Xác định tải trọng giới hạn cho bài toán phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn giải lặp

Chia sẻ: Nhan Chiến Thiên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết "Xác định tải trọng giới hạn cho bài toán phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn giải lặp" trình bày quy trình tính toán tải trọng giới hạn cho các kết cấu ứng suất phẳng và biến dạng phẳng, làm từ vật liệu đàn dẻo lý tưởng được giới thiệu. Tại mỗi vòng lặp, các kết quả ứng suất được tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), nền tảng cho sự thay đổi mô đun đàn hồi của phần tử có ứng suất lớn dựa trên kỹ thuật điều chỉnh mô đun đàn hồi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xác định tải trọng giới hạn cho bài toán phẳng bằng phương pháp phần tử hữu hạn giải lặp

232 XÁC ĐỊNH TẢI TRỌNG GIỚI HẠN CHO BÀI TOÁN PHẲNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GIẢI LẶP Phạm Ngoc Tiến*, Cao Văn Dũng, Lê Hoàng Vũ Trường Đại học Xây dựng Miền Trung Tóm tắt Quy trình tính toán tải trọng giới hạn cho các kết cấu ứng suất phẳng và biến dạng phẳng, làm từ vật liệu đàn dẻo lý tưởng được giới thiệu. Tại mỗi vòng lặp, các kết quả ứng suất được tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), nền tảng cho sự thay đổi mô đun đàn hồi của phần tử có ứng suất lớn dựa trên kỹ thuật điều chỉnh mô đun đàn hồi. Thuật toán chỉ cần giải các phân tích đàn hồi kết hợp lưới phần tử tam giác tuyến tính có thể xác định được tải trọng giới hạn và hình dạng quá trình chảy dẻo trong các kết cấu. Minh chứng cho lời giải, các ví dụ số được trình bày và so sánh với các kết quả đã được công bố. Kết quả tính toán cho thấy sự đơn giản, độ tin cậy, tính chính xác cao và hiệu quả của thuật toán đề xuất. Từ khóa: Tải trọng giới hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp bù đàn hồi, bài toán phẳng, vật liệu đàn dẻo lý tưởng. 1. Đặt vấn đề Các hồ sơ thiết kế cần phải đảm bảo khả năng làm việc an toàn cho kết cấu đồng thời lượng vật liệu sử dụng hiệu quả nhất. Từ yêu cầu thực tiễn này, khoa học kỹ thuật không ngừng phát triển tạo động lực cho nhiều nghiên cứu về vật liệu và phương pháp tính toán mới ra đời. Trong đó, việc nghiên cứu phương pháp xác định đúng và tin cậy tải trọng giới hạn tác dụng lên kết cấu công trình là một trong các tiêu chí quan trọng. Khi đó, lượng vật liệu cần thiết sử dụng cho các kết cấu sẽ được kiểm soát, phù hợp với thực tế làm việc của các công trình. Trong quá trình phân tích giới hạn làm việc các kết cấu, hai định lý cận dưới và cận trên được áp dụng để thiết lập các phương pháp tính toán. Một số phương pháp được sử dụng để xác định tải trọng giới hạn như phương pháp phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn đơn giản (Bùi Công Thành, 2004; Kamenjarzh, 1996), phương pháp phân tích đàn dẻo gia tăng từng bước (Tangaramvong và nnk, 2012), phương pháp phân tích giới hạn sử dụng lập trình toán học (Maier và Munro, 1982). Bên cạnh những hiệu quả mang lại từ các nghiên cứu này như tải trọng giới hạn của kết cấu được xác định trong một bước phân tích hoặc có thể xác định được toàn bộ phản ứng tải trọng - chuyển vị, cho phương pháp từng bước, trong quá trình làm việc của kết cấu thì các kết cấu có dạng phức tạp (có khuyết tật, vết nứt) hoặc quy trình, thời gian tính toán vẫn chưa được giải quyết triệt để và hiệu quả. Những năm gần đây, việc áp dụng các thuật toán kết hợp với phương pháp PTHH trong phân tích trực tiếp tải trọng giới hạn được sử dụng phổ biến. Điển hình, Võ Minh Thiện (2019) và Ho Le Huy Phuc (2020) đã phát triển phương pháp phân tích giới hạn trên cơ sở lý thuyết PTHH nâng cao trong công trình nghiên cứu của họ nhằm xác định sức chịu tải giới hạn của vật liệu trong các kết cấu. Tuy nhiên, các phương pháp giải dựa vào lập trình toán này cho thấy sự phức tạp và khó thực hiện bởi kỹ sư trong thiết kế thực tế. * Ngày nhận bài: 05/3/2022; Ngày phản biện: 28/3/2022 ; Ngày chấp nhận đăng: 10/4/2022. * Tác giả liên hệ: Email: phamngoctien@muce.edu.vn
. 233 Phương pháp bù đàn hồi được đề xuất bởi Chen và nnk (2008) dùng để tính toán giá trị tải trọng giới hạn và phá hủy trong các kết cấu. Phương pháp được xây dựng trên nền tảng phân tích đàn hồi với các vòng lặp đơn giản. Điển hình có Trần và nnk (2020), Lê và nnk (2021a) kết hợp phương pháp bù mô đun đàn hồi với các phương pháp PTHH trơn nhằm xác định một cách chính xác và hiệu quả hơn sức chịu tải giới hạn và mô hình phá hoại của kết cấu. Ngoài ra, Mellati và nnk (2020) đã kết hợp phương pháp bù đàn hồi với phương pháp phần tử biên trung tâm để xác định tải trọng giới hạn cho các bài toán 2D và 3D. Tiếp nối hướng nghiên cứu (Tran và nnk, 2020; Le và nnk, 2021a), bài báo hiện tại tập trung nghiên cứu, áp dụng phương pháp tính toán giải lặp nhằm xác định tải trọng giới hạn cho kết cấu tấm và dầm làm từ vật liệu đàn hồi dẻo lý tưởng. Thuật toán giải kết hợp giữa phương pháp PTHH với lưới phần tử tam giác tuyến tính (Zienkiewicz và công sự, 1977) và phương pháp bù đàn hồi với hệ số hiệu chỉnh (Chen và nnk, 2008) để xác định tải trọng giới hạn của các kết cấu kỹ thuật. Trong đó, mô đun đàn hồi của các phần tử có ứng suất hồi phục lớn liên tục được điều chỉnh giảm một cách thích hợp và do đó ứng suất ngoài miền đàn hồi được phân phối lại bên trong kết cấu chịu lực. Kết quả hình thành vùng chảy dẻo (vùng phá hoại) tại những vị trí tương ứng có mô đun đàn hồi bị giảm nhiều, theo đó hình dạng phá hoại và tải trọng tối đa của kết cấu cũng được xác định. Phương pháp được đề xuất phù hợp trong áp dụng thực tế, cho phép kỹ sư xác định tải trọng giới hạn của kết cấu làm việc ngoài miền đàn hồi một cách đơn giản, giúp giảm thời gian tính toán và đảm bảo sự hội tụ của nghiệm tải trọng giới hạn nhanh với độ chính xác cao. Ngoài ra, nghiên cứu có thể áp dụng cho các bài toán chịu tác dụng của lực tập trung và điều kiện biên được gán tại các điểm. Các ví dụ số được trình bày và so sánh với các công bố đã tồn tại. Kết quả tính toán cho thấy sự đơn giản, độ tin cậy, tính chính xác và hiệu quả của thuật toán đề xuất. 2. Cơ sở lý thuyết 2.1. Phương pháp phần tử hữu hạn trong bài toán phẳng Các bài toán giá trị biên phẳng có hình dạng hình học, đặc trưng vật liệu và lực tác dụng là những hàm số độc lập đối với một biến số (thường chọn biến z) khi đó các đại lượng trường cũng là những hàm số độc lập đối với biến z. Trong thực tế có hai loại bài toán phẳng dạng này, đó là bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng. Trong phạm vi nghiên cứu của bài báo, các bài toán tấm và dầm phẳng làm từ vật liệu đàn dẻo, đẳng hưởng lý tưởng được phân tích. Để tiến hành phân tích lời giải cho các bài toán phẳng, phương pháp PTHH được sử dụng trong quá trình tính toán ứng suất trong toàn bộ miền bài toán. Như đã biết, việc lựa chọn hàm xấp xỉ cho trường chuyển vị đảm bảo thỏa mãn các yêu cầu của phiếm hàm thế năng toàn phần. Trong nghiên cứu này, phần tử tam giác 3 điểm nút được chọn và đảm bảo các yêu cầu đã nêu đồng thời đơn giản trong quá trình thiết lập các y công thức tính toán cũng như đảm bảo lời giải số uk uj hội tụ cao. uk uj k Bài toán được rời rạc hóa thành các phần tử j m tam giác 3 điểm nút, tùy thuộc cấp độ mịn hóa ui lưới chia mà ta tiến hành đánh số thứ tự phần tử i và nút. Với phần tử tam giác 3 điểm nút, các O ui x thông tin liên quan đến phần tử thứ m được biểu Hình 1. Phần tử tam giác 3 điểm nút diễn như trên hình 1.
234 Biểu thức xấp xỉ cho các hàm chuyển vị của phần tử thứ m có dạng như sau: um  x, y  um       N ( x, y )qm T  (1) vm  x, y     Ở đây: um(x,y), vm(x,y) tương ứng là các hàm chuyển vị xấp xỉ của phần tử theo phương x và y;  N ( x, y ) là ma trận chứa các hàm dạng, được cho:  Ni ( x, y) 0 N j ( x, y) 0 N k ( x, y) 0   N ( x, y)   0 Ni ( x, y) 0 N j ( x, y) 0  N k ( x, y)  (2)    trong đó, các hàm dạng thành phần của phần tử tam giác tuyến tính được xác định:  pi  y jk x  xkj y  N i ( x, y )   2 Am   p j  yki x  xik y  N j ( x, y )  (3)  2 Am  p  yij x  x ji y  N k ( x, y )  k   2 Am với, Am là diện tích của phần tử tam giác có 3 điểm nút i, j, k và được xác định: 1 Am  ( xi y j  x j yi  x j yk  xk y j  xk yi  xi yk ) (4) 2 và các đại lượng còn lại trong (3):  xik  xi  xk  (5)  yik  yi  yk  pi  x j yk  xk y j   p j  xk yi  xi yk (6)   pk  xi y j  x j yi còn qm trong (1) là vectơ chứa các bậc tự do của phần tử, có dạng: qm  ui  T vi uj vj uk vk (7) trong đó, ui, vi tương ứng là các thành phần chuyển vị theo phương x và y tại nút i của phần tử. Khi đó, ma trận độ cứng phần tử được thiết lập có dạng:  K m  t. Am BT  Dm Bm m (8) Ở đây: t là bề dày của phần tử tấm; Am là diện tích của phần tử tam giác được xác định như trong công thức (4); [B]m là ma trận tính biến dạng, được xác định:  N i ( x, y ) N j ( x, y ) N k ( x, y )   0 0 0   x x x   N i ( x, y ) N j ( x, y ) N k ( x, y )  (9)  B m  0 0 0   y y y   N ( x, y ) N i ( x, y ) N j ( x, y ) N j ( x, y ) N k ( x, y ) N k ( x, y )   i    y x y x y x  
. 235 và [D]m là ma trận các hằng số đàn hồi. Đối với vật liệu đồng nhất, đẳng hướng: 1  0  E  1  (Bài toán ứng suất phẳng)  Dm  2  0  (10) (1   )  0 0 (1   ) / 2    1    0  E    (Bài toán biến dạng phẳng)  Dm  1  0 (11) (1   )(1  2 )    0  0 (1  2 ) / 2   Vectơ tải phần tử, được xác định: Pm    N   gm dV    N  tm d T T Vm m (12) Ở đây,  ge , t e lần lượt là vectơ chứa các thành phần lực khối và lực mặt tác dụng lên phần tử. Sau đó, ghép nối toàn bộ các phần tử trên miền bài toán, áp đặt điều kiện biên rồi tiến hành giải hệ thống các phương trình để có được chuyển vị tại các nút. Tiếp theo, lần lượt tính biến dạng và ứng suất cho mỗi phần tử để tiến hành các bước phân tích tiếp theo. Cụ thể: Biến dạng trong mỗi phần tử:  m   Β m qm (13) Và ứng suất:  m   x  y  xy    D m  m   D m  B m qm T   (14) 2.2. Kỹ thuật giải lặp điều chỉnh mô đun đàn hồi Phương pháp PTHH với lưới phần tử tam giác 3 điểm nút được xây dựng để xác định khả năng chịu tải lớn nhất khi phá hoại dẻo xảy ra cho các bài toán phẳng. Quá trình tính toán được tiến hành giải lặp trên cơ sở các phân tích đàn hồi. Cụ thể, tại mỗi bước phân tích, mô đun đàn hồi trong các phần tử có ứng suất lớn sẽ được hiệu chỉnh theo giá trị ứng suất tính ở bước kế trước. Đồng thời tại mỗi vòng lặp, hệ số tải trọng đảm bảo kết quả ứng suất mọi phần tử không vượt qua khả năng chảy dẻo của vật liệu được xác định. Toàn bộ quá trình giải lặp được thể hiện bởi các biểu thức theo sau. Tại vòng lặp thứ r, sự phân bố lại ứng suất của một số phần tử có ứng suất tính cao hơn giá trị ứng suất danh nghĩa sẽ được điều chỉnh thông qua các giá trị mô đun đàn hồi tương ứng. Mô đun đàn hồi của phần tử thứ i có ứng suất giới hạn tại vòng lặp hiện tại r, được hiệu chỉnh theo quy tắc như sau:  r n r  Ei r , khi  i   n r r r 1 Ei    i (15)  r  Ei , khi  ir   n r
236 Ở đây: Eir 1 , Eir là các giá trị mô đun đàn hồi của phần tử thứ i tương ứng tại vòng lặp thứ (r+1) và vòng lặp thứ r;  n là ứng suất danh nghĩa tại bước tính thứ r, được xác định: r r r r   n   max    max   min r  (16) với    0,1 là hệ số điều chỉnh nếu  nhận giá trị nhỏ thì đảm bảo tính hội tụ của lời giải (mặc dù số vòng lặp có thể tăng), ngược lại nếu  nhận giá trị lớn thì sự hội tụ có thể không đảm bảo;  max và  min tương ứng là các giá trị ứng suất tính lớn nhất và nhỏ nhất của tất cả các r r phần tử tại vòng lặp thứ r (các giá trị ứng suất tính sẽ được tính toán phụ thuộc vào tiêu chuẩn chảy dẻo chọn). Theo tiêu chuẩn von Mises, ứng suất tính của phần tử thứ i tại vòng lặp r được xác định tương ứng cho bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng:  ir          3  (Bài toán ứng suất phẳng) x y 2 x y 2 xy (17) 4 3      4  (Bài toán biến dạng phẳng) 2  ir  x y 2 xy (18) Đồng thời với việc hiệu chỉnh mô đun đàn hồi trong các phần tử có ứng suất lớn, tại mỗi vòng lặp hệ số tải trọng được xác định: 0 r  (19)  max r Ở đây:  0 là giới hạn chảy cho phép của vật liệu. Khi đó, giới hạn tải trọng phá hoại  col của kết cấu theo phân tích giới hạn cận dưới là giá trị lớn nhất trong số các hệ số tải trọng  r , cụ thể như sau:   col  max  r | r  1,..., rmax  (20) Khi tiến hành giải, việc lựa chon tham số hiệu chỉnh λ và số vòng lặp số tối đa rmax tuỳ thuộc vào bài toán. Theo kết quả giải số cho thấy rằng với giá trị λ = 0,05 và rmax = 300 thì sự hội tụ đảm bảo chính xác cho nghiệm tải trọng phá hoại xét cho tất cả các bài toán ở nội dung mục 3. Tuy nhiên, sự hội tụ có thể sẽ được cải thiện nếu sử dụng các giá trị λ thấp hơn và các giá trị rmax cao hơn. Ngoài ra, thuật toán đề nghị đảm bảo hội tụ đến hệ số nhân tải trọng phá hoại nếu điều kiện không nén được thỏa mãn (ví dụ như hệ số Poisson gần bằng 0,5). Mặc dù các phương pháp do Yang và Chen đề xuất không yêu cầu điều kiện này, việc sử dụng các giá trị hệ số Poisson nhỏ hơn nhiều so với giá trị 0,5 có thể khó hội tụ và dẫn đến một số vấn đề tồn tại khi giải các bài toán với điều kiện biên hoặc tải trọng phức tạp. Ở nội dung tiếp theo, một số ví dụ số sẽ được trình bày và so sánh với các kết quả đã tồn tại nhằm làm sáng tỏ thuật toán đề xuất trong nghiên cứu. 3. Lời giải số và thảo luận Nội dung này sẽ trình bày một số ví dụ số nhằm làm rõ thuật toán đề xuất. Cụ thể, ví dụ đầu tiên được khảo sát liên quan đến bài toán biến dạng phẳng, đại diện là một kết cấu tấm vuông, cạnh a, có vết nứt đối xứng với độ sâu 0,5a, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều trong mặt
. 237 phẳng tấm, với độ lớn là q = 0,288α, trong đó α là hệ số tải trọng và có giá trị dương như hình 2.a Giả thiết vật liệu tuân theo tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises, các đại lượng tính toán được quy đổi không thứ nguyên. Cụ thể: a = 2, mô đun đàn hồi Young E = 70, ứng suất chảy dẻo  0  0.243 . Hình 2. (a) Sơ đồ bài toán tấm có vết nứt đối xứng, độ sâu 0,5a và (b) mô hình hóa ¼ bài toán với lưới chia 16 phần tử Vì sơ đồ tính kết cấu có dạng đối xứng, ta chỉ cần xét một phần tư tấm. Bài toán được mô hình hoá bằng phương pháp PTHH tam giác ba điểm nút với lưới chia ban đầu gồm 16 phần tử cơ bản và 26 bậc tự do (hình 2.b). Sau đó, bài toán sẽ được giải lặp (rmax = 300) và khảo sát với các cấp độ chia lưới mịn hơn tương ứng với 64, 256, 1024 và 4096 phần tử. Kết quả khảo sát sự hội tụ và tải trọng giới hạn chảy dẻo  col ở các cấp độ lưới chia được trình bày và so sánh với các lời giải đã công bố. Hình 3. Biểu đồ quan hệ giữa  r và r Hình 4. Biểu đồ quan hệ giữa  col và Ne Đồ thị trên hình 3 cho thấy sự ổn định và hội tụ của nghiệm tải trọng giới hạn qua từng vòng lặp thay đổi mô đun đàn hồi. Trong đó, các giá trị của hệ số nhân tải trọng giới hạn  r tại mỗi vòng lặp được tính toán theo công thức (19). Cũng vậy, bảng 1 cho thấy sự hội tụ của nghiệm ở các cấp độ lưới chia khi so sánh với nghiệm chính xác  col = 1.1316 (trích từ nghiên cứu của ref Nagtegaal và nnk (1974), Christiansen và Andersen (1999)). Ở cấp độ lưới chia thô, sai số tương đối lớn nhưng ở cấp độ lưới chia 4096 phần tử, giá trị tải trọng giới hạn chỉ lệch 0,57% so với giá trị tải trọng giới hạn chính xác. Hình 4 là đồ thị cho thấy sự hội tụ của nghiệm tới nghiệm chính xác tại các cấp độ lưới chia của lời giải hiện tại. Ở nghiên cứu hiện tại, cấp độ lưới chia 4096 phần tử được sử dụng để tính toán nghiệm tải trọng tới hạn khi so sánh với các lời giản đã công bố.
238 Bảng 2 là kết quả so sánh giữa nghiệm của lời giải hiện tại so với các kết quả đã được công bố bằng các phương pháp giải khác nhau. Mặc dù sai số của lời giải hiện tại so với nghiệm chính xác chưa phải thấp nhất nhưng với lưới chia và loại phần tử được lựa chọn để giải cho thấy thuật toán đề xuất mang tính khả thi và khá hiệu quả trong tính toán kỹ thuật. Bảng 1. Nghiệm tải trọng giới hạn  col ở các cấp độ lưới chia với nghiệm chính xác Số phần tử Số bạc Sai số Số vòng lặp (Ne) tự do  col (%) rmax 16 26 1.4593 28.96 300 64 82 1.3321 17.72 300 256 290 1.2272 8.45 300 1024 1090 1.1689 3.30 300 4096 4226 1.1380 0.57 300 Bảng 2. Nghiệm của lời giải hiện tại so với các kết quả đã được công bố Phương pháp Số phần tử (Ne) αcol Sai số (%) Nagtegaal (1974) - Nghiệm chính xác  1.1316  Nghiên cứu hiện tại (mECM-FEM) 4096 1.1380 +0.57 Ciria và nnk (2008) - Upper 5913 1.1390 +0.66 Ciria và nnk (2008) - Lower 5913 1.1315 +0.002 Nguyen-Xuan và nnk (2016)  1.1360 +0.39 Christiansen và Andersen (1999)  1.1358 +0.37 Lê và nnk (2021b) 4096 1.1326 +0.09 Hình 5. Biểu đồ phân bố môđun đàn hồi E tại một số vòng lặp Ngoài ra, hình 5 cung cấp các hình ảnh về sự phân bố mô đun đàn hồi của các phần tử tấm khi tiến hành giải tại một số vòng lặp đối với cấp độ lưới chia 4096 phần tử. Từ kết quả trên hình 5 cho thấy khi số vòng lặp tăng dần, giá trị mô đun đàn hồi của các phần tử nằm trên đường chảy dẻo giảm theo và hình ảnh đường phá hoại dẻo dần hình thành khởi đầu từ đỉnh của vết nứt. Khi giá trị tải trọng giới hạn tiệm cận đến giá trị chính xác cũng là lúc đường chảy dẻo hình thành rõ ràng nhất và kết cấu phá hoại.
. 239 Ở ví dụ này, kết cấu dầm hai nhịp có kích thước và chịu tải trọng tập trung tác dụng đối xứng như hình 6. Trong phân tích hiện tại, dầm được mô hình hóa dưới dạng kết cấu ứng suất phẳng khi giải theo phương pháp PTHH. Các đại lượng tính toán được quy đổi không thứ nguyên. Cụ thể, dầm có chiều cao h = 0.8; bề rộng t = 1; lực tập trung có giá trị P = 0.2α, trong đó α là hệ số tải trọng và có giá trị dương; vật liệu dầm tuân theo luật chảy dẻo von Mises (mô đun đàn hồi E = 2000, ứng suất chảy dẻo  0  10 ). Hình 6. (a) Sơ đồ bài toán dầm phẳng 2 nhịp đối xứng và (b) mô hình hóa bài toán với lưới chia 544 phần tử Miền bài toán ban đầu được chia thành các phần tử tam giác tuyến tính, bao gồm 544 phần tử và 345 nút như hình 6.b, trong đó số phần tử nằm gần vùng chịu tải trọng tập trung có kích thước nhỏ hơn so với kích thước phần tử nằm ở những vùng không chịu lực tập trung. Sau đó, bài toán được giải với lưới chia mịn hơn thành 1088 phần tử và 617 nút. Giới hạn số vòng lặp tối đa tương tự như bài toán tấm đã trình bày bên trên. Sự hội tụ và nghiệm giới hạn chảy dẻo được so sánh với kết quả phân tích giới hạn trong bài toán dầm  col = 6 (tham khảo từ Tangaramvong ref và nnk). Hình 7. Biểu đồ quan hệ giữa  r và r Tương tự như bài toán tấm, đồ thị trên hình 7 cho thấy sự ổn định và hội tụ của tải trọng giới hạn khi số vòng lặp tăng dần. Trong bài toán dầm, số vòng lặp tối đa cũng được chọn rmax = 300 để tiến hành khảo sát các kết quả tính toán.
240 Bảng 3. Nghiệm tải trọng giới hạn  col ở các cấp độ lưới chia với nghiệm giới hạn trong bài toán dầm Số phần tử Số bạc Số vòng lặp (Ne) tự do  col Sai số (%) rmax 544 345 6.7201 12.00% 300 1088 617 6.2482 4.14% 300 Bảng 4. Nghiệm của lời giải hiện tại so với các kết quả đã công bố Số phần tử Sai số Phương pháp  col (Ne) (%) Nghiệm giới hạn bài toán dầm  6.0000  Phương pháp hiện tại (mECM-FEM) 1088 T3 6.2482 4.14% Tangaramvong và nnk (2012) 544 Q4 6.1550 2,58% Bảng 3 trình bày lời giải nghiệm giới hạn khi tiến hành phân tích ở hai cấp độ lưới chia 544 và 1088 phần tử. Khi so sánh với lời giải phân tích giới hạn trong bài toán dầm (  col = 6), ref nghiệm ở các cấp độ lưới trong phân tích hiện tại có xu hướng tiệm cận đến kết quả tham chiếu. Ngoài ra, nghiệm tìm được ở cấp độ lưới chia 1088 phần tử còn được so sánh với lời giải của Tangaramvong và nnk (bảng 4). Kết quả cho thấy chênh lệch của nghiên cứu hiện tại so với nghiệm tham chiếu bài toán dầm là 4,14%, còn chênh lệch giữa lời giải của Tangaramvong và nnk với lời giải tham chiếu là 2,58%. Hình 8 cho thấy sự phân bố mô đun đàn hồi trên miền bài toán qua một số vòng lặp giải khi sử dụng mô hình 1088 phần tử tam giác ba điểm nút. Rõ ràng sau một số vòng lặp, giá trị mô đun đàn hồi bị giảm về “0” tập trung tại các phần tử nằm trên ba vùng phá hoại chảy dẻo dần dần hiện rõ trên thang phổ màu. Rõ ràng khi số vòng lặp tăng, sự hình thành khớp dẻo xuất hiện tương ứng tại vị trí gối tựa trung gian và hai vị trí có tải trọng tập trung tác dụng. Khi giá trị tải trọng giới hạn hội tụ và đạt giá trị tối đa, lúc đó khớp dẻo hình thành hoàn toàn và kết cấu phá hoại. Hình 8. Biểu đồ phân bố môđun đàn hồi E ở lưới chia 1088 phần tử tại một số vòng lặp
. 241 4. Kết luận Nghiên cứu hiện tại đề xuất thuật toán giải số trong việc tìm tải trọng giới hạn tác dụng lên các kết cấu ứng suất phẳng và biến dạng phẳng. Thuật toán được xây dựng dựa trên nền tảng phương pháp PTHH kết hợp với kỹ thuật hiệu chỉnh mô đun đàn hồi. Đặc biệt, quá trình thiết lập công thức tính toán số chỉ cần dựa trên các phân tích đàn hồi, loại phần tử sử dụng đơn giản nhưng có thể áp dụng được cho các bài toán có điều kiện biên đa dạng. Nhờ các đặc tính này, nghiên cứu hiện tại hoàn toàn có thể áp dụng trong thực tế thiết kế vì tính đơn giản và thân thiện. Tính hội tụ và chính xác của lời giải được kiểm chứng thông qua các ví dụ số liên quan đến cả hai bài toán biến dạng phẳng và ứng suất phẳng. Ngoài ra, các vị trí và hình dạng đường chảy dẻo xuất hiện trên biểu đồ phân bố môđun đàn hồi là hoàn toàn phù hợp và đồng nhất nhau. Do đó, phương pháp phân tích giới hạn dựa trên phương pháp PTHH giải lặp kết hợp hiệu chỉnh mô đun đàn hồi đề xuất hoàn toàn có thể được áp dụng để giải các bài toán tương tự hoặc phức tạp hơn cả về hình học hoặc tải trọng với độ chính xác đảm bảo. Tài liệu tham khảo Bùi Công Thành, 2004. Cơ kết cấu nâng cao. Nhà xuất bản đại học quốc gia TP. HCM. Chen, L., Liu, Y., Yang, P., Cen, Z., 2008. Limit analysis of structures containing flaws based on a modified elastic compensation method. European Journal Mechanics A/ Solids, 27, pp 195-209. Christiansen, E., Andersen, K.D., 1999. Computation of collapse states with von Mises type yield condition. International Journal of Numerical Methods in Engineering, 46, pp 1185-1202. Ciria, H., Peraire, J., Bonet, J., 2008. Mesh adaptive computation of upper and lower bounds in limit analysis. International Journal Numerical Methods Engineering, 75, pp 899-944. Ho Le Huy Phuc, 2020. Development of novel meshless method for limit and shakedown analysis of structures & materials. Doctoral thesis-Ho Chi Minh City University of technology and education. Kamenjarzh, J.A., 1996. Limit Analysis of Solids and Structures. CRC Press. Le, V. H., Tangaramvong, S., Tran, L. V., 2021a. Sequential Elastic Adaptive NS-FE Analyses for Lower-Bound Limit Load Determination of Plane-Strain Structures. International Journal of Mechanical Sciences, 106585. Le, V. H., Tangaramvong, S., Rungamornrat, J., Limkatanyu, S., 2021b. Sequential Elastic Recovery Stress Edge-Smoothed Finite Element Method For Lower-Bound Limit Determination Of Structures. Acta Mechanica. Maier, G., Munro, J., 1982. Mathematical programming applications to engineering plastic analysis. Applied Mechanics Reviews, 35, pp 1631-1643. Mellati, A., Tangaramvong, S., Tin-Loi, F., Song, C., 2020. An iterative elastic SBFE approach for collapse load analysis of inelastic structures. Applied Mathematical Modelling, 81, pp 320-341. Nagtegaal, J.C., Parks, D.M., Rice, J.R., 1974. On numerically accurate finite element solutions in the fully plastic range. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 4, pp 153-177. Nguyen-Xuan, H., Wu, C.T., Liu, G.R, 2016. An adaptive selective ES-FEM for plastic collapse analysis. European Journal Mechanics A/Solids, 58, pp 278-290. Tangaramvong, S., Tin‐Loi, F., Song, C., 2012. A direct complementarity approach for the elastoplastic analysis of plane stress and plane strain structures. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 90, pp 838-866.
242 Tran, V. P., Le, H. V., Nguyen, C. D., Pham, N. T., 2020. Determination of Collapse Load of Engineering Structures using Iterative Node-based Smoothed Finite Element Analysis Method. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 869(7):072002. Võ Minh Thiện, 2019. Phân tích sức chịu tải giới hạn của nền đất đồng nhất theo định lý cận trên sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn trên nút (NS-FEM). Luận văn tiến sĩ Đại học Bách Khoa Tp. HCM. Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., Nithiarasu, P., Zhu, J. Z., 1977. The finite element method (Vol. 3). McGraw-hill London.