Bồi dưỡng năng lực dự đoán cho học sinh trong dạy học giải các bài toán hình học ở trường Trung học cơ sở

Chia sẻ: Minh Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo nói về việc bồi dưỡng năng lực dự đoán cho học sinh trong dạy học giải các bài toán hình học ở trường Trung học cơ sở (THCS). Từ việc xem xét các trường hợp đặc biệt điển hình của bài toán, giáo viên (GV) giúp học sinh (HS) đề xuất dự đoán về kết quả, từ đó nảy sinh phương hướng giải bài toán đó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bồi dưỡng năng lực dự đoán cho học sinh trong dạy học giải các bài toán hình học ở trường Trung học cơ sở

JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Science in Mathematics, 2014, Vol. 59, No. 2A, pp. 90-94 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC DỰ ĐOÁN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ Lê Văn Cường Trường Trung học cơ sở & Trung học phổ thông Nguyễn Tất Thành, Hà Nội Tóm tắt. Bài báo nói về việc bồi dưỡng năng lực dự đoán cho học sinh trong dạy học giải các bài toán hình học ở trường Trung học cơ sở (THCS). Từ việc xem xét các trường hợp đặc biệt điển hình của bài toán, giáo viên (GV) giúp học sinh (HS) đề xuất dự đoán về kết quả, từ đó nảy sinh phương hướng giải bài toán đó. Thông qua việc rèn luyện cho HS tìm tòi, dự đoán, phát hiện trong giải các bài toán, dần dần hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho HS. Từ khóa: Năng lực dự đoán, tìm tòi, năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề. 1. Mở đầu Trong dạy học giải các bài toán hình học ở trường THCS có nhiều cơ hội để GV phát triển cho học sinh HS năng lực mò mẫm, dự đoán nói riêng và năng lực tìm tòi, sáng tạo nói chung [1]. HS gặp những bài toán chứng minh mà điều cần chứng minh chưa thật cụ thể, chưa biết điểm bắt đầu hay cần dựa vào tri thức đã biết nào, chưa xác định được hướng tìm lời giải của bài toán. Trong những tình huống như vậy, GV có thể hướng dẫn HS dự đoán kết quả của bài toán thông qua việc xét các trường hợp đặc biệt, cụ thể, dựa trên sự phân tích các trường hợp này để đưa ra giả thuyết, dự đoán và cuối cùng nảy ra hướng chứng minh [2]. Việc bồi dưỡng cho HS năng lực dự đoán trong dạy học môn toán là hết sức cần thiết, nó sẽ giúp HS vượt qua được những khó khăn, tháo gỡ bế tắc trong việc tìm lời giải cho bài toán. Công việc này cũng không quá phức tạp, nó phù hợp với đa số HS ở trường THCS, có thể thực hiện được trong quá trình học toán, giải toán dưới sự hướng dẫn của GV. Trong bài viết này chúng tôi trình bày nghiên cứu về việc bồi dưỡng cho HS năng lực dự đoán thông qua việc giải các bài toán hình học ở trường THCS. 2. Nội dung nghiên cứu Với mỗi dạng bài toán có những cách tiến hành dự đoán kết quả khác nhau. Trước hết cần xây dựng, chọn lọc các dạng bài toán điển hình chứa nhiều yếu tố của việc dự đoán. Tiếp theo cần chỉ ra được các hoạt động mà HS cần thực hiện trong quá trình mò mẫm dự đoán kết quả của bài toán: bao gồm các hoạt động kẻ vẽ, đo đạc, tính toán, quan sát và các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, đặc biệt hóa và khái quát hóa. Việc bồi dưỡng năng lực dự đoán Liên hệ: Lê Văn Cường, e-mail: cuonglevan@ntthnue.edu.vn. 90
Bồi dưỡng năng lực dự đoán cho học sinh trong dạy học giải các bài toán hình học... cho HS được tiến hành trên giờ lên lớp thông qua việc GV hướng dẫn HS giải một loạt các bài toán hình học có cùng dạng, từ đó trang bị cho các em tri thức phương pháp của việc dự đoán, dần dần hình thành và phát triển các năng lực dự đoán nói riêng, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong học tập môn Toán nói chung. Dưới đây ta sẽ đi vào một số bài toán cụ thể, mà bằng cách mò mẫm, dự đoán HS có thể tìm ra lời giải của bài toán đó. Bài toán 1. Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định không là đường kính, điểm M di động trên cung nhỏ AB của (O). Đường thẳng (a) đi qua trung điểm N của đoạn thẳng AM và vuông góc với M B. Chứng minh rằng đường thẳng (a) luôn đi qua một điểm cố định. Trong bài toán dạng chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định luôn chứa những yếu tố cố định và yếu tố di động, ở đây đường thẳng (a) thay đổi và ta cần chứng minh nó đi qua điểm cố định I nào đó, nhưng sự thay đổi của đường thẳng (a) là do sự thay đổi của điểm M trên cung nhỏ AB của (O). Để dự đoán điểm cố định mà đường thẳng (a) luôn đi qua cần xét một số vị trí đặc biệt của điểm di động M trên cung nhỏ AB của (O). Các vị trí đặc biệt là điểm A, điểm B hoặc là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Khi cho điểm M tiến về một trong các vị trí đặc biệt đó, cần phải xác định được vị trí của đường thẳng (a). Chỉ cần hai vị trí của đường thẳng (a) là có thể tìm thấy điểm cố định I mà (a) đi qua, tức là I là điểm cắt nhau của các đường thẳng (a) mà ta xác định được. Quá trình dự đoán như sau. Trước hết, cho điểm M tiến dần về trùng với điểm A thì đường thẳng M B dần về trùng với đường thẳng AB, điểm N trùng với A, đường thẳng (a) ở vị trí của đường thẳng (a1 ), đi qua A và vuông góc với AB, cắt đường tròn tại điểm thứ hai B ′ đối xứng với điểm B qua tâm O. Tiếp theo, cho điểm M tiến về trùng với điểm B thì đường thẳng M B tiến về trùng với tiếp tuyến (d) của (O) tại B, điểm N khi đó là trung điểm của dây AB, đường thẳng (a) có vị trí là đường thẳng (a2 ) đi qua trung điểm của dây AB và vuông góc với (d) hay song song với BB ′ . Điểm cố định phải là điểm mà (a1 ) và (a2 ) cùng đi qua. Ta thấy (a1 ) cắt (a2 ) tại trung điểm I của dây AB ′ . Như vậy ta có dự đoán I là điểm cố định mà đường thẳng (a) luôn đi qua. Từ việc dự đoán được điểm cố định I là trung điểm đoạn thẳng AB ′ , nhiệm vụ của HS trở nên dễ dàng hơn, các em chỉ cần chứng minh là đường thẳng (a) luôn luôn đi qua điểm I. Lời giải bài toán 1 Lấy B ′ là điểm đối xứng của B qua O, hay BB ′ là đường kính của (O). Gọi I là điểm chính giữa của AB ′ , thì I là một điểm cố định. Ta có hai đường thẳng B ′ M và (a) cùng vuông góc với BM , nên (a)//B ′ M . Đường thẳng (a) đi qua trung điểm N của AM , suy ra (a) đi qua trung điểm I của AB ′ . Vậy đường thẳng (a) đi qua điểm I cố định. 91
Lê Văn Cường Bài toán 2. Cho nửa đường tròn đường kính AB, điểm M di động trên nửa đường tròn đó. Lấy điểm N thuộc tia AM sao cho AN = BM . Chứng minh rằng điểm N luôn thuộc một đường tròn cố định khi M thay đổi. Bài toán này, HS cần chứng minh điểm N nằm trên một đường tròn cố định. Tuy nhiên bài toán không chỉ rõ đường tròn nào, GV cần gợi ý, hướng dẫn HS dự đoán đường tròn đó. Ở đây, việc thay đổi của điểm N phụ thuộc vào sự thay đổi của điểm M trên nửa đường tròn đã cho. Vì vậy ta bắt đầu từ vị trí điểm M để xác định các vị trí có thể của điểm N . Ta xét một số vị trí đặc biệt của điểm M trên nửa đường tròn đường kính AB, từ đó xác định vị trí của điểm N . Qua các vị trí đó, chúng ta sẽ dự đoán quỹ tích của điểm N . Cần chứng minh điểm N nằm trên một đường tròn cố định nên ta phải tìm được ba vị trí của điểm N , vì với ba điểm không thẳng hàng chỉ có duy nhất một đường tròn đi qua ba điểm đó. Việc dự đoán tiến hành như sau. Trước hết, cho điểm M tiến dần về trùng với điểm A thì tia AM dần về tia Ax vuông góc với AB, thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn đã cho. Điểm N tiến dần về điểm A′ nằm trên tia Ax và AA′ = AB. Tiếp theo, cho điểm M tiến về trùng với điểm B thì tia AM dần về tia AB và điểm N tiến dần về điểm A. Xét vị trí điểm M là điểm chính giữa C của cung AB. Điểm N thuộc tia AC và N A = CB thì điểm N sẽ trùng với C. Như vậy ta có ba vị trí của điểm N đó là A, C và A′ . HS dễ dàng nhận thấy ba điểm này nằm trên đường tròn đường kính AA′ . Từ đó có dự đoán rằng điểm N thuộc đường tròn đường kính AA′ cố định. Việc chứng minh dự đoán này không khó khăn đối với HS ở lớp 9 THCS. Lời giải bài toán 2 Kẻ tia Ax vuông góc với AB, thuộc nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn đã cho. Lấy điểm A′ nằm trên tia Ax sao cho AA′ = AB. Điểm A và A′ cố định nên đường tròn đường kính AA′ cố định. Theo giả thiết thì AN = BM mà góc A \′ AN và góc ABM\ bằng nhau vì cùng \ phụ với góc BAM , AA′ = AB theo cách ta lấy A′ . Do đó hai tam giác ABM và A′ AN bằng nhau (c.g.c), suy ra hai góc tương ứng AM \ Bvà A \′ N A bằng nhau. Vì \ AM B = 90 nên A 0 \′ N A = 900 . Vậy N thuộc đường tròn đường kính AA cố định. ′ Bài toán 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a, đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt BC tại 1 1 M và cắt đường thẳng CD tại N . Chứng minh rằng khi d thay đổi thì 2 + là một đại AM AN 2 lượng không đổi. 1 1 Trong bài toán này HS cần chứng minh rằng đại lượng 2 + không đổi khi đường AM AN 2 thẳng d thay đổi, tuy nhiên đại lượng đó bằng bao nhiêu hay phụ thuộc vào độ dài cạnh a của hình 92
Bồi dưỡng năng lực dự đoán cho học sinh trong dạy học giải các bài toán hình học... vuông như thế nào thì bài toán không chỉ rõ. GV cần gợi ý và hướng dẫn HS dự đoán điều đó. Ta nên chọn một vị trí của đường thẳng d sao cho việc tính toán độ dài các đoạn AM, AN đơn giản nhất và từ đó cũng biết được giá trị của đại lượng không đổi cần chứng minh, lưu ý rằng đường thẳng d phải cắt cạnh BC và đường thẳng CD. Ta thấy khi đường thẳng d đi qua điểm C thì các điểm M và N sẽ trùng nhau tại C cho nên các đoạn thẳng AM và AN chính là AC tính được, khi √ 1 1 1 1 1 đó AM = AN = AC = a 2 cho nên 2 + 2 = 2 + 2 = 2 . Vậy ta dự đoán là khi AM AN 2a 2a a 1 1 1 đường thẳng d thay đổi thỏa mãn các điều kiện bài toán thì đại lượng 2 + 2 = 2 không AM AN a đổi (1). GV giúp HS tìm cách chứng minh đẳng thức (1). Đẳng thức này gợi cho HS liên tưởng đến một hệ thức trong tam giác vuông, ở đó AM, AN là hai cạnh góc vuông và a là độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác đó. Nhưng ở đây AM, AN cùng nằm trên một đường thẳng và AD = a và AD⊥DN cho nên ta cần tạo ra một tam giác vuông có một cạnh góc vuông là AN , đường cao là AD, cạnh góc vuông còn lại là một cạnh vuông góc với AN . Điều này gợi ý cần dựng một đường thẳng d′ vuông góc với AN , đỉnh còn lại của tam giác là giao điểm của d′ với đường thẳng DN , gọi điểm đó là M ′ . Như vậy ta chỉ cần chứng minh AM ′ = AM thì bài toán được hoàn thành, điều này có được bằng cách xét hai tam giác ABM và ADM ′ bằng nhau. Lời giải bài toán 3 Qua điểm A dựng đường thẳng d′ vuông góc với AN, d′ cắt đường thẳng DN tại M ′ . Xét hai tam giác vuông ABM và ADM ′ có AB = AD = a, BAM \ = \ DAM vì hai góc này cùng phụ với góc ′ M\ AD. Do đó hai tam giác này bằng nhau theo dấu hiệu bằng nhau của hai tam giác vuông. Suy ra AM = AM ′ . Xét tam giác vuông AM ′ N , vuông tại A và có đường cao là AD = a. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 1 1 1 1 1 1 + = ⇒ + = 2 AM ′2 AN 2 AD 2 AM 2 AN 2 a 1 1 1 Vậy 2 + 2 = 2 là một đại lượng không đổi. AM AN a Bài toán 4. Trên mặt phẳng có n đường thẳng phân biệt (n ≥ 2), đôi một không song song với nhau. Hỏi n đường thẳng này chia mặt phẳng tạo ra bao nhiêu phần vô hạn mà giữa hai trong các phần này không có điểm chung trong (Phần vô hạn là phần mà có thể chứa được một tia nào đó)? HS chưa biết ngay được n đường thẳng đã cho chia mặt phẳng tạo ra bao nhiêu phần vô hạn như yêu cầu bài toán. Với dạng bài loại này chúng ta hướng dẫn HS nên xét một số giá trị cụ thể của n, từ đó dự đoán kết quả cần tìm, rồi bằng chứng minh quy nạp toán học chúng ta chứng minh kết quả đó. Lời giải bài toán 4 Ta xét với n = 2, rõ ràng số phần vô hạn bằng 4; với n = 3 thì số phần vô hạn bằng 6; với 93
Lê Văn Cường n = 4 thì số phần vô hạn bằng 8. n = 2 số phần bằng 4 n = 3 số phần bằng 6 n = 4 số phần bằng 8 Sau khi xét ba trường hợp đặc biệt của n và dựa vào kết quả ở trên HS đề xuất ngay được dự đoán: phải chăng số phần vô hạn luôn gấp đôi số đường thẳng đang xét? Ta thấy mỗi phần vô hạn được tạo thành bởi hai tia phân biệt có chung gốc hoặc được tạo thành bởi hai tia và một số hữu hạn những đoạn thẳng. Ta còn thấy rằng số phần vô hạn bằng số tia là biên của các phần đó. Cứ mỗi lần thêm 1 đường thẳng thì chúng ta lại có thêm hai tia mới là biên của phần vô hạn. Như vậy bằng phương pháp chứng minh quy nạp với n đường thẳng như đề bài đã nêu thì số phần vô hạn cần tìm là 2n. 3. Kết luận Việc rèn luyện và phát triển năng lực dự đoán nói riêng, năng lực tư duy nói chung cho HS trong dạy học hình học ở trường THCS là cần thiết, điều đó đáp ứng được đòi hỏi của đổi mới giáo dục theo hướng phát triển phẩm chất và năng lực học sinh. Việc đó có thể thực hiện được thông qua một hệ thống các bài toán và các biện pháp sư phạm phù hợp của GV trong giờ lên lớp. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Cảnh Toàn, 1992. Tập dượt cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học. Nxb Giáo dục, Hà Nội. [2] G.Pôlya, 2010. Toán học và những suy luận có lí. Nxb Giáo dục, Hà Nội. ABSTRACT Enhancing student competency when teaching geometry in lower secondary school The article is about developing competence in students when teaching geometry in lower secondary school. Using specific examples, teachers help students anticipation results and arrive at solutions. By teaching students to explore, anticipate and discover while solving a problem, competency in problem solving and creative thinking is increased. 94