Fulbright Economics Teaching Program Economic Development I Sources-of-Growth Equation
2002-03 Proof
Chứng minh phương trình nguồn tăng trưởng Solow
Phương pháp luận thông thường được sử dụng để ước lượng nguồn tăng trưởng
trong khuôn khổ của lý thuyết kinh tế tân cổ điển đã được dựa trên cơ sở công trình nghiên
cứu của Solow (1957). Hàm sản xuất tổng thể được giả định có dạng tổng quát như sau:
Y = f(K, L, t) (i)
trong đó, Y là tổng sản phẩm trong nước, K và L là các tổng nhập lượng vốn và lao động
và t là thời gian. điều hành... (được gọi chung là tổng năng suất các nhân tố sản xuất).
Lấy vi phân phương trình (i) theo thời gian t, ta có:
dt
dt
t
f
dt
dL
L
f
dt
dK
K
f
dt
dY
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= (ii)
Chia cả hai vế của (iii) cho Y và biến đổi, ta có:
dt
df
Ydt
dL
LY
L
L
f
dt
dK
KY
K
K
f
dt
dY
Y
1111 +
∂
∂
+
∂
∂
= (iii)
với
gK = Kdt
dK 1 = Tốc độ tăng trưởng của vốn
gL = Ldt
dL 1 = Tốc độ tăng trưởng của lao động.
a = dt
df
Y
1 = Tốc độ tăng trưởng tổng năng suất nhân tố sản xuất
Y
K
K
f
∂
∂ = Độ co giãn của Y theo nhập lượng vốn
Y
L
L
f
∂
∂ = Độ co giãn của Y theo nhập lượng lao động
Vậy,
ag
Y
L
L
f
g
Y
K
K
f
gLKY +
∂
∂
+
∂
∂
= (iv)
Giả định rằng ta có cạnh tranh hoàn hảo và hàm sản xuất có đặc điểm suất sinh lợi theo
quy mô không đổi với dạng Cobb-Douglas đơn giản như sau:
Y = f(K, L) = AKαL1-α (v)
Ta có các độ co giãn,
αα αα
αα ==
∂
∂
−
−−
1
11 )( LAK
K
LKA
Y
K
K
f và αα αα
αα −=−=
∂
∂
−
−1])1([ 1
LAK
L
LKA
Y
L
L
f
Tổng chi phí nhân tố sản xuất: C = rK +wL (vi)
Nguyễn Xuân Thành 1
Fulbright Economics Teaching Program Economic Development I Sources-of-Growth Equation
2002-03 Proof
Nguyễn Xuân Thành 2
Trong đó C là tổng chi phí nhân tố sản xuất, r là lãi suất (chi phí của vốn) và w là lương
(chi phí của lao động).
Ở một mức chi phí nhất định là C, người sản xuất muốn tối đa hóa tổng sản phẩm Y. Ta có
hàm Lagrange như sau:
Φ = AKαL1-α + λ(C − rK − wL) (vii)
0
11 =−=
∂
Φ∂ −− rLKA
Kλα αα
0=)1( −−=
∂
Φ∂ −wLKA
L
λα αα
0=−−=
∂
Φ∂ wLrKC
λ
Biến đổi, ta có:
r
w
L
K
α
α
−
=
1 (viii)
Cạnh tranh hoàn hảo cho ta: Y = C = rK +wL
Vậy, Y
rK
=α và Y
wL
=−α1
Ký hiệu tỷ trọng của thu nhập vốn trong tổng thu nhập
Y
rK
là wK và tỷ trọng của thu
nhập lao động trong tổng thu nhập
Y
wL là wL, ta có:
K
w
Y
rK
Y
K
K
f===
∂
∂α và L
w
Y
wL
Y
L
L
f==−=
∂
∂α1 (ix)
Thế (ix) và (iv), ta có:
agwgwg LLKKY ++= (x)