Các biên lặp cho các mô đun đàn hồi dọc trục vĩ mô của vật liệu composite đồng phương đẳng hướng ngang tổng quát

Chia sẻ: Dạ Thiên Lăng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Báo cáo "Các biên lặp cho các mô đun đàn hồi dọc trục vĩ mô của vật liệu composite đồng phương đẳng hướng ngang tổng quát" tiếp tục cải thiện các biên lặp đã có và xây dựng các biên mới cho trường hợp composite có tỷ số Poisson âm. Xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu, lựa chọn các trường thử ứng suất và biến dạng phù hợp, kết hợp các kỹ thuật tối ưu hóa và lặp, báo cáo sẽ xây dựng một tập các biên lặp mới. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các biên lặp cho các mô đun đàn hồi dọc trục vĩ mô của vật liệu composite đồng phương đẳng hướng ngang tổng quát

151 167 Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ XI, Hà Nội, 02-03/12/2022 Các biên lặp cho các mô đun đàn hồi dọc trục vĩ mô của vật liệu composite đồng phương đẳng hướng ngang tổng quát Vương Thị Mỹ Hạnh1*, Phạm Đức Chính1 1 VAST-Viện Cơ học, 264 Đội Cấn, Ba Đình, Hà Nội *Email: vtmhanh@imech.vast.vn/ vuongmyhanh.imech@gmail.com Tóm tắt. Các hệ số đàn hồi dọc trục vĩ mô của composite đồng phương đẳng hướng ngang phụ thuộc vào các tính chất vi mô tương ứng và tỷ lệ thể tích của các pha cấu thành. Trong báo cáo trước, nhóm tác giả đã xây dựng được các biểu thức biên trực tiếp cho mô đun đàn hồi dọc trục Young và tỷ số Poisson của vật liệu composite này với trường hợp hệ số Poisson dương. Báo cáo đã tính toán cho một số composite thực tế và so sánh với các kết quả của Hashin-Strikman, nhận được kết quả hợp lý. Vì vậy, báo cáo này tiếp tục cải thiện các biên lặp đã có và xây dựng các biên mới cho trường hợp composite có tỷ số Poisson âm. Xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu, lựa chọn các trường thử ứng suất và biến dạng phù hợp, kết hợp các kỹ thuật tối ưu hóa và lặp, báo cáo sẽ xây dựng một tập các biên lặp mới. Đồng thời tính toán số và so sánh với các biên lặp đã tính trước đó. Từ khóa: Composite đồng phương đẳng hướng ngang, hệ số đàn hồi Young dọc trục, tỷ số Poisson dọc trục, biên lặp cho các hệ số đàn hồi dọc trục. 1. Mở đầu Ngày nay, vật liệu composite được ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật và đời sống con người. Do đó, việc nghiên cứu mối tương quan giữa các hệ số đàn hồi vĩ mô của vật liệu composite với các đặc điểm, tỷ lệ thể tích của các vật liệu cấu thành có ý nghĩa khoa học lớn, đồng thời giúp chế tạo vật liệu composite mới theo yêu cầu. Việc xác định chính xác mô đun đàn hồi vĩ mô của vật liệu composite (bao gồm cả vật liệu đơn hướng) không dễ dàng, vì nó có cấu trúc vi mô rất phức tạp. Những nghiên cứu đầu tiên và nổi bật trong lĩnh vực này như: Hill-Paul [1, 2], Hashin [3, 4], Norris [5]. Bên cạnh đó, các mô hình vi mô đã được phát triển để xác định gần đúng các vật liệu có cấu trúc vi mô đàn hồi. Các biên biến phân riêng biệt và cải thiện cho các lớp composite khác nhau là chủ đề của nhiều tài liệu, bao gồm các biên cho composite đẳng hướng [6, 7], lớp con của vật liệu đối xứng đơn vị và những thông tin tương quan bổ sung về cấu trúc vi mô của composite [8, 9]. Với composite đồng phương đẳng hướng ngang tổng quát, các biên cho mô đun Young và tỷ số Poisson vẫn còn rất ít công bố. Đi từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu, tối ưu bằng phương pháp nhân tử Lagrange, Phạm [10, 11, 12] đã thiết lập được tập hợp các biên mới cho 2 hệ số đàn hồi dọc của composite này (với trường hợp tỷ số Poisson dương). Để tổng quát và hoàn thiện các biên lặp trên, báo cáo tiếp tục cải thiện hơn nữa các biên lặp cho composite có tỷ số Poisson dương, đồng thời xây dựng các biểu thức mới cho cho composite có tỷ số Poisson âm. Trong phần cuối của báo cáo, các kết quả so sánh của các biên lặp cho các composite cụ thể cũng được trình bày chi tiết. 2. Các kết quả đã có Phần này trình bày các công thức, cơ sở khoa học của bài toán. Đồng thời liệt kê các bất đẳng thức cho các hệ số đàn hồi dọc và một số giới hạn cơ bản, sơ lược quá trình xây dựng các biên lặp đã trình bày trong các báo cáo trước. Các biểu thức này gọi là biên lặp ban đầu, chính là cơ sở để so sánh với các biên lặp cải thiện hơn mà báo cáo sẽ trình bày trong phần tiếp theo. 2.1. Cơ sở khoa học
152 168 Vương Thị Mỹ Hạnh và Phạm Đức Chính Xét composite đồng phương đẳng hướng ngang tổng quát n-thành phần, giả thiết composite đàn hồi là đẳng hướng ngang vĩ mô. Gọi V là phần tử thể tích đại diện, gồm n thành phần đẳng hướng ngang, để đơn giản ta coi V=1. Các thành phần vật liệu cấu thành có tỷ lệ thể tích tương ứng vα , (α = 1,..., n) chiếm vùng Vα ⊂ V . Ký hiệu các hệ số đàn hồi vĩ mô của composite và của thành phần vật liệu α tương ứng như sau: Ceff , Cα , S eff , Sα là mô đun đàn hồi độ cứng và mềm, K eff , Kα là mô đun biến dạng khối ngang, µ , µα là mô đun cắt ngang, µ , µα là mô đun cắt dọc, E , Eα là mô eff eff eff đun Young dọc, ν eff ,ν α là tỷ số Poisson dọc, ( ⋅) = ∫ (⋅) dV là phép lấy trung bình thể tích trên V. V Để xác định các hệ số đàn hồi vĩ mô của của composite tổng quát, ta dùng biểu thức năng lượng cực tiểu và bù cực tiểu tương ứng [10, 11, 12]: = inf 0 ε : C : εdx inf 0 σ : ε ε 0 : Ceff : ε 0 = = ε= ε ε V ε ∫ (1) σ 0 : S eff : σ 0 = = σ= σ 0 σ 0 V σ = ∫ inf σ : S : σdx inf σ : ε (2) trong đó ε 0 , σ 0 là biến dạng và ứng suất hằng số. Trong (1), trường biến dạng ε thỏa mãn phương trình tương thích, với composite đang xét thì ứng suất và biến dạng có liên hệ cụ thể [10, 11, 12]. Trong (2), trường ứng suất σ thỏa mãn điều kiện cân bằng, σ liên hệ với ε qua [10, 11, 12]. Các giới hạn điển hình là giới hạn Voigt-Reuss và Hashin-Strikman có các biểu thức cụ thể như sau. Giới hạn Voigt-Reuss [1, 2] với biên trên Voigt KV , µV và biên dưới Reuss K R , µ R tương ứng là: −1 −1  n  n  n  n KR  α = 1= 1 − =  vα Kα 1  ≤ K=   eff ∑ ≤ KV α = 1= 1 α − vα Kα , µ R  vα µα 1  ≤ µ eff ≤ µV =    = ∑α vα µα ∑ ∑ (3) Giới hạn Hashin-Strikman [3, 4] với biên trên K HS và biên trên và dưới K HS cho K U L eff : −1 −1  n   n  ∑ ∑ vα vα = L K HS  − m ≤=  K eff ≤ K HS U µ  − µM , = 1= 1  α Kα + m  α µ Kα + µ M  (4) = min {µ1 ,..., µn } , µ M max {µ1 ,..., µn } . µm = 2.2. Các biên lặp ban đầu Với cách chọn các trường biến dạng, ứng suất khả dĩ, kết hợp sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange, chúng tôi đã thiết lập được một số biểu thức biên trên và dưới tổng quát [10, 11]: ( ) ∑ vα  Kα ( t+2ν α ) + Eα  2 n K eff t + 2ν eff + E eff ≤ 2 (5)   α =1 ( ) ∑ vα ( Eα +4Kαν α ) n n ∑ 2 E eff + 4 K eff ν eff ≤ EKV = = vα EKα 2 (6) = 1= 1 α α ( ) 2 ( 2t ν − 1) 2t ν V −1 2 n n t2 ∑ , ν V = ∑ vαν α . 1 + ≤ + E eff ≥ EV =vα Eα , (7) E eff K eff EV KR α =1 α =1 ( ( ) E) −1 t , t là các tham số liên hệ. EK = K , K E = 4ν 2 E + 4ν 2 1K+ là các mô đun đàn hồi dọc bổ sung. Đồng thời, với việc thay các biên chưa biết bằng các biên tối ưu hiện có, sử dụng bất đẳng thức Cauchy và làm mạnh các biểu thức đánh giá, báo cáo đã dẫn đến các biểu thức cho giá trị đầu của các
153 Xây dựng biên cho các mô đun đàn hồi dọc vĩ mô của vật liệu tổ hợp 169 đồng phương đẳng hướng ngang biên lặp tương ứng. Ký hiệu: Uo E(0) là giá trị đầu cho biên lặp trên EUo của E eff , ν (0) là giá trị đầu cho Uo biên lặp trên ν Uo , ν (0) là giá trị đầu cho biên lặp dưới ν Lo của ν eff . Lo ∑ vα ( Eα +4Kαν α ) . n = = Uo E(0) EKV 2 (8) α=1 12 1E −E   1 4ν 2  { },v 1 ( ) 1 12 ν = min ν ,ν ,ν  ,ν (0) =  KV L V= − U + V , U1  Uo U1 U2 U3 U2 EKV (0)  K 2  2 K EV  HS   R K HS  1  n  12 12  n 2  =  vα Kαν α + KV − K HS ν (0) U3 K HS  α L  ∑ vα Kαν α   . ( ) ∑ (9)   L = 1= 1  α  12 12 ν eff νV 1 1 4ν V   1  2 1 1 ν Lo (0) = b EV F(0) , ≥ −  − U +   E −   =.b F(0) (10) E eff EV 2  K R K HS  EV   V EKV  Từ đây chia 2 trường hợp. 2.2.1. Trường hợp F(0) > 0 hay ν (0) < 0 (composite có tỷ số Poisson dương) b Lo Trường hợp này đã trình bày chi tiết trong [10, 11], với các biên lặp ban đầu có biểu thức cụ thể: ( ) 2 E(Uo1) EKV − 4 K HS ν (L) = i+ L i ,ν eff ≥ EV F(i +1) =+1) > ν (L) , ν (L i i (11) 12  1 4ν 2  1 ( ) 1 12 ν eff ≤ E(U+1) i  K − U + V   = ν (U+21) < ν (U)2 , i i (12) 2  R K HS EV  1  n  12 12 n  ∑ ( ) ∑ ( ) 2 ν ≤ L  vα Kαν α + KV − K HS  vα Kαν α − K HS ν (L) eff L 2 L i   = ν (U+1) < ν (U)3 , i 3 i K HS  α α   = 1= 1   ( ) 12  2  12 4ν V 4 ν (i )   1  L νV 1  1 1 2 1 F(b+1) = − − U + −  − U  . (13) EV 2  K R K HS E(U+1)   EV E(i +1)  i EV     i   Các dãy đơn điệu và bị chặn E(U) ,ν (U)2 ,ν (U)3 ,ν (L) hội tụ đến các giá trị tương ứng i i i i EUo ,ν U 2 ,ν U 3 ,ν Lo = ν V F b . Vậy, các biên lặp ban đầu cho composite có tỷ số Poisson dương là: EV =E L ≤ E eff ≤ EUo , F b EV =ν Lo ≤ ν eff < ν Uo = min ν U 1 ,ν U 2 ,ν U 3 { } (14) ( ) 12  ν Lo   1 2 12 νV 4ν V 1  2 1 1 1  F = − b − U + −  −  >0. (15) EV 2  K R K HS EV EUo   EV EUo        Các biên lặp này xây dựng cho composite đồng phương đẳng hướng ngang tổng quát, với composite 2 thành phần, [10, 11] đã so sánh biên lặp này với HaShin-Strikman và nhận được kết quả rất tốt. 2.2.2. Trường hợp F(0) ≤ 0 , (composite có tỷ số Poisson âm) b Từ (10), sử dụng (6) ta nhận được biên dưới âm cho ν eff [10, 11]: ν eff ≥ EKV F(0) , b { b U } U { max EKV F(0) , −ν U 1 , −ν (0)2 ≤ ν eff ≤ min ν U 1 ,ν (0)2 ,ν (0) . U3 } (16) Ta sẽ xây dựng các biểu thức cụ thể cho trường hợp này trong mục sau.
154 170 Vương Thị Mỹ Hạnh và Phạm Đức Chính 3. Các biên lặp cải thiện và biên lặp mới Với cách tiếp cận tương tự nhưng tổng quát hơn [10, 11], mục này sẽ cải thiện các biên lặp ban đầu trong mục 2 và xây dựng các biên lặp mới cho trường hợp composite có tỷ số Poisson âm. 3.1. Cải thiện các bất đẳng ban đầu Từ đây ta ký hiệu: K L K R , K U KV với composite đồng phương tổng quát là đẳng hướng vĩ = = mô trong mặt phẳng ngang, và biên chặt hơn K L K HS , K U K HS với composite đồng phương tổng = = L U quát là đẳng hướng tĩnh trong mặt phẳng ngang. 3.1.1. Xây dựng biên trên mới cho ν eff Tối ưu (5) với các tham số tự do t [10, 11, 12], làm mạnh bất đẳng thức bằng cách thay các ( ) ( ) 2 2 biên K , E eff , ν eff eff bởi các biên dưới tốt nhất hiện có K L , EV , ν − , ta được: 12  n L 2  ( ) ∑ n ∑ 12 K ν eff eff ≤ vα Kαν α + KV − K  vα Kαν α − K ν −  2 L = F+a . (17) = α 1= 1 α  Từ đó ta nhận được biên trên mới cho ν eff : ( )  KL −1 F+a , F+a ≥ 0  ν eff ≤ν U3 + =  . (18) ( ) −1  KU F+a , F+a < 0  ( ) 2 Trước tiên, chọn ν − = 0 , ta được giá trị đầu của dãy ν + 3 : U ( )  KL −1 F(0) , F(0) ≥ 0 a a  ν eff ≤ν U3 =  . (19) ( ) (0) −1  KU F(0) , F(0) < 0 a a  Chia (7) cho 4t (với giả thiết t < 0 ) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: ( ) 12  2  4ν V 4 ν 12 ν eff eff νV 1 1 1 2   1 1  ≤ + − + −  − eff  E eff EV 2  K R K eff EV E eff  E  V E       12 12 νV 1 1 1 4ν 2 4ν −  2  1 1  ≤ +  − U + V − U   − U  . (20) EV 2  K R K E+  E   EV   V E+  ( ) 2 Ký hiệu ν − là biên dưới có sẵn tốt nhất của ν eff 2 , E+ là biên trên có sẵn tốt nhất của E eff . Trước U tiên, chọn ν − = 0 , E+ = EKV từ (8) để nhận được biên: 2 U 12 12 ν eff 1 1 νV 1 4ν 2   1 1  ≤ +  − U + V  −  =. c F(0) (21) eff EV 2  K R K E   E  EV   V EKV  Kết hợp (21) với (7), (8) ta nhận được biên trên mới ν + với giá trị đầu ν (0)4 tương ứng: U4 U  E+ F+c , F+c ≥ 0  EKV F(0) , F(0) ≥ 0 c c   ν eff ≤ν U4 + = c  , ν ≤ ν (0) = eff U4  . (22)  EV F+ , F+ < 0  EV F(0) , F(0) < 0 c c c   3.1.2. Xây dựng biên dưới mới cho ν eff
155 Xây dựng biên cho các mô đun đàn hồi dọc vĩ mô của vật liệu tổ hợp 171 đồng phương đẳng hướng ngang Tối ưu (7) với các tham số tự do t , làm mạnh bất đẳng thức bằng cách thay các biên ( ) ( ) 2 2 K eff , E eff , ν eff bởi các biên trên và dưới tốt nhất hiện có K U , E+ , ν − U , ta được: ( ) 12  ν−  2 12 ν eff νV1 1 4ν V 2  1  − U  1 1 ≥ − − +  − U  = F−b . (23) eff 2  KR KU E+  E  E EV  EV   V E+    ( ) 2 Từ đó ta nhận được biên dưới mới ν − 1 và giá trị đầu ν (0) khi chọn ν − L L1 = = = 0 và E+ E(0) EKV : U U  EV F−b , F−b ≥ 0  EV F(0) , F0) ≥ 0 12 1  1  1  b b   ν 1 4ν 2 1 ν −1 L = U b ,ν (0) =  L1 , F(0) = V −  b − U + V  −  (24)  E+ F− , F− < 0 b  E+ F0) , F0) < 0 U b b EV 2  K R K  EV  E   V EKV     Từ đây ta cũng nhận được bên trên mới EU cho mô đun đàn hồi Young dọc vĩ mô E eff . Chia (5) cho 4t (với giả thiết t
156 172 Vương Thị Mỹ Hạnh và Phạm Đức Chính i i i+ i { } i i 3 i{ = max ν (L1 1) ,ν (L+1) ≤ ν eff ≤ min ν U 1 ,ν (U+21) ,ν (U+1) ,ν (U+41) , ν (L) < ν (L+1) 2 } 12   ( )   2  EV F(b+1) , F(b+1) ≥ 0 4ν V 4 ν (i )  L  i i ν V 1  1 1 2  1 − 1 ν (L11) = , F(i +1) = b − − + −  , EV 2  K R K U  E  i+  E(i +1) F(i +1) , F(i +1) < 0 U b b  EV E(U+1) U   V Ei +1)     i    KU ( ) −1 F(d+1) , F(d+1) ≥ 0   n  12    ( )∑ ( ) n ∑ i i 2 ν L2 ( i +1) = = , F(d+1) vα Kαν α −  KV − K L  vα Kαν α − K L ν (L) 2  , ( ) −1 i i  KL F(d+1) , F(d+1) < 0 = α 1= 1    α    i i 12 12  n  ( ) ( ) ∑ (ν ) −1 n ∑ 2 ν ( i +1) = K U3 L F(a+1) = i F(a+1) i vα Kα α + KV − K L ,  vαν Kα ν α − K 2 L L (i )  , = 1= 1 α α  ( ) 12  2  4ν V 4 ν (i )  12  1  L νV 1  1 1 2 1 ν U4 = E(U+1) F(c+1) , F(c+1) = + − + −  − U  . (29) EV 2  K R K U E(U+1)   EV E(i +1)  ( i +1) i i i EV     i   Các dãy đơn điệu và bị chặn E(U) ,ν (U)2 ,ν (U)3 ,ν (U)4 ,ν (L1 ,ν (L)2 hội tụ đến các giá trị xác định tương i i i i i) i ứng EU ,ν U 2 ,ν U 3 ,ν U 4 ,ν L1 ,ν L 2 . Các biểu thức của ν U 1 ,ν U 2 giữ nguyên so với biên lặp ban đầu [10. 11]. Trong biên lặp mới (29), ngoài việc cải thiện các biểu thức ν L1 ,ν U 3 trong biên lặp ban đầu, báo cáo đã xây dựng thêm các biên mới ν L 2 ,ν U 4 . Các biên lặp mới (29) đã cải thiện hơn các biên lặp ban đầu (14), (15) trong [10, 11] khi ν L > 0, (ν (0) > 0 ) . Để so sánh chi tiết 2 biên lặp này, trong mục sau báo L cáo sẽ tính số và minh họa với các composite thực tế. 3.3. Các biên lặp mới cho composite có tỷ số Poisson âm ( ) = (ν ) , thay vào (28) để nhận được giá trị thứ i=1. 2 2 Xét trường hợp ν eff ≤ ν (0) < 0 . Chọn ν − U U (0) Lặp lại quá trình này, ta nhận được các biên lặp mới: ( ) 2 EV =E L < E eff ≤ E(U+1) =EKV − 4 K L ν (U) i i < E(U) , i = 1, 2, 3, ... i i { i i+ i i} i i i { ν (L) < max −ν U 1 , −ν (U+21)ν (L11) ,ν (L+1) = ν (L+1) ≤ ν eff ≤ ν (U+1) = min ν (U+1) ,ν (U+41) , 2 3 } 12  ( )   2 4ν V 4 ν (i )  U ν V 1  1 1 2  1 − 1 ν (L11) = E(U+1) F(b+1) , F(b+1) = − − + −  , EV 2  K R K U  E  i+ i i i  EV E(U+1) U   V Ei +1)    i   12   n  ( )  ( )∑ ( )  −1 n ∑ 2 ν (L+1) = K L i 2 i = F(d+1) , F(d+1) i vα Kαν α −  KV − K L  vα Kαν α − K L ν (U) 2 i  , =α 1= 1   α   ( )  KL −1 F(a+1) , F(a+1) ≥ 0   n  12  ( )∑ (ν ) n ∑ i i 2 ν U3 ( i +1) = = F(a+1) , ν vα Kα α +  KV − K L  vα Kα ν α − K 2 L U  , ( ) −1 i (i )  KU   α   ( i +1) , F( i +1) < 0 a F= 1 = 1 a α  ( ) 12  2  4ν V 4 ν (i ) 12  E(U+1) F(c+1) , F(c+1) ≥ 0 νV 1  1 2 U  1   i i i 1   1  . ν (U+41) = , F(i +1) = c + − + − − U (30) i  EV F(i +1) , F(i +1) < 0 c c EV 2  K R K U EV E(U+1)   EV E(i +1)       i  
157 Xây dựng biên cho các mô đun đàn hồi dọc vĩ mô của vật liệu tổ hợp 173 đồng phương đẳng hướng ngang Các dãy đơn điệu và bị chặn E(U) ,ν (U) ,ν (L) hội tụ đến các giá trị xác định tương ứng i i i EU ,ν U ,ν L là các biên cho mô đun đàn hồi dọc vĩ mô của composite với tỷ số Poisson âm. Các biểu thức (30) là mới và chưa được xét đến trong báo cáo trước. 4. Kết quả số và so sánh các biên lặp Mục này sử dụng các biểu thức biên lặp mới để tính toán số cho các composite cụ thể có tỷ số Poisson dương và âm, với cả trường hợp 2 và 3 thành phần; đồng thời so sánh với các biên lặp ban đầu cho composite có tỷ số Poisson dương. 4.1. Composite 2 thành phần 4.1.1. Composite có tỷ số Poisson dương Ví dụ 1: Xét composite thủy tinh-epoxy (đã tính trong [10, 11]) với các hệ số đàn hồi (đơn vị tính GPa) và tỷ lệ tương ứng là: Eg = 75, Ee = 2.68, ν g = 0.18, ν e = 0.394, K g = 49.7, K e = 4.54, µ g = 31.8, µe 0.963,ve 0.1 → 0.9 . Kết quả các biên lặp mới E L , EU ,ν L ,ν (0) ,ν U tính theo (28), = = L (29) và các biên cũ EUo ,ν Lo ,ν Uo tính theo (14), (15) trong [10, 11] được trình bày trong bảng 1. Bảng 1. So sánh các biên lặp cho các hệ số đàn hồi dọc của composite thủy tinh-epoxy ở ví dụ 1 ve E L = EV EU EUo U E(0) ν (0) L ν Lo νL νU ν Uo 0.1 67.7680 73.1561 73.6563 73.8469 0.0726 0.0465 0.0802 0.2174 0.2378 0.2 60.5360 65.9984 66.2390 66.2527 0.0553 0.0137 0.0591 0.2639 0.2801 0.3 53.3040 58.5206 58.6584 58.6585 0.0476 0.0017 0.0502 0.2987 0.3129 0.4 46.0720 50.9728 51.0643 51.0643 0.0438 0.0011 0.0459 0.3316 0.3389 0.5 38.8400 43.3997 43.4669 43.4701 0.0424 0.0095 0.0443 0.3593 0.3593 0.6 31.6080 35.8128 35.8548 35.8759 0.0436 0.0263 0.0456 0.3750 0.3750 0.7 24.3760 28.2094 28.2094 28.2817 0.0497 0.0525 0.0525 0.3861 0.3861 0.8 17.1440 20.5015 20.5015 20.6875 0.0819 0.0900 0.0900 0.3931 0.3931 0.9 9.9120 12.7009 12.7009 13.0933 0.1195 0.1390 0.1390 0.3957 0.3957 Minh họa đồ họa cho các biên lặp cho mô đun đàn hồi Young dọc E L , EU , EUo và tỷ số Poisson dọc ν L ,ν (0) ,ν U ,ν Lo ,ν Uo ở ví dụ 1 được trình bày trong hình 1a và 1b tương ứng. L 0.5 Lo L 70 E V L 0.4 Uo (0) E 60 U U E Uo U E thủy tinh- epoxy (GPa) 0.3 thủy tinh - epoxy 50 (0) 40 0.2 eff 30 eff 0.1 E 20 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 Tỷ lệ epoxy v e Tỷ lệ epoxy v e a. Mô đun Young dọc b. Hệ số Poisson dọc Hình 1 (a, b). So sánh các biên lặp cho các hệ số đàn hồi dọc của composite thủy tinh-epoxy ở ví dụ 1
158 174 Vương Thị Mỹ Hạnh và Phạm Đức Chính Nhận xét ví dụ 1 qua bảng 1 và hình 1(a,b):  Với mô đun Young dọc: biên lặp mới E L = EV giữ nguyên giá trị so với biên lặp ban đầu, biên trên mới EU gần sát nhưng vẫn nhỏ hơn (hoặc bằng) giá trị biên trên cũ EUo .  Với tỷ số Poisson dọc: biên dưới mới ν L cùng giá trị đầu ν (0) lớn hơn rõ rệt so với biên dưới cũ L ν Lo , biên trên mới ν U nhỏ hơn tương đối (hoặc bằng) biên trên cũ ν Uo , trong đó, giá trị đầu của 2 biên này gần như trùng nhau ν (0) ≈ ν (0) (các giá trị này không trình bày trong bảng và hình vẽ). U Uo Như vậy, từ các kết quả số ta kết luận biên lặp mới đã cải thiện hơn so với biên ban đầu trong trường hợp vật liệu tổ hợp có tỷ số Poisson dương. 4.1.2. Composite có tỷ số Poisson âm Ví dụ 2: Xét composite giả định có tỷ số Poisson âm, các hệ số đàn hồi (đơn vị tính GPa) và tỷ 75,ν 1 = lệ thể tích tương ứng là: E1 = −0.18, K1 = µ1 = 45.7317, E2 = 2.68, ν 2 = −0.394, 33.6263, K 2 = 33.6263, µ2 2.2112,v 2 0.1 → 0.9 . Kết quả các biên lặp mới E L , EU ,ν L ,ν (0) ,ν U tính theo = = L (28), (30) được trình bày trong bảng 2. Bảng 2. Kết quả biên lặp mới cho các mô đun đàn hồi dọc với composite có ν < 0 ở ví dụ 2 v2 E L = EV E(0) = EKV U EU ν (0) U νU νL 0.1 67.7680 71.7670 71.4860 -0.0610 -0.0657 -0.2479 0.2 60.5360 64.1760 64.0961 -0.0424 -0.0442 -0.2981 0.3 53.3040 56.5850 56.5501 -0.0339 -0.0349 -0.3381 0.4 46.0720 48.9939 48.9752 -0.0290 -0.0297 -0.3705 0.5 38.8400 41.4029 41.3915 -0.0260 -0.0265 -0.3963 0.6 31.6080 33.8119 33.8042 -0.0241 -0.0246 -0.4157 0.7 24.3760 26.2209 26.2151 -0.0237 -0.0241 -0.4279 0.8 17.1440 18.6299 18.6241 -0.0264 -0.0270 -0.4313 0.9 9.9120 11.0389 11.0261 -0.0434 -0.0450 -0.4224 Nhận xét ví dụ 2 qua bảng 2:  Trong quá trình tính toán nhận thấy, khi tỷ lệ các thành phần vật liệu thay đổi, các giá trị của các dãy E(U) ,ν (U)2 ,ν (U)3 ,ν (U)4 ,ν (L1 ,ν (L)2 hội tụ rất nhanh, với sai số 10-4 , tất các biên lặp hội tụ khi i ν U > ν L . U U Kết quả số chứng tỏ các biên lặp mới cho trường hợp composite có tỷ số Poisson âm của báo cáo là hợp lý, kết quả này là hoàn toàn mới và chưa được xét trong báo cáo trước. 4.2. Composite 3 thành phần 4.2.1. Composite có tỷ số Poisson dương Ví dụ 3: Xét composite nhôm-đồng-thép (đã tính trong [10, 11]), các hệ số đàn hồi (đơn vị tính GPa) và tỷ lệ thể tích tương ứng là: Ea = 68.34, Ec 118.9, Es 206.4,ν a 0.34, ν c 0.33,ν s 0.3, = = = = = K a = 71.19, K c = 116.57, K s 172.03, µa 25.5, µc 44.7, µ s 79.3, vc 0.3, v a 0.1 → 0.6 . = = = = = =
159 Xây dựng biên cho các mô đun đàn hồi dọc vĩ mô của vật liệu tổ hợp 175 đồng phương đẳng hướng ngang Kết quả các biên lặp mới E , E ,ν L ,ν (0) ,ν U tính theo (28), (29) và các biên cũ EUo ,ν Lo ,ν Uo tính theo L L U (14), (15) trình bày trong bảng 3. Bảng 3. So sánh các biên lặp cho các hệ số đàn hồi dọc của composite nhôm-đồng-thép ở ví dụ 4 ve E L = EV EU EUo U E(0) ν (0) L ν Lo νL νU ν Uo 0.1 97.3140 105.904 126.5000 138.4914 0.2531 0.1847 0.3046 0.3423 0.3423 0.2 111.120 122.539 142.4228 155.1987 0.2406 0.1833 0.2932 0.3405 0.3405 0.3 124.926 138.105 158.0687 171.9059 0.2341 0.1830 0.2862 0.3373 0.3373 0.4 138.732 152.531 173.2180 188.6132 0.2321 0.1849 0.2831 0.3327 0.3327 0.5 152.538 165.556 187.5331 205.3204 0.2345 0.1898 0.2838 0.3269 0.3269 0.6 166.344 176.647 200.3588 222.0277 0.2425 0.1994 0.2887 0.3197 0.3197 Minh họa đồ họa so sánh các biên lặp cho mô đun đàn hồi Young dọc E L , EU , EUo và tỷ số Poisson dọc ν L ,ν (0) ,ν U ,ν Lo ,ν Uo ở ví dụ 3 được trình bày trong hình 2a và 2b tương ứng. L Lo L 0.4 L 200 (0) U Uo nhôm-đồng-thép(GPa) nhôm-đồng-thép 0.3 150 E eff V Uo E eff E U E 0.2 U E (0) 100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Tỷ lệ nhôm (v a) Tỷ lệ nhôm (v ) a a. Mô đun Young dọc b. Hệ số Poisson dọc Hình 2 (a, b). So sánh các biên lặp cho các hệ số đàn hồi dọc của composite nhôm-đồng-thép ở ví dụ 3 Nhận xét ví dụ 3 qua bảng 3 và hình 2(a,b):  Các nhận xét với composite 3 thành phần có tỷ số Poisson dương tương tự như với composite 2 thành phần trong ví dụ 1: Các biên lặp mới đã cải thiện hơn so với biên lặp ban đầu.  Tuy nhiên với composite 3 thành phần nhôm-đồng-thép, các giá trị biên lặp mới EU ,ν L đã cải thiện hơn rõ rệt so với các biên lặp cũ EUo ,ν Lo và giá trị đầu E(0) ,ν (0) tương ứng. Chỉ trừ giá trị biên trên U L cho ν eff cho là gần như không khác biệt (ν U = ν Uo ). 4.2.2. Composite có tỷ số Poisson âm Ví dụ 4: Xét composite 3 thành phần có tỷ số Poisson âm, các hệ số đàn hồi (đơn vị tính GPa) và tỷ lệ thể tích tương ứng là: E1 = 33.66, E2 = E3 =ν 1 = 2 = 3 = −0.3, 59.898, 111.02, −0.34,ν −0.33, ν K1 = 6.6786, K 2 = 12.0277, K 3 = 23.1292, µ1 = 25.5, µ2 44.7, µ3 79.3, v 2 0.3, v1 0.1 → 0.6 . = = = = Kết quả các biên lặp mới E L , EU ,ν L ,ν (0) ,ν U tính theo (28), (30) được trình bày trong bảng 4. L
160 176 Vương Thị Mỹ Hạnh và Phạm Đức Chính Bảng 4. Kết quả biên lặp mới cho các mô đun đàn hồi dọc với composite có ν < 0 ở ví dụ 4 v1 E L = EV E(0) = EKV U EU νL ν (0) U νU 0.1 49.2674 53.5247 50.2775 -0.3374 -0.2545 -0.2962 0.2 57.0034 61.7846 58.4360 -0.3347 -0.2395 -0.2815 0.3 64.7394 70.0444 66.4391 -0.3310 -0.2329 -0.2743 0.4 72.4754 78.3042 74.2992 -0.3267 -0.2314 -0.2722 0.5 80.2114 86.5641 82.0010 -0.3219 -0.2341 -0.2742 0.6 87.9474 94.8239 89.5056 -0.3165 -0.2411 -0.2797 Với composite 3 thành phần có tỷ số Poisson âm ta có nhận xét tương tự như composite 2 thành phần (ν < 0 ) đã xét trong ví dụ 2. 6. Kết luận Với việc lựa chọn các trường ứng suất - biến dạng khả dĩ phù hợp, đặt vào các biểu thức năng dựng được các giới hạn lặp cho các hệ số đàn hồi dọc vĩ mô của vật liệu tổng hợp 𝑛𝑛 thành phần. Phát lượng cực tiểu và bù cực tiểu, sử dụng các kỹ thuật tối ưu hóa và lặp đi lặp lại, nhóm tác giả đã xây triển và hoàn thiện các biểu thức lặp đã xây dựng trước đó, báo cáo đã xây dựng được các biên lặp mới tốt hơn biên lặp ban đầu. Các biên lặp mới (28), (29) cho trường hợp composite có tỷ số Poisson dương đã cải thiện đáng kể các giá trị biên lặp cũ tương ứng, do đã xây dựng thêm các biểu thức ν L 2 ,ν U 4 bằng cách sử dụng các mô hình biến dạng dọc bổ sung và cải thiện giá trị đầu ν (0) . Đồng thời, báo cáo đã tính toán số và U3 minh họa cho composite 2 và 3 thành phần (ví dụ 1, 3) để so sánh các biên lặp. Các biên lặp mới (28), (30) cho composite có tỷ số Poisson âm cũng được xây dựng, các biểu thức này là mới và chưa được đề cập trong báo cáo trước. Các tính toán số cho composite 2 và 3 thành phần có ν < 0 cũng được xem xét trong ví dụ 2, 4. Các kết quả nhận được hoàn toàn hợp lý. Lời cảm ơn Báo cáo được tài trợ bởi đề tài cơ sở cấp Viện Cơ học, 264 Đội Cấn, Ba Đình, Hà Nội. Tài liệu tham khảo [1] Hill, R., The elastic behaviour of a crystalline aggregate. Proc. Phys. Soc. A 65, (1952), 349–354. [2] B. Paul. Prediction of elastic constants of multiphase materials. Trans, ASME, 218, (1960), pp. 36. [3] Z. Hashin, S. Shtrikman. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of polycrystals. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 10, (1962), pp. 4343-352. [4] Z. Hashin. Analysis of Composite Materials- A Survey. J,Appl, Mech, 50 (3), (1983), pp. 481-505. [5] Norris, A.N., 1985. A differential scheme for the effective moduli of composites. Mech. Mater. 4, 1-16. [6] G. W. Milton, The theory of Composites, Cambridge Unversity Press, (2001). [7] L. J. Walpole. On the overall elasstic moduli of composite materials. J.Mech.Phys.Solid 17, (1969), pp. 235- 251. (doi:10.1016/0022-5096(63)90036-X). [8] P. D. Chinh, L. H. Chau, V. T. M. Hanh. Estimates for the elastic moduli of d-dimensional random cell [9] M. J. Beran, Statictical continuum theories, New York, Wiley, (1968). [10] P. D. Chinh. Minimum energy bounds on longitudinal elastic constants of transversely isotropic unidirectional composite. Proc, R, Soc, A476, (2019). [11] Phạm Đức Chính và Vương Thị Mỹ Hạnh, Xây dựng biên cho các mô đun đàn hồi dọc vĩ mô của vật liệu tổ hợp đồng phương đẳng hướng ngang, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XV, 2021, 120-129, ISBN: 978-604-9987-74-8. [12] P. D. Chinh. Minimum energy and iteration estimates fof longitudinal Young’s modulus and Poisson’s ratio of transversely-isotropic unidirectional composite, Mechanics of Materials, 160, (2021).