zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Chia sẻ: Abcdef_37 Abcdef_37 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Báo xấu

96
lượt xem 20
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong các đề thi Đại học chủ đề về nguyên hàm tích phân rất được quan tâm vì phần này khá hay và cũng khó, đa phần học sinh thường bỏ qua câu này, nhưng với phần tài liệu này sẽ cung cấp những bài tập điển hình giúp các em đạt được điểm trọn vẹn trong phần này.Mời các bạn tham khảo nhé

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG A. Tóm tắt lí thuyết I. Giới hạn hàm số 1. Định nghĩa: 1.1. Giới hạn hàm số: Cho khoảng K chứa điểm x 0 . Ta nói rằng hàm số f (x) xác định trên K (có thể trừ điểm x 0 ) có giới hạn là L khi x dần tới x 0 nếu với dãy số (x n ) bất kì, x n Î K \ {x 0 } và x n ® x 0 , ta có: f(x n ) ® L . Ta kí hiệu: lim f(x) = L hay f (x) ® L khi x ® x 0 . x ® x0 1.2.Giới hạn một bên: * Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (x 0 ; b) .Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x ) khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy (xn ) : x 0 < xn < b mà xn ® x 0 thì ta có: f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . + x ®x 0 * Cho hàm số y = f (x ) xác định trên (a; x 0 ) .Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x ) khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy (xn ) : a < xn < x 0 mà xn ® x 0 thì ta có: f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . - x ®x 0 lim f (x ) = L Û lim f (x ) = lim f (x ) = L . Chú ý: Ta có: x ®x 0 x ®x + x ®x - 0 0 1.3. Giới hạn tại vô cực * Ta nói hàm số y = f (x ) xác định trên (a; +¥) có giới hạn là L khi x ® +¥ nếu với mọi dãy số (xn ) : xn > a và xn ® +¥ thì f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . x ®+¥ Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 * Ta nói hàm số y = f (x ) xác định trên (-¥; b ) có giới hạn là L khi x ® -¥ nếu với mọi dãy số (xn ) : xn < b và xn ® -¥ thì f (xn ) ® L . Kí hiệu: lim f (x ) = L . x ®-¥ 1.4.Giới hạn vô cực * Ta nói hàm số y = f (x ) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x dần tới x 0 nếu với mọi dãy số (xn ) : xn ® x 0 thì f (xn ) ® +¥ . Kí hiệu: lim f (x ) = +¥ . x ®x 0 * Tương tự ta cũng có định nghĩa giới hạn dần về âm vô cực * Ta cũng có định nghĩa như trên khi ta thay x 0 bởi -¥ hoặc +¥ . 2. Các định lí về giới hạn Định lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (mẫu số dẫn về L ¹ 0 ) khi x ® x 0 (hay x ® +¥; x ® -¥ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x ® x 0 (hay x ® +¥; x ® -¥ ) . Chú ý: Định lí trên ta chỉ áp dụng cho những hàm số có giới hạn là hữu hạn. Ta không áp dụng cho các giới hạn dần về vô cực Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba hàm số f (x ), g(x ), h(x ) xác định trên K chứa điểm x 0 (có thể các hàm đó không xác định tại x 0 ). Nếu g (x ) £ f (x ) £ h (x ) "x Î K và lim g(x ) = lim h(x ) = L thì lim f (x ) = L . x ®x 0 x ®x 0 x ®x 0 3. Một số gới hạn đặc biệt x 2k +1 = +¥ (-¥) x 2k = +¥ lim lim * ; x ®+¥ x ®+¥ (x ®-¥) (x ®-¥) k * lim f (x ) = +¥ (-¥) Û lim = 0 (k ¹ 0) x ® x 0 f (x ) x ®x 0 sin x x = lim = 1 , từ đây suy ra * lim x ®0 x x ® 0 sin x tan x x = lim = 1. lim x ®0 x x ® 0 tan x Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 1 1 lim (1 + )x = e * lim (1 + x ) = x x x ®0 x ®±¥ ex - 1 ln(1 + x ) Þ lim = lim =1 x x ®0 x x ®0 Chú ý : Ta thường sử dụng các giới hạn đặc biệt trên để tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn các hàm số lượng giác và giới hạn hàm lũy thừa, mũ và logarít. II. Hàm số liên tục 1. Định nghĩa : *Cho hàm số y = f (x ) xác định trên khoảng K và x 0 Î K . y = f (x ) liên tục tại x 0 Û lim f (x ) = f (x 0 ) . x ®x 0 * y = f (x ) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó () * y = f (x ) liên tục trên đoạn éa;b ù nếu nó liên tục trên a;b ëû và lim f (x ) = f (a ) , lim f (x ) = f (b) x ®a + x ®b - 2. Định lý : Định lý 1 : a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Định lý 2 : Các hàm số y = f (x ) , y = g (x ) liên tục tại x 0 . Khi đó () fx liên tục nếu g(x 0 ) ¹ 0 tổng,hiệu,tích liên tục tai x0,thương y = g (x ) Định lý 3 : Cho hàm số f liên tục trên đoạn éa;b ù .Nếu f (a ) ¹ f (b) ëû và M là một số nằm giữa f (a ) , f (b) thì tồn tại ít nhất một số () c Î a;b sao cho f (c) = M Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn éa;b ù . ëû () Nếu f (a ) f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c Î a;b sao cho f (c) = 0 . III. Đạo hàm Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 1. Đạo hàm tại một điểm Hàm số y = f (x ) liên tục trên (a;b ) , được gọi là có đạo hàm tại f (x ) - f (x 0 ) x 0 Î (a;b) nếu giới hạn sau tồn tại (hữu hạn): lim và x - x0 x ®x 0 giá trị của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 .Ta kí hiệu f '(x 0 ) . f (x ) - f (x 0 ) Vậy f '(x 0 ) = lim x - x0 x ®x 0 2. Đạo hàm bên trái, bên phải f (x ) - f (x 0 ) f (x ) - f (x 0 ) + - f '(x 0 ) = lim f '(x 0 ) = lim . . x - x0 x - x0 x ®x + - x ®x 0 0 + - Hệ quả : Hàm f (x ) có đạo hàm tại x 0 Û $ f (x 0 ) và f '(x 0 ) đồng + - thời f '(x 0 ) = f '(x 0 ) . 3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn * Hàm số f (x ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) . * Hàm số f (x ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b ] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b - ) và đạo hàm phải f '(a + ) . 4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục Định lí: Nếu hàm số f (x ) có đạo hàm tại x 0 thì f (x ) liên tục tại x0 . Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x 0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x 0 . Chẳng hạn: Xét hàm f (x ) =| x | liên tục tại x = 0 nhưng không liên tục tại điểm đó. f (x ) - f (0) f (x ) - f (0) Vì lim = 1 , còn lim = -1 . x x + - x ®0 x ®0 IV. Nguyên hàm Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 1. Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F '(x ) = f (x ) "x Î K . 2. Các tính chất Định lí 1. Nếu F là một nguyên hàm của hàm f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F (x ) + C , C Î ¡ . Do vậy F (x ) + C gọi là họ nguyên hàm của hàm f trên K và được kí hiệu ò f (x )dx = F (x ) + C . Định lí 2. Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Định lí 3. Nếu f , g là hai hàm liên tục trên K thì: a) ò [f (x ) + g(x )]dx = ò f (x )dx + ò g(x )dx b) ò k .f (x )dx = k ò f (x )dx với mọi số thực k ¹ 0 . ò f (x )dx = F (x ) + C Định lí 4. Nếu thì ò f (u(x )).u '(x )dx = ò f (u(x )).d(u(x )) = F (u(x )) + C . 3. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp Các hàm sơ cấp thường gặp Nguyên hàm các hàm hợp (u = u(x )) ò xdx = x + C * ò udu = u + C * ua + 1 * a * ò u du = +C a +1 x a +1 a ò x dx = + C (a ¹ -1) a +1 du = ln | u | +C ò * u dx = ln | x | +C ò * x * ò eu du = eu + C * ò e x dx = e x + C Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 ax au * ò a x dx = * ò a u du = +C +C ln a ln a ò sin xdx = - cos x + C ò sin u.du = - cos u + C * * ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C * * dx du = tan x + C = tan u + C ò ò * * cos2 x cos2 u dx du = - cot x + C = - cot u + C ò ò * * sin2 x sin2 u dx dx = 2 x +C = 2 u +C ò ò * * x u Nếu u = ax + b thì ta có: dx 1 ò ax + b = a ln | ax + b | +C * 1 ax +b * ò eax +bdx = e +C a cos(ax + b) * ò sin(ax + b)dx = - +C a sin(ax + b) * ò cos(ax + b)dx = +C a dx 1 tan(ax + b) + C *ò = a cos2 (ax + b) dx 1 cot(ax + b ) + C *ò =- a sin2 (ax + b) dx 2 ax + b + C *ò = a ax + b Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 4. Các phương pháp tính nguyên hàm ò f (x )dx , ta phân tích Phương pháp phân tích: Để tìm nguyên hàm f (x ) = k1.f1(x ) + k2 .f2 (x ) + ... + kn .fn (x ) Trong đó: f1(x ), f2 (x ),..., fn (x ) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm ò f (x )dx = k1 ò f1(x )dx + k2 ò f2 (x )dx + ... + kn ò fn (x )dx . Khi đó: Phương pháp từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên éa;b ù và có đạo hàm liên tục ëû ò udv = uv - ò vdu trên éa;b ù . Khi đó : (1) ëû b Để tính tích phân I = ò f (x )dx bằng phương pháp từng phần ta làm a như sau: () () B1: Chọn u, v sao cho f x dx = udv (chú ý: dv = v’ x dx ). Tính v = ò dv và du = u ' .dx . B2: Thay vào công thức (1) và tính ò vdu . Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ò vdu dễ tính hơn ò udv . Ta thường gặp các dạng sau é sin x ù Dạng 1 : I = ò P (x ) ê ú dx , trong đó P (x ) là đa thức ê cos x ú ë û ésin x ù Với dạng này, ta đặt u = P (x ), dv = ê ú dx . êcos x û ú ë Dạng 2 : vI = ò (x )eax +bdx Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 ìu = P (x ) ï , trong đó P (x ) là đa thức Với dạng này, ta đặt í ax +b ïdv = e dx î Dạng 3 : I = ò P (x )ln(mx + n )dx ìu = ln(mx + n ) ï Với dạng này, ta đặt í . ïdv = P (x )dx î ésin x ù x Dạng 4 : I = ò ê ú e dx êcos x ú ë û ì ésin x ù ì ésin x ù ïu = ê ïu = ê ú ú ï ï êcos x ú để tính ò vdu ta đặt êcos x ú . Với dạng này, ta đặt í í ë û ë û ï ï x x ïdv = e dx ïdv = e dx î î Phương pháp đổi biến số Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = ò f (x )dx , trong đó ta có thể phân tích ( ) f (x ) = g u(x ) u '(x )dx thì ta thức hiện phép đổi biến số t = u(x ) Þ dt = u '(x )dx . Khi đó: I = ò g(t )dt = G (t ) + C = G (u(x )) + C Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t = u(x ) III. Tích phân 1.Định nghĩa: Cho hàm số y = f (x ) liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K , F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) trên K . Hiệu số F (b ) - F (a ) gọi là tích phân của của f (x ) từ a đến b và được kí hiệu: b b ò f (x )dx = F (x ) a = F (b) - F (a ) . a 2. Các tính chất của tích phân: Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 a a b ò f (x )dx = 0 ò f (x )dx = - ò f (x )dx 1) 2) a b a b b 3) ò k .f (x )dx = k .ò f (x )dx a a b b b 4) ò [f (x ) ± g(x )]dx = ò f (x )dx ± ò g(x )dx a a a b c b ò f (x )dx = ò f (x )dx + ò f (x )dx . 5) a a c b b ò f (x )dx ³ ò g(x )dx . 6) Nếu f (x ) ³ g(x ) "x Î éa;b ù thì ëû a a 3. Các phương pháp tính tích phân b Phương pháp phân tích : Để tính tích phân I = ò f (x )dx ta phân a tích f (x ) = k1 f1(x ) + ... + km fm (x ) . Trong đó các hàm fi (x ) (i = 1, 2, 3,..., n ) có trong bảng nguyên hàm. Phương pháp đổi biến số loại 1 b Giả sử cần tính I = ò f (x )dx ta thực hiện các bước sau a B1: Đặt x = u(t ) (với u(t ) là hàm có đạo hàm liên tục trên [a ;b ] , f (u(t )) xác định trên [a ;b ] và u(a ) = a, u(b ) = b ) và xác định a , b . B2: Thay vào ta có: b b () b I= ò f (u(t )).u '(t )dt = ò g(t )dt = G (t ) a = G(b ) - G a . a a Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a 2 - b 2x 2 ta thường đặt a x = sin t b Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 * Hàm số dưới dấu tích phân chứa b 2x 2 - a 2 ta thường đặt a x= b sin t a * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a 2 + b 2x 2 ta thường đặt x = tgt b x (a - bx ) ta thường đặt * Hàm số dưới dấu tích phân chứa a sin2 t x= b Phương pháp đổi biến số loại 2 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là loại 2) như sau. b Để tính tích phân I = ò f (x )dx , nếu f (x ) = g[u(x )].u '(x ) , ta có thể a thực hiện phép đổi biến như sau B1: Đặt t = u(x ) Þ dt = u '(x )dx . Đổi cận x = a Þ t = u(a ), x = b Þ t = u(b ) u (b ) g(t )dt = G (t ) b . ò B2: Thay vào ta có I = a u (a ) Phương pháp từng phần : Cho hai hàm số u và v liên tục trên [a;b] b b b ò udv = uv - ò vdu và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó : a a a (1) III. Ứng dụng tích phân 1. Tính diện tích hình phẳng Định lí 1. Cho hàm số y = f (x ) liên tục, không âm trên éa;b ù . ëû y Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x ) , trục hoành và hai đường thẳng y = f (x ) b S = ò f (x )dx . x = a, x = b là: a a x b O Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 () Bài toán 1: Cho hàm số y = f x liên tục trên éa;b ù . Khi đó diện ëû () tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = f x ; trục Ox : ( y = 0 ) và hai đường thẳng x = a; x = b là: b ò f (x ) dx . S= a Bài toán 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ () ()( ) () thị: C 1 : y = f x , C 2 : y = g x và hai đường đường thẳng x = a, x = b . Được xác y y = f (x ) b òa ( ) () định bởi công thức: S = f x - g x dx . y = g(x ) Chú ý: a O b 1) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: () () () * Giải phương trình : f x = g x tìm nghiệm x1, x 2,..., x n Î a;b (x1 < x2 < ... < xn ) . Tính: x1 x2 b () () () () () () S= f x - g x dx + ò f x - g x dx +... + ò f x - g x dx òa x1 xn ( f (x ) - g (x )) dx + ... + òxb ( f (x ) - g (x )) dx . x1 òa = n Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng () ()( ) () giới hạn bởi hai đồ thị C 1 : y = f x , C 2 : y = g x . Khi đó, ta xn ò | f (x ) - g(x ) | dx . Trong đó: x1, xn có công thức tính như sau: S = x1 tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình : f (x ) = g (x ) . 2. Tính thể tích khối tròn xoay a. Tính thể tích của vật thể Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 Định lí 2. Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với trục Ox lần lượt tại x = a, x = b (a < b ) . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x (a £ x £ b) cắt C theo một thiết diện có diện tích S (x ) . Giả sử S (x ) là hàm liên tục trên [a;b ] . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp(P) và (Q) được tính theo công b thức: V = ò S (x )dx . a b.Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các đường y y = f (x ); y = 0; x = a; x = b quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt y = f (x ) phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng x là một hình tròn có bán kính R =| f (x ) | nên diện tích thiết diện bằng x a O b x S (x ) = p R2 = p f 2 (x ) . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức : b b V = ò S (x )dx = p ò f 2 (x )dx . a a Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y = f (x ), y = g(x ), x = a, x = b (Với f (x ).g(x ) ³ 0 "x Î [a;b ] ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính b V = p ò f 2 (x ) - g 2 (x ) dx . bởi công thức: a Bài toán 2. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x = g (y ), y = a, y = b, Oy quanh trục b 2 Oy được tính theo công thức: V = p ò g (y )dy . a B. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1.3. Tìm các họ nguyên hàm sau Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 1 + tan2 x )dx 2) I = ò cos4 2xdx 1) I = ò (3 sin x - 2 cos x + 2 sin x sin 4 x 2x + 1 I= ò cos2 x dx 4) I = ò x 3 - 3x + 2 dx 3) . Lời giải. 1 + 1 + tan2 x - 1)dx 1) Ta có: I = ò (3 sin x - 2 cos x + 2 sin x = -3 cos x - 2 sin x - cot x + tan x - x + C . ) ( 1 1 2 ( ) 2) Ta có: cos4 2x = 1 + 2 cos 4x + cos2 4x 1 + cos 4x = 4 4 1 + cos 8x ö 1 1æ ( ) ç 1 + 2 cos 4x + ÷ = 3 + 4 cos 4x + cos 8x = 4è 2 ø8 1 1æ 1 ö ÞI = (3 + 4 cos 4x + cos 8x )dx = ç 3x + sin 4x + sin 8x ÷ + C 8ò 8è 8 ø æ1 ö + cos2 x - 2 ÷ dx 3) Ta có: I = ò ç è cos2 x ø dx 1 3 1 () = tan x - 2x + ò + ò cos 2xd 2x = tan x - x + sin 2x + C . 24 2 4 2x + 1 2x + 1 a b c = = + + 4) Ta có: x -1 x +2 x 3 - 3x + 2 (x - 1)2 (x + 2) (x - 1)2 a(x + 2) + b(x - 1)(x + 2) + c(x - 1)2 = (x - 1)2 (x + 2) Û 2x + 1 = a(x + 2) + b(x - 1)(x + 2) + c(x - 1)2 (1) 1 1 Ở (1) ta cho x = 1; x = -2; x = 0 ta có tìm được: a = 1;b = ;c = - 3 3 æ1 11ö 11 Þ I = òç ÷ dx + - ç (x - 1)2 3 x - 1 3 x + 2 ÷ è ø Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 1 x -1 1 1 1 1 + ln | x - 1 | - ln | x + 2 | +C = - + ln +C =- x -1 3 3 x -1 3 x +2 Ví dụ 2.3. Tính các tích phân sau p 1 2 2 2 x p 2 2) I = ò | x 2 - x | dx 3) I = ò sin (2x - 4 )dx 1) I = ò x + 1dx 0 0 0 p 3 x 2 + 2x + 3 2 cos x 5) I = ò sin x + 2 cos xdx . 4) I = ò dx x3 - x 2 0 Lời giải. 1 1 x2 1 1) Ta có: I = ò dx = ò (x - 1 + )dx x +1 x +1 0 0 1 1 1 = [ x 2 - x + ln(x + 1)] = ln 2 - . 2 2 0 ìx 2 - x khi x Î [1;2] ï 2 2) Ta có: | x - x |= í 2 ï -x + x khi x Î [0;1] î 1 2 Nên I = ò (-x 2 + x )dx + ò (x 2 - x )dx 0 1 1 2 æ x3 x2 ö æ x 3 x2 ö = 1. = ç- + ÷ +ç - ÷ ç3 2÷ ç3 2÷ è ø è ø 0 1 p p 2 2 1 1 p 3) Ta có: I = ò [1 - cos(4x - 2 )]dx = 2 ò (1 - sin 4x )dx 20 0 p 1é 1 ù p = êx + cos 4x ú = 2 . 2ë 4 4 0 û 4) Ta phân tích: x 2 + 2x + 3 = ax (x - 1) + bx (x + 1) + c(x - 1)(x + 1) Cho x = 0; x = -1; x = 1 ta tìm được: a = 1;b = 3; c = -3 Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 3 é1 3 3ù 3 Þ I = òê ú dx = éln | x + 1 | +3 ln | x - 1 | -3 ln x ù |2 + - ë û ëx + 1 x - 1 xû 2 4 Þ I = 8 ln 2 - 4 ln 3 = 4 ln . 3 5) Ta xác định a, b sao cho: 2 1 cos x = a(sin x + 2 cos x ) + b(cos x - 2 sin x ) Þ a = ,b = 5 5 p p 2 2 1 cos x - 2 sin x 2 1 ÞI = ò ( 5 + 5 sin x + 2 cos x )dx = ( 5 x + 5 ln | sin x + 2 cos x |) 2 0 0 p - ln 2 = . 5 Ví dụ 3.3. Tính các tích phân sau 3 1 2 x x +1 1) I = dx 2) I = dx ò ò x (2 - x ) 2 3 + 2x - x 0 1 0 1 x dx 4) I = dx . 3) I = ò ò (x 2 + 2x + 2)2 1 + x3 -1 0 Lời giải. 1 xdx 1) Ta có: I = ò 4 - (x - 1)2 0 Đặt x - 1 = 2 sin t Þ dx = 2 cos t.dt p Đổi cận: x = 0 Þ t = - ; x = 1 Þ t = 0 6 0 0 (1 + 2 sin t )2 cos tdt 0 ÞI = ò (1 + 2 sin t )dt = (t - 2 cos t ) ò = p - 2 4 - 4 sin t 6 p p - - 6 6 p = 3 -2+ . 6 Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 é pù 2) Đặt x = 2 sin2 t, t Î ê0; ú Þ dx = 4 sin t cos tdt ë 2û Đổi cận: 1 3 3 p p x = 1 Þ sin t = Þt = ; x = Þ sin t = Þt = 4 2 2 3 2 p p 2 3 3 (2 sin t + 1)4 sin t cos tdt = 2 ò (2 sin2 t + 1)dt ÞI = ò 2 sin2 t(2 - 2 sin2 t ) p p 4 4 p p 3 1 2p + 6 - 3 3 3 = 2 ò (2 - cos 2t )dt = 2(2t - sin 2t ) = . 2 6 p p 4 4 0 dx 3) Ta có: I = ò 2 é(x + 1)2 + 1ù -1 ê ú ë û p Đặt x + 1 = tan t, t Î [0; ) Þ dx = (1 + tan2 t )dt 2 p Đổi cận: x = -1 Þ t = 0; x = 0 Þ t = . 4 p p p 2 4 4 4 1 + tan t 1 2 ÞI = ò (1 + tan2 t )2 dt = ò cos tdt = (1 + cos 2t )dt 2ò 0 0 0 p 1 1 p +2 4 = (t + sin 2t ) = . 2 2 8 0 1 xdx 4) Ta có: I = ò . 1 + x3 0 2dt 3 xdx = (1 + tan2 t )dt Þ xdx = Đặt x x = tan t Þ 2 3 cos2 t Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 p p p 4 4 4 2dt dt d (sin t ) 2 2 ÞI = ò ò cos t ò 1 - sin2 t = = 3 3 3. cos2 t 1 + tan2 t 0 0 0 p ) ( 1 1 + sin t 2 4 ln ln 2 +1 . = = 3 1 - sin t 3 0 Ví dụ 4.3. Tính các tích phân p p 3 4 dx 2) I = ò ln(1 + tan x )dx 1) I = ò 1 + tan4 x 0 p 6 1 2 2x 2 + 1 ln3 (x + x 2 + 1)dx 3) I = 4) I = dx ò ò 2x + 1 -1 -2 p x sin x 5) I = ò 4 + sin2 x dx . 0 Lời giải. p 1) Đặt t = - x Þ dx = -dt 2 p p p p Đổi cận: x = Þ t = ; x = Þ t = . 3 6 6 3 p p p 4 tan4 x .dx 3 3 3 dt tan t.dt ÞI = ò 1 + cot4 t ò 1 + tan4 t ò 1 + tan4 x = = p p p 6 6 6 p p p 4 3 3 3 dx tan x .dx p p Þ 2I = I + I = ò 1 + tan4 x + ò 1 + tan4 x = ò dx = ÞI = . 6 12 p p p 6 6 6 p 2) Đặt x = - t Þ dx = -dt . Đổi cận 4 p p x =0Þt = ; x = Þt = 0. 4 4 Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 p 0 4 1 - tan t p I = - ò ln[1 + tan( - t )]dt = ò ln(1 + 1 + tan t )dt 4 0 p 4 p p 4 4 p ln 2 = ò [ln 2 - ln(1 + tan t )]dt = ln 2. ò dt - I Þ 2I = 4 0 0 p . ln 2 ÞI = . 8 0 1 3 x + 1)dx + ò ln 3 (x + x 2 + 1)dx 2 3) Ta có: I = ò ln (x + -1 0 Đặt t = -x Þ dx = -dt . Khi đó: 0 1 3 x + 1)dx = ò ln 3 (-t + t 2 + 1)dt 2 ò ln (x + -1 0 1 1 = - ò ln (t + t + 1)dt = - ò ln3 (x + x 2 + 1)dx Þ I = 0 . 3 2 0 0 Chú ý: Bằng cách làm tương tự ta giải được bài toán tổng quát sau a a Cho I = f (x )dx . Ta có a) I = 2 ò f (x )dx nếu f là hàm số chẵn ò -a 0 b) I = 0 nếu f là hàm số lẻ 0 1 2x 2 + 1 2x 2 + 1 4) Ta có I = dx + dx ò ò 2x + 1 2x + 1 -2 0 0 2 2 (2t 2 + 1)2t 2x 2 + 1 2t 2 + 1 Đặt t = -x ta có : dx = dt = dt ò ò 2-t + 1 ò 2x + 1 2t + 1 -2 0 0 2 (2x 2 + 1)2x dx ò = 2x + 1 0 2 2 2 (2x 2 + 1)2x 2x 2 + 1 dx = ò (2x 2 + 1)dx ÞI = dx + ò ò 2x + 1 2x + 1 0 0 0 Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 2 2 22 = ( x 3 + x) = . 3 3 0 Chú ý : Với cách làm tương tự ta có tính chất tổng quát sau b b f (x ) dx = ò f (x )dx . Nếu f là hàm số chẵn thì ò x -b a +1 0 5) Đặt x = p - t ta có p p p (p - t )sin t sin t t sin t I= dt = p ò dt - ò 4 + sin2 t dt ò 4 + sin2 t 4 + sin2 t 0 0 04 14 244 3 I p p p sin x p d (cos x ) 5 + cos x p p I= ò 4 + sin2 x dx = 2 ò 5 - cos2 x = 4 5 ln 2 5 - cos x 0 0 0 pé 5 + 1ù p 5 5 -1 5 -1 êln - ln ln = ú= . 5 2 4 5ê 5 +1 5 - 1ú ë û p p p ò xf (sin x )dx = f (sin x )dx . 2ò Chú ý: Tương tự ta có: 0 0 Ví dụ 5.3. Tính các tích phân sau 22 23 1 + x2 dx 1) I = dx 2) I = ò ò (A – 2003 ) x x x2 + 4 3 5 3 2 x xdx 4) I = dx (A – 2004 ) 3) I = ò1+ ò (A1-2008) 3 x -1 2x + 2 1 1 - 2 Lời giải. 22 x 2 + 1.xdx 1) Ta có I = ò . x2 3 Đặt t = 1 + x 2 Þ x 2 = t 2 - 1 Þ xdx = tdt Đổi cận: x = 3 Þ t = 2; x = 2 2 Þ t = 3 Trường THPT Lê Hồng Phong
www.VNMATH.com Nguyễn Tất Thu 01699257507 3 3 3 t.tdt æ 1 t -1 ö 1 I =ò )dt = ç t + ln = ò (1 + ÷ ç 2 t +1 ÷ (t - 1)(t + 1) t2 - 1 2 è ø 2 2 11 11 13 =3+ ln - 2 - ln = 1 + ln . 22 23 22 23 xdx 2) Ta có: I = ò x2 x2 + 4 5 Đặt t = x 2 + 4 Þ x 2 = t 2 - 4 Þ xdx = tdt Đổi cận: x = 5 Þ t = 3; x = 2 3 Þ t = 4 4 4 4 tdt dt 1 t -2 15 ÞI =ò = ln ln . =ò = 4 t +2 43 2 2 3 (t - 4)t 3t -4 3 t3 - 2 3 3) Đặt t = 3 2x + 2 Û t 3 = 2x + 2 Û x = Þ dx = t 2dt 2 2 1 Đổi cận : x = - Þ t = 1 ; x = 3 Þ t = 2 .Ta có : 2 2 2 2 (t 3 - 2) 3 2 æ3 3ö æ3 3ö . t dt = ò ç t 4 - t ÷ dt = ç t 5 - t 2 ÷ I =ò 2t 2 4 2ø è 20 4ø 1è 1 1 æ 24 ö æ 3 3 ö 12 - 3÷ - ç - ÷ = =ç . è5 ø è 20 4 ø 5 4) Đặt t = 1 + x - 1 Þ x = 1 + (t - 1)2 Þ dx = 2(t - 1)dt Đổi cận: x = 1 Þ t = 1; x = 2 Þ t = 2 2 2 (t 2 - 2t + 2)(t - 1) 2 dt = 2 ò (t 2 - 3t + 4 - )dt Þ I = 2ò t t 1 1 2 æ t 3 3t 2 ö 11 + 4t - 2 ln t ÷ = 2ç - - 4 ln 2 . = ç3 ÷ 2 3 è ø 1 Trường THPT Lê Hồng Phong

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.