Chưng 2. Ma tr n – Đ nh th cơ ậ ị ứ
Chưng 2: ơMA TR N VÀ Đ NH TH CẬ Ị Ứ
Bài 1: Khái ni m ma tr n và các phép toán trên ma tr nệ ậ ậ
______________________________________________________
1. Ma tr n:ậ
1.1 Đ nh nghĩa:ị
Ma tr n m dòng, n c t trên tr ng s ậ ộ ườ ố K (
,ﾡ ﾡ
) là m t b ng s hình ch nh t g m m dòng,ộ ả ố ữ ậ ồ
n c t, m i s trong ma tr n thu c tr ng và đ c g i là m t ph n t c a ma tr n. ộ ỗ ố ậ ộ ườ ượ ọ ộ ầ ử ủ ậ
Ta ký hi u t p các ma tr n là M(m, n; ệ ậ ậ K) và m i ma tr n thu c M(m, n; ỗ ậ ộ K) đ c vi t chiượ ế
ti t là:ế
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
� �
� �
� �
� �
� �
� �
M M O M
ho c ặ
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
� �
� �
� �
� �
� �
� �
M M O M
Hay vi t g n là ế ọ
( )
ij m n
A a
=
ho c ặ
[ ]
ij m n
A a
=
trong đó
1,i m=
ch s dòng và ỉ ố
1,j n=
ch sỉ ố
c t c a ph n t . ộ ủ ầ ử
Hai ma tr n ậ
( )
ij m n
A a
=
và
( )
ij m n
B b
=
đ c g i là ượ ọ b ng nhauằ n u ế
ij ij
a b=
v i m i ớ ọ
1,i m=
và
1,j n=
.
Ví d :ụ Ma tr n ậ
2x3
3 3
1 2 3
1 2 3 ; 4 5 6
4 5 6 789
x
A B
� �
� � � �
= =
� � � �
� � � �
� �
1.2 M t s d ng ma tr n đ c bi t:ộ ố ạ ậ ặ ệ
1.2.1 Ma tr n vuông: ậ
Trong tr ng h p s dòng và s c t c a hai ma tr n b ng nhau thì ta có khái ni m ườ ợ ố ố ộ ủ ậ ằ ệ ma tr nậ
vuông. Ký hi u t p các ma tr n vuông là M(n; K), v i n là c p c a ma tr n vuông. ệ ậ ậ ớ ấ ủ ậ
A=
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a a
a a a
� �
� �
� �
� �
� �
� �
M M O M
Trong ma tr n vuông các ph n t ậ ầ ử
là các ph n t n m trên đ ng chéo chính,ầ ử ằ ườ
các ph n t ầ ử
1 ( 1)2 1
, ,...,
n n n
a a a
−
là các ph n t n m trên đ ng chéo ph . ầ ử ằ ườ ụ
Ví d : ụ
1 2
3 4
A� �
=� �
� �
là ma tr n vuông c p hai và ậ ấ
1 2 3
4 5 7
7 8 9
B
� �
� �
=� �
� �
� �
là m t ma tr n vuông c p 3. ộ ậ ấ
Ph n t n m trên đ ng chéo chính c a ma tr n ầ ử ằ ườ ủ ậ A là 1; 4. Ph n t n m trên đ ng chóầ ử ằ ườ
chính c a ma tr n ủ ậ B là 1, 5, 9.
Đ i s tuy n tínhạ ố ế 1
23
Chưng 2. Ma tr n – Đ nh th cơ ậ ị ứ
1.2.2 Ma tr n dòng, ma tr n c t:ậ ậ ộ
N u m = 1 thì ma tr n ch có m t dòng, đ c g i là ế ậ ỉ ộ ượ ọ ma tr n dòngậ. T ng t , n u n = 1 thìươ ự ế
ta có ma tr n ch có m t c t, đ c g i là ậ ỉ ộ ộ ượ ọ ma tr n c tậ ộ . Ma tr n dòng và ma tr n c t th ngậ ậ ộ ườ
đ c g i là ượ ọ vect dòngơ và vect c t.ơ ộ
M t s thu c tr ng K đ c g i là ma tr n m t dòng, m t c t.ộ ố ộ ườ ượ ọ ậ ộ ộ ộ
Ví d : ụ
Ma tr n dòng: ậ
[ ]
1 2 3 4A=
và ma tr n c t ậ ộ
1
5
7
B
��
��
=��
��
��
1.2.3 Ma tr n khôngậ
Ma tr n có t t c các ph n t đ u b ng 0 đ c g i là ậ ấ ả ầ ử ề ằ ượ ọ ma tr n khôngậ. Ta dùng s 0 đố ể
bi u th cho m i ma tr n không c p m x n.ể ị ọ ậ ấ
Ví d : ụ
Ma tr n 0 c p 2x3: ậ ấ
000
000
� �
� �
� �
1.2.4 Ma tr n chéoậ
Ma tr n vuông có các ph n t ngoài đ ng chéo chính đ u b ng 0 và các ph n t trênậ ầ ử ườ ề ằ ầ ử
đ ng chéo chính khác không đ c g i là ườ ượ ọ ma tr n chéo (hay ma tr n đ ng chéo)ậ ậ ườ . Ma tr nậ
chéo c p n có d ngấ ạ
A=
11
22
0 ... 0
0 ... 0
0 0 ...
nn
a
a
a
� �
� �
� �
� �
� �
� �
M M O M
( )
0, :1,
ii
a i n ∀
Ví d : ụ
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 4
C
� �
� �
−
� �
=� �
� �
� �
Nh n xét: ậMa tr n đ ng chéo th ng đ c ký hi u b i ậ ườ ườ ượ ệ ở
1 2
diag( , ,..., )
n
a a a
v i các ph n tớ ầ ử
trên đ ng chéo chính là ườ
1 2
, ,...,
n
a a a
1.2.5 Ma tr n đ n v :ậ ơ ị
Ma tr n chéo c p n, có t t c các ph n t trên đ ng chéo chính đ u b ng 1, đ c g i làậ ấ ấ ả ầ ử ườ ề ằ ượ ọ
ma tr n đ n vậ ơ ị, ký hi u ệ
n
I
1.2.6 Ma tr n tam giácậ
Ma tr n có các ph n t trên (ho c d i) đ ng chéo chính b ng 0 đ c g i là ậ ầ ử ở ặ ướ ườ ằ ượ ọ ma tr nậ
tam giác
Đ i s tuy n tínhạ ố ế 1
24
Chưng 2. Ma tr n – Đ nh th cơ ậ ị ứ
A =
11 12 1
22 2
...
0 ...
0 0 ...
n
n
nn
a a a
a a
a
� �
� �
� �
� �
� �
� �
M M O M
Trong đó
0
ij
a=
khi i> j đ c g i là ượ ọ ma tr n tam giác trên.ậ
Ví d : ụ
1 2 3 4
0 4 3 2
0 0 1 2
0 0 0 5
A
� �
� �
� �
=� �
� �
� �
là ma tr n tam giác trênậ
B =
11
21 22
1 2
0 ... 0
... 0
...
n n nn
b
b b
b b b
� �
� �
� �
� �
� �
� �
M M O M
Trong đó
0
ij
b=
khi i < j đ c g i là ượ ọ ma tr n tam giác d iậ ướ .
Ví d : ụ
300
1 2 0
011
B
� �
� �
=� �
� �
� �
là ma tr n tam giác d i. ậ ướ
Nh n xét:ậ Ma tr n tam giác trên và ma tr n tam giác d i đ c g i chung là ậ ậ ướ ượ ọ ma tr n tamậ
giác.
1.2.7 Ma tr n chuy n vậ ể ị
a) Đ nh nghĩa:ị
Cho ma tr n ậA, ma tr n chuy n vậ ể ị c a ma tr n ủ ậ A, ký hi u ệ
T
A
là ma tr n mà trong đó, vai tròậ
c a dòng và c t hoán chuy n cho nhau nh ng v n gi nguyên ch s c a chúng. ủ ộ ể ư ẫ ữ ỉ ố ủ
Gi s ta có ma tr n A= ả ử ậ
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
� �
� �
� �
� �
� �
� �
M M O M
thì khi đó ma tr n chuy n v c a ma tr n A làậ ể ị ủ ậ
11 21 1
12 22 2
1 2
...
...
...
m
m
T
n n mn
a a a
a a a
A
a a a
� �
� �
� �
=� �
� �
� �
M M O M
N u ma tr n ế ậ A có c p là m x n thì ma tr n ấ ậ
T
A
có c p là n x m. ấ
Tr ng h p đ c bi t chuy n v c a ma tr n c t là ma tr n dòng và ng c l i chuy n vườ ợ ặ ệ ể ị ủ ậ ộ ậ ượ ạ ể ị
c a ma tr n dòng là ma tr n c t.ủ ậ ậ ộ
Ví d :ụ
Ma tr n ậ
1 2 3 4
5 6 7 8
9 1 2 3
A
� �
� �
=� �
� �
� �
thì ma tr n chuy n v c a ma tr n ậ ể ị ủ ậ A là
1 5 9
2 6 1
3 7 2
4 8 3
T
A
� �
� �
� �
=� �
� �
� �
Đ i s tuy n tínhạ ố ế 1
25
Chưng 2. Ma tr n – Đ nh th cơ ậ ị ứ
b) Đ nh lý: ịCho các ma tr n ậ
x
, ( )
m n
A B M K
. Khi đó ta có các kh ng đ nh sau: ẳ ị
( )
T
T
A A
=
.
T T
A B A B= =�
1.2.8 Ma tr n đ i x ng – Ma tr n ph n đ i x ng: ậ ố ứ ậ ả ố ứ
N u ma tr n vuông A th a ế ậ ỏ
T
A A
=
thì ta nói A là ma tr n đ i x ngậ ố ứ .
Ví d : ụMa tr n ậ
1 2 3
2 1 0
301
A
� �
� �
=� �
� �
� �
là m t ma tr n đ i x ng c p3. ộ ậ ố ứ ấ
Ma tr n ậ
1 2 3 4
2 0 1 2
3 1 1 0
4 2 0 3
A
� �
� �
−
� �
=� �
− −
� �
� �
là ma tr n đ i x ng c p 4.ậ ố ứ ấ
N u ma tr n vuông ế ậ A th aỏ
T
A A= −
thì A ma tr n ph n đ i x ngậ ả ố ứ .
Ví d : ụ
Ma tr n ậ
0 2 3 4
2 0 5 1
3 5 0 3
4 1 3 0
B
−
� �
� �
− −
� �
=� �
−
� �
−
� �
là ma tr n ph n đ i x ng. ậ ả ố ứ
Đ nh lý:ị N u A là ma tr n đ i x ng thì ế ậ ố ứ
, , 1,
ij ji
a a i j n= ∀ =
N u A là ma tr n ph n x ng thì ế ậ ả ứ
, , 1,
ij ji
a a i j n
= − ∀ =
, t đây suy ra ừ
0
ii
a=
(các ph n t trênầ ử
đ ng chéo chính b ng 0).ườ ằ
1.2.9 Ma tr n b c thang: ậ ậ
N u m t ma tr n trên ế ộ ậ K có các dòng khác 0 n m bên trên các dòng 0, đ ng th i trên haiằ ồ ờ
dòng khác 0, ta có các ph n t khác 0 đ u tiên c a dòng d i n m bên ph i ph n t khác 0ầ ử ầ ủ ướ ằ ả ầ ử
đ u tiên c a dòng trên thì ma tr n đó đ c g i là ma tr n b c thang trên ầ ủ ậ ượ ọ ậ ậ K.
Ví d :ụ Ma tr n ậ
0 3 12 1 7 0
0 0 1 2 3 4
0 0 0 0 4 5
0 0 0 0 0 0
B
−
� �
� �
� �
=� �
� �
� �
là ma tr n b c thang có ba dòng khác 0.ậ ậ
1.3 Các phép bi n đ i s c p trên dòng c a ma tr n: ế ổ ơ ấ ủ ậ bao g m các phép bi n đ i sauồ ế ổ
i. Đ i ch hai dòng i và dòng j c a ma tr n cho nhau.ổ ổ ủ ậ
ii. Nhân dòng th i v i m t s khác không.ứ ớ ộ ố
iii. C ng dòng th i v i dòng th j nhân v i m t s ộ ứ ớ ứ ớ ộ ố
λ
v i ớ
i j
.
N u thay t dòng b ng t c t ta có các phép bi n đ i s c p trên c t.ế ừ ằ ừ ộ ế ổ ơ ấ ộ
Ma tr n ậB đ c g i là ượ ọ t ng đ ng dòngươ ươ v i ma tr n ớ ậ A n u có m t s h u h n phép bi nế ộ ố ữ ạ ế
đ i s c p dòng bi n ma tr n ổ ơ ấ ế ậ A thành ma tr n ậB.
Nh n xét:ậ
- Các phép bi n đ i s c p trên dòng, c t đ c g i chung là các phép bi n đ i s c p. ế ổ ơ ấ ộ ượ ọ ế ổ ơ ấ
Đ i s tuy n tínhạ ố ế 1
26
Chưng 2. Ma tr n – Đ nh th cơ ậ ị ứ
- Quan h t ng đ ng dòng là m t quan h t ng đ ng v i các tính ch t ph n x ; đ iệ ươ ươ ộ ệ ươ ươ ớ ấ ả ạ ố
x ng; b c c u. ứ ắ ầ
- M t ma tr n vuông c p n trên ộ ậ ấ K nh n đ c t ma tr n đ n v ậ ượ ừ ậ ơ ị
n
I
qua duy nh t m t phépấ ộ
bi n đ i s c p đ c g i là ma tr n s c p. ế ổ ơ ấ ượ ọ ậ ơ ấ
Ví d : ụ
3
100
0 1 0
001
I
� �
� �
=� �
� �
� �
thì có các ma tr n s c p nh n đ c t ậ ơ ấ ậ ượ ừ
3
I
qua các phép bi n đ i s c p là:ế ổ ơ ấ
1
0 0 1
0 1 0
1 0 0
S
� �
� �
=� �
� �
� �
v i ớ
1 4
3 1
d d
I S
2
1 0 0
0 1 0
0 0 4
S
� �
� �
=� �
� �
� �
v i ớ
3 3
4
3 2
d d
I S
3
1 0 2
0 1 0
0 0 1
S
� �
� �
=� �
� �
� �
v i ớ
1 1 4
2
3 3
d d d
I S
+
2. Các phép toán trên ma tr nậ
2.1 Phép c ng các ma tr nộ ậ
2.1.1 Đ nh nghĩa: ịT ng c a hai ma tr nổ ủ ậ
( )
ij m n
A a
=
và
( )
ij m n
B b
=
là m t ma tr nộ ậ
( )
ij m n
C c
=
v i ớ
ij ij ij
c a b= +
. T ng hai ma tr n đ c ký hi u C = A+B.ổ ậ ượ ệ
11 12 1 11 12 1 11 11 12 12 1 1
21 22 2 21 22 2 21 21 22 22 2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
... ... ...
... ... ...
... ... ...
n n n n
n n n n
m m mn m m mn m m m m mn mn
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
a a a b b b a b a b a b
+ + +
� � � � � �
� � � � � �
+ + +
� � � � � �
+ =
� � � � � �
� � � � � �
+ + +
� � � � � �
M M O M M M O M M M O M
2.1.2 Ví d : ụ
1 2 3
2 1 4
A
−
� �
=� �
−
� �
và
0 2 1
1 3 4
B� �
=� �
−
� �
. Khi đó,
1 0 4
3 2 0
A B � �
+ = � �
� �
2.2 Phép nhân ma tr n v i m t s :ậ ớ ộ ố
2.2.1 Đ nh nghĩa:ị Tích c a ma tr n ủ ậ
( )
ij m n
A a
=
v i s ớ ố
λ
thu đ c b ng cách nhân cácượ ằ
ph n t c a ma tr n ầ ử ủ ậ A v i s ớ ố
λ
, ký hi u ệ
A
λ
. Ta có,
( )
ij m n
A a
λ λ
=
2.2.2 Ví d : ụ
4 2 3 8 4 6
27 3 2 14 6 4
− − −
� � � �
− =
� � � �
− − −
� � � �
V i ớA và B là hai ma tr n c p m x n, ta ký hi u ậ ấ ệ A + (-1)B = A – B, g i là phép tr c a haiọ ừ ủ
ma tr n.ậ
Đ i s tuy n tínhạ ố ế 1
27