zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Các bài toán giải tích - Lê Văn Vịnh

Chia sẻ: David Le | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:175

Báo xấu

739
lượt xem 105
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán giải tích của tác giả Lê Văn Vịnh tuyển tập các bài tập giải tích hay. Phần đầu có ôn tập lý thuyết, các bài tập thực hành và hướng dẫn giải chi tiết nhằm giúp các em học sinh học và ôn thi hiệu quả.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán giải tích - Lê Văn Vịnh

Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf    Các Bài Toán Giải Tích     1 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf A: KIẾN THỨC CẦN NHỚ  I) LÝ THUYẾT SỐ DÃY SỐ. A) LÝ THUYẾT SỐ. i. Số thực :  Định Nghĩa 1.1: : Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực  = (−∞,∞) số thực x ˛ R được gọi là một cận trên của A nếu: a £ x , " x ˛ A. Tập A được gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên v Số thực x ˛ R được gọi là một cận dưới của A nếu: a ‡ x , " a ˛ A. Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu A có ít nhất một cận dưới. v Tập A được gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới, A bị chặn khi và chỉ khi tồn tại x > 0 sao cho: |a | £ x , " a ˛ A. Định Nghĩa 1.2 @: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = ( ¥ ,¥ ) v Số thực x ˛ R được gọi là giá trị lớn nhất của A nếu: x ˛ A, a £ x , " a ˛ A. Ta viết: x = max{a: a˛ A} = a v Số thực x ˛ R được gọi là giá trị bé nhất của A nếu: x ˛ A, a ‡ x , " a ˛ A. Khi đó ta viết: x = min{a: a ˛ A} = a. Định Nghĩa 1.3: @: Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = ( ¥ , ¥ ). Giả sử A bị chặn trên. v Số thực x ˛ R được gọi là cận trên đúng của A, nếu x là một cận trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A, tức là: a £ x, " a ˛ A. " e > 0, $ a ˛ A, a > x e ta viết: x = sup{a : a ˛ A} = a. v Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = ( ¥ , ¥ ). Giả sử A bị chặn dưới: Số thực x ˛ R được gọi là cận dưới đúng của A, nếu x là một cận dưới của A và là cận dưới lớn nhất trong tập các cận dưới của A, tức là: a ‡ x, " a ˛ A. ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 2
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf " e > 0, $ a ˛ A, a
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf = { z = : x ˛ A} thì ta có: sup(A.B) = sup A. sup B nếu inf A > 0 thì sup = khi inf A = 0 thì sup = +¥ . Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực bị chặn thì sup( A. B) = max{ supA.sup B, supA.inf B,infA.supB infA.infB}. chứng minh giả sử cả hai tập bị chặn trên, đặt a = supA và b = supB. vì các phần tử của A và của B là các số dương nên xy £ ab với x ˛ A, y ˛ B. Ta sẽ chứng minh rằng: ab là cận trên nhỏ nhất của A.B. Cho trước e > 0, tồn tại x* ˛ A và y* ˛ B sao cho x* > a e và y* > b e . Khi đó x*.y* > ab e (a+b e ). Vì e (a+b e ) có thể nhỏ tùy ý với e đủ nhỏ, ta thấy rằng bất kỳ số nào nhỏ hơn ab không thể là cận trên của A.B . Do đó ab=sup(A.B). Nếu A hoặc B không bị chặn trên thì A.B cũng không bị chặn. Do đó sup (A. B) = sup A. sup B = + ¥ .(1) giả sử nếu a' = inf A > 0. Với mọi x ˛ A ta có bất đẳng thức x ‡ a' tương đương với £ nên là cận trên của hơn nữa, với e > 0 bất kỳ, tồn tại x* ˛ A sao cho x* 0, tồn tại x* ˛ sao cho x* > ) do đó sup = +¥ . Bây giờ giả sử A,B là các tập bị chặn các số thực bất kỳ và đặt a = supA b = sup B, a' = inf A và b' = inf B. Nếu a' và b' là không âm thì sd kết quả ở trên ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Nếu a'
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf ai ai được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của chuổi (A) Dãy các tổng riêng của chuổi (A) được định nghĩa là: sn = ak. n ˛ N . sn được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (A) Nói rằng chuỗi (A) hội tụ và có tổng bằng s, nếu: sn = s. Trong trường hợp này, phần đồng dư của chuỗi (A) được định nghĩa là rn = s  sn = ak, n . Nói rằng chuỗi (A) phân kỳ nếu giới hạn nói trên không tồn tại. v Điều kiện cần để chuỗi (A) hội tụ là an = 0. v Điều kiện cần và đủ để chuỗi (A) hội tụ là với e > 0 cho trước, tồn tại ne ˛ N sao cho: 1 thì chuỗi (A) hội tụ. • Nếu 5 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf n 1 thì chuỗi (A) hội tụ, Nếu r
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf Dãy số được xd từ pt tổng & xét giới hạn đó: f MÔT SÔ KIÊN THƯC ĐANG NHỚ: ̣ ́ ́ ́ ́ ̣ ̃  Đinh Nghia 1.1: ̃ ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ̃ : Day sô bi chăn đươc đinh nghia như sau:  Day sô ( un ) đươc goi la day sô bi chăn trên nêu tôn tai số M sao cho: ̃ ́ ̣ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ̣ ∀n Σ  , un M .Sô M nho nhât đươc goi la cân trên đung cua ( un ).Ky hiêu sup * ́ ̉ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ́ ̉ ́ ̣ u.  Day sô ( un ) đươc goi la day sô bi chăn dươi nêu tôn tai số m sao cho: ̃ ́ ̣ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ́ ̀ ̣ ∀n γ  , un m . Sô m lơn nhât đươc goi la cân dươi đung cua ( un ).Ky hiêu inf u. * ́ ́ ́ ̣ ̣ ̀ ̣ ́ ́ ̉ ́ ̣  Day sô ( un ) đươc goi la day sô bi chăn nêu no vưa bi chăn trên, vưa bi chăn ̃ ́ ̣ ̣ ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ́ ̀ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ dươi, tưc la tôn tai sô m va sô M sao cho ∀n  * m un M . ́ ́ ̀ ̀ ̣ ́ ̀ ́ ̣  Hê Qua: ̉ : Moi day sô ( un ) giam luôn bi chăn trên bơi u1 ̣ ̃ ́ ̉ ̣ ̣ ̉ Moi day sô ( un ) tăng luôn bi chăn dươi bơi u1 . ̣ ̃ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ̣ ̃  Đinh Nghia 1.2: : Day con: Cho dãy (un) ∀n  +. Lập dãy (V nk ) với các số hạng: V n1 , V n2 , ̃ V nk ,……. Trong đó dãy (n) là các số tự nhiên tăng vô hạn. Dãy (V nk ) được gọi là ….., dãy con của (un). ̣ ̃  Đinh Nghia 1.3: : Dãy tuần hoàn cộng tính: Dãy (un) được gọi là tuần hoàn cộng tính khi và chỉ khi ∃l  + sao cho un+l = un ∀n  +. Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (un). Dãy tuần hoàn nhân tính: Dãy (un) được gọi là tuần hoàn nhân tính khi và chỉ khi ∃l  +, l>1 sao cho un.l = un ∃n  +. Số l min được gọi là chu kì cơ sở của dãy (un). A MÔT SÔ DAY ĐĂC BIÊT: ̣ ́ ̃ ̣ ̣ 1: Day Câp Sô Công: ̃ ́ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣  Tinh Chât đăc biêt: 7 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf : Vơi moi k,l,m,n ∈  ma thoa man k + l = m + n thi: u + u = u + u. ́ ̣ ̀ ̉ ̃ ̀ : S = u + u + ... + u = = . ̣ ́ ̉ ̣ ̣ : môt sô tông đăc biêt: • 1+ 2+ 3+ ... + n = • 1+ 3+ 5+ ... + (2n−1) = n. • 1 + 2 + 3 + ... + n = • 1 + 2 + 3 + ... + n = 2: Câp Sô Nhân: ́ ́ ́ ́  Tinh chât:  Vơi moi k,l,m,n ∈  nêu k + l = m + n thi u.u = u.u ́ ̣ ́ ̀  S = u + u + ... + u = u. 3. Day Fibonacci ̃  Đinh Nghia: Dãy ̣ ̃ xác định bởi: được gọi là dãy Fibonacci  Tinh chât: ́ ́  u = u−1  u = u u = u − 1  iu = n.u − u + 2.  u = u.u  u.u − u = (−1)  Sô hang tông quat ( công thưc Binet) ́ ̣ ̉ ́ ́ ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 8
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf u = . ̣ ̉  Hê qua:  khi n→ + ∞ thi u ≈ . ̀  = . 4. Day Farey: ̃ ̣ ̃  Đinh Nghia: : Dãy Farey bậc n là dãy số gồm các phân số tối giản nằm giữa 0 và 1 có mẫu số không lớn hơn n và sắp theo thứ tự tăng dần. ́ ́  Tinh Chât:  Nếu và là các số kề nhau trong dãy Farey với thì  Nếu với nguyên dương và thì và là các số kề nhau trong dãy Farey bậc Max  Nếu với các số và trong dãy Farey nào đó với thì ( được gọi là mediant của và ) 5. Day Lucas: ̃ ̣ ̃  Đinh Nghia: 9 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf : Dãy xác định bởi: 6. Dãy số điều hòa @: dãy số {Un} được gọi là dãy số diều hòa khi và chỉ khi un = " n ˛ N * 7. Dãy số tuần hoàn: @: Dãy số tuần hoàn cộng tính là với mọi l ta có: un+l =un Dãy số tuần hoàn nhân tính : usn = un với mọi s > 1.(s˛ N ) Phản tuần hoàn cộng tính (Nhân tính) là: un+l= un (uns= un) Y Nhận xét/: dãy phản tuần hoàn nhân tính (cộng tính) chu kỳ s (chu kỳ l) là một dãy tuần hoàn nhân tính (cộng tính) chu kỳ 2s (2l). ́ ́  Tinh Chât: : u = φ + (1−φ) = φ + = + Với là tỉ lệ vàng ( Tính chia hết giữa các số Lucas u chia hết cho u nếu m là số lẻ. Mối liên hệ với các số Fibonacci: • Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi các hằng đẳng thức sau: L = F + F • Hoặc tổng quát hơn là công thức sau: 1. L = F.L + F.L với mọi k
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf 2. 3. 4. . Khi chỉ số là số nguyên tố Ln đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố. Số nguyên tố Lucas: Số nguyên tố Lucas là số Lucas, và đồng thời là một nguyên tố. Các số nguyên tố Lucas nhỏ nhất được biết là: ̣ ̃  Đinh Nghia 1.4: : Cho dãy số thực và một số thực . Khi đó nếu: ∀ε > 0, ∃ n∈ , ∀n > n , 0 ́ • n = 1 • a = 1 nêu a > 0. ́ 11 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf B: PHƯƠNG PHAP XÂY DƯNG DAY SÔ: ́ ̣ ̃ ́  Xây dựng dãy hội tụ bằng phương trình :Có thể xây dựng dãy số hội tụ về một số α xuất phát từ một phương trình có nghiệm là α theo cách sau: Y Vi du Xét α= , α là nghiệm của phương trình α²=2. Ta viết lại dưới dạng ́ ̣ α = ⇔ α= và ta thiết lập dãy số thỏa mãn x = a, x = . Nếu dãy này hội tụ thì giới hạn sẽ là . Tương tự như vậy, ta có thể xây dựng được dáy số tiến về căn bậc của như sau: Xây dưng dãy truy hồi từ cặp nghiệm của phương trình bậc hai Y Vi du: Xét phương trình bậc 2: ́ ̣ x²−mx+1có hai nghiệm là và . Xét một số thực a bất kỳ. Xét dãy số xn= (α² + β² ) Khi đó x = a²(α + β + 2) = ax + 2a² Từ đó suy ra dãy số thỏa mãn công thức truy hồi x = − 2a.  Dãy số là nghiệm của một họ phương trình phụ thuộc biến n Xét một phương trình F(n,x)= 0. Nếu với mỗi n, phương trình =0 có nghiệm duy nhất trên một miền nào đó thì dãy số đã được xác định. Từ mối lien hệ giữa các hàm F(n,x)=0, dãy số này có thể có những tính chất rất thú vị. Xây dựng các dãy số nguyên từ lời giải các phương trình nghiệm nguyên Y Vi du: Chúng ta hãy bắt đầu từ bài toán quen thuộc sau: Chứng minh ́ ̣ rằng với mọi số hạng của dãy số xác định bởi đều nguyên. C: PHƯƠNG TRINH SAI PHÂN TUYÊN TINH: ̀ ́ ́ a.Sai phân: ̣ ̃  Đinh Nghia ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 12
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf : Cho ham sô y= ƒ(x) xac đinh trên  đăt x = x + kh (k ∈ ) vơi x ∈ , h∈, ̀ ́ ́ ̣ ̣ ́ bât ky , cho trươc. goi y = f(x ) la gia tri cua ham sô ƒ(x) tai x= xk, khi đo, hiruj số ́ ̀ ́ ̣ ̀ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ∆yk := yk+1 − yk (k∈  ) đươc goi la sai phân câp 1 cu ham sô ƒ(x). Hiêu sô ∆² yk := ̣ ̣ ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ∆yk+1 −∆yk = ∆(∆yk) (k∈  ) đươc goi la sai phân câp 2 cua ham sô ƒ(x).Tông quat ∆ ̣ ̣ ̀ ́ ̉ ̀ ́ ̉ ́ yk := ∆yk+1 − ∆yk = ∆(∆yk) (k ∈ *) đươc goi la sai phân câp i cua ham sô ƒ(x) (i = ̣ ̣ ̀ ́ ̉ ̀ ́ 1,2,3,…n,..) ́ ́  Tinh chât:  Sai phân moi câp đêu co thê biêu diên theo cac gia tri cua ham sô: ̣ ́ ̀ ́ ̉ ̉ ̃ ́ ́ ̣ ̉ ̀ ́ y,y1,y,….,y,… ̀ ̀ ̀  Sai phân ham hăng băng 0 ̣ ́ ̀ ̣ ́ ̉ ́ ́ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̀  sai phân moi câp la môt toan tư tuyên tinh trên tâp cac ham sô. Tưc la: ∀i ∈ *, ∀α,β ∈ , ∀ƒ(x), g(x): → ta luôn có ∆ (αƒ(x) + βg(x)) = α∆ ƒ(x) + β∆ g(x).  Sai phân câp i cua đa thưc bâc n: ́ ̉ ́ ̣ • la môt đa thưc bâc n−i khi i n. ̀ ́ ̀  Công thưc sai phân tưng phân:̀ ∆ (ƒk.gk) = ƒk.∆gk + gk+1∆ ƒk. ̉ ́  tông cac sai phân: ∆y = y − y1 b. Phương trinh sai phân tuyên tinh ̀ ́ ́ ̣  Đinh Nghia ̃ ; Phương trinh sai phân (câp k) la môt hê thưc tuyên tinh chưa sai phân cac ̀ ́ ̀ ̣ ̣ ́ ́ ́ ́ ́ câp tơi k. ́ ́ f(yn; ∆yn; ∆²y; ... ;∆yn) =0 vi sai phân cac câp đêu co thê biêu diên theo gia tri cua ham sô nên co dang: ̀ ́ ́ ̀ ́ ̉ ̉ ̃ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ̣ a0y + a1y + ... + akyn = ƒ(n). Trong đo a0,a1,...., ak .ƒ(n) đêu đa biêt, con yn, y ,....., y la cac gia tri chưa biêt. ́ ̀ ̃ ́ ̀ ̀ ́ ́ ̣ ́ • Phương trinh đươc goi la phương trinh sai phân tuyên tinh câp k. ̀ ̣ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ́ • Nêu ƒ(n) = 0 thi phương trinh co dang: ́ ̀ ̀ ́ ̣ ay + ay + ... + ay = 0. va đươc goi la phương trinh sai phân tuyên tinh thuân nhât câp k. ̀ ̣ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ̀ ́ ́ 13 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf • Nêu ƒ(n) ≠ 0 thi co đươc goi la phương trinh sai phân tuyên tinh không ́ ̀ ́ ̣ ̣ ̀ ̀ ́ ́ thuân nhât. ̀ ́  NGHIÊM. ̣ • Ham sô y biên n thoa man đươc goi la nghiêm cua phương trinh sai phân ̀ ́ ́ ̉ ̃ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ ̀ tuyên tinh . ́ ́ • Ham sô y'n phu thuôc k tham sô thoa man (3) đươc goi la nghiêm tông quat ̀ ́ ̣ ̣ ́ ̉ ̃ ̣ ̣ ̀ ̣ ̉ ́ cua (3). ̉ • Môt nghiêm y *n thoa man (2) đươc goi la môt nghiêm riêng cua (2). ̣ ̣ ̉ ̃ ̣ ̣ ̀ ̣ ̣ ̉ c. MÔT SÔ PHƯƠNG TRINH SAI PHÂN TUYÊN TINH. ̣ ́ ̀ ́ ́ ̀ ́ ́ ́ ̣ x: PHƯƠNG TRINH SAI PHÂN TUYÊN TINH CÂP MÔT: a:Đinh Nghia: Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình dạng: ̣ ̃ u1= α , aun+1 + bun = f(n) n  * (1), trong đó α , a 0, b 0 là các hằng số và f(n) là biểu thức của n cho trước. b: Phương phap: ́ Ta giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng. • Giải phương trình đặc trưng: a λ + b = 0 để tìm λ . • Tìm nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng: aun+1 + bun = 0 dưới dạng u' = c λ n ( c là hằng số). • Tìm nghiệm riêng u của phương trình không thuần nhất. • Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1): un = u*n + u' . `Lưu y 1: Nếu f(n) = Pm(n) là đa thức bậc m đối với n. ́ Khi đó: Nếu λ 1 thì ta chọn u = Q(n) cũng là đa thức bậc m đối với n. Nếu λ 1 thì ta chọn u =nQ(n) trong đó Qm(n) cũng là đa thức bậc m đối với n. `: lưu y 2:Nêu f(n) = p. β n (p; β 0). Khi đó: ́ ́ Nếu λ β thì ta chọn x*n = d. β n ( d  ). Nếu λ = β thì ta chọn x*n = d. n. β n ( d  ). ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 14
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf ` Lưu ý 3: Nêu f(n) = α .sinnx + β .cosnx ( α + β 0; x k π ; k  ). Khi đó, ́ ta chọn u*n = A.sinnx + B.cosnx với A; B  là các hằng số. m ` Lưu y 4: Nêu: f(n) = ́ ́ f k (n). k =1 m Khi đó ta chọn nghiệm riêng x*n của (1) dưới dạng: x*n = x∗nk trong đó x∗nk k =1 tương ứng là nghiệm riêng của phương trình sai phân (1) với vế phải là f k (n) . y:PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI:  Đinh Nghia: Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai là phương trình dạng: ̣ ̃ u1= α , u2 = β , aun+1 + bun+1+cun = f(n) n  * (1), trong đó α , β , a, b, c là các hằng số a 0, c 0 và f(n) là biểu thức của n cho trước. Phương phap: ́ Giải phương trình thuần nhất tương ứng. Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1) dưới dạng: un = u*n + u'n. Giải phương trình thuần nhất tương ứng: aun+1 + bun+1+cun = 0. Giải phương trình đặc trưng: a λ 2 + b λ + c = 0 (2) để tìm λ . Cac trương hơp nghiêm tông quat cua day: ́ ̀ ̣ ̣ ̉ ́ ̉ ̃ Trường hơp 01: Nếu (2) có hai nghiệm phân biệt: λ = λ1 , λ = λ2 thì: u'n = A.λ + Bλ trong đó A và B được xác định khi biết u1 và u2. Trường hơp 02: Nếu (2) có hai nghiệm kép: λ = λ1 = λ2 thì: u'n = (A+Bn)λ, trong đó A và B được xác định khi biết u1 và u2. Nêu: aun+1 + bun+1+cun = f(n) với vế phải có dạng đặc biệt. ́ 15 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf f(n) = Pk(n) là đa thức bậc k đối với n. Khi đó: Nếu phương trình đặc trưng (2) không có nghiệm λ = 1 thì ta chọn xn = ∗ Qk(n), trong đó Qk(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n. Nếu (2) có nghiệm đơn λ = 1 thì ta chọn xn = nQk(n), trong đó Qk(n) là đa ∗ thức bậc k nào đó đối với n. Nếu (2) có nghiệm kép λ = 1 thì ta chọn xn = n2Qk(n), trong đó Qk(n) là đa ∗ thức bậc k nào đó đối với n. *Trường hợp khi f(n) = Pk(n). β trong đó Pk(n) là một đa thức bậc k đối với n. n Khi đó: Nếu β không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (2) thì ta chọn: xn = Qk(n), trong đó Qk(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n với hệ số cần được ∗ xác định. Nếu β một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2) ta chọn xn = nQk(n), trong ∗ đó Qk(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n. Nếu β một nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2) ta chọn xn = n2Qk(n), ∗ trong đó Qk(n) là đa thức bậc k nào đó đối với n. m *Trường hợp 04: f(n) = f k (n). k =1 m Khi đó ta chọn nghiệm riêng x*n của (2) dưới dạng: x*n = x∗nk trong đó x∗nk k =1 tương ứng là nghiệm riêng của phương trình sai phân (2) với vế phải là f k (n) và được tìm theo một trong các trường hợp trên. ̀ ́ ́ ́ z PHƯƠNG TRINH SAI PHÂN TUYÊN TINH CÂP BA: ̣ ̃  Đinh Nghia : Cho a, b, c, d, α , β , γ là các hằng số thuộc tập  ; a 0 ; d 0 còn f(n) là một hàm số biến số n. Phương trình: u1 = α ; u2 = β ; u3 = γ aun +3 + bun + 2 + cun +1 + dun = f (n) được gọi là phương trình sai phấn tuyến tính cấp 03. ́ ̀ ̣ Y phương phap tim nghiêm riêng: ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 16
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf Phương trình sai phân tuyến tính cấp 03 có nghiệm tổng quát dạng: un = un + un . ∗ trong đó, u n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất, còn un là nghiệm riêng của phương trình đã cho. ∗ Cách tìm u n Xét phương trình đặc trưng: aλ 3 + bλ 2 + cλ + d = 0. (3) Nếu (3) có ba nghiệm thực phân biệt thì: u n = C1. λ1 + C2. λ2 + C3. λ3 . n n n Nếu (3) có nghiệm kép và một nghiệm đơn thì: u n = (C1 + C2n). λ1,2 + C3. λ3 . n n Nếu (3) có một nghiệm chung duy nhất: u n = (C1 + C2n+ C3n2). λ . n Kí hiệu: C1; C2; C3 là các hằng số mà sẽ được xác định bằng cách thay u n vào các điều kiện biên và giải hệ phương trình thu được. Cách tìm un : ∗ Trường hợp 01: Nếu f(n) = Pm(n) là đa thức bậc m đối với n thì: Khi (3) không có nghiệm λ = 1 thì ta chọn: un = Qm(n) trong đó Qm(n) là đa thức bậc ∗ m đối với n. Khi (3) có nghiệm đơn λ = 1 thì ta chọn: un = nQm(n) trong đó Qm(n) là đa thức bậc m ∗ đối với n. Khi (3) có hai nghiệm λ = 1 thì ta chọn: un = n2Qm(n) trong đó Qm(n) là đa thức bậc m ∗ đối với n. Khi (3) có cả 3 nghiệm λ = 1 thì ta chọn: un = n3Qm(n) trong đó Qm(n) là đa thức bậc m ∗ đối với n. Y Nếu f(n) = A. µ ( A ; µ là các hằng số cho trước) thì n Khi µ không là nghiệm của (3) thì ta chọn: un = B. µn với B là hằng số được xác ∗ n định bằng cách thay un vào phương trình đã cho. ∗ Khi µ là nghiệm đơn của (3) thì ta chọn: un = B.n. µn . ∗ n Khi µ là nghiệm bội hai của (3) thì ta chọn: un = B.n2 µn . ∗ n Khi µ là nghiệm bội ba của (3) thì ta chọn: un = B.n3 µn . ∗ n Y Nêu nhin môt cach sơ qua ta mơi đăt câu hoi tai sao lai không cho no cai tên hay ́ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ̉ ̣ ̣ ́ ́ cach lam tông quat luôn. Câu tra lơi ơ chô nêu ban lam thi ban se biêt: phân đa khi ́ ̀ ̉ ́ ̉ ̀ ̉ ̃ ́ ̣ ̀ ̀ ̣ ̃ ́ ̀ đoc đên đây ta đêu đi tim câu tra lơi tông quat cho no nhưng nêu ban co đu kiên nhân ̣ ́ ̀ ̀ ̉ ̀ ̉ ́ ́ ́ ̣ ́ ̉ ̃ 17 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf hay viêt lach tai tinh thi ban cư bam lây no chư con nêu ai it kiên nhân thi se dê tư bỏ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̣ ́ ́ ́ ́ ́ ̀ ́ ́ ̃ ̀ ̃ ̃ ̀ ngay vi thưc ra nhưng gi ta đa nêu thi chưa xet hêt cac trương hơp lây nghiêm cho nó ̀ ̣ ̃ ̀ ̃ ̀ ́ ́ ́ ̀ ̣ ́ ̣ vi đê ra cung chi hay ra ơ ba muc nay nên co thê muc sau môt sô ngươi không cân ̀ ̀ ̃ ̉ ̉ ̣ ̀ ́ ̉ ̣ ̣ ́ ̀ ̀ phai ghi nhơ, sau đây ta se đưa ra công cho phương trinh tông quat: ̉ ́ ̃ ̀ ̉ ́ NHẬN XÉT VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO Định nghĩa: Phương trình ay + ay + … + ay = f(n) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp cao: phương phap: ́ A. Giải phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tương ứng Giải phương trình đặc trưng aλ + aλ + …. + a.λ + a = 0 - Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng. • Nếu(2) có k nghiệm thực khác nhau là λ1 , λ2 ,...., λk thì nghiệm tổng quát là y' = cλ + cλ + … + c (3) trong đó c1 , c2 ,......, ck là các hằng số tùy ý. •Nếu (2) có nghiệm thực λ j bội s thì nghiệm tổng quát là: �−1 s � k � i λn y 'n = � c j +i n � j + �=1 i � �c λ i =1,i j i i n •Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm phức đơn λ j = r (cosθ + i.sin θ ) thì λ j = r (cosθ − i.sin θ ) cũng là nghiệm của (2). Đặt λ j +1 = λ j . Để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công thức (3) ta thay bộ phận c j λ jn + c j +1λ jn+1 bởi bộ phận tương ứng c j r n cos nθ + c j +1r n sin nθ •Nếu phương trình đặc trưng (2) có nghiệm phức bội s λ j = λ j +1 = .... = λ j + s −1 = r (cosθ +isin θ ) thì (2) cũng có nghiệm phức bội s liên hợp với λ j là λ j mà ta đặt là λ j + s = λ j +s +1 = ..... = λ j + 2 s −1 = r (cosθ − isin θ ) Trong trường hợp này, để thu được công thức nghiệm tổng quát, trong công thức (3) ta thay bộ phận c j λ jn + c j +1λ jn+1 + ..... + c j +2 s −1λ jn+ 2 s −1 bởi bộ phận tương ứng �−1 s � �−1 s � �� =0 i � c j +i ni �n cos nθ + � c j +s +i ni �n sin nθ r �0 i= � r ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 18
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf B. Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. Việc tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp k làm tương tự như tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất cấp hai và cấp ba. C. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp k. Ngiệm tổng quát có dạng y= y'n + yn trong đó • yn là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính cấp k. • y' là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng. • yn là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất * D: GIƠI HAN DAY SÔ: ́ ̣ ̃ ́ ̣  ĐINH NGHIA 1.4: ̃ : Ta nói dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn a nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số xn và ε ) sao cho với mọi n > N0 ta có 0, ∃ N∈ : ∀n> N: | xn − a| N0, ta có xn > M. limxn = +∞ ⇔ ∀M > 0. ∃ N ∈: ∀n > N : xn > M. Tương tự, limxn = − ∞ ⇔ ∀P N: xn
Lê Văn Vịnh   David_le@gmail.com fTUYỂN TẬP BÀI TOÁN GIẢI TÍCH HAYf  Định lí 1.1: Mọi dãy hội tự đều có giới hạn duy nhất. Chứng minh. Ta thấy rằng nếu a1 , a2  và a1 − a2 < ε . Khi đó với mọi ε dương nhỏ tùy ý cho trước a1 − a2 thì a1 = a2 . Thật vậy, nếu a1 a2 ta chọn ε = � a1 − a2 > ε , mâu thuẫn. 2 Giả sử xlim un = a1 , xlim vn = a2 . Khi đó ∀ε > 0 : + + ε ε ∃n : ∀n > n1 : un − a1 < và ∃n2 : ∀n > n2 : un − a2 < . 2 2 Đặt n0 = max { n1; n2 } có: ε ε a1 − a2 = a1 − un + u n − a2 u n − a1 + u n − a2 < + =ε . 2 2 Theo nhận xét trên thì xlim un = a1 = a2 . + ̣ ́  Đinh Ly 1.2: : Mọi dãy con của dãy hội tụ là dãy hội tụ và có cùng giới hạn của dãy. ̣  Đinh Ly 1.3́ : Cho ba dãy số (xn), (yn), (zn), trong đó (xn) và (zn) có cùng giới hạn hữu hạn L, và ∃N 0 � : ∀n > N 0 ta có xn yn zn . Khi đó (yn) cũng có giới hạn là L. ̣ ́  Đinh Ly 1.4 : Mọi dãy số hội tụ thì bị chặn. ̣ ́  Đinh Ly 1.5 : Một dãy tăng không nghiêm ngặt (knn) và bị chặn trên hay một dãy giảm knn và bị chặn dưới thì hội tụ. Ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.  Đinh Ly 1.6 ( cantor) ̣ ́ : Cho hai dãy số thực (an), (bn) sao cho: a) ∀n Σ  : an bn . * b) ∀n �� : [ an ; bn ] [ an +1; bn+1 ] . * c) bn − an 0 khi n + . Khi đó tồn tại duy nhất số thực L sao cho nI [ an ; bn ] = { L} . =1  Đinh Ly 1.7 (bolzanoWeierstrass) ̣ ́ ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.