1 Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.2 Hàm mật độ xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.1.3 Hàm phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1.4 Mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.5 Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.6 Phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.7 Độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1.8 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Phân phối đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Mục lục 5 4.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2.2 Tham số đặc trưng và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Phân phối mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.3.2 Tham số đặc trưng và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . 65 4.4 Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.1 Hàm mật độ xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.2 Các tham số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Thống kê và dữ liệu 71 5.1 Một số khái niệm cơ bản của thống kê . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1.1 Thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.1.2 Tổng thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.1.3 Mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.1.4 Các loại thang đo trong thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.2 Dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.2 Các loại dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.3 Các phương pháp thu thập dữ liệu . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2.4 Thu thập dữ liệu qua phiếu điều tra . . . . . . . . . . . . . 76 5.3 Một số vấn đề liên quan đến mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3.1 Phương pháp chọn mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3.2 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thể . . . . . . . . . 79 5.3.3 Tham số đặc trưng của mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6 Lý thuyết ước lượng 83 6.1 Các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.1 Bảng số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.2 Kì vọng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.3 Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.2 Bài toán thống kê tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6 Mục lục
Chương 1 Đại số tổ hợp 1.1 Qui tắc cơ bản về phép đếm Trong đại số tổ hợp, ta thường dùng hai quy tắc cơ bản của phép đếm, đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân. 1.1.1 Qui tắc cộng Định nghĩa 1.1 Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng kia là: m + n cách. Ví dụ 1 Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thuỷ. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn? Giải: Có: 3 + 2 = 5 cách chọn. Ví dụ 2 Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia và 6 loại nước ngọt. Thực khách cần chọn đúng 1 loại thức uống. Hỏi có mấy cách chọn ? Giải: Có 3 + 4 + 6 = 13 cách chọn. Ví dụ 3 Trên kệ sách có 12 quyển sách tham khảo Toán 11 và 6 quyển sách tham khảo Lý 11.Hỏi một học sinh có bao nhiêu cách chọn một trong hai loại sách nói trên. Giải Học sinh có hai phương án chọn 1 quyển sách thỏa yêu cầu bài toán. Phương án 1 là chọn một quyển sách Toán 11, phương án này có 12 cách; Phương án 2 là chọn một quyển sách Lý 11,phương án này có 6 cách. Vậy học sinh có : 12 + 6 cách chọn một trong hai lại sách nói trên. 7
8 Chương 1. Đại số tổ hợp 1.1.2 Qui tắc nhân Định nghĩa 1.2 Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi tiếp đến hiện tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” hiện tượng 2 là : m × n. Ví dụ 4 Giữa thành phố Hồ Chí Minh và Hà Nội có 3 loại phương tiện giao thông: đường bộ, đường sắt và đường hàng không. Hỏi có mấy cách chọn phương tiện giao thông để đi từ thành phố Hồ Chí Minh đến Hà Nội rồi quay về? Giải: Có 3 × 3 = 9 cách chọn. Ví dụ 5 Một hội đồng nhân dân có 15 người, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 uỷ ban thư ký và không được bầu 1 người vào 2 hay 3 chức vụ. Hỏi có mấy cách? Giải Có 15 cách chọn chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch, có 14 cách chọn phó chủ tịch. Với mỗi cách chọn chủ tịch và phó chủ tịch, có 13 cách chọn thư ký. Vậy có :15 × 14 × 13 = 2730 cách chọn. Ví dụ 6 Một lớp học có 40 học sinh.Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban điều hành lớp gồm một lớp trưởng,một lớp phó và một thủ quỹ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn biết rằng mỗi học sinh đều có thể làm một nhiệm vụ. Giải Chọn một BCS gồm ba thành viên ta thực hiện theo 3 công đoạn. CĐ1: Có 40 cách chọn một lớp trưởng; CĐ2: Sau khi chọn xong lớp trưởng có 39 cách chọn một lớp phó; CĐ3: Sau khi chọn xong một lớp trưởng và một lớp phó ,có 38 cách chọn một thủ quỹ. Vậy có tất cả 40.39.38 = 58.280 cách chọn ban điều hành lớp. Ví dụ 7 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?
1.1. Qui tắc cơ bản về phép đếm 9 1.1.3 Bài tập Bài tập 8 Có 4 tuyến xe buýt giữa A và B. Có 3 tuyến xe buýt giữa B và C. Hỏi: a) Có mấy cách đi bằng xe buýt từ A đến C, qua B? b) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B? c) Có mấy cách đi rồi về bằng xe buýt từ A đến C, qua B sao cho mỗi tuyến xe buýt không đi quá một lần? Bài tập 9 Từ TP.Hồ Chí Minh đi đến TP. Nha Trang có thể đi bằng ô tô, tàu hỏa, hay tàu thủy. Mỗi ngày có 6 chuyến ô tô, có 4 chuyến tàu hỏa và 3 chuyến tàu thủy. Hỏi có bao nhiêu sự lựa chọn để đi từ TP.Hồ Chí Minh đến Nha Trang? Bài tập 10 Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. a) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh nam hay nữ dự trại hè của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? b) Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một học sinh nam và một học sinh nữ dự lễ hội của trường bạn. Có bao nhiêu các chọn? Bài tập 11 Trong cuộc thi vấn đáp về môn sử , giám khảo soạn 10 câu hỏi về sử Việt Nam, 6 câu hỏi về sử thế giới. Mỗi thí sinh rút thăm một câu hỏi. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng chọn một câu hỏi? Bài tập 12 Giả sử có 2 đường nối từ tỉnh A đến tỉnh B và có 3 đường nối từ tỉnh B đến tỉnh C.Chúng ta muốn đi từ tỉnh A sang tỉnh C qua ngã tỉnh B và trở về theo ngã đó. Có tất cả mấy hành trình đi về nếu: a) phải dùng cùng một đường để đi và về. b) dùng đường nào cũng được để đi và về . c) phải dùng những đường khác nhau làm đường đi và đường về trên cả hai chặn A – B và B – C? Bài tập 13 Một văn phòng cần chọn mua một tờ nhật báo mỗi ngày. Có 4 loại nhật báo. Hỏi có mấy cách chọn mua báo cho một tuần gồm 6 ngày làm việc ? Bài tập 14 Trong một tuần, Bảo định mỗi tối đi thăm 1 người bạn trong 12 người bạn của mình. Hỏi Bảo có thể lập được bao nhiêu kế hoạch đi thăm bạn nếu: a) Có thể thăm 1 bạn nhiều lần? b) Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần? Bài tập 15 Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cuộc hành trình bắt đầu ở 1 nhà ga và chấm dứt ở 1 nhà ga khác, biết rằng từ nhà ga nào cũng có thể đi tới bất kì nhà ga khác?
10 Chương 1. Đại số tổ hợp 1.2 Hoán vị 1.2.1 Giai thừa Định nghĩa 1.3 Với số nguyên dương n, ta định nghĩa n giai thừa, kí hiệu n!, là tích các số nguyên liên tiếp từ 1 đến n. n! = 1.2.3. . . (n − 2)(n − 1)n. 1.2.2 Hoán vị Định nghĩa 1.4 Có n vật khác nhau, sắp vào n chỗ khác nhau. Mỗi cách sắp được gọi là 1 hoán vị của n phần tử. Vậy, số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn và Pn = n!. Ví dụ 16 Từ 3 chữ số 1, 2, 3 có thể tạo được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau? Giải Mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau tạo ra từ 1, 2, 3 là một hoán vị của 3 phần tử. Vậy có : P3 = 3! = 6 số. (các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321) Ví dụ 17 Trong một lớp học, thầy giáo phát phiếu thăm dò yêu cầu học sinh ghi thứ tự 3 môn Toán, Lý, Hóa đang học theo mức độ yêu thích giảm dần. Hỏi có bao nhiêu cách ghi khác nhau? Giải Đây là hoán vị của 3 phần tử. Vậy có: P3 = 3! = 6 cách, khi đó có 6 cách ghi là: (T, L, H), (T, H, L), (L, T, H), (L, H, T ), (H, T, L), (H, L, T ). Ví dụ 18 Có 2 sách toán khác nhau, 3 sách lý khác nhau và 4 sách hóa khác nhau. Cần sắp xếp các sách thành một hàng sao cho các sách cùng môn đứng kế nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp ? Ví dụ 19 Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số: a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?
1.2. Hoán vị 11 1.2.3 Bài tập Bài tập 20 Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên? Bài tập 21 Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa? Bài tập 22 Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? Bài tập 23 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? Bài tập 24 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho: a) Bạn C ngồi chính giữa? b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? Bài tập 25 Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau? b) Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau? Bài tập 26 Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu: a) Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau? b) Chỉ có nữ ngồi kề nhau? Bài tập 27 Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? Bài tập 28 Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng. a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành? b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
12 Chương 1. Đại số tổ hợp 1.3 Tổ hợp 1.3.1 Định nghĩa Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (0 ≤ k ≤ n) không để ý đến thứ tự chọn. Mỗi cách chọn như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. k Do đó, nếu kí hiệu Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử, ta có: k n! Cn = k!(n − k)! Ví dụ 29 Có 5 học sinh, cần chọn ra 2 học sinh để đi trực lớp, hỏi có mấy cách chọn? Giải: Đây là tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. 2 Vậy có: C5 = 10 cách chọn. Giả sử 5 học sinh là {a, b, c, d, e } thì 10 cách chọn là: {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}, {b, c}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {c, e}. Ví dụ 30 Trong một kì thi, mỗi sinh viên phải trả lời 3 trong 5 câu hỏi. a) Có mấy cách chọn. b) Có mấy cách chọn nếu trong 5 câu hỏi có 1 câu hỏi bắt buộc. Giải a) Chọn 3 trong 5 câu hỏi là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử. 3 Vậy có C5 = 10 cách chọn. b) Chọn 2 trong 4 câu hỏi còn lại là tổ hợp chập 2 của 4 phần tử 2 Vậy có C4 = 6 cách chọn. 1.3.2 Bài tập Bài tập 31 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn trả lời 8 câu. a) Hỏi có mấy cách chọn tùy ý? b) Hỏi có mấy cách chọn nếu 3 câu đầu là bắt buộc? c) Hỏi có mấy cách chọn 4 trong 5 câu đầu và 4 trong 5 câu sau? Bài tập 32 Có 12 học sinh ưu tú. Cần chọn ra 4 học sinh để đi dự đại hội học sinh ưu tú toàn quốc. Có mấy cách chọn. a) Tùy ý ? b) Sao cho 2 học sinh A và B không cùng đi ? c) Sao cho 2 học sinh A và B cùng đi hoặc cùng không đi?
1.3. Tổ hợp 13 Bài tập 33 Một tổ có 12 học sinh. Thầy giáo có 3 đề kiểm tra khác nhau. Cần chọn 4 học sinh cho mỗi đề kiểm tra. Hỏi có mấy cách chọn ? Bài tập 34 Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau? Đ/s: 207360 cách Bài tập 35 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau: a) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau. b) Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau. Đ/s: a) 1036800 cách b) 33177600 cách Bài tập 36 Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau? Đ/s: 120960 cách Bài tập 37 Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới). Đ/s: 21600 cách Bài tập 38 Một lớp có 18 nam và 12 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn làm ban cán sự lớp sao cho: a)Mọi người đều vui vẻ tham gia. b)Bạn A và B không thể làm việc chung với nhau. c) Bạn C và D từ chối tham gia. Đ/s: a) 142506 cách b) 1139230 cách c) 98280 cách Bài tập 39 Có 5 nam và 5 nữ ngồi vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 5 ghế. Hỏi: a) Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho hai người đối diện khác phái? b) Có bao nhiêu cách sắp xếp mà nam và nữ ngồi xen kẽ và đối diện? Đ/s: a) 46080 cách b) 28800 cách Bài tập 40 Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào 1 hàng ghế có 7 chỗ ngồi sao cho 3 nam ngồi kề nhau và 2 nữ ngồi kề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách. Đ/s: 72 cách
14 Chương 1. Đại số tổ hợp Bài tập 41 Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu từ 1 đến 5 cạnh nhau. a) Có bao nhiêu cách sắp xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau. b) Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành các nhóm chẵn lẻ riêng biệt. Đ/s: a) 48 cách b) 24 cách Bài tập 42 Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất: a) Hai học sinh nữ và hai học sinh nam. b) Một học sinh nữ và một học sinh nam. Đ/s: a) 10800 cách b) 15000 cách Bài tập 43 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2. Đ/s: 56875 đề Bài tập 44 Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? Đ/s: 225 cách Bài tập 45 Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn. Đ/s: 51836470 cách Bài tập 46 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu? Đ/s: 645 cách Bài tập 47 Có hai chuồng gà, chuồng 1 nhốt 3 gà trống và 4 gà mái, chuồng 2 nhốt 4 gà trống và 5 gà mái. Hỏi có bao nhiêu cách bắt một lần 3 con gà từ một trong hai chuồng đã cho, trong đó có hai gà trống và một gà mái? Đ/s: 42 cách Bài tập 48 Một nhóm công nhân gồm 15 nam và 5 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 người để lập thành một tổ công tác sao cho phải có 1 tổ trưởng nam, 1 tổ phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ công tác. Đ/s: 111300 cách
1.4. Bài tập trắc nghiệm 15 1.4 Bài tập trắc nghiệm Bài tập 49 Xếp 3 bệnh nhân vào 5 khoa sao cho có nhiều nhất một người trong một khoa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp. A. 60 B. 243 C. 10 D. 125 E. Số khác Bài tập 50 Xếp tuỳ ý 5 bệnh nhân vào 3 khoa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp. A. 60 B. 243 C. 10 D. 125 E. Số khác Bài tập 51 Chọn 5 thành viên ban chấp hành chi đoàn trong số 8 ứng cử viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn. A. 6720 B. 56 C. 40 D. 96 E. Số khác Bài tập 52 Cho A = {1, 2, 3, 4}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số lập từ 4 số đã cho? A. 20 B. 64 C. 4 D. 24 E. Số khác Bài tập 53 Cho A = {1, 2, 3, 4}. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lập từ 4 số đã cho? A. 20 B. 64 C. 4 D. 24 E. Số khác Bài tập 54 Cho A = {1, 2, 3, 4}. Có bao nhiêu nhóm có 3 chữ số khác nhau lập từ 4 số đã cho? A. 20 B. 64 C. 4 D. 24 E. Số khác Bài tập 55 Khoa nội có 6 bác sỹ nữ, 4 bác sỹ nam. Khoa ngoại có 8 bác sỹ nam. Lập tổ công tác 3 người cần có nam, có nữ, có nội khoa, có ngoại khoa. Hỏi có bao nhiêu cách? A. 576 B. 480 C. 816 D. 360 Bài tập 56 Một tổ sinh viên có 8 nam, 7 nữ. Chia thành 3 nhóm trực đồng thời tại 3 bệnh viện A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách phân công nếu: bệnh viện A cần 3 nam 2 nữ, bệnh viện B cần 5 người trong đó có ít nhất 4 nam, số còn lại đến bệnh viện C? A. 30576 B. 61152 C. 29400 D. 1176 Bài tập 57 Có 4 thuốc loại I và 3 thuốc loại II. Hỏi có bao nhiêu cách điều trị cho 5 người bị bệnh A, nếu mỗi người bị bệnh A cần 2 thuốc loại I và 1 thuốc loại II? A. 45 B. 59.049 C. 90 D. 1.889.568
16 Chương 1. Đại số tổ hợp
Chương 2 Xác suất 2.1 Phép thử và biến cố 2.1.1 Khái niệm phép thử và biến cố Hai khái niệm được xem là cơ bản nhất trong lý thuyết xác suất đó là khái niệm phép thử và biến cố. Định nghĩa 2.1 Phép thử là việc thực hiện một hoạt động tác động lên đối tượng theo qui tắc định trước và ghi nhận kết quả của nó. Định nghĩa 2.2 Biến cố là những kết quả liên quan (kết quả có thể xảy ra hoặc có thể không xảy ra) thu được khi thực hiện phép thử. Ví dụ 58 Từ một mẫu gồm có người bệnh và cả người không bệnh. Chọn ngẫu nhiên một người để kiểm tra là một phép thử. Chọn được người bệnh hay người không bệnh là biến cố. Ví dụ 59 Bắn một viên đạn vào một mục tiêu là một phép thử. Viên đạn bắn trúng hay bắn trật là một biến cố. Chúng ta hiểu biến cố như là sự kiện hay sự việc xảy ra trong tự nhiên, trong khoa học kỹ thuật, trong đời sống kinh tế xã hội, . . , còn phép thử là một bộ các điều kiện xác định cho sự xuất hiện biến cố. Nó đơn giản là một hoạt động như quan sát một hiện tượng nào đó có xảy ra hay không, hoặc thực hiện một hành động như rút ngẫu nhiên một sản phẩm từ lô hàng; hoặc phức tạp hơn là sự phối hợp nhiều hoạt động, nhiều giai đoạn như: chọn một sản phẩm từ lô hàng thứ nhất bỏ vào lô hàng thứ hai, rồi rút một sản phẩm từ lô hàng thứ hai,· · · 17
18 Chương 2. Xác suất 2.1.2 Phân loại biến cố Định nghĩa 2.3 Một biến cố bất kỳ sẽ được xếp vào một trong ba loại sau: Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn luôn xảy ra khi ta thực hiện phép thử. Kí hiệu: Ω. Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi ta thực hiện phép thử. Kí hiệu: ∅. Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc có thể không xảy ra khi ta thực hiện phép thử. Kí hiệu: A, B, C, · · · , hoặc A1 , A2 , A3 , · · · Ví dụ 60 Tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất (các mặt được đánh số nút từ 1 đến 6), xét xem mặt nào xuất hiện. Đặt A:=biến cố xuất hiện mặt có số nút 6, C:=bc xuất hiện mặt có số nút là số chẵn. Biến cố nào là BCCC, BCKT, BCNN? Ví dụ 61 Xét một gia đình văn hóa có 2 con (Một người chỉ có thể là trai hoặc là gái). Đặt A:=biến cố gia đình có 1 trai, 1 gái, B:=biến cố gia đình có 2 con, C:=biến cố gia đình có 3 con. Biến cố nào là BCCC, BCKT, BCNN? Ví dụ 62 Một hộp có 6 bi đỏ, 2 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi xem màu. Đặt A:=biến cố lấy được 3 bi đỏ, B:=biến cố lấy được 3 bi xanh, C:=biến cố lấy được 3 bi. Biến cố nào là BCCC, BCKT, BCNN? 2.1.3 Mối quan hệ giữa các biến cố a. Biến cố thuận lợi Định nghĩa 2.4 Biến cố A được gọi là thuận lợi cho biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra. Kí hiệu: A ⊆ B. Ví dụ 63 Một sinh viên mua một tờ vé số. A:=bc sv này trúng độc đắc. B:=bc sv này trúng số. Hỏi: A ⊆ B hay B ⊆ A?
2.1. Phép thử và biến cố 19 Ví dụ 64 Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con. A:=bc gia đình có con trai. B:=bc gia đình có 2 con trai. Hỏi: A ⊆ B hay B ⊆ A? Ví dụ 65 Một học sinh đi thi đại học KA. A:=bc học sinh này thi đậu. B:=bc học sinh này đạt 10 điểm Toán. Hỏi: A ⊆ B hay B ⊆ A? b. Hai biến cố bằng nhau Định nghĩa 2.5 Biến cố A được gọi là bằng biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại khi thực hiện phép thử. Kí hiệu: A = B. Vậy A = B nếu A ⊆ B và B ⊆ A? Ví dụ 66 Tung một con xúc xắc. A:=bc con xx xh mặt có số nút chẵn. B:=bc con xx xh mặt có số nút: 2, 4, 6. C:=bc con xx xh mặt có số nút: 2, 4. Hỏi A = B? hay C = A? Ví dụ 67 Xét 1 gia đình văn hóa có 2 con. A:=bc gia đình có 1 con trai. B:=bc gia đình có 1 con gái. C:=bc gia đình có con trai. D:=bc gia đình có ít nhất 1 con trai. E:=bc gia đình có nhiều nhất 1 con trai. A = B? hay C = A? hay C = D? hay C = E? Ví dụ 68 Xét 1 hộp gồm 6 bi đỏ, 2 bi xanh. Lấy 2 bi ra xem màu. A:=bc lấy được 1 bi đỏ. B:=bc lấy được 1 bi xanh. C:=bc lấy được 3 bi đỏ. D:=bc lấy được bi đỏ. A = B? hay C = A? hay A = D?
20 Chương 2. Xác suất c. Biến cố tổng Định nghĩa 2.6 Biến cố C được gọi là tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu: C = A + B nếu C xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một trong hai biến cố thành phần xảy ra. Ví dụ 69 Chúng ta biết rằng một người có huyết áp bị hạ sẽ có triệu chứng là tim đập yếu hoặc giãn mạch hoặc cả hai triệu chứng đó. Vì vậy, nếu ta gọi: A là biến cố huyết áp bị hạ. B là biến cố tim đập yếu. C là biến cố giãn mạch. Thì ta sẽ có sự biểu diễn của biến cố A thông qua biến cố B và C là A = B+C. Ví dụ 70 Tung một con xúc xắc xét xem mặt nào xuất hiện. C:=bc con xx xh mặt có số nút chẵn. B:=bc con xx xh mặt có số nút là 2. A:=bc con xx xh mặt có số nút là 4, 6. D:=bc con xx xh mặt có số nút là 2, 4. Hỏi C = A + B? hay C = A + D? Ví dụ 71 Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 1 phát đạn vào bia. C:=bc bia bị trúng đạn. B:=bc người thứ hai bắn trúng. A:=bc người thứ nhất bắn trúng. Hỏi: C = A + B? Ví dụ 72 Có 9 bi T và 7 bi X. Lấy ngẫu nhiên 3 bi từ hộp. A:=bc lấy được 2 bi T và 1 bi X. B:=bc lấy được 3 bi T. C:=bc lấy được ít nhất 2 bi T. D:=bc lấy được nhiều nhất 1 bi X. Hỏi C = A + B? hay D = A + B? Tổng quát: C = A1 + A2 + · · · + An . C xảy ra nếu có ít nhất 1 bc Ai xảy ra. Ví dụ 73 Có 3 người đi thi. Ai :=bc người thứ i thi đậu. C:=bc có ít nhất 1 người thi đậu Hỏi: C = A1 + A2 + A3 ?