Lê Văn V nhị 
David_le@gmail.com
❇TUY N T P BÀI TOÁN GI I TÍCH HAYỂ Ậ Ả ❇
Các Bài Toán
Giải Tích

❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇
1
Lê Văn V nhị 
David_le@gmail.com
❇TUY N T P BÀI TOÁN GI I TÍCH HAYỂ Ậ Ả ❇
A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I) LÝ THUYẾT SỐ - DÃY SỐ.
A) LÝ THUYẾT SỐ.
i. Số thực :
Định Nghĩa 1.1:
: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực = (−∞,∞) số thực
x ˛ R được gọi là một cận trên của A nếu:
a £ x , " x ˛ A.
Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên
v Số thực x ˛ R được gọi là một cận dưới của A nếu:
a ‡ x , " a ˛ A.
Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận dưới.
v Tập A được gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, A bị
chặn khi và chỉ khi tồn tại x > 0 sao cho:
|a | £ x , " a ˛ A.
Định Nghĩa 1.2
@: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (- ¥ ,¥ )
v Số thực x ˛ R được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu:
x ˛ A, a £ x , " a ˛ A.
Ta viết: x = max{a: a˛ A} = a
v Số thực x ˛ R được gọi là giá trị bé nhất của A nếu:
x ˛ A, a ‡ x , " a ˛ A.
Khi đó ta viết: x = min{a: a ˛ A} = a.
Định Nghĩa 1.3:
@: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (- ¥ , ¥ ). Giả sử A
bị chặn trên.
v Số thực x ˛ R được gọi là cận trên đúng của A, nếu x là một cận trên
của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A, tức là:
a £ x, " a ˛ A.
" e > 0, $ a ˛ A, a > x - e
ta viết: x = sup{a : a ˛ A} = a.
v Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (- ¥ , ¥ ). Giả sử A
bị chặn dưới:
Số thực x ˛ R được gọi là cận dưới đúng của A, nếu x là một cận dưới của
A và là cận dưới lớn nhất trong tập các cận dưới của A, tức là:
a ‡ x, " a ˛ A.
❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇
2
Lê Văn V nhị 
David_le@gmail.com
❇TUY N T P BÀI TOÁN GI I TÍCH HAYỂ Ậ Ả ❇
" e > 0, $ a ˛ A, a < x +e
Ta viết: x = inf{a : a ˛ A} = a.
Tiên Đề về cận trên đúng
@: Nếu A là tập con không rỗng, bị chặn dưới (trên) của tập các số thực, Thì
A có cận dưới (trên) đúng (duy nhất).
v Suy ra A là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực , thì A có cận
trên và dưới đúng.
v Nếu tập A không bị chặn trên, thì ta quy ước Sup A = + ¥ , Nếu tập A
không bị chặn dưới thì ta ước inf A = - ¥ .
p Tập hợp các số hữu tỷ trù mật trong tập các số thực là giữa hai số thực khác
nhau bất kỳ (a < b ) tồn tại ít nhất một số hữu tỉ r, ( a < r < b ).
Một số tính chất mà ta có thể suy ra khi làm bài tập.
@: Cho A,B  ¡ không rỗng, Các tập thỏa mãn:
A+B = {z = x+y : x ˛ A, y ˛ B}
A- B = { z = xy : x ˛ A, y ˛ B }
thì ta có : Sup (A+B) = SupA + Sup B
Sup (A- B) = Sup A - Sup B.
và tương tự cho inf ( A+B), inf( A - B )
Chứng Minh:
@: Giả sử A và B bị chặn trên và đặt a = supA và b = supB, khi đó a , b lần
lượt là một cận trên của A và B
suy ra a + b là cận trên của A+ B. Hơn nữa " e > 0, tồn tại x* ˛ A và
y*˛ B sao cho x* > a - và y* > b -
do đó x*+y* > a + b− ε, vì z*= x*+y* ˛ A+B  a+b = sup(A+B) = supA+
supB (1)
ta có sup(A- B) = sup(A+(- B)) = supA + Sup(- B) (*)
bây giờ ta sẽ chứng minh sup(- B) = - inf B.
Giả sử - A = {x : - x ˛ A} và A bị chặn dưới a = inf A, khi đó:
1. x ‡ a với mọi x ˛ A.
2. với e > 0, tồn tại x* ˛ A sao cho x* < a + e .
nhân hai bất đẳng thức trong (1) và (2) với - 1, ta có:
i. x £ - a với mọi x ˛ (- A)
ii. với e > 0 bất kỳ, tồn tại x* ˛ (- A) sao cho x* > - a - e
từ đó suy ra - a = sup(- A). Nếu A không bị chặn dưới thì - A không bị chặn trên
và do đó sup(- A) = - inf (A) = +¥ .
nên (*) = sup(A) - inf (B).
‘ Cho các tập không rỗng A và B những số thực dương, định nghĩa
A.B = {z = x.y : x ˛ A, y ˛ B}
❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇
3
Lê Văn V nhị 
David_le@gmail.com
❇TUY N T P BÀI TOÁN GI I TÍCH HAYỂ Ậ Ả ❇
= { z = : x ˛ A}
thì ta có: sup(A.B) = sup A. sup B
nếu inf A > 0 thì sup =
khi inf A = 0 thì sup = +¥ . Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực bị chặn thì
sup( A. B) = max{ supA.sup B, supA.inf B,infA.supB infA.infB}.
chứng minh giả sử cả hai tập bị chặn trên, đặt a = supA và b = supB. vì các phần tử
của A và của B là các số dương nên xy £ ab với x ˛ A, y ˛ B. Ta sẽ chứng minh
rằng: ab là cận trên nhỏ nhất của A.B.
Cho trước e > 0, tồn tại x* ˛ A và y* ˛ B sao cho x* > a - e và y* > b - e .
Khi đó x*.y* > ab - e (a+b - e ). Vì e (a+b - e ) có thể nhỏ tùy ý với e đủ
nhỏ, ta thấy rằng bất kỳ số nào nhỏ hơn ab không thể là cận trên của A.B . Do đó
ab=sup(A.B). Nếu A hoặc B không bị chặn trên thì A.B cũng không bị chặn. Do đó
sup (A. B) = sup A. sup B = + ¥ .(1)
giả sử nếu a' = inf A > 0. Với mọi x ˛ A ta có bất đẳng thức x ‡ a' tương
đương với £ nên là cận trên của
hơn nữa, với e > 0 bất kỳ, tồn tại x* ˛ A sao cho x* < a' + e , do đó:
> = -
vì nhỏ tùy ý nên là cận trên nhỏ nhất của . Xét trường hợp a'=0. thấy
rằng tập là bị chặn( thật vậy, với e > 0, tồn tại x* ˛ sao cho
x* > ) do đó sup = +¥ .
Bây giờ giả sử A,B là các tập bị chặn các số thực bất kỳ và đặt a = supA b =
sup B, a' = inf A và b' = inf B. Nếu a' và b' là không âm thì sd kết quả ở trên ta suy ra
bất đẳng thức cần chứng minh. Nếu a' < 0 và a,b' > 0 thì xy £ ab với bất kỳ x ˛ A
và y ˛ B. Chọn e > 0 đủ nhỏ để a - e > 0. Khi đó tồn tại
x* ˛ A sao cho x* > a - e . Hơn nữa, tồn tại y* ˛ B sao cho y* > b - e . Do đó
x*.y* > x*(b- e ) > (a - e )(b - e ) = ab - e (b+b - e ).
vậy trong trường hợp này ta có sup( A.B ) = ab.
Xét trường hợp a',b' < 0 và a,b > 0. với bất kỳ x˛ A và y ˛ B ta có:
xy £ max{ ab , a'b'}.
Đầu tiên xét trường hợp max{ab, a'b'} = a'b'. Theo định nghĩa của cận dưới
đúng, với e > 0 đủ nhỏ tồn tại x* ˛ A và y* ˛ B sao cho x* < a' + e < 0 và y* < b'
+ e < 0, suy ra:
x*y* > x*(b'+e ) > (a'+e )(b'+e ) = a'b' + e (a' + b') + (a' + b' + e )
Nhận xét rằng a' + b' + e là số âm sy ra a'b' là cận trên bé nhất của A.B Trong
trường hợp max{ab, a'b'} = ab lập luận tương tự ta suy ra sup( A.B)=ab
Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
B) CHUỖI SỐ THỰC
@: Cho chuỗi hình thức
❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇
4
Lê Văn V nhị 
David_le@gmail.com
❇TUY N T P BÀI TOÁN GI I TÍCH HAYỂ Ậ Ả ❇
ai
ai được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của chuổi (A)
Dãy các tổng riêng của chuổi (A) được định nghĩa là:
sn = ak.n ˛ N .
sn được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (A)
Nói rằng chuỗi (A) hội tụ và có tổng bằng s, nếu:
sn = s.
Trong trường hợp này, phần đồng dư của chuỗi (A) được định nghĩa là
rn = s  sn = ak, n .
Nói rằng chuỗi (A) phân kỳ nếu giới hạn nói trên không tồn tại.
v Điều kiện cần để chuỗi (A) hội tụ là
an = 0.
v Điều kiện cần và đủ để chuỗi (A) hội tụ là với e > 0 cho trước, tồn tại ne
˛ N sao cho:
< e , " n > ne , " p ˛ N .
v (A) được gọi là chuỗi dương nếu an ‡ 0 với mọi n.
v Tiêu chuẩn so sánh: Cho hai chuỗi dương (A) và (B)
với (B) = bi
Giả sử an £ bn
khi đó:
Nếu chuỗi (B) hội tụ thì (A) cũng hội tụ
Nếu (A) phân kỳ thì (B) cũng phân kỳ.
Đặc biệt: nếu = k „ 0
thì hai chuỗi (A) , (B) cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
v Tiêu chuẩn tỷ số (Dalembert) Cho chuỗi dương (A)
Nếu < 1.
thì chuỗi (A) hội tụ
Nếu > 1
thì chuỗi (A) phân kỳ.
Đc bi t, Gi s t n t i gi i h n ặ ệ ả ử ồ ạ ớ ạ
a =
Khi đó, nếu a < 1 thì chuỗi (A) hội tụ, nếu a > 1 thì chuỗi (A) phân kỳ.
v Tiêu chuẩn căn (Cauchy). Cho chu i d ng ỗ ươ (A). Gi s ả ử tồn tại giới
hạn c =
khi đó, nếu c < 1 thì chuỗi (A) hội tụ, Nếu c > 1 thì chuỗi (A) phân kỳ.
v Tiêu chuẩn RAABE. Cho chuỗi dương (A)
Nếu n > 1
thì chuỗi (A) hội tụ.
• Nếu
❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇❇
5