Bài tập chương 1
Bài 1.1. Cho A=2 1 −1
0 1 −4, B =−2 1 0
−3 2 2 .Tính 3A±2B;A⊤A;A A⊤.
Bài 1.2. Tìm x, y, z và wbiết rằng
3x y
z w =x6
−1 2w+4x+y
z+w3.
Bài 1.3. Tính các tích
a)
1−3 2
3−4 1
2−5 3
2 5 6
1 2 5
1 3 2
;
b)
5 0 2 3
4 1 5 3
3 1 −1 2
6
−2
7
4
;
Bài 1.4. Tính AB −BA nếu
a) A=1 2
4−1,B=2−3
−4 1 ;
b) A=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
,B=
7 5 3
0 7 5
0 0 7
.
Bài 1.5. Tính A⊤Avà AA⊤với
(a) A=1 2 1 3
4−1 5 −1;
(b)A=
−1−231
0−1−1−2
2−1 3 −2
;
1
Bài 1.6. Cho A=
0 1 0
0 0 1
0 0 0
, tính A2và A3.
Bài 1.7. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với
A=1 2
0 1 .
Bài 1.8. Tìm tất cả các ma trận cấp 3 giao hoán với
A=
1 0 1
0 1 −2
0 0 2
.
Bài 1.9. Hãy xác định f(A)trong các trường hợp sau:
a) A=2−1
3−2;f(x) = 2x3+ 3x2−7x+ 5.
b) A=1 3
2 4 ;f(x) = 3x3−2x2−x+ 2.
c) A=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
;f(x) = 4x2−3x+ 4.
d) A=
1−1 0
0 1 −1
−101
;f(x) = x2+ 4x−5.
Bài 1.10. Tính Ak, k ∈Nbiết rằng:
a) A=2−1
3−2;b) A=1α
0 1 ;
2
c) A=α β
0α;d) A=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
;
e) A=
1 1 1
0 1 1
0 0 1
;f) A=
1 1 0
0 1 1
0 0 1
.
Bài 1.11. * Cho A∈Mn(K)có tất cả các phần tử đều bằng α(α∈K). Hãy tính
Ak, k ∈N.
Bài 1.12. Xác định hạng của các ma trận sau:
a)
3 5 7
1 2 3
1 3 5
;b)
1 1 3
2 1 4
1 2 5
;
c)
1 1 −3
−1 0 2
−3 5 0
;d)
1 2 3 4
2 4 6 8
3 6 9 12
;
e)
4 3 2 2
0 2 1 1
0 0 3 3
;f)
1 2 3 6
2 3 1 6
3 1 2 6
;
g)
1−1 5 −1
1 1 −2 3
3−181
1 3 −9 7
; h)
1 3 −2−1
2 5 −2 1
1 1 6 13
−2−6 8 10
.
Bài 1.13. Tìm và biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m, n ∈K:
a)
1 1 −3
2 1 m
1m3
;b)
m5m−m
2m m 10m
−m−2m−3m
;
c)
3 1 1 4
m4 10 1
1 7 17 3
2 2 4 1
; d*)
m0 0 n
n m 0 0
0n m 0
0 0 n m
.
Bài 1.14. Dùng Thuật toán Gauss hoặc Gauss-Jordan, giải các hệ phương trình
sau:
3
a)
2x1+x2−2x3= 10;
3x1+ 2x2+ 2x3= 1;
5x1+ 4x2+ 3x3= 4.
b)
x1−2x2+x3= 7;
2x1−x2+ 4x3= 17;
3x1−2x2+ 2x3= 14.
c)
x1+ 2x2−x3= 3;
2x1+ 5x2−4x3= 5;
3x1+ 4x2+ 2x3= 12.
d)
2x1+x2−3x3= 1;
5x1+ 2x2−6x3= 5;
3x1−x2−4x3= 7.
e)
2x1+x2−2x3= 8;
3x1+ 2x2−4x3= 15;
5x1+ 4x2−x3= 1.
f)
x1+ 2x2−3x3= 1;
2x1+ 5x2−8x3= 4;
3x1+ 8x2−13x3= 7.
g)
x1+ 2x2−2x3=−1;
3x1−x2+ 2x3= 7;
5x1+ 3x2−4x3= 2.
h)
2x1−5x2+ 3x3+ 2x4= 4;
3x1−7x2+ 2x3+ 4x4= 9;
5x1−10x2−5x3+ 7x4= 22.
i)
x1+ 2x2−3x3+ 4x4= 2;
2x1+ 5x2−2x3+x4= 1;
5x1+ 12x2−7x3+ 6x4= 7.
j)
x1+x2= 7;
x2−x3+x4= 5;
x1−x2+x3+x4= 6;
x2−x4= 10.
4
k)
x1+ 2x2+ 3x3= 14;
3x1+ 2x2+x3= 10;
x1+x2+x3= 6;
2x1+ 3x2−x3= 5;
x1+x2= 3.
Bài 1.15. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:
a)
x1+ 2x2+x3= 0;
2x1+ 5x2−x3= 0;
3x1−2x2−x3= 0.
b)
x1+x2−2x3+ 3x4= 0;
2x1+ 3x2+ 3x3−x4= 0;
5x1+ 7x2+ 4x3+x4= 0.
c)
2x1−2x2+x3= 0;
3x1+x2−x3= 0;
x1−3x2+ 2x3= 0.
d)
3x1−2x2−5x3+x4= 0;
2x1−3x2+x3+ 5x4= 0;
x1+ 2x2−4x4= 0;
x1−x2−4x3+ 9x4= 0.
e)
x1+x2−3x3+ 2x4= 0;
x1−2x2−x4= 0;
x2+x3+ 3x4= 0;
2x1−3x2−2x3= 0.
f)
x1+ 3x2−2x3+x4= 0;
x1−x2+x3+x4= 0;
4x1−x2−x3−x4= 0;
4x1+ 3x2−4x3−x4= 0.
g)
6x1−5x2+ 7x3+ 8x4= 0;
6x1+ 11x2+ 2x3+ 4x4= 0;
6x1+ 2x2+ 3x3+ 4x4= 0;
x1+x2+x3= 0.
5