Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Giả Jacobian và cực trị của hàm vectơ liên tục"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cũng trong bài báo này, các đ nh lý đi u ki n c n đ hàm vectơ đ t c c ti u đ a phương cũng được chứng minh...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Giả Jacobian và cực trị của hàm vectơ liên tục"

T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 50-2009 GI JACOBIAN VÀ C C TR C A HÀM VECTƠ LIÊN T C Phan Nh t Tĩnh, Trư ng Đ i h c Khoa h c, Đ i h c Hu Hoàng Phư c L i Trư ng Đ i h c Sư ph m, Đ i h c Hu Tóm t t. Trong bài báo này, khái ni m gi Jacobian, m t d ng đ o hàm suy r ng do V. Jeyakumar và Đinh Th L c đ xu t s đư c gi i thi u cùng v i m t s ng d ng c a nó. Đ u tiên là m i quan h gi a gi Jacobian và dư i vi phân hàm vectơ l i s đư c đ c p cùng v i m t s ví d minh h a cho m i quan h này. Cũng trong bài báo này, các đ nh lý đi u ki n c n đ hàm vectơ đ t c c ti u đ a phương cũng đư c thi t l p nh công c gi Jacobian. Các đ nh lý này là m t s m r ng cho các đ nh lý đi u ki n c n đ hàm vô hư ng đ t c c ti u đ a phương mà ta đã bi t. 1 Gi i thi u M t k t qu quen thu c c a gi i tích c đi n là n u f : Rn −→ R kh vi Gâteaux t i x0 và đ t c c ti u đ a phương t i x0 thì 0 = f (x0 ). Sau này, v i s ra đ i các khái ni m đ o hàm suy r ng cho các hàm không kh vi (theo nghĩa c đi n) thì k t qu trên cũng đư c m r ng. V i hàm l i thì ta đã bi t r ng 0 ∈ ∂ ca f (x0 ) trong đó ∂ ca f (x0 ) là dư i vi phân c a f t i x. K t qu cũng tương t khi f Lipschitz đ a phương và ∂ ca f (x0 ) đư c thay b ng dư i vi phân Clarke ∂ C f (x0 ) ho c dư i vi phân Michel-Penoit ∂ M P f (x0 ) (xem [3]). Trong bài báo này, ta s m r ng các k t qu đã bi t cho trư ng h p hàm vectơ liên t c nh công c là gi Jacobian. Đ th c hi n đi u này, chúng ta s dành m c 2 cho vi c nêu đ nh nghĩa gi Jacobian c a hàm vectơ liên t c, m t s tính ch t cơ b n c a nó cùng v i m t s ví d ph c v cho các m c sau. Trong m c 3, chúng ta s gi i thi u v th t suy r ng cho không gian Rm đư c xây d ng nh m t nón l i K . V i th t đó m t l p hàm suy r ng c a l p hàm l i vô hư ng, đó là l p hàm vectơ l i cùng v i dư i vi phân c a nó cũng đư c nêu l i trong m c này. Ta đã bi t r ng m t hàm vectơ l i trên Rn thì dư i vi phân c a nó t i m i đi m luôn là t p l i, compact khác r ng (xem [7]). K t qu chính c a m c 3 s là thi t l p m i 141
quan h gi a dư i vi phân hàm vectơ l i v i gi Jacobian. C th là chúng ta có th kh ng đ nh r ng dư i vi phân c a hàm vectơ l i t i m t đi m cũng chính là m t gi Jacobian c a nó t i đi m đó. Ta cũng s ch ra ví d đ nh lư ng đ th y r ng dư i vi phân hàm vectơ l i không h n là gi Jacobian l i compact bé nh t theo quan h bao hàm. Đây là m t k t qu khá thú v vì dư i vi phân hàm vectơ l i ph thu c vào th t sinh b i m t nón l i trên Rm trong khi gi Jacobian thì không ph thu c vào th t đó. M c 4 và cũng là m t trong nh ng k t qu chính c a bài báo, s là s m r ng các đ nh lý đi u ki n c n c c tr đã bi t đ i v i hàm vô hư ng cho trư ng h p hàm vectơ (th hi n đ nh lý 4.2 và đ nh lý 4.6). Các k t qu tương t đã bi t c a hàm vô hư ng, hàm kh vi Gâteaux và hàm vectơ l i cũng s đư c nêu l i như là nh ng trư ng h p đ c bi t ho c là nh ng h qu c a các đ nh lý này. 2 Đ nh nghĩa và m t s tính ch t cơ b n Ký hi u L(Rn , Rm ) là không gian các ma tr n th c c p m × n. M i ma tr n M c p m × n có th đư c xem như là m t ánh x tuy n tính t Rn vào Rm , vì v y v i m i x ∈ Rn , ta có M (x) ∈ Rm . Chuy n v c a ma tr n M đư c ký hi u là M tr và đư c xem như là ánh x tuy n tính t Rm vào Rn . Đôi khi ta cũng vi t vM v i v ∈ Rm thay cho M tr (v ). Trên L(Rn , Rm ) đư c trang b chu n c a ánh x tuy n tính cho bi M = sup M (x) . x ≤1 Chu n này tương đương v i chu n Euclide 1 2 2 |M | = + · · · Mn M1 2 trong đó M1 , . . . , Mn là các dòng c a ma tr n M . Hình c u đơn v đóng trong L(Rn , Rm ) đư c ký hi u là Bm×n . Cho φ : Rn −→ R là m t hàm s và x, u ∈ Rn cho trư c. Đ o hàm theo hư ng Dini trên c a φ t i x theo hư ng u, ký hi u là φ+ (x; u), đư c xác đ nh b i φ(x + tu) − φ(x) φ+ (x; u) := lim sup . t t↓0 Tương t như v y, đ o hàm theo hư ng Dini dư i c a φ t i x theo hư ng u, ký hi u là φ− (x; u), đư c xác đ nh b i φ(x + tu) − φ(x) φ− (x; v ) := lim inf . t t↓0 142
nh n giá tr th c m r ng +∞ và −∞. Khi φ+ (x; u) = Các gi i h n trên có th − φ (x; u) thì các giá tr đó đư c ký hi u chung là φ (x; u) và g i là đ o hàm theo hư ng c a φ t i x theo hư ng u. N u đi u này đúng v i b t kỳ hư ng u thì hàm φ ng t i x. đư c g i là kh vi theo hư V i hàm vectơ f : Rn −→ Rm , đ o hàm theo hư ng c a f t i x theo hư ng u đư c xác đ nh b i f (x + tu) − f (x) f (x; u) := lim . t t↓0 Khi f (x; u) t n t i v i m i u ∈ Rn thì hàm f đư c g i là kh vi theo hư ng t i x. N u f1 , . . . , fm là các thành ph n c a f thì t đ nh nghĩa ta suy ra r ng f kh vi theo hư ng t i x khi và ch khi các hàm thành ph n f1 , . . . , fm cũng kh vi theo hư ng t i đi m này. Hàm f : Rn −→ Rm đư c g i là kh vi Gâteaux t i x n u t n t i ma tr n M c p m × n sao cho v i m i u ∈ Rn , ta có f (x + tu) − f (x) lim = M (u). t t↓0 Khi đó M đư c g i là đ o hàm Gâteaux c a f t i x. N u f kh vi Gâteaux t i x thì đ o hàm Gâteaux M c a nó trùng v i ma tr n Jacobian f (x) c a f t i x. Đi u ngư c l i cũng đúng, nghĩa là n u f kh vi theo hư ng t i x thì hàm f (x; u) tuy n tính theo bi n u, khi đó f kh vi Gâteaux t i đi m này và f (x)(u) = f (x; u) v i m i u ∈ Rn . Gi s r ng f : Rn −→ Rm là hàm vectơ Lipschitz đ a phương t i x, t c là t n t i lân c n U c a x và m t h ng s k > 0 (ph thu c vào x) sao cho f (x1 ) − f (x2 ) ≤ k x1 − x2 v i m i x1 , x2 ∈ U. Lúc đó theo đ nh lý Rademacher thì f kh vi h u kh p nơi (theo đ đo Lebesgue) trên U . Nh v y ta có th đ nh nghĩa Jacobian suy r ng Clarke c a f t i x, ký hi u là ∂ C f (x) b i ∂ C f (x) := co lim f (xi ) : xi ∈ Ω, xi → x i→∞ trong đó Ω là t p t t c các đi m c a U mà t i đó f kh vi. Tph p ∂ B f (x) := f (xi ) : xi ∈ Ω, xi → x lim i→∞ đư c g i là B - dư i vi phân c a f t i x. 143
Cho f : Rn −→ R là hàm liên t c. Đ o hàm Michel-Penot theo hư ng trên c a f t i x theo hư ng u đư c xác đ nh b i f (x + tz + tu) − f (x + tz ) f (x; u) = sup lim sup t z ∈ Rn t↓0 và đ o hàm Michel-Penot theo hư ng dư i c a f t i x theo hư ng u đư c xác đ nh bi f (x + tz + tu) − f (x + tz ) f (x; u) = infn lim inf . t z ∈R t↓0 Dư i vi phân Michel-Penot c a f t i x là t p h p ∂ M P f (x) := {ξ ∈ Rn : f (x; u) ≥ ξ , u v i m i u ∈ Rn }. Dư i đây là đ nh nghĩa v m t d ng đ o hàm suy r ng cho hàm vectơ liên t c, đư c đ xu t b i V. Jeyakumar và Đinh Th L c (xem [2], [3], [8]). Đ nh nghĩa 2.1 ([8], Definition 2.1). Cho f : Rn −→ Rm là m t hàm vectơ liên t c. T p đóng ∂f (x) ⊂ L(Rn , Rm ) g m các ma tr n c p m × n đư c g i là gi Jacobian c a f t i x n u v i m i u ∈ Rn và v i m i v ∈ Rm , ta có (vf )+ (x; u) ≤ sup v , M (u) (1) M ∈∂f (x) m trong đó vf là hàm th c xác đ nh b i vf := v , f = vi fi . i=1 M i ph n t c a ∂f (x) đư c g i là m t ma tr n gi Jacobian c a f t i x. N u d u đ ng th c (1) x y ra thì ∂f (x) đư c g i là gi Jacobian chính quy c a f t i x. 1. T đ nh nghĩa ta suy ra r ng n u ∂f (x) ⊂ L(Rn , Rm ) là m t Nh n xét 2.1. gi Jacobian c a f t i x, khi đó m i t p đóng A ⊂ L(Rn , Rm ) ch a ∂f (x) cũng là m t gi Jacobian c a f t i x. Như v y toàn b không gian L(Rn , Rm ) là m t gi Jacobian t m thư ng c a f t i b t kỳ x ∈ Rn . Dĩ nhiên là ta c n nh ng gi Jacobian càng nh càng t t. 2. M t d ng tương đương v i đ nh nghĩa c a gi Jacobian là: t p đóng ∂f (x) là gi Jacobian c a f t i x khi và ch khi v i m i u ∈ Rn và m i v ∈ Rm ta có (vf )− (x; u) ≥ inf v , M (u) . (2) M ∈∂f (x) 144
3. Cho f : Rn −→ Rm là hàm vectơ liên t c và kh vi Gâteaux t i x. Khi đó { f (x)} là m t gi Jacobian c a f t i x. Ngư c l i, n u f có m t gi Jacobian t i x ch g m m t ph n t thì f kh vi Gâteaux t i đi m đó và đ o hàm c a nó trùng v i ma tr n gi Jacobian này. N u f Lipschitz đ a phương t i x thì Jacobian suy r ng Clark cũng là m t gi Jacobian c a f t i đi m này (xem [2], Proposition 1.1.4). 4. Hàm vectơ f có m t gi Jacobian b ch n t i x khi và ch khi f Lipschitz đ a phương t i x. (Ch ng minh có th xem [2] ho c [3]). 5. Khi m = 1 thì ∂f (x) đư c xem như là m t t p con c a Rn . Lúc đó ta g i ∂f (x) là gi vi phân c a f t i x. Vì trên R ch có hai hư ng là hư ng dương và hư ng âm đ nh nghĩa c a gi vi phân đư c đưa v hai b t đ ng th c f − (x; u) ≥ inf f + (x; u) ≤ sup ξ, u ξ, u , và (3) ξ ∈∂f (x) ξ ∈∂f (x) v i m i u ∈ Rn . Dư i vi phân hàm l i vô hư ng và dư i vi phân Michel-Penoit là nh ng ví d v gi vi phân. Dư i đây là m t s ví d v gi Jacobian c a hàm vectơ đ làm sáng t Nh n xét 2.1, 4. Ví d 2.2. Xét hàm f : R −→ R2 cho b i f (x) = (|x|, |x|), x ∈ R. V i u ∈ R và v = (v1 , v2 ) ∈ R2 , ta có v1 |tu| + v2 |tu| (vf )+ (0; u) = lim sup = v1 |u| + v2 |u|. t t↓0 Đt −1 1 ∂f (0) := , , −1 1 ta có v , M (u) = sup{−v1 u − v2 u, v1 u + v2 u} = v1 |u| + v2 |u|. sup M ∈∂f (0) T đây suy ra ∂f (0) là m t gi Jacobian c a f t i 0. Trong ví d trên hàm f Lipschitz đ a phương t i 0 nên gi Jacobian c a f có th là t p b ch n. Ví d ti p theo s cho th y gi Jacobian c a m t hàm không Lipschitz đ a phương t i m t đi m s là t p không b ch n. 145
Ví d 2.3. Xét hàm f : R −→ R2 xác đ nh b i f (x) = ( |x|, |x|), x ∈ R. Khi đó f không Lipschitz đ a phương t i 0. V i u ∈ R, v = (v1 , v2 ) ∈ R2 , ta có vf = v1 |x| + v2 |x| và  +∞ n u v1 |u| > 0   v1 |tu| + v2 |tu|  (vf )+ (0; u) = lim sup = v2 |u| n u v1 |u| = 0 t t↓0   −∞ n u v1 |u| < 0.  Đt a a : a ∈ (−∞; 1] ∪ [1; +∞) . ∂f (0) := , −1 1 Khi đó có th th y r ng v i m i u ∈ R và m i v ∈ R2 thì v , M (u) ≥ (vf )+ (0; u) sup M ∈∂f (0) và do đó ∂f (0) là m t gi Jacobian không b ch n c a f t i 0. 3 Gi Jacobian c a hàm vectơ l i M c này nêu lên m i quan h gi a dư i vi phân c a hàm vectơ l i v i gi Jacobian. K t qu chính m c này là kh ng đ nh dư i vi phân c a hàm vectơ l i t i m t đi m cũng là m t gi Jacobian c a hàm vectơ t i đi m đó. Nhưng trư c h t chúng ta c n nêu l i đ nh nghĩa hàm vectơ l i và dư i vi phân c a nó. Cho K là m t nón l i trong Rm . Nón K đư c g i là nh n n u K ∩ (−K ) = {0}. Nón c c c a K là K := {ξ ∈ L(Rn , R) : ξ (c) ≥ 0 v i m i c ∈ K }. M nh đ sau nêu lên m t tính ch t c a nón l i đóng và nh n. Ch ng minh có th tham kh o [1]. M nh đ 3.1. N u K ⊂ Rn là nón l i, đóng nh n thì intK = ∅. Cho K ⊂ Rm là m t nón l i. Trên Rm , đ nh nghĩa quan h “ K” như sau: x, y ∈ Rm , x y ⇐⇒ x − y ∈ K. K 146
Khi đó K có tính ch t ph n x , b c c u do đó là m t th t (b ph n) trên Rm . Ta cũng vi t là y K x thay cho x K y và n u không s nh m l n ta s vi t “ ” thay cho “ K ” (và “ ” thay cho “ K ”). Hàm f : Rn −→ Rm đư c g i là l i (tương ng v i nón K ) n u v i m i x1 , x2 ∈ Rn và m i λ ∈ [0, 1] ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ). T đ nh nghĩa c a hàm vectơ l i ta suy ra r ng m t hàm vectơ l i tương ng v i nón K thì nó cũng l i tương ng v i b t kỳ nón th t l i nào ch a K . Cho f : Rn −→ Rm là m t hàm vectơ l i. Dư i vi phân c a f t i x ∈ Rn đư c đ nh nghĩa là t p h p ∂ cv f (x) := {A ∈ L(Rn , Rm ) : f (y ) − f (x) A(y − x) v i m i y ∈ Rn }. Khi m = 1 và nón K = R+ thì đ nh nghĩa hàm l i và dư i vi phân hàm vectơ l i trên chính là đ nh nghĩa đã bi t c a hàm l i vô hư ng. Khi đó, ta s dùng ký hi u ∂ ca f (x) đ ch dư i vi phân (theo nghĩa thông thư ng) c a hàm l i vô hư ng f : Rn −→ R t i x. Hàm vectơ l i t Rn vào Rm là hàm kh vi theo hư ng t i m i x ∈ Rn và ∂ cv f (x) luôn là t p l i compact khác r ng (xem [7], Đ nh lý 3.4.1). Tính liên t c c a hàm vectơ l i đư c cho m nh đ sau. M nh đ 3.2 ([7], M nh đ 2.1.3). Cho f : Rn −→ Rm là hàm vectơ l i. N u nón th t K l i, đóng và nh n thì f liên t c trên Rn . M nh đ 3.2 kh ng đ nh r ng m t hàm vectơ l i t Rn vào Rm thì liên t c trên Rn và do đó m t cách t nhiên, ta có th xây d ng các gi Jacobian c a nó t i m i x ∈ Rn . Ta s ch ra dư i đây r ng dư i vi phân ∂ cv f (x) chính là m t gi Jacobian c a hàm vectơ l i f t i x. Đây là m t tính ch t khá thú v ch gi Jacobian c a hàm vectơ f không ph thu c vào th t trên Rm trong khi đó ∂ cv f (x) l i ph thu c vào th t đư c xây d ng d a trên m t nón l i trong Rm . Đ nh lý 3.3. Cho f : Rn −→ Rm là hàm vectơ l i (tương ng v i nón K ) trong đó nón th t K là l i, đóng và nh n. Khi đó, v i m i x ∈ Rn , dư i vi phân ∂ cv f (x) c a f t i x là m t gi Jacobian c a hàm f t i đi m này. Ch ng minh. V i m i u ∈ Rn và v ∈ Rm , ta s ch ng minh r ng (vf ) (x; u) ≤ sup v , A(u) . (4) A∈∂ cv f (x) 147
Hi n nhiên là (4) đúng khi v = 0 do đó ch c n ch ng minh cho trư ng h p v = 0. Trư c h t ta s ch ng minh r ng v i m i v0 ∈ K \ {0} thì (v0 f ) (x; u) = sup v0 , A(u) . (5) A∈∂ cv f (x) Th t v y, theo đ nh nghĩa c a đ o hàm theo hư ng và tính liên t c c a tích vô hư ng, ta có f (x + tu) − f (x) v0 , f (x; u) = v0 , lim t t↓0 (v0 f )(x + tu) − (v0 f )(x) = lim = (v0 f ) (x; u). t t↓0 Do đó áp d ng [6], Part 5, Theorem 23.4 và k t qu ∂ ca (v0 f )(x) = v0 ∂ cv f (x) [7], ta có v0 , f (x; u) = sup{B (u) : B ∈ ∂ ca (v0 f )(x)} = sup{B (u) : B ∈ v∂ cv f (x)} = sup v0 , A(u) A∈∂ cv f (x) và như v y ta có (5). Bây gi v i v ∈ Rm tùy ý và v = 0. Vì K l i, đóng và nh n nên intK = ∅ và do đó t n t i v0 ∈ intK . L y s dương λ đ bé sao cho v0 + λv ∈ K . Khi đó ta có (v0 f ) (x; u) + λ(vf ) (x; u) = (v0 + λv )f (x; u) = sup v0 + λv, A(u) A∈∂ cv f (x) ≤ sup v0 , A(u) + λ sup v , A(u) . A∈∂ cv f (x) A∈∂ cv f (x) Đi u này cùng v i (5) suy ra (vf )+ (x; u) = (vf ) (x; u) ≤ sup v , A(u) . A∈∂ cv f (x) V y ∂ cv f (x) là m t gi Jacobian c a f t i x. Đ i v i m t hàm vectơ l i thì dư i vi phân ∂ cv f (x) c a f t i x chưa h n là gi Jacobian l i, compact bé nh t (theo quan h bao hàm) trong t t c các gi Jacobian c a f t i đi m này. Ví d sau đây cho th y đi u đó. 148
Ví d 3.4. Xét hàm f : R −→ R2 cho b i f (x) = (|x|, |x|), x ∈ R. Khi đó f là hàm l i tương ng v i nón K = R2 . B ng tính toán, ta có dư i vi phân + c a f t i 0 là a ∂ cv f (0) = : a ∈ [−1; 1], b ∈ [−1; 1] . b Theo Ví d 2.2 thì t p h p −1 1 ∂f (0) := , −1 1 là m t gi Jacobian c a f t i 0. Hi n nhiên là co∂f (0) là m t gi Jacobian l i, compact c a f t i 0 th c s ch a trong ∂ cv f (0). 4 Đi u ki n c n c c tr c a hàm vectơ liên t c Trong m c này, chúng ta s nêu lên m t s đ nh lý đi u ki n c n đ hàm vectơ đ t c c ti u đ a phương t i m t đi m. Đ i v i các hàm vô hư ng thì các k t qu thu đư c là nh ng trư ng h p đ c bi t c a các đ nh lý này. Đ nh nghĩa 4.1. Gi s Rm đư c s p th t b i m t nón K l i, đóng, nh n và f : Rn −→ Rm là m t hàm vectơ liên t c. Khi đó x0 ∈ Rn đư c g i là đi m c c ti u đ a phương c a f (tương ng v i nón K ) n u t n t i lân c n U c a x0 sao cho v i m i x ∈ U. f (x) f (x0 ) K Tương t như v y, đi m x0 đư c g i là đi m c c đ i đ a phương c a f (tương ng v i nón K ) n u t n t i lân c n U c a x0 sao cho v i m i x ∈ U. f (x) f (x0 ) K Khi m = 1 và nón th t K là nón R+ thì th t đư c thay b ng th t thông thư ng và đ nh nghĩa trên chính là đ nh nghĩa c a hàm vô hư ng đ t c c ti u (c c đ i) đ a phương mà ta đã bi t. Trong các k t qu dư i đây, ký hi u coA đư c s d ng đ ch bao l i đóng c a t p A, đó là t p l i đóng bé nh t ch a A. Đ nh lý sau là m t m r ng c a [2], Theorem 2.1.13 v đi u ki n c n đ m t hàm vectơ đ t c c ti u đ a phương. 149
Đ nh lý 4.2. Cho f : Rn −→ Rm là hàm vectơ liên t c t i x0 và ∂f (x0 ) là m t gi Jacobian c a f t i đi m này. Khi đó, n u f đ t c c ti u đ a phương t i x0 (tương ng v i K ) thì 0 ∈ [co∂f (x0 )]tr (v ) v i m i v ∈ K . Đ c bi t, khi m = 1 và R đư c s p th t b i nón R+ thì 0 ∈ co∂f (x0 ). Ch ng minh. V i v ∈ K và v i m i u ∈ Rn . Vì f đ t c c ti u đ a phương t i x0 f (x0 + tu) − f (x0 ) ∈ K v i t > 0 đ bé. Do đó nên t (vf )(x0 + tu) − (vf )(x0 ) f (x0 + tu) − f (x0 ) ≥0 = v, t t v i t > 0 đ bé. Suy ra (vf )(x0 + tu) − (vf )(x0 ) (vf )+ (x0 ; u) = lim sup ≥ 0. t t↓0 Đi u này k t h p v i gi thi t ∂f (x0 ) là gi Jacobian c a f t i x0 d n đ n 0 ≤ (vf )+ (x0 ; u) ≤ M tr (v ), u = sup v , M (u) = sup sup ξ, u . ξ ∈[∂f (x0 )]tr (v ) M ∈∂f (x0 ) M ∈∂f (x0 ) Đ ý r ng [co∂f (x0 )]tr (v ) là t p l i đóng. N u 0 ∈ [co∂f (x0 )]tr (v ) thì theo đ nh lý / tách, t n t i u ∈ R , u = 0 tách m nh {0} và [co∂f (x0 )]tr (v ), t c là n ξ, u ≥ 0> sup sup ξ, u ξ ∈[co∂f (x0 )]tr (v ) ξ ∈[∂f (x0 )]tr (v ) và đi u này mâu thu n v i 0 ≤ sup ξ, u . V y ξ ∈[∂f (x0 )]tr (v ) 0 ∈ [co∂f (x0 )]tr (v ). Ph n còn l i c a đ nh lý đư c suy ra ngay t k t qu trên b ng cách cho v = 1. T Đ nh lý 4.2 ta suy ra H qu 4.3. Cho f : Rn −→ Rm là hàm kh vi Gâteaux t i x0 và đ t c c ti u đ a phương t i đi m này. Khi đó 0 = f (x0 ). Ch ng minh. Vì nón th t K l i, đóng và nh n nên intK = ∅. L y v0 ∈ intK . Khi đó theo Đ nh lý 4.2 ta có 0 = [ f (x0 )]tr (v0 ). 150
Cho v ∈ Rm tùy ý. G i λ > 0 đ bé sao cho v0 + λv ∈ K . Khi đó 0 = [ f (x0 )]tr (v0 + λv ) = [ f (x0 )]tr (v0 ) + λ[ f (x0 )]tr (v ). Suy ra [ f (x0 )]tr (v ) = 0 và do v ∈ Rm tùy ý nên f (x0 ) = 0. Trư ng h p f là hàm vectơ l i, ta có H qu 4.4. Gi s f : Rn −→ Rm là hàm vectơ l i (tương ng v i nón K ) đ t c c ti u đ a phương t i x0 và ∂ cv f (x0 ) là dư i vi phân c a f t i x0 . Khi đó 0 ∈ ∂ cv f (x0 ). Ch ng minh. Theo Đ nh lý 3.3 thì ∂ cv f (x0 ) là m t gi Jacobian l i, compact c a f t i x0 . Áp d ng Đ nh lý 4.2, ta có 0 ∈ [∂ cv f (x0 )]tr (v ) v im i v∈K. M t khác, theo [7] ta có [∂ cv f (x0 )]tr (v ) = ∂ ca (vf )(x0 ). Do đó v i y ∈ Rn tùy ý thì v , f (y ) − f (x0 ) = (vf )(y ) − (vf )(x0 ) ≥ 0. Do v tùy ý thu c K nên f (y ) − f (x0 ) ∈ (K ) = K, t c là f (y ) − f (x0 ) 0. V y 0 ∈ ∂ cv f (x0 ). Nh n xét 4.1. 1. K t lu n c a Đ nh lý 4.2 cũng đúng cho trư ng h p hàm vectơ f đ t c c đ i đ a phương t i x0 (tương ng v i nón K ). Th t v y, lúc đó ta có 0 ≥ (vf )− (x0 ; u) ≥ M tr (v ), u = inf v , M (u) = inf inf ξ, u . ξ ∈[∂f (x0 )]tr (v ) M ∈∂f (x0 ) M ∈∂f (x0 ) B ng l p lu n tương t như ch ng minh c a Đ nh lý 4.2 ta cũng có 0 ∈ [co∂f (x0 )]tr (v ) v i m i v ∈ K . 2. Như là m t trư ng h p đ c bi t c a H qu 4.3, n u hàm f : Rn −→ R kh vi Gâteaux t i x0 và đ t c c ti u đ a phương t i đi m này thì 0 = f (x0 ). 3. N u f : Rn −→ R Lipschitz đ a phương thì dư i vi phân Michel-Penot ∂ M P f (x0 ) là m t gi vi phân l i, compact c a f t i x0 . Theo Đ nh lý 4.2, n u f đ t c c ti u đ a phương t i x0 thì 0 ∈ co∂ M P f (x0 ) = ∂ M P f (x0 ). 151
Tương t như v y, ta cũng có 0 ∈ ∂ C f (x0 ) n u f : Rn −→ R đ t c c ti u (hay c c đ i) đ a phương t i x0 , đây ∂ C f (x0 ) là dư i vi phân Clarke c a hàm f t i x0 . 4. T ch ng minh c a H qu 4.4 ta th y r ng n u m t hàm vectơ l i đ t c c ti u đ a phương t i đi m x0 thì cũng đ t c c ti u toàn c c t i đi m này. Ví d sau đây cho th y r ng trong trư ng h p t ng quát, ta không th thay th [co∂f (x0 )]tr (v ) b ng t p h p [∂f (x0 )]tr (v ) đư c. Ví d 4.5. Xét hàm f : R −→ R2 cho b i f (x) = ( |x|, |x|) v i x ∈ R. Khi đó f đ t c c ti u đ a phương t i 0 tương ng v i nón K = R2 . Theo Ví d 2.3 + thì t p h p a a : a ∈ (−∞; 1] ∪ [1; +∞) ∂f (0) := , −1 1 là m t gi Jacobian c a f t i 0. L y v = (0, 1) ∈ K thì ta có [∂f (0)]tr (v ) = {−1, 1} và hi n nhiên là 0 ∈ [∂f (0)]tr (v ). / Đ nh lý sau đây cho ta m t đi u ki n c n khác đ hàm vectơ đ t c c ti u đ a phương trên m t t p l i không r ng trong Rn . Đ nh lý 4.6. Cho C là m t t p l i không r ng trong Rn và f : Rn −→ Rm là hàm vectơ liên t c, kh vi theo hư ng t i x0 ∈ C . N u x0 là đi m c c ti u đ a phương (tương ng v i nón K ) c a f trên C và ∂f (x0 ) là m t gi Jacobian c a f t i x0 thì v i m i v ∈ K , ta có v , M (u) ≥ 0 v i m i u ∈ TC (x0 ). sup (6) M ∈∂f (x0 ) Đ c bi t, khi m = 1 và th t trên R là th t thông thư ng thì ta có ξ, u ≥ 0 v i m i u ∈ TC (x0 ), sup (7) ξ ∈∂f (x0 ) trong đó TC (x0 ) = {t(c − x0 ) : c ∈ C, t ≥ 0} là nón ti p xúc c a C t i x0 . 152
Ch ng minh. Cho v ∈ K . Trư c h t ta s ch ng minh (6) đúng v i m i u = c − x0 v i c ∈ C . Th t v y, đ ý r ng v i c ∈ C và x0 ∈ C thì x0 + t(c − x0 ) ∈ C v i t ∈ (0; 1). Vì f đ t c c ti u đ a phương trên C t i x0 nên v i t > 0 đ bé, ta có f (x0 + t(c − x0 )) − f (x0 ) ∈ K. T đây suy ra t (vf )(x0 + t(c − x0 )) − (vf )(x0 ) f (x0 + t(c − x0 )) − f (x0 ) ≥0 = v, t t v i t > 0 đ bé. Đi u này d n đ n (vf )(x0 + t(c − x0 )) − (vf )(x0 ) (vf )+ (x0 ; c − x0 ) = lim sup ≥ 0. t t↓0 M t khác, do ∂f (x0 ) là gi Jacobian c a f t i x0 nên v , M (c − x0 ) ≥ (vf )+ (x0 ; c − x0 ) ≥ 0, sup M ∈∂f (x0 ) t c là (6) đúng. Bây gi cho u ∈ TC (x0 ), u = lim ti ui trong đó ci ∈ C và ti > 0. Khi đó v i m i i→∞ i ∈ N, ta có v , M (ui ) ≥ 0. sup M ∈∂f (x0 ) Cho i → ∞ ta đư c v , M (u) ≥ 0. sup M ∈∂f (x0 ) Trư ng h p đ c bi t khi m = 1 và th t trên R là th t thông thư ng (t c là nón th t K = R+ ) thì b ng cách ch n v = 1, ta có ngay đi u c n ch ng minh. Nh n xét 4.2. Trong Đ nh lý 4.6, n u xét C = Rm thì ta có TC (x0 ) = Rm . Lúc đó v i m i v ∈ K và u ∈ Rn , ta có v , M (u) ≥ 0. sup M ∈∂f (x0 ) Đi u này d n đ n 0 ∈ [co∂f (x0 )]tr (v ) như đã ch ng minh Đ nh lý 4.2. Như v y có th th y r ng Đ nh lý 4.6 là m t m r ng c a đ nh lý 4.2. Tài li u tham kh o [1] Dinh The Luc, Theory of vector optimization, Lecture notes in Economics and Mathematical Systems 319,1989. 153
[2] Vaithilingam Jeyakumar and Dinh The Luc, Nonsmooth Vector Functions and Continuous Optimization, Springer, March 4, 2005. [3] V. Jeyakumar and D.T. Luc, Approximate Jacobian matrices for nonsmooth continuous maps and C 1 -Optimization, SIAM Journal on Control and Opti- mization, 36(1998), 1815-1832. [4] V. Jeyakumar and D.T. Luc, Nonsmooth calculus, minimality and monotonicity of convexificators, Journal of Optimization Theory and Applications, 101(1999), 599-621. [5] V. Jeyakumar, D.T. Luc and P.N. Tinh, Convex composite non-Lipschitz pro- gramming, Mathematical Programming, Ser. A, 25(2002), pp.177-195. [6] R.T. Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970. [7] Phan Nh t Tĩnh, Hàm vectơ l i và m t s ng d ng, Lu n văn Ti n sĩ Toán h c, Hà N i, 1999. [8] V. Jeyakumar and P.N. Tinh, On squeeze theorems for nonsmooth functions, Applied Mathematics Report, February, 2001. PSEUDO-JACOBIAN AND EXTREMUM OF CONTINUOUS VECTOR FUNCTIONS Phan Nhat Tinh Faculty of Sciences, University of Hue Hoang Phuoc Loi College of Pedagogy, Hue University SUMMARY In this paper, a notion of pseudo-Jacobian, one of the generalized derivative of continuous 5 vector functions and some applications will be introduced. The ralation between pseudo-Jacobian and subdifferential of convex vector functions and some examples to illustrate this relation will be established. We also state some necessary conditions for local extremizers of a continuous vector function. These theorem will be a generalization of the necessary conditions for the scalar functions attain local extremum that we have known. 154