Chương 6 - Biến đổi Laplace và áp dụng trong phân tích hệ thống

Chia sẻ: Le Quang Duan Duan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

247
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chương 6 - biến đổi laplace và áp dụng trong phân tích hệ thống', kỹ thuật - công nghệ, điện - điện tử phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 6 - Biến đổi Laplace và áp dụng trong phân tích hệ thống

CHƯƠNG VI BI N Đ I LAPLACE VÀ ÁP D NG TRONG PHÂN TÍCH H TH NG Lê Vũ Hà Đ I H C QU C GIA HÀ N I Trư ng Đ i h c Công ngh 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 1 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Bi n đ i Laplace Bi n đ i Laplace c a m t tín hi u x(t) đư c đ nh nghĩa như sau: +∞ X (s) = x(t)e−st dt −∞ v i s là m t bi n ph c: s = σ + jω. Bi n đ i Laplace ngh ch: σ+j∞ 1 x(t) = X (s)est ds j2π σ−j∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 2 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Mi n h i t c a bi n đ i Laplace Mi n h i t (ROC) c a bi n đ i Laplace là m t vùng trong m t ph ng s sao cho v i các giá tr c a s trong mi n này thì bi n đ i Laplace h i t . Ví d : Mi n h i t c a bi n đ i Laplace c a tín hi u u(t) là n a bên ph i tr c jω c a m t ph ng s. Mi n h i t c a bi n đ i Laplace c a tín hi u x(t) = −u(−t) là n a bên trái tr c jω c a m t ph ng s. Hai tín hi u khác nhau có th có bi n đ i Laplace gi ng nhau, nhưng khi đó mi n h i t c a chúng ph i khác nhau. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 3 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Mi n h i t c a bi n đ i Laplace Mi n h i t c a bi n đ i Laplace ch ph thu c vào ph n th c c a bi n s. Mi n h i t c a bi n đ i Laplace ph i không ch a các tr c c. N u m t tín hi u có đ dài h u h n và t n t i ít nh t m t giá tr c a s đ bi n đ i Laplace c a tín hi u đó h i t thì mi n h i t c a bi n đ i Laplace khi đó là toàn b m t ph ng s. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 4 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Mi n h i t c a bi n đ i Laplace N u m t tín hi u thu n có mi n h i t c a bi n đ i Laplace ch a đư ng σ = σ0 thì mi n h i t đó ph i ch a toàn b ph n bên ph i σ0 trong m t ph ng s. N u m t tín hi u ngh ch có mi n h i t c a bi n đ i Laplace ch a đư ng σ = σ0 thì mi n h i t đó ph i ch a toàn b ph n bên trái σ0 trong m t ph ng s. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 5 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Các tính ch t c a bi n đ i Laplace Tính tuy n tính: L[αx1 (t) + βx2 (t)] = αL[x1 (t)] + βL[x2 (t)] v i mi n h i t ch a ROC[X1 (s)] ROC[X2 (s)]. D ch th i gian: L[x(t − t0 )] = e−st0 X (s) v i mi n h i t là ROC[X (s)]. D ch trong mi n s: L[es0 t x(t)] = X (s − s0 ) v i mi n h i t là ROC[X (s)] d ch đi m t kho ng b ng s0 . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 6 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Các tính ch t c a bi n đ i Laplace Co giãn tr c th i gian: 1 s L[x(αt)] = X |a| a v i mi n h i t là ROC[X (s)] b co giãn v i h s α. Đ o hàm: dx(t) L = sX (s) dt v i mi n h i t ch a ROC[X (s)]. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 7 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Các tính ch t c a bi n đ i Laplace Tích phân: t 1 L x(τ )dτ = X (s) −∞ s v i mi n h i t ch a ROC[X (s)] {σ > 0}. Bi n đ i Laplace c a tích ch p: L[x1 (t) ∗ x2 (t)] = X1 (s)X( s) v i mi n h i t ch a ROC[X1 (s)] ROC[X2 (s)]. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 8 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Các tính ch t c a bi n đ i Laplace Đ nh lý v giá tr kh i đ u: n u x(t) là m t tín hi u nhân qu và liên t c t i t = 0, ta có x(0) = lim sX (s) s→∞ Đ nh lý v giá tr cu i: n u x(t) là m t tín hi u nhân qu và liên t c t i t = 0, ta có lim x(t) = lim sX (s) t→∞ s→0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 9 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Tính bi n đ i Laplace ngh ch Phương pháp khai tri n phân th c t i gi n Không gi m t ng quát, gi s X (s) đư c bi u di n dư i d ng phân th c N(s)/D(s), đó N(s) và D(s) là các đa th c v i b c c a N(s) ≤ b c c a D(s). Gi s {spk } là các tr c c c a X (s): {spk } là các nghi m c a phương trình D(s) = 0. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 10 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Tính bi n đ i Laplace ngh ch Phương pháp khai tri n phân th c t i gi n (ti p) N u t t c {spk } đ u là các tr c c đơn, X (s) khai tri n đư c thành t ng c a các phân th c d ng t i gi n: Ak X (s) = s − spk k đó, các h s {Ak } đư c tính như sau: Ak = (s − spk )X (s)|s=spk Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 11 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Tính bi n đ i Laplace ngh ch Phương pháp khai tri n phân th c t i gi n (ti p) Trư ng h p t ng quát (c c b i): đ t mk là b c b i c a tr c c spk , X (s) s đư c khai tri n như sau mk Ak m X (s) = (s − spk )s k m=1 đó, các h s {Akm } đư c tính như sau: 1 d mk −m (s − spk )mk X (s) Akm = (mk − m)! dsmk −m s=spk Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 12 / 21
Bi n Đ i Laplace c a Tín Hi u Tính bi n đ i Laplace ngh ch Bi n đ i Fourier ngh ch c a các phân th c t i gi n  eαt u(t) (σ > α) −1 1  L = s−α  −eαt u(−t) (σ < α)  t n−1  (n−1)! eαt u(t) (σ > α) 1  L−1 = (s − α)n  − t n−1 eαt u(−t)  (n−1)! (σ < α) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 13 / 21
Hàm Chuy n (Truy n) c a H th ng Tuy n Tính B t Bi n Đ nh nghĩa hàm chuy n Xem xét m t h th ng tuy n tính b t bi n có đáp ng xung h(t), nghĩa là: y(t) = h(t) ∗ x(t) L y bi n đ i Laplace c a c hai v c a phương trình trên và áp d ng tính ch t bi n đ i Laplace c a tích ch p: Y (s) Y (s) = H(s)X (s) → H(s) = X (s) H(s) đư c g i là hàm chuy n c a h th ng. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 14 / 21
Hàm Chuy n (Truy n) c a H th ng Tuy n Tính B t Bi n Đ nh nghĩa hàm chuy n M t h th ng tuy n tính b t bi n bi u di n đư c b ng m t phương trình vi phân tuy n tính h s h ng v i d ng t ng quát như sau: N M d i y(t) d j x(t) ai = bj dt i dt j i=0 j=0 L y bi n đ i Laplace c a c hai v c a phương trình trên, ta thu đư c: N M i ai s Y (s) = bj sj X (s) i=0 j=0 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 15 / 21
Hàm Chuy n (Truy n) c a H th ng Tuy n Tính B t Bi n Đ nh nghĩa hàm chuy n Hàm chuy n c a h th ng khi đó đư c xác đ nh như sau: M j Y (s) j=0 bj s H(s) = = N X (s) i=0 ai s i Hàm chuy n cho phép xác đ nh h th ng, d a trên vi c gi i phương trình vi phân tuy n tính b ng bi n đ i Laplace và bi n đ i Laplace ngh ch: y(t) = L−1 [H(s)X (s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 16 / 21
Hàm Chuy n (Truy n) c a H th ng Tuy n Tính B t Bi n Hàm chuy n c a các h th ng ghép n i Ghép n i ti p hai h th ng: Hàm chuy n t ng h p H(s) = H1 (s) ∗ H2 (s) Ghép song song hai h th ng: Hàm chuy n t ng h p H(s) = H1 (s) + H2 (s) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 17 / 21
Hàm Chuy n (Truy n) c a H th ng Tuy n Tính B t Bi n Hàm chuy n c a các h th ng ghép n i H th ng v i ph n h i âm: Hàm chuy n t ng h p H(s) = H1 (s)/[1 + H1 (s)H2 (s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 18 / 21
Hàm Chuy n (Truy n) c a H th ng Tuy n Tính B t Bi n Hàm chuy n c a các h th ng ghép n i H th ng v i ph n h i dương: Hàm chuy n t ng h p H(s) = H1 (s)/[1 − H1 (s)H2 (s)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 19 / 21
Bi n Đ i Laplace M t Phía Đ nh nghĩa bi n đ i Laplace m t phía Bi n đ i Laplace m t phía cho tín hi u x(t) đư c đ nh nghĩa như sau: ∞ 1 X (s) = L [x(t)] = 1 x(t)e−st dt 0 N u x(t) là tín hi u nhân qu : bi n đ i Laplace m t phía và hai phía c a x(t) là như nhau. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hi u và H th ng 2009 20 / 21