BĐT Becnuli

Chia sẻ: Paradise8 Paradise8 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

114
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'bđt becnuli', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BĐT Becnuli

BĐT Becnuli Cho a > -1, n  N* : (1+ + a)n  1 + na. Đẳng thức xảy ra khi a = 0 hoặc n = 1 2 Bất đẳng thức Cô-si mở rộng: Cho n số không âm: a1; a2; …; an.. Ta có: a1  a2  ...  an  n a a1a2 ...an Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an Bài 1: 11  Cho hai số dương a và b . Chứng minh : (a+b)( a b ) 4 Giải: Vì a, b l hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
(a+b)  2 ab 11 1 + 2 ab ab 1 1 1 (a+b)     2 ab .2 =4 a b ab Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi:a= b. Bài 2: Với mọi a, b,x,y, thuộc . a  b2   x2  y 2   | ax  by | Chứng minh rằng: Áp dụng : 1. Cho x2 + y2 =1 , chứng minh - 2 2 x+y 4 2. Cho x+2y = 2 , chứng minh x2 + y2 5 Bài 3 Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 1 1 a  b  c  9  a b c ab+bc+ca 3 a, b, c  0. C/m:  abc 3 Bài 4: Cho ab bc ca  abc  Bài 5: Cho a,b,c >0. C/m: c a b
Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1. Chứng minh rằng:  1  1  1   1   1    1    64  a  b  c  Bài 7: CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: (a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  (ax + by)2.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 8: Cho a, b, c, d > 0. Cm: a  c b  d  ab  cd  Bài 9: CM bất đẳng thức: a  c 2  b  d 2 a2  b2  c2  d 2  Bài 10: Cho a, b, c là các số dương cm BĐT a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2 Bài 11: CM với mọi n nguyên dương thì: 1 1 11   ...   n 1 n  2 2n 2 Bài 12: Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b  2.
Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = 2 (2)  4  ;0  CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn  3  Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a2 + 3b2  5. Bài 15: Cho a, b là hai số thỏa mãn đi: a + 4b = 1. 1 2 2 CM: a + 4b  5 . Dấu “=” xảy ra khi nào? 2 2 2 2 2 1  3 2 2 2 2 Bài 16: CM: Bài 17: Chứng minh: 2 2 2 2 a) (a  b )( x  y )  (ax + by)2 b) 0  x  2  4  x  2 Bài 18: Cho a, b, c > 0. Cm: a b c 3    bc ca ab 2 1 1 1 S 1   ...  2 3 100 . Bài 19: Cho
CMR: S không là số tự nhiên. 11 4  Bài 20: a) Cho x, y dương. CMR: x y x  y . Dấu bằng xảy ra khi nào? abc P 2 b) Tam giác ABC có chu vi . 1 1 1 1 1 1    2    pa pb pc a b c Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? x 2 x 1 Bài 21: a) CM x > 1 ta có: a2 b2 P  b 1 a 1 b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 23: CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 1 1 1    9 a b c . Bài 24: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 25: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2 Bài 26: Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b  10. Bài 27: Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. 8  a2  b2  8 CMR: 3 . Dấu bằng xảy ra khi nào? CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: Bài 28: 11 2  3 a b ab Bài 29: CMR nếu: a) 1  a  5 thì 3 a  1  4 5  a  10 b) a + b  0; b  1  0; a  b  2 thì a  1  b  1  2 2 Bài 30: Cho biểu thức 3 1 P 4  4 3 3 x  x  x 1 x  x  x 1 4 5 x  x  x  x2  x 1 4 3 32 0P 9 với x  1 . CMR:
a 1 Bài 31: a) Cho a, b, k là các số dương và b a ak Cmr :  b bk b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: a b c   b  c c  a a  b < 2. Bài 32: Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. CMR :  1  1  1  1    9  a  b  Bài 33: CM B ĐT sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: x2 y2  x y  2  4  3    y x 2 y x   2 1) Định nghĩa: Là số có dạng n , n  . 2) Tính chất: 1. Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1 a 2  0  mod 9  2 a  3k thì a  1 mod 3 2. Nếu a=3k thì ; Nếu
3. Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào 4. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8 5. Nếu hiệu của hai số nguyên bằng 2n thì tích của chúng thêm n2 sẽ là số chính phương. 6. Nếu ab chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương. HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy ra a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c12d a1d  c12  b c12 vi  a1 , c1   1 + Do c2 c12 d  b  c12  b vi  b, d    b, a   1  b  c12 ; a   d2 b + Do 7. Nếu một số chính phương chia hết cho p, p- nguyên tố thì số chính phương đó chia hết cho p2. Do đó nếu một số a chia hết cho số nguyên tố p nhưng số a không chia hết cho p2 thì a không là số chính phương. 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n  N).
4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n  N). 5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.