Bài tập môn học
EE2000 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG
PGS. Hoàng Minh Sơn
Bộ môn Điều khiển tự động
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Version: 1.0
03.12.2010
2
Chương 1: Khái niệm tín hiệu và hệ thống
1. Hãy chỉ ra rằng hàm mũ phức ( )
j
kt
xt e ω
= biểu diễn một tín hiệu tuần hoàn với chu
kỳ 2Tkπω=.
2. Cho tín hiệu không liên tục dạng sin
()
cos
(
2
)
xn fnπ=.
(a) Hãy chỉ ra rằng tín hiệu chỉ tuần hoàn khi và chỉ khi tần số f là một số hữu tỷ.
(b) Tìm chu kỳ tuần hoàn của tín hiệu khi 2/5
f
= [chu kỳ/mẫu].
3. Hãy chỉ ra rằng các tín hiệu mũ phức không liên tục có tần số hơn kém nhau một số
nguyên lần 2π [rad/mẫu], tức (2)
()
, 1,2,3...
jkn
xn e k
ωπ+
==là hoàn toàn giống nhau.
4. Hãy biểu diễn lại các tín hiệu phức dưới đây dưới dạng trên tọa độ cực:
(a) 1
() 1
xt
j
t
=
+ (b)
5. Hãy chỉ ra các tín hiệu sau đây là tuần hoàn và xác định chu kỳ của chúng (T đối
với tín hiệu liên tục x(t) và N đối với tín hiệu không liên tục x(n)):
(a)
()
cos
(
13
)
2sin
(
4
)
xt t tππ=+ (b) 1.73
()
j
n
xn e π
=
6. Hãy chỉ ra rằng tổng hai tín hiệu tuần hoàn có cùng chu kỳ cơ sở T:
1111
2222
() ( )
,
() ( ),
xt xt kT k
xt xt kT k
=+ ∈
=+ ∈
`
`
lại cho một tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ cơ sở T.
7. Biểu diễn tín hiệu trên hình vẽ dưới đây bằng một biểu thức gọn sử dụng tín hiệu
bước nhảy đơn vị 1(t):
8. Xác định xem các hệ sau đây là (1) hệ động học hay hệ tĩnh, (2) hệ dừng hay hệ
biến thiên, (3) tuyến tính hay phi tuyến, (4) nhân quả hay phi nhân quả:
(a)
1
yn x n=− (b) ()
() 1
(
1
)
xt
yt xt
=
+−
(c)
() ()
yt txt= (d) 0
() ( )
k
yn xn k
=−∞
=−
∑
012
1
x
(
t
)
t
00.5 1
1
y
(
t
)
t
-1
1.5
() nj
xn nje +
=
3
Chương 2: Mô tả tín hiệu và hệ thống trên miền thời gian
9. Cho một hệ tuyến tính dừng (LTI), khi đầu vào là một xung vuông thì đầu ra là
một xung tam giác như trên hình vẽ dưới đây:
Hãy vẽ tín hiệu đầu ra khi tín hiệu đầu vào của hệ thống có dạng dưới đây.
10. Đáp ứng xung g(n) của một hệ LTI không liên tục thể hiện trên hình (a) và tín hiệu
vào u(n) thể hiện trên hình (b) dưới đây, hãy vẽ đáp ứng đầu ra y(n).
11. Đáp ứng xung g(t) của một hệ LTI liên tục thể hiện trên hình (a) và tín hiệu vào
u(t) thể hiện trên hình (b) dưới đây, hãy tính toán và vẽ đáp ứng đầu ra y(t).
12. Cho một hệ LTI liên tục được mô tả bằng phương trình vi phân:
()
2
()
,0
dy du
ay t u t a
dt dt
+=−>
i) Bậc của hệ thống là bao nhiêu?
ii) Tính toán và vẽ phác đáp ứng xung của hệ thống cho trường hợp a = 2.
iii) Hệ thống có ổn định không?
iv) Xác định mô hình trạng thái của hệ thống.
0 1 2
1
u
(
t
)
t
0 1
1
y
(
t
)
t
Hệ thống
u
(
t
)
y
(
t
)
0 1
1
t
u
(
t
)
2 01
1
t
u
(
t
)
-1
(
a
)
(
b
)
0
1
n
g
(
n
)
u
(
n
)
(
a
)
(
b
)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4 -3 -2 -1 0
1
n
1 2 3 4-4 -3 -2 -1
1
1
t
g
(
t
)
u
(
t
)
(
a
)
(
b
)
0
1
t
3
1
()
1
(
1
)
t
gt e t
−
=−
4
13. Với mỗi mạch điện trên hình vẽ (a) và (b) dưới đây
i) Hãy xây dựng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa điện áp vào u(t) với điện
áp ra y(t).
ii) Hãy xây dựng mô hình trạng thái tuyến tính của mạch điện.
iii) Tính toán và vẽ phác đáp ứng xung của mạch điện (đáp ứng với tín hiệu vào là
xung Dirac)
iv) Tính toán và vẽ phác đáp ứng quá độ của mạch điện (đáp ứng với tín hiệu vào là
bước nhảy đơn vị)
v) Hệ thống có ổn định không? Tại sao?
14. Cho mạch điện dưới đây, với đầu vào u(t) là điện áp nguồn, đầu ra y(t) là dòng qua
điện trở R1.
i) Hãy xây dựng phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa điện áp đầu vào u(t) với
dòng điện đầu ra y(t).
ii) Hãy xây dựng mô hình trạng thái tuyến tính của mạch điện.
iii) Tính toán đáp ứng xung của mạch điện.
iv) Tính toán đáp ứng quá độ của mạch điện.
v) Khi nào thì hệ thống ổn định?
u(t) u(t)
y(t)y(t)
(a) (b)
5
Chương 3: Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier
15. Hãy chỉ ra rằng đáp ứng một khâu trễ
(()) ( )
Dxt xt
ττ=− đối với tín hiệu vào liên
tục dạng sin (hoặc mũ phức) là một tín hiệu liên tục dạng sin (hoặc mũ phức) có
cùng biên độ và tần số như tín hiệu vào nhưng có góc pha chậm đi ϕωτ=.
16. Hãy chỉ ra rằng đáp ứng một khâu trễ
(()) ( )
M
Dxn xn M=− đối với tín hiệu vào
không liên tục dạng sin (hoặc mũ phức) là một tín hiệu không liên tục dạng sin
(hoặc mũ phức) có cùng biên độ và tần số như tín hiệu vào nhưng có góc pha chậm
đi Mϕω=.
17. Cho mạch cầu chỉnh lưu diode với tín hiệu vào vi(t) là một xung răng cưa như trên
hình vẽ và tín hiệu ra vo(t) = |vi(t)|.
a) Xác định chuỗi Fourier của tín hiệu vào vi(t). Vẽ phác đồ thị biên độ của các hệ
số chuỗi cho trường hợp A=1.
b) Vẽ phác đồ thị tín hiệu ra vo(t) và xác định chuỗi Fourier của nó. Vẽ phác đồ thị
biên độ các hệ số chuỗi cho trường hợp A=1.
18. Tính toán các hệ số chuỗi Fourier của tín hiệu tuần hoàn minh hoạ dưới đây. Vẽ
phác đồ thị biên độ và pha của các hệ số.
19. Vẽ phác đồ thị của tín hiệu sau đây và tìm ảnh Fourier của nó:
000
00
22
22
sin ,
() 0,
tt
xt
t
ππ
ωω
ππ
ωω
ω−
−
⎧
⎡
⎤
⎪∈
⎪
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎪
=⎨
⎪
⎡
⎤
⎪∉
⎢
⎥
⎪
⎣
⎦
⎪
⎩
20. Với mỗi tín hiệu biểu diễn bên trái trong hình vẽ dưới đây, hãy tìm đồ thị biểu diễn
biên độ ảnh Fourier tương ứng ở bên phải (vẽ đường nối giữa đồ thị thời gian bên
trái và đồ thị tần số tương ứng bên phải).
0
n
x
(
n
)
1 2 4 5 6 7-7 -6 -5 -4 -2 -1
1
2
t
v
i
(
t
)
2
-T
-T2
TT
. . . . . .
-A
A