Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về cấu trúc và biểu hiện xạ ảnh của nhóm Lie Poin caré"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

110
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học trường đại học Huế đề tài: Về cấu trúc và biểu hiện xạ ảnh của nhóm Lie Poin caré...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về cấu trúc và biểu hiện xạ ảnh của nhóm Lie Poin caré"

T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 48, 2008 V C U TRÚC VÀ BI U DI N X NH C A NHÓM LIE POINCARÉ Tr n Đ o Dõng, Đ i h c Hu Lưu Th Khánh Giang, S GD-ĐT Qu ng Bình Nguy n Tân Quang, h c viên cao h c trư ng ĐHSP, Đ i h c Hu TÓM T T M t trong các bài toán cơ b n c a lý thuy t bi u di n nhóm Lie là mô t và phân l p các bi u di n unita b t kh qui c a các nhóm Lie n a đơn, đ c bi t là các bi u di n x nh b t kh qui c m sinh t bi u di n unita b t kh qui c a ph ph d ng đơn liên tương ng. Trong bài vi t này, trư c h t chúng tôi kh o sát c u trúc c a nhóm Poincaré xét như tích n a tr c ti p c a các nhóm Lie. Ti p đó, chúng tôi kh o sát bi u di n x nh c a nhóm Lie Poincaré liên thông SO(3, 1)◦ R4 c m sinh t các bi u di n unita b t kh quy c a tích n a tr c ti p SL(2, C) R4 , ph ph d ng đơn liên 2-lá c a SO(3, 1)◦ R4 . §1. Nhóm poincaré và ph đơn liên tương ng 1.1. Đ nh nghĩa: Cho nhóm Lorentz H = O(3, 1) tác đ ng m t cách t nhiên lên R4 qua ánh x τ : O(3, 1) × R4 → R4 , (g, x) → τ (g, x) = gx. Khi đó, ánh x α : g → τ (g, .) là m t đ ng c u nhóm t nhóm Lorentz H = O(3, 1) vào nhóm các t đ ng c u trơn c a R4 . Ta đ nh nghĩa nhóm Poincaré là tích n a tr c ti p O(3, 1) ×τ R4 c a các nhóm Lie O(3, 1) và R4 . Đ đơn gi n, nhóm Poincaré thư ng đư c ký hi u là G = O(3, 1) R4 . Phép toán nhân và ngh ch đ o trên nhóm Poincaré cho b i (g, x)(g , x ) = (gg , τ (g −1 , x) + x ) = (gg , g −1 x + x ) (g, x)−1 = (g −1 , τ (g, −x)) = (g −1 , −gx), ∀(g, x), (g , x ) ∈ G. 1.2. M nh đ : Đ i s Lie c a nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1) R4 là tích n a tr c ti p c a các đ i s Lie so(3, 1) ⊕π R4 , v i π : so(3, 1) → DerR4 là đ ng c u đ i s Lie xác đ nh b i π (X )x = Xx, ∀X ∈ so(3, 1), ∀x ∈ R4 . Ch ng minh. G i τ (g ) là vi phân c a τ (g, .) t i ph n t đơn v c a R4 . Do τ (g, .) : R4 → R4 là m t t đ ng c u nhóm Lie nên τ (g ) : R4 → R4 là t đ ng c u đ i s Lie c a R4 . Khi đó, ánh x τ : G → AutR (R4 ), g → τ (g ) là m t đ ng c u nhóm 15
và trơn nên τ là m t đ ng c u nhóm Lie. Đ i s Lie c a các nhóm Lie O(3, 1) và Aut(R4 ) l n lư t là so(3, 1) và Der(R4 ) nên dτ là m t đ ng c u đ i s Lie t so(3, 1) vào Der(R4 ). Theo đ nh nghĩa, đ i s Lie c a nhóm Poincaré G = O(3, 1) R4 là g = so(3, 1) ⊕dτ R4 . Ta s ch ng minh π = dτ . Th t v y, v i X là m t ph n t b t kì c a so(3, 1), ta có d d d dτ (X )(x) = τ (I + tX )(x) = (I + tX )x = (x + tXx) dt t=0 dt t=0 dt t=0 d = Xx, ∀x ∈ R4 . = tXx dt t=0 R4 . Do đó, dτ = π . Đ đơn gi n, ta s kí hi u g = so(3, 1) Xét tác đ ng c a nhóm SL(2, C) lên R4 b i các t đ ng c u xác đ nh b i ν : SL(2, C) × R4 → R4 , (g, x) → ψ (g )x. Khi đó, ta xác đ nh đư c tích n a tr c ti p SL(2, C) ×ν R4 . Phép nhân và phép ngh ch đ o trên G = SL(2, C) ×ν R4 cho b i (g, x)(g , x ) = (gg , ν (g −1 , x) + x ) = (gg , ψ (g −1 )x + x ) = (gg , (ψ (g ))−1 x + x ). (g, x)−1 = (g −1 , ν (g, −x)) = (g −1 , −ψ (g )x), ∀g, x), (g , x ) ∈ G. M t khác, tác đ ng τ c a nhóm Lorentz O(3, 1) lên R4 h n ch trên SO(3, 1)◦ c m sinh tích n a tr c ti p c a các nhóm Lie G◦ = SO(3, 1)◦ R4 := SO(3, 1)◦ ×τ R4 , v i G◦ là thành ph n liên thông c a nhóm Poincaré. Xét ψ : SL(2, C) → SO(3, 1)◦ là đ ng c u ph c a nhóm Lorentz liên thông H ◦ = SO(3, 1)◦ , v i SL(2, C) là nhóm ph đơn liên hai lá tương ng. Khi đó, ta có k t qu sau: 1.3. M nh đ :Ph ph d ng c a nhóm Poincaré liên thông SO(3, 1)◦ R4 là tích n a tr c ti p SL(2, C) ×ν R4 v i đ ng c u ph Ψ := ψ × I : SL(2, C) ×ν R4 → SO(3, 1)◦ R4 , (g, x) → (ψ (g ), x). Ch ng minh. Ta có SL(2, C) và R4 là các nhóm Lie đơn liên nên SL(2, C) ×ν R4 cũng đơn liên. Bây gi ta s ch ng minh Ψ là m t đ ng c u nhóm Lie. Th t v y, gi s (g, x), (g , x ) là hai ph n t b t kì c a SL(2, C) ×ν R4 , khi đó, ta có Ψ((g, x)(g , x )) = Ψ(gg , (ψ (g ))−1 x + x ) = (ψ (gg ), (ψ (g ))−1 x + x ) = (ψ (g )ψ (g ), (ψ (g ))−1 x + x ) 16
Ψ(g, x)Ψ(g , x ) = (ψ (g ), x)(ψ (g ), x ) = (ψ (g )ψ (g ), (ψ (g ))−1 x + x ). Suy ra Ψ((g, x)(g , x )) = Ψ(g, x)Ψ(g , x ), hay Ψ là m t đ ng c u nhóm. Do ψ và I là các toàn ánh nên Ψ cũng toàn ánh. Hơn n a, kerΨ = {(±I, 0)} ∼ Z2 . = Ta có SL(2, C) ×ν R4 đơn liên và Ψ là m t toàn c u nhóm Lie nên suy ra SL(2, C) ×ν R4 là nhóm ph ph d ng c a nhóm Poincaré liên thông G◦ = SO(3, 1)◦ R4 v i đ ng c u ph Ψ : SL(2, C) ×ν R4 → SO(3, 1)◦ R4 . Do kerΨ ∼ Z2 nên ph ph d ng này cũng là ph hai lá. = Đ đơn gi n khi vi t, ta s kí hi u SL(2, C) R4 thay cho nhóm Lie SL(2, C) ×ν R4 và đ i s Lie tương ng là sl(2, C) R4 thay cho sl(2, C) ⊕dν R4 . §2. Bi u di n x nh c a nhóm Poincaré R4 c a nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1) R4 , ta có Xét đ i s Lie g = so(3, 1) k t qu sau: 2.1. M nh đ : H 2 so(3, 1) R4 = 0. Ch ng minh. Trư c h t chú ý r ng đ i s Lie c a nhóm Lorentz h = so(3, 1) là m t đ i s Lie n a đơn. L y ω : R4 × R4 → R là m t ph n t c a (∧2 (R4 )∗ )so(3,1) và xét tích trong Lorentz β trên R4 . Do β không suy bi n nên t n t i duy nh t m t ánh x tuy n tính T ∈ End(R4 ) sao cho ω (x, y ) = β (T x, y ), v i m i x, y ∈ R4 . Khi đó, v i m i X ∈ so(3, 1), x, y ∈ R4 , ta có 0 = Xω (x, y ) = ω (Xx, y ) + ω (x, Xy ) = β (T Xx, y ) + β (T x, Xy ). Suy ra β (T Xx, y ) = −β (T x, Xy ) = − T x, JXy = − T x, (JXJ )Jy = − T x, −X t Jy = X T x, Jy = β (XT x, y ), ∀x, y ∈ R4 , trong đó là kí hi u tích vô hư ng chính t c trên R4 và J là ma tr n chéo c p 4 v i ba ph n t đ u tiên trên đư ng chéo b ng 1 và ph n t cu i cùng c a đư ng chéo b ng -1. Do v y, ta có T Xx = XT x, ∀X ∈ so(3, 1), x ∈ R4 . Nên T giao hoán v i tác đ ng c a so(3). Do đó T = cI , v i c ∈ R. Vì th ω (x, y ) = β (T x, y ) = β (cIx, y ) = cβ (x, y ), ∀x, y ∈ R4 . Hay ω = cβ. M t khác, ta có ω là ph n đ i x ng nên cβ (x, y ) = ω (x, y ) = −ω (y, x) = −cβ (y, x), ∀x, y ∈ R4 . 17
Suy ra cβ (e1 , e1 ) = −cβ (e1 , e1 ). Do β (e1 , e1 ) = 1 nên c = −c hay c = 0. Do đó ω = 0. V y (∧2 (R4 )∗ )so(3,1) = 0. Suy ra H 2 (so(3, 1) R4 ) = 0. Bi u di n x nh π : G → Aut(P(H)) c a nhóm Lie G trong không gian Hilbert ph c H đư c g i là b t kh quy n u không t n t i không gian con đóng th c s khác không π (G)-b t bi n c a P(H). K t qu dư i đây cho th y r ng, m i bi u di n unita b t kh quy c a SL(2, C) R4 có th đư c c m sinh t m t bi u di n x nh b t kh quy c a SL(2, C) R4 . 2.2. Đ nh lý:Cho H là không gian Hilbert ph c. Khi đó m i bi u di n x nh ∼ π : SL(2, C) R4 → Aut(P(H)) nâng lên thành m t bi u di n unita duy nh t π c a ∼ SL(2, C) R4 trong H. Hơn n a, π là b t kh quy n u và ch n u π b t kh quy. Ch ng minh. Ta có nhóm Lie SL(2, C) R4 đơn liên. Hơn n a, đ i s Lie tương ng sl(2, C) R4 đ ng c u v i so(3, 1) R4 nên theo M nh đ 2.1, ta có H 2 sl(2, C) R4 = 0. Suy ra bi u di n x nh π : SL(2, C) R4 → Aut(P(H)) ∼ nâng lên thành m t bi u di n unita π : SL(2, C) R4 → U (H). ∼ Bây gi ta s ch ng minh tính duy nh t c a π . Gi s ρ là phép nâng th hai c a π . ∼ ∼ Khi đó, q ◦ π = π = q ◦ ρ, nên v i m i x ∈ SL(2, C) R4 , ta có q ◦ π (x) = q ◦ ρ(x). ∼ ∼ ∼ −1 = 1. Hay q π (x).(ρ(x))−1 = q π (x) .q (ρ(x))−1 = 1. Suy ra q π (x) . q (ρ(x)) ∼ Vì v y π (x).(ρ(x))−1 là m t ph n t c a kerq = T. T đó, ta xác đ nh đư c ánh x ϕ : SL(2, C) R4 → T theo công th c ϕ(x) = ∼ ∼ π (x).(ρ(x))−1 . Suy ra, π (x) = ϕ(x)ρ(x), ∀x ∈ SL(2, C) R4 và ϕ là ánh x duy nh t có tính ch t này. ∼ Do ρ và π là nh ng ánh x liên t c nên ϕ cũng liên t c. Hơn n a, T là tâm c a U (H) nên v i m i ph n t x, x1 , x2 thu c SL(2, C) R4 , ta có 1 ∼ ∼ ∼ −1 ϕ(x1 x2 ) = π (x1 x2 ).(ρ(x1 x2 ))−1 = π (x1 ).π (x2 ). ρ(x1 ).ρ(x2 ) ∼ ∼ ∼ = π (x1 ). π (x2 ).(ρ(x2 ))−1 .(ρ(x1 ))−1 = π (x1 ).ϕ(x2 ).(ρ(x1 ))−1 ∼ = π (x1 ).(ρ(x1 ))−1 .ϕ(x2 ) = ϕ(x1 ).ϕ(x2 ). Như v y, ϕ là m t đ ng c u nhóm Lie. G i ϕ là thu h p c a ϕ lên SL(2, C). Khi đó, đ o hàm ϕ∗ : sl(2, C) → R c a ϕ là m t đ ng c u đ i s Lie. Xét như là m t đ i s Lie th c, sl(2, C) là đ i s Lie đơn, v i ker ϕ∗ là m t ideal c a sl(2, C). Do đó ker ϕ∗ = 0 ho c ker ϕ∗ = sl(2, C). N u ker ϕ∗ = 0 thì ϕ∗ là m t đơn c u, suy ra s chi u c a sl(2, C) nh hơn ho c b ng s chi u c a R. Đi u này là mâu thu n vì s chi u c a sl(2, C) b ng 6 còn s chi u c a R b ng 1. V y ker ϕ∗ = sl(2, C), hay ϕ∗ = 0 trên sl(2, C). Khi đó, ϕ(SL(2, C) = ϕ(SL(2, C) = ϕ(exp(sl(2, C)) = exp(ϕ∗ (sl(2, C)) = 1. 18
Suy ra ϕ = 1 trên SL(2, C). Không gian con ker ϕ∗ ∩ R4 là SO(3, 1)-b t bi n, nên ker ϕ∗ ∩ R4 = R4 . Vì th ker ϕ∗ = R4 . Như v y, ϕ∗ = 0, do đó ϕ = 1 trên ∼ SL(2, C) R4 . Suy ra π = ρ. Bây gi , xét V là m t không gian con đóng c a H. Ki m tra tr c ti p theo đ nh ∼ ∼ nghĩa và áp d ng đ ng th c q ◦ π = π ta suy ra V là π S L(2, C) R4 -b t bi n n u và ch n u P(V ) là π S L(2, C) R4 -b t bi n. Do đó, π b t kh quy khi và ch khi ∼ π b t kh quy. M t trong các áp d ng c a đ nh lý 2.2 là xác đ nh m i liên h hai chi u gi a t p h p t t c các bi u di n unita b t kh quy c a nhóm Lie Poincaré liên thông G◦ = SO(3, 1)◦ R4 và t p h p t t c các bi u di n x nh b t kh quy c a ph ph d ng tương ng SL(2, C) R4 . 2.3. M nh đ :M i bi u di n unita b t kh quy c a SL(2, C) R4 trong H c m sinh m t cách t nhiên m t bi u di n x nh b t kh quy c a SO(3, 1)◦ R4 trong H. T đó, xác đ nh đư c m t song ánh gi a t p h p t t c các bi u di n x nh b t kh quy c a nhóm Poincaré liên thông và t p h p t t c các bi u di n unita b t kh quy c a ph ph d ng tương ng SL(2, C) R4 . ∼ Ch ng minh. Gi s π : SL(2, C) R4 → U 1 (H) là m t bi u di n unita b t kh quy c a SL(2, C) R4 trong không gian Hilbert H. Ta đã bi t toàn c u nhóm q : U 1 (H) → Aut(P(H)) có h t nhân là T, đ ng c u ph Ψ : SL(2, C) R4 → SO(3, 1)◦ R4 có h t nhân là {(±I, 0)} và trùng v i tâm c a SL(2, C) R4 . Suy ∼ ∼ ∼ ra π (KerΨ) ⊂ T. Khi đó, bi u di n π c m sinh m t bi u di n x nh π = q ◦ π : SL(2, C) R4 → Aut(P(H)) t m thư ng trên ker Ψ. Do v y, π c m sinh bi u di n x nh π : SO(3, 1)◦ R4 → Aut(P(H)) c a nhóm Poincaré liên thông G◦ = SO(3, 1)◦ R4 trong H sao cho sơ đ sau giao hoán Ψ E SO ◦ (3, 1) R4 R4 SL(2, C) ¨ π ¨¨ π ¨¨ ¨ c % ¨ Aut(P(H)). ∼ Ta có π b t kh quy nên π b t kh quy, do đó π cũng b t kh quy. Ngư c l i, cho π ∼ là m t bi u di n x nh b t kh quy c a SO◦ (3, 1) R4 trong H, ta suy ra π = π ◦ Ψ là m t bi u di n x nh b t kh quy c a SL(2, C) R4 . Theo đ nh lí 2.2, bi u di n này nâng lên m t bi u di n unita b t kh quy duy nh t c a SL(2, C) R4 . V y có m t song ánh gi a t p t t c các bi u di n x nh b t kh quy c a nhóm Poincaré 19
liên thông G◦ = SO(3, 1)◦ R4 v i t p t t c các bi u di n unita b t kh quy c a ph ph d ng tương ng SL(2, C) R4 . Theo M nh đ 2.3, các bi u di n x nh b t kh quy c a nhóm Lie liên thông Poincaré SO(3, 1) R4 đư c c m sinh t các bi u di n unita b t kh quy c a nhóm ph đơn liên SL(2, C) R4 tương ng. Theo quan đi m c a Mackey th hi n trong [2, Theorem 11.6], các bi u di n unita b t kh quy này đư c phân l p d a vào hai tham s . Tham s th nh t là m t đ i di n ξ c a m t quĩ đ o trong R4 . Do R4 i(R4 )∗ nên qua tích vô hư ng Lorentz ta xác đ nh đư c m t đ ng c u tuy n tính th c R4 −→ i(R4 )∗ , v −→ ξv , theo công th c ξv (x) = eiβvx , ∀x ∈ R4 . Do β b t bi n qua nhóm Lorentz, đ ng c u tuy n tính v −→ ξv giao hoán v i tác đ ng c a nhóm SL(2, C) lên R4 đư c xác đ nh như trong ph n trư c. Chú ý r ng, v i m i đ i di n ξ ta có th xác đ nh ξv v i v l y m i giá tr cúa các đ i di n c a SO(3, 1)0 -qu đ o trong R4 . Tương t như trong trư ng h p tác đ ng c a SO(3, 1) lên R4 , ta cũng xác đ nh đư c t p h p các đ i di n nói trên là R = R1 ∪ R2 ∪ R+ ∪ R− ∪ {0}, trong đó 4 4 R1 = {me1 |m > 0}, R2 = {e1 + e4 , e1 − e4 }, R+ = {me4 |m > 0}, R− = {−me4 |m > 0}. 4 4 Đ i v i m i đ i di n v ∈ R4 , ta ký hi u nhóm con n đ nh tương ng trong SL(2, C) là Hv . M nh đ sau cho ta các nhóm con n đ nh tương ng v i các đi m v trên các quĩ đ o đã xác đ nh trên. 2.4. M nh đ :Nhóm con n đ nh Hv c a v ∈ R đư c xác đ nh như sau a) Hv = SU (2), v i v ∈ R+ h ăc v ∈ R− , 4 4 b) Hv = U (1) R2 , v i v ∈ R2 , c) Hv = SL(2, R), v i v ∈ R1 , d) Hv = SL(2, C), v i v = 0. Trong M nh đ trên, chú ý r ng U (1) là ph hai lá c a SO(2) và SU (2) là ph hai lá c a SO(3), v i SO(2) và SO(3) là các nhóm con n đ nh tương ng qua tác đ ng c a SO(3, 1) lên R4 . Tham s th hai là m t ph n t ρ ∈ Hv , v i Hv là t p h p t t c các l p tương đương các bi u di n unita b t kh qui c a nhóm con n đ nh Hv . 20
Tác đ ng SL(2, C) lên R4 c m sinh m t tác đ ng c a SL(2, C) lên R4 . Khi đó R xác đ nh m t nhát c t σ -compact c a SL(2, C)-tác đ ng lên R4 và R4 là nhóm Lie giao hoán liên thông nên các gi thi t c a đ nh lý Mackey đư c th a mãn. T đó ta có m nh đ sau ([2, Theorem 16.1]). 2.5. M nh đ :Bi u di n unita b t kh qui c a nhóm Lie SL(2, C) R4 đư c xác đ nh b i SL(2,C) R4 f ⊗ ξv ), trong đó v ∈ R, ρ ∈ Hv πv,ρ = IndH (ρ 4 vR . TÀI LI U THAM KH O [1] E.P. Van den Ban, Lie group, Lecture Notes in Mathematics, University of Utrecht, MRI Holland, 2003. [2] E.P. Van den Ban, Representation theory and applications in classical quantum mechanics, Lecture for Spring school, University of Utrecht, MRI Holland, 2004. [3] Bernard W. Banks, Representations of the Poincaré Groups, Preprint, Califor- nia State Polytechnic University, Pomona, 2006. [4] Theodor Br¨cker, Tammo tom Dieck, Representations of Compact Lie groups, o Springer Verlag, 1985. [5] Anthony W.Knapp, Lie groups Beyond an Introduction, Progress in Mathemat- ics, Boston, 1996. ON THE STRUCTURE AND PROJECTIVE REPRESENTATIONS OF POINCARÉ LIE GROUPS Tran Dao Dong, Hue University Luu Thi Khanh Giang, Quang Binh Department of Education and Training Nguyen Tan Quang, Master student, College of Pedagogy, Hue University SUMMARY The description and classification of projective representaions of the semisimple Lie groups based on the irreducible unitary representations of the corresponding universal cov- ering group is one of the important problems in the representation theory of Lie groups. In this note, we would like to give the description of irreducible projective representaions R4 , the cor- of Lie Poincaré based on the irreducible unitary representations of SL(2, C) responding simply connected two-fold covering. By this way, they are the representations naturally induced and classified by the irreducible unitary representations of SL(2, C) R4 . 21