Tham khảo tài liệu 'chương 1 - bài 2 (dạng 2): tìm điều kiện để hàm số có cực trị', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Chương 1 - Bài 2 (Dạng 2): Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
- Nguy n Phú Khánh – à L t
D ng 2 : Tìm i u ki n hàm s có c c tr .
Phương pháp: S d ng nh lí 2 và nh lí 3
Chú ý:
* Hàm s f (xác nh trên D ) có c c tr ⇔ ∃x 0 ∈ D th a mãn hai i u ki n
sau:
i) T i o hàm c a hàm s t i x 0 ph i tri t tiêu ho c hàm s không có o hàm
t i x0
ii) f '(x ) ph i i d u qua i m x 0 ho c f "(x 0 ) ≠ 0 .
* N u f '(x ) là m t tam th c b c hai ho c tri t tiêu và cùng d u v i m t tam
th c b c hai thì hàm có c c tr ⇔ phương trình f '(x ) có hai nghi m phân bi t
thu c t p xác nh.
Ví d 1 : V i giá tr nào c a m , hàm s
π
( )
y = 2 m 2 − 3 sin x − 2m sin 2x + 3m − 1 t c c ti u t i i m x =
3
?.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
( )
* Ta có : y ' = 2 m 2 − 3 cos x − 4m cos 2x ,
( )
y '' = −2 m 2 − 3 sin x + 8m sin 2x .
π π
i u ki n c n hàm s y t c c ti u t i i m x = là f ' = 0
3 3
⇔ m 2 + 2m − 3 = 0 ⇔ m = −3 ∨ m = 1 .
π π
i u ki n hàm s y t c c ti u t i i m x = là y '' > 0 .
3 3
π
(
Th t v y, y '' = − 3 m 2 − 4m − 3
3
)
π π
+ m = −3 , ta có y '' < 0 . Do ó hàm s tc c it i i m x = .
3 3
π π
+ m = 1 , ta có y '' > 0 . Do ó hàm s t c c ti u t i i m x = .
3 3
π
V y hàm s f x ( ) t c c ti u t i i m x =
3
khi và ch khi m = 1 .
Bài t p tương t :
1. Tìm m y = mx 3 + 3x 2 + 12x + 2 tc c i t i i mx = 2 .
60
- Nguy n Phú Khánh – à L t
x 2 + mx + 1
2. Xác nh giá tr tham s m hàm s y = t c c i t i x = 2.
x +m
3. Xác nh giá tr tham s m ( )
hàm s y = x 3 + m + 3 x 2 + 1 − m t c c
i t i x = −1.
x 2 + mx − 2
Ví d 2: Tìm m ∈ » hàm s y = có c c tr .
mx − 1
Gi i :
1
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » \
m
+ N u m = 0 thì y = x 2 − 2 ⇒ hàm s có m t c c tr
1
+ N u m ≠ 0 hàm s xác nh ∀x ≠
m
mx 2 − 2x + m
* Ta có y ' = . Hàm s có c c tr khi phương trình
(mx − 1)2
1
mx 2 − 2x + m = 0 có hai nghi m phân bi t khác
m
1 − m 2 > 0
⇔ 1 ⇔ −1 < m < 1 .
m − ≠0
m
V y −1 < m < 1 là nh ng giá tr c n tìm.
Bài t p tương t :
Tìm m th c a hàm s sau có c c tr :
(
1. y = x 3 − 3mx 2 + m + 2 x + 3m + 4 ) ( )
3. y = x 4 − 2 m − 4 x 2 + 2m − 5
( )
x2 − m + 1 x − m + 2 mx 2 − (m − 2 ) x − 1
2. y = 4. y =
x −1 x +2
Ví d 3: Ch ng minh r ng v i m i giá tr c a m ∈ » , hàm s
y=
( )
x2 − m m + 1 x + m3 + 1
luôn có c c i và c c ti u .
x −m
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \ m . { }
* Ta có:
x 2 − 2mx + m 2 − 1 ( )
g x
y' = 2
= 2 ( )
, x ≠ m , g x = x 2 − 2mx + m 2 − 1
( x −m ) ( x −m )
61
- Nguy n Phú Khánh – à L t
( ) ( )
D u c a g x cũng là d u c a y ' và ∆ 'g = m 2 − m 2 − 1 = 1 > 0 , ∀m .
( )
Do ó ∀m thì g x = 0 luôn có 2 nghi m phân bi t x 1 = m − 1, x 2 = m + 1
thu c t p xác nh .
* B ng bi n thiên:
x −∞ m −1 m m +1 +∞
y' + 0 − − 0 +
+∞ +∞
y
−∞ −∞
y' i d u t dương sang âm khi x qua i m x 1 = m − 1 thì hàm s tc c i
t i i m x1 = m − 1
y' i d u t âm sang dương khi x qua i m x 2 = m + 1 thì hàm s t c c ti u
t i i m x2 = m + 1
Bài t p tương t :
Tìm m th c a hàm s sau có m t c c i và c c ti u :
( m − 1 ) x − ( m − 1) x + m
2 1
1. y = 2. y =
3
( ) ( )
m + 1 x 3 + m + 1 x 2 + 2m + 1
x −1
Ví d 4 : Tìm m ( )
i m M 2; 0 là i m c c ic a th hàm s
y = −x 3 + mx 2 − 4 .
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có y ' = −3x 2 + 2mx , y '' = −6x + 2m .
( )
i m M 2; 0 là i m c c ic a th hàm s khi và ch khi :
y ' 2 = 0
() −12 + 4m = 0
m = 3
()
y '' 2 < 0 ⇔ −12 + 2m < 0 ⇔ ⇔m =3
y 2 = 0 −8 + 4m − 4 = 0 m < 6
()
Bài t p tương t :
1. Tìm m ( )
hàm s y = x 4 + m + 1 x 2 + m − 1 có i m c c ti u −1;1 . ( )
x2 + ( m − 1) x + m − 2
2. Tìm m hàm s y =
x +1
có i mc c (
i 2; −2 . )
Ví d 5 : Cho hàm s y = x 4 + 4mx 3 + 3(m + 1)x 2 + 1 . Tìm m ∈ » :
1. Hàm s có ba c c tr .
62
- Nguy n Phú Khánh – à L t
2. Hàm s có c c ti u mà không có c c i.
Gi i:
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có y ' = 4x 3 + 12mx 2 + 6(m + 1)x = 2x (2x 2 + 6mx + 3(m + 1))
x = 0
y' = 0 ⇔ 2
f (x ) = 2x + 6mx + 3m + 3 = 0
Nh n xét:
*N u y có hai nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 0 , khi ó y ' s i d u khi i qua ba
i m 0, x 1, x 2 khi ó hàm có hai c c ti u và 1 c c i.
*N u y có 1 nghi m x = 0 , khi ó y ' ch i d u t − sang + khi i qua m t
i m duy nh t nên hàm ch có m t c c ti u.
* N u y có nghi m kép ho c vô nghi m thì y ' ch i d u t - sang + khi i
qua x = 0 nên hàm t c c ti u t i x = 0 .
T trên ta th y hàm s luôn có ít nh t m t c c tr .
1. Hàm s có ba c c tr khi và ch khi y có hai nghi m phân bi t khác 0
∆ ' = 3(3m 2 − 2m − 2) > 0 1− 7 1+ 7
m < ∪m >
⇔ ⇔ 3 3 .
y(0) ≠ 0
m ≠ −1
2. Theo nh n xét trên ta th y hàm ch có c c ti u mà không có c c i
1− 7 1+ 7
⇔ hàm s không có ba c c tr ⇔ ≤m ≤ .
3 3
Chú ý:
1) i v i hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)
x = 0
Ta có y ' = 4ax 3 + 2bx = x (4ax 2 + b ) ⇒ y ' = 0 ⇔ 2
4ax + b = 0 (1)
b ≠ 0
* Hàm có ba c c tr ⇔ (1) có hai nghi m phân bi t khác 0 ⇔ .
ab < 0
Khi ó hàm có hai c c ti u, m t c c i khi a > 0 ; hàm có h i c c i, 1 c c
ti u khi a < 0 .
* Hàm có m t c c tr khi và ch khi (1) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có
∆ < 0 ab > 0
1 nghi m x = 0 ⇔ ⇔ . Khi ó hàm ch có c c ti u khi a > 0
y(0) = 0
b = 0
và ch có c c i khi a < 0 .
2) i v i hàm s b c b n y = ax 4 + bx 3 + cx 2 + d ,
63
- Nguy n Phú Khánh – à L t
x = 0
Ta có: y ' = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx ⇒ y ' = 0 ⇔ 2
4ax + 3bx + 2c = 0 (2)
* Hàm s có ba c c tr khi và ch khi (2) có hai nghi m phân bi t khác 0
9b 2 − 32ac > 0
⇔ . Khi ó hàm có hai c c ti u, m t c c i khi a > 0 ; hàm có
c ≠ 0
h i c c i, 1 c c ti u khi a < 0 .
* Hàm có m t c c tr khi và ch khi (2) có nghi m kép ho c vô nghi m ho c có
∆ < 0 9b 2 − 32ac < 0
1 nghi m x = 0 ⇔ ⇔ . Khi ó hàm ch có c c ti u
y(0) = 0
c = 0
khi a > 0 và ch có c c i khi a < 0 .
Bài t p tương t :
mx 2 + x + m
1. Tìm m hàm s y = không có c c i , c c ti u .
x +m
2. Tìm m hàm s y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1)x − 1 không có c c tr .
3. Xác nh các giá tr c a tham s k th c a hàm s
4
( )2
y = kx + k − 1 x + 1 − 2k ch có m t i m c c tr .
4. Xác nh m th c a hàm s y = x 4 − mx 2 + 3 có c c ti u mà không có
c c i.
Ví d 6 : Tìm m hàm s y = −2x + 2 + m x 2 − 4x + 5 có c c i.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
x −2 m
* Ta có y ' = −2 + m ; y" = .
2 2 3
x − 4x + 5 (x − 4x + 5)
+ N u m = 0 thì y = −2 < 0 ∀x ∈ » nên hàm s không có c c tr .
+ m ≠ 0 vì d u c a y '' ch ph thu c vào m nên hàm có c c i thì trư c
h t y " < 0 ⇔ m < 0 . Khi ó hàm s có c c i ⇔ Phương trình y ' = 0 có
nghi m (1).
Ta có: y ' = 0 ⇔ 2 (x − 2)2 + 1 = m(x − 2) (2) .
t t = x − 2 thì (2) tr thành :
t ≤ 0 t ≤ 0
2
mt = 2 t + 1 ⇔ 2 2 ⇔2 1 ⇒ (1) có nghi m
(m − 4)t = 1
t = 2
m −4
⇔ m 2 − 4 > 0 ⇔ m < −2 (Do m < 0 ).
V y m < −2 thì hàm s có c c i.
64
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
