Chương 7: Không gian Euclide

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

172
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 7: Không gian Euclide được biên soạn nhằm cung cấp cho các bạn những kiến thức về tích vô hướng và không gian Euclide; sự trực giao; cơ sở trực giao và cơ sở trực chuẩn; khoảng cách trong không gian Euclide; ma trận biểu diễn của tích vô hướng;... Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 7: Không gian Euclide

Muïc luïc Chöông 7. KHOÂNG GIAN EUCLID 3 7.1. Tích voâ höôùng vaø khoâng gian Euclid . . . . . . . . 3 7.2. Söï tröïc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7.3. Cô sôû tröïc giao vaø cô sôû tröïc chuaån. Quaù trình tröïc giao hoùa Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 12 7.4. Khoaûng caùch trong khoâng gian Euclid . . . . . . . 18 7.5. Ma traän bieåu dieãn cuûa tích voâ höôùng . . . . . . . . 19 7.6. Toaùn töû ñoái xöùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 7.7. Toaùn töû tröïc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Baøi taäp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1
2
Chöông 7 KHOÂNG GIAN EUCLID Trong chöông naøy ngoaïi tröø nhöõng tröôøng hôïp rieâng seõ ñöôïc noùi roõ, ta chæ xeùt caùc khoâng gian vectô treân tröôøng soá thöïc R. 7.1. Tích voâ höôùng vaø khoâng gian Euclid Trong caùc chöông tröôùc chuùng ta ñaõ khaûo saùt caùc khoâng gian vectô toång quaùt. Tuy nhieân, khaùi nieäm khoâng gian vectô chöa môû roäng moät caùch ñaày ñuû caùc khoâng gian 2 hoaëc 3 chieàu cuûa hình hoïc giaûi tích. Chaúng haïn, cho ñeán nay chuùng ta vaãn chöa ñeà caäp ñeán tích voâ höôùng, ñoä daøi vectô hay goùc giöõa hai vectô,... vaø vì vaäy chuùng ta chöa phaùt trieån ñöôïc lyù thuyeát hình hoïc metric phong phuù ñaõ bieát trong tröôøng hôïp 2 hoaëc 3 chieàu. Trong chöông naøy chuùng ta seõ boå sung cho nhöõng khieám khuyeát ñoù. Ñònh nghóa 7.1.1. Cho V laø khoâng gian vectô. AÙnh xaï h, i : V × V −→ R (x, y) 7−→ hx, yi ñöôïc goïi laø moät tích voâ höôùng trong V neáu ∀x, y, z ∈ V, ∀α, β ∈ R, 3
ta coù (i) hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi; (ii) hx, αy + βzi = αhx, yi + βhx, zi; (iii) hx, yi = hy, xi; (iv) hx, xi ≥ 0, trong ñoù hx, xi = 0 neáu vaø chæ neáu x = 0. Ñònh nghóa 7.1.2. Ta goïi moät khoâng gian vectô höõu haïn chieàu vôùi tích voâ höôùng laø moät khoâng gian Euclid. Sau ñaây laø moät soá ví duï veà caùc khoâng gian Euclid. Ví duï 7.1.3. Taäp hôïp taát caû caùc vectô töï do trong khoâng gian thöïc 3 chieàu vôùi tích voâ höôùng quen thuoäc ñaõ ñöôïc ñònh nghóa trong caùc saùch giaùo khoa veà toaùn sô caáp laø moät khoâng gian Euclid. Ví duï 7.1.4. Cho khoâng gian vectô V = Rn , vôùi x = (x1, . . . , xn ) vaø y = (y1 , . . ., yn ) ta ñònh nghóa hx, yi := x1 y1 + . . . + xn yn . Khi ñoù V laø khoâng gian Euclid. Tích voâ höôùng vöøa ñònh nghóa ñöôïc goïi laø tích voâ höôùng chính taéc trong Rn . Ví duï 7.1.5. Vôùi x = (x1 , x2, x3), y = (y1 , y2, y3) ∈ R3 ñònh nghóa hx, yi := x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 + x1 y2 + x2 y1 . Deã daøng thaáy raèng caùc tính chaát (i)-(iii) trong Ñònh nghóa 7.1.1 ñöôïc thoûa maõn. Hôn nöõa, nhöõng tính toaùn döôùi ñaây cho thaáy tính chaát (iv) cuõng ñöôïc thoûa maõn. hx, xi = x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1x2 = x21 + 2x1x2 + x22 + x22 + 3x23 = (x1 + x2 )2 + x22 + 3x23 ≥ 0. Töø ñoù suy ra hx, xi = 0 ⇐⇒ x1 + x2 = x2 = x3 = 0 ⇐⇒ x1 = x2 = x3 = 0. 4
Ví duï 7.1.6. Xeùt khoâng gian vectô M2 (R) goàm caùc ma traän vuoâng caáp 2 treân tröôøng soá thöïc R. AÙnh xaï hA, Bi := T r(A> B) laø moät tích voâ höôùng trong M2(R). Ví duï 7.1.7. Vôùi caùc ña thöùc P, Q ∈ R[x], ñònh nghóa Z 1 hP, Qi := P (x)Q(x)dx. 0 Hieån nhieân caùc tính chaát (i)-(iii) trong Ñònh nghóa 7.1.1 ñöôïc thoûa maõn. Ta se chöùRng toû tính chaát (iv) cuõng ñöôïc thoûa maõn. Thaät vaäy, 1 ta coù hP, P i = 0 P (x)2dx ≥ 0. Giaû söû hP, P i = 0. Vì P (x) laø moät R1 haøm lieân tuïc vaø P (x)2 ≥ 0 neân töø ñieàu kieän 0 P (x)2dx = 0 suy ra P (x)|[0,1] = 0. Do ña thöùc P (x) chæ coù theå coù moät soá höõu haïn nghieäm neân töø ñoù suy ra P (x) ≡ 0. Ví duï 7.1.8. Cho W laø moät khoâng gian con cuûa khoâng gian veùc tô V . Giaû söû trong V coù tích voâ höôùng h, iV . Vôùi moïi x, y ∈ W , ñònh nghóa hx, yiW := hx, yiV . Deãõ thaáy ñaây laø moät tích voâ höôùng trong W . Ñònh nghóa 7.1.9. Xeùt khoâng gian Euclid p V . Ta noùi chuaån hay p ñoä daøi cuûa vectô u, kyù hieäu ||u||, laø soá thöïc hu, ui, nghóa laø ||u|| = hu, ui. Neáu moät vectô coù ñoä daøi baèng 1 thì ta seõ noùi noù laø moät vectô ñôn vò. Töø ñònh nghóa tích voâ höôùng ta thaáy ngay raèng chuaån cuûa moät vectô luoân laø moät soá thöïc khoâng aâm. Hôn nöõa, chæ coù vectô khoâng laø coù chuaån baèng 0. Ví duï 7.1.10. (a) Trong khoâng gian Euclid ôû Ví duï 7.1.3, ñoä daøi cuûa caùc vectô xaùc ñònh nhö trong Ñònh nghóa 7.1.9 chính laø ñoä daøi quen thuoäc maø ta ñaõ bieát trong Hình hoïc sô caáp. 5
(b) Ñoä daøi cuûa vectô x = (x1 , . . ., xn ) trong khoâng gian ôû Ví duï 7.1.4 ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: p ||u|| = |x1 |2 + . . . + |xn |2 . (c) Ñoä daøi cuûa vectô P (t) trong khoâng gian ôû Ví duï 7.1.7 laø s Z b ||P (t)|| = |P (t)|2dt. a Boå ñeà 7.1.11. (Baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz) Vôùi moïi x, y ∈ V ta coù hx, yi2 ≤ ||x||2.||y||2. Hôn nöõa, daáu = xaûy ra khi vaø chæ khi x vaø y phuï thuoäc tuyeán tính. Chöùng minh. Neáu ||x|| = ||y|| = 0 thì x = y = 0 vaø baát ñaúng thöùc hieån nhieân ñöôïc thoûa maõn. Giaû söû ||y|| 6= 0 vaø λ ∈ R laø moät soá thöïc baát kyø. Ta coù ||x + λy||2 ≥ 0 =⇒ ||x||2 + ||λy||2 + 2hx, λyi ≥ 0 =⇒ λ2.||y||2 + 2λhx, yi + ||x||2 ≥ 0. Veá traùi cuûa baát ñaúng thöùc sau cuøng laø moät tam thöùc baäc hai theo λ. Ñeå tam thöùc naøy luoân nhaän giaù trò khoâng aâm ñoái vôùi moïi λ ∈ R thì ñieàu kieän caàn vaø ñuû laø bieät soá ∆0 ≤ 0, nghóa laø hx, yi2 − ||x|2||y||2 ≤ 0 hay hx, yi2 ≤ ||x|2||y||. 6
Baây giôø, giaû söû daáu = xaûy ra, nghóa laø hx, yi2 = ||x|2||y||2. Khi ñoù tam thöùc baäc hai noùi treân coù nghieäm keùp, nghóa laø toàn taïi λ ∈ R sao cho λ2 .||y||2 + 2λhx, yi + ||x||2 hay ||x + λy||2 = 0. Töø ñoù suy ra x + λy = 0 hay x vaø y laø caùc vectô phuï thuoäc tuyeán tính. Meänh ñeà 7.1.12. AÙnh xaï || || : V −→ R+ p xaùc ñònh bôûi ||x|| = hx, xi thoûa maõn caùc tính chaát sau ñaây: (i) ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈ V, ∀λ ∈ R. (ii) ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0. (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ V (baát ñaúng thöùc tam giaùc). Hôn nöõa, daáu = xaûy ra khi vaø chæ khi toàn taïi λ ≥ 0 sao cho y = λx hoaëc x = λy. Chöùng minh. Ta coù ||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 + 2hx, yi ≤ ||x||2 + ||y||2 + 2|hx, yi| ≤ (baát ñaúng thöùc C-S) ||x||2 + ||y||2 + 2||x||.||y|| = (||x|| + ||y||)2. Suy ra ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||. Neáu y = λx, vôùi λ ≥ 0 thì ta coù ||x + y|| = ||x + λx|| = ||(1 + λx)x|| = (1 + λ)||x|| = ||x|| + λ.||x|| = ||x|| + ||λx|| = ||x|| + ||y||. Ngöôïc laïi, giaû söû ||x + y|| = ||x|| + ||y||. Khi ñoù 7
||x + y||2 = ||x||2 + ||y||2 + 2hx, yi = ||x||2 + ||y||2 + 2||x||.||y||. Töø ñoù suy ra hx, yi = ||x||.||y||, keùo theo hx, yi2 = ||x||2||y||2. Theo Boå ñeà 7.1.11, x vaø y phuï thuoäc tuyeán tính. Giaû söû, chaúng haïn x 6= 0 vaø y = λx. Khi ñoù töø baát ñaúng thöùc C-S ta coøn coù |hx, yi| = ||x||.||y||, suy ra hx, yi = |hx, yi|. Thay y = λx vaøo ñaúng thöùc cuoái cuøng, nhaän ñöôïc λ.||x|| = |λ|.||x||. Töø ñoù suy ra λ ≥ 0. Giaû söû x vaø y laø hai vectô khaùc khoâng cuûa V . AÙp duïng baát ñaúng thöùc C-S, ta coù |hx, yi| ≤ 1. ||x||.||y|| Töø ñoù suy ra toàn taïi duy nhaát moät goùc θ ∈ [0, π] sao cho hx, yi cos θ = ≤ 1. ||x||.||y|| Ta goïi θ laø goùc (khoâng ñònh höôùng) giöõa caùc veùc tô x vaø y. Goùc giöõa vectô 0 vaø moät vectô x baát kyø ñöôïc xem laø tuøy yù. Cuoái cuøng, ñeå keát thuùc tieát naøy, löu yù raèng tích voâ höôùng coù theå ñöôïc bieåu dieãn qua chuaån bôûi coâng thöùc döôùi ñaây: 1 hx, yi = (||x + y||2 − ||x||2 − ||y||2). 2 8
7.2. Söï tröïc giao Ñònh nghóa 7.2.1. Cho V laø moät khoâng gian Euclid vôùi tích voâ höôùng h, i. (a) Ta noùi caùc vectô x, y ∈ V tröïc giao vôùi nhau vaø vieát x ⊥ y, neáu hx, yi = 0. (b) Neáu A ⊆ V laø moät taäp con khaùc ∅ cuûa V thì ta ñaët A⊥ := {x ∈ V |hx, ai = 0, ∀a ∈ A}. Khi ñoù A⊥ laø moät khoâng gian con cuûa V vaø ta goïi A⊥ laø khoâng gian con tröïc giao vôùi A. Deã daøng nhaän thaáy 0⊥ = V vaø V ⊥ = 0. Baây giôø giaû söû V laø khoâng gian vectô treân tröôøng K vaø V ∗ laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa noù. Neáu W laø khoâng gian con cuûa V thì ñaët W 0 := {f ∈ V ∗|f (v) = 0, ∀v ∈ W }. Deã thaáy W 0 laø khoâng gian con cuûa V ∗ vaø ta goïi noù laø linh hoùa töû cuûa W . Hieån nhieân, neáu {v1 , . . ., vp} laø moät cô sôû cuûa W thì W 0 = {f ∈ V ∗ |f (v1) = . . . = f (vp) = 0}. Meänh ñeà 7.2.2. Neáu V laø khoâng gian vectô höõu haïn chieàu treân K vaø W laø khoâng gian con cuûa V thì dimV = dimW + dimW 0. Chöùng minh. Giaû söû dimV = n vaø {v1 , . . . , vp} laø moät cô sôû cuûa W . Boå tuùc theâm caùc vectô cuûa V vaøo taäp hôïp noùi treân ñeå nhaän ñöôïc moät cô sôû cuûa V : B = {v1, . . . , vp, vp+1, . . . , vn }. 9
Goïi B∗ = {ρ1, . . . , ρp, ρp+1, . . . , ρn} laø cô sôû ñoái ngaãu cuûa B. Ta seõ chöùng minh {ρp+1, . . . , ρn} laø cô sôû cuûa W 0 . ∀k ∈ p + 1, n ta coù ρk (v1 ) = . . . ρk (vp ) = 0, suy ra ρk ∈ W 0 . Do ρp+1 , . . . , ρn} laø caùc vectô ñoäc laäp tuyeán tính neân ta chæ caàn chöùng minh chuùng sinh ra W 0 laø ñuû. Vaäy, xeùt ∀f ∈ W 0 vaø ∀x ∈ V . Ta coù x = x1 v1 + . . . + xpvp + xp+1 vp+1 + . . . + xn vn . Khi ñoù f (x) = xp+1 f (vp+1 )+. . .+xn f (vn ). Ñaët λk = f (vk ), ∀k ∈ p + 1, n, ta coù f (x) = λp+1 ρp+1(x) + . . . + λn ρn (x). Töø ñoù suy ra f = λp+1ρ1 + . . . + λn ρn . Trôû laïi vôùi khoâng gian Euclid n chieàu V . Nhö treân ñaõ nhaän xeùt, V ' V . Döôùi ñaây ta seõ xaây döïng moät ñaúng caáu töï nhieân giöõa V vaø ∗ V ∗. Meänh ñeà 7.2.3. Cho V laø khoâng gian Euclid vôùi tích voâ höôùng h, i. AÙnh xaï σ: V −→ V ∗ y 7−→ σ(y), trong ñoù σ(y) : V −→ R∗ x 7−→ hx, yi laø moät ñaúng caáu giöõa V vaø V ∗ . Hôn nöõa, neáu W laø moät khoâng gian con cuûa V thì σ(W ⊥ ) = W 0 . Chöùng minh. Deã daøng kieåm tra σ laø moät aùnh xaï tuyeán tính. Do dim(V ) = dim(V ∗) neân ñeå chöùng minh σ laø ñaúng caáu ta chæ caàn chöùng minh σ laø ñôn caáu laø ñuû. Vaäy, giaû söû y ∈ V sao cho σ(y) = 0. 10
Ñieàu naøy coù nghóa laø hx, yi = 0, ∀x ∈ V . Noùi rieâng, laáy x = y ta coù hy, yi = 0, keùo theo y = 0. Vaäy σ laø ñôn caáu, keùo theo σ laø ñaúng caáu. Tieáp theo ta coù σ −1 (W 0 ) = {y ∈ V | σ(y) ∈ W 0 } = {y ∈ V | σ(y)(x) = 0, ∀x ∈ W } = {y ∈ V | hx, yi = 0, ∀x ∈ W } = W ⊥ . Do σ laø ñaúng caáu neân töø ñoù suy ra σ(W ⊥ ) = W 0 . Heä quaû 7.2.4. Neáu W laø khoâng gian con cuûa khoâng gian Euclid V thì dim(W ⊥ ) = dim(V ) − dim(W ). Meänh ñeà 7.2.5. Neáu W laø khoâng gian con cuûa khoâng gian Euclid V thì (i) V = W ⊕ W ⊥ . (ii) W ⊥⊥ := (W ⊥ )⊥ = W. Chöùng minh. (i) Töø nhaän xeùt raèng W ∩ W ⊥ = 0 vaø töø Heä quaû 7.2.4 suy ra ngay V = W ⊕ W ⊥ . (ii) ∀x ∈ W, ∀y ∈ W ⊥ ta coù hx, yi = 0, suy ra x ∈ W ⊥⊥ . Vaäy W ⊆ W ⊥⊥ . AÙp duïng Heä quaû 7.2.4, ta coù dim(W ⊥⊥ ) = dim(V ) − dim(W ⊥ ) = dim(V ) − (dim(V ) − dim)(W ) = dim(W ). Töø ñoù suy ra dim(W ⊥⊥ ) = dim(W ), keùo theo W ⊥⊥ = W. 11
7.3. Cô sôû tröïc giao vaø cô sôû tröïc chuaån. Quaù trình tröïc giao hoùa Gram-Schmidt Ñònh nghóa 7.3.1. Cho V laø khoâng gian Euclid n chieàu vaø B = (e1 , . . . , en ) laø moät cô sôû cuûa V . (i) Ta noùi B laø cô sôû tröïc giao neáu hei , ej i = 0, ∀i 6= j. (ii) Ta noùi B laø cô sôû tröïc chuaån neáu hei , ej i = δij , trong ñoù δij laø kyù hieäu Kronecker. Hieån nhieân neáu (e1 , . . ., en ) laø cô sôû tröïc giao thì ( ||ee11 || , . . . , ||eenn || ) laø cô sôû tröïc chuaån. Ñònh lyù 7.3.2. Trong moät khoâng gian Euclid baát kyø luoân toàn taïi caùc cô sôû tröïc chuaån. Chöùng minh. Do nhaän xeùt phía treân neân ta chæ caàn chöùng minh söï toàn taïi cô sôû tröïc giao laø ñuû. Ñieàu naøy seõ ñöôïc chöùng minh baèng qui naïp theo n. Neáu n = 1 thì khoâng coù ñieàu gì ñeå chöùng minh. Giaû söû ñieàu khaúng ñònh laø ñuùng cho nhöõng khoâng gian soá chieàu beù thua n. Xeùt moät vectô 0 6= v ∈ V vaø ñaët W = hvi⊥ . Khi ñoù V = hvi ⊕ W vaø dim(W ) = n − 1. Theo giaû thieát qui naïp trong W ta tìm ñöôïc cô sôû tröïc giao, chaúng haïn (u1, . . . , un−1 ). Ñaët un = v, hieån nhieân ta coù moät cô sôû tröïc giao cuûa V laø (u1, . . . , un−1 , un ). Giaû söû P B = (e1, . . . , en ) laø Pcô sôû tröïc chuaån cuûa V . Vôùi moïi caëp vectô x = ni=1 xi ei vaø y = ni=1 yi ei cuûa V ta coù n X n X n X n X hx, yi = h xi ei , yi ei i = xi yj hei , ej i = xi yi . i=1 i=1 i,j=1 i=1 12
Töø ñoù suy ra heä quaû sau ñaây cuûa Ñònh lyù 7.3.2. Heä quaû 7.3.3. Cho B = (e1, . . . , en ) laø cô sôû tröïc chuaån trong khoâng gian Euclid V . Khi ñoù ta coù pheùp ñaúng caáu sau ñaây giöõa V vaø khoâng gian Euclid Rn vôùi tích voâ höôùng chính taéc: ϕB : PVn −→ Rn x= i=1 xi ei 7−→ (x1, . . . , xn). Neáu B = (e1, . . . , en ) laø moät cô sôû ñöôïc saép cuûa khoâng gian Euclid   x1 V vaø x ∈ V thì ta kyù hieäu X =  ...  laø toïa ñoä cuûa x trong cô sôû   xn B. Ñònh lyù döôùi ñaây cho ta moät ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå moät cô sôû laø tröïc chuaån. Ñònh lyù 7.3.4. Cho B = (e1, . . . , en ) laø moät cô sôû ñöôïc saép cuûa khoâng gian Euclid V . Khi ñoù, B laø cô sôû tröïc chuaån neáu vaø chæ neáu ñoái vôùi moïi vectô x, y cuûa V ta coù hx, yi = x1 y1 + . . . + xn yn ,    x1 y1 trong ñoù X =  ...  vaø Y =  ...  laø toïa ñoä cuûa caùc vectô     xn yn x, y trong cô sôû B. Chöùng minh. Giaû söû B laø cô sôû tröïc chuaån vaø x, y ∈ V . Ta coù n X n X X n n X n X hx, yi = h xi , yj i = xi yj hei, ej i = xi yi . i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 13
Ñieàu ngöôïc laïi laø hieån nhieân. Töø ñònh lyù vöøa chöùng minh ta suy ra ngay heä quaû sau: Heä quaû 7.3.5. Cho B = (e1, . . . , en ) laø moät cô sôû tröïc chuaån vaø x laø moät vectô baát kyø cuûa khoâng gian Euclid V . Khi ñoù ta coù x = hx, e1ie1 + . . . + hx, en ien . Töø coâng thöùc V = W ⊕ W ⊥ trong Meänh ñeà 7.2.5 suy ra moãi vectô x ∈ V ñeàu vieát ñöôïc moät caùch duy nhaát döôùi daïng x = x0 + y, trong ñoù x0 ∈ W vaø y ∈ W ⊥ . Ta goïi x0 laø hình chieáu tröïc giao cuûa x leân W vaø kyù hieäu laø x0 = prW (x). Meänh ñeà sau ñaây cho ta moät caùch tính hình chieáu tröïc giao cuûa moät vectô x leân khoâng gian con W cuûa V . Meänh ñeà 7.3.6. Cho V laø khoâng gian Euclid vaø W laø moät khoâng gian con cuûa V . Giaû söû (e1, . . . , em ) laø moät cô sôû tröïc chuaån cuûa W vaø x laø moät vectô baát kyø cuûa V . Khi ñoù ta coù coâng thöùc prW (x) = hx, e1ie1 + . . . + hx, emiem . Chöùng minh. Goïi (em+1 , . . . , en ) laø moät cô sôû cuûa phaàn buø tröïc giao W ⊥ . Khi ñoù, theo Meänh ñeà 7.2.5 ta coù (e1 , . . . , em, em+1 , . . . , en ) laø moät cô sôû cuûa V . AÙp duïng Heä quaû 7.3.5, nhaän ñöôïc x = (hx, e1ie1 +. . .+hx, emiem )+(hx, em+1iem+1 +. . .+hx, en ien ). Löu yù raèng hx, e1ie1 + . . .+ hx, em iem ) ∈ W vaø hx, em+1iem+1 + . . . + hx, enien ∈ W ⊥ . Do ñoù aùp duïng Meänh ñeà 7.2.5, suy ra prW (x) = hx, e1ie1 + . . . + hx, emiem . 14
Quaù trình tröïc giao hoùa Gram-Schmidt Qua Heä quaû 7.3.3 ta thaáy raèng coù theå ñoàng nhaát moät khoâng gian Euclid n chieàu V vôùi khoâng gian Rn cuøng tích voâ höôùng chính taéc. Tuy nhieân khi ñoù caàn phaûi xaây döïng ñöôïc trong V moät cô sôû tröïc chuaån. Döôùi ñaây ta seõ moâ taû moät thuaät toaùn cho pheùp nhaän ñöôïc moät cô sôû tröïc giao töø moät cô sôû baát kyø cuûa V (nhö ñaõ noùi phía treân, töø moät cô sôû tröïc giao ta deã daøng nhaän ñöôïc cô sôû tröïc chuaån). Moät thuaät toaùn nhö vaäy thöôøng ñöôïc goïi laø quaù trình tröïc giao hoùa Gram-Schmidt. Ñònh lyù 7.3.6. Cho (v1, . . . , vp) laø moät hoï caùc vectô ñoäc laäp tuyeán tính cuûa khoâng gian Euclid V vaø W = hv1, . . . , vpi laø khoâng gian con cuûa V sinh bôûi caùc vectô noùi treân. Khi ñoù, töø caùc vectô v1 , . . ., vp ta coù theå xaây döïng moät cô sôû tröïc chuaån cho W . Noùi rieâng, töø moät cô sôû baát kyø cuûa V ta coù theå xaây döïng ñöôïc moät cô sôû tröïc chuaån cuûa V . Chöùng minh. Nhö ñaõ nhaän xeùt ôû treân, ta chæ caàn xaây döïng moät cô sôû tröïc giao (u1 , . . . , up) cho W laø ñuû. Ñaët u1 := v1 u2 := v2 + λu1, vôùi λ ∈ R sao cho u2 ⊥ u1. Vôùi ñieàu kieän naøy ta coù 0 = hu2, u1i = hv2 + u1, u1i = hv2, u1i + λhu1, u1i. Do u1 6= 0 neân töø ñoù suy ra hv2 , u1i λ=− . ||u1||2 Tieáp theo, tìm u3 döôùi daïng u3 = v3 + λu1 + µu2 , vôùi λ, µ ∈ R sao cho u3 ⊥ u1 vaø u3 ⊥ u2 . 15
Tìm λ nhö sau: 0 = hu3, u1i = hv3 + λu1 + µu2 , u1i = hv3 , u1i + λ||u1||2 (do hu2, u1i = 0). Töø ñoù suy ra λ = − hv 3 ,u1 i ||u1 ||2 . Hoaøn toaøn töông töï, nhaän ñöôïc µ = − hv 3 ,u2 i ||u2 ||2 . Giaû söû ñaõ tìm ñöôïc caùc vectô tröïc giao u1 , . . . , up−1. Ta seõ tìm vectô up döôùi daïng sau up = vp + λ1 u1 + . . . + λp−1 up−1 . hvp ,ui i Töø ñieàu kieän up = ui ta tìm ñöôïc λi = − ||ui ||2 . Nhö vaäy ta ñaõ xaây döïng ñöôïc moät hoï caùc vectô tröïc giao (u − 1, . . . , up). Baây giôø ta chæ caàn chöùng minh hu1 , . . . , upi = hv1, . . . , vpi. Ta coù hu1i = hv1i. Giaû söû 1 < i ≤ p − 1 vaø hu1, . . . , uii = hv1 , . . . , vii. Khi ñoù moãi moät vectô uk (1 ≤ k ≤ i) ñeàu laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc vectô v1 , . . . , vi. Theo caùch xaây döïng thì ui+1 laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc vectô vi+1 , u1, . . . , ui, do ñoù ui+1 cuõng laø toå hôïp tuyeán tính cuûa caùc vectô vi+1 , v1, . . . , vi. Ta ñaõ chöùng minh hu1, . . . , ui+1 i ⊆ hv1, . . . , vi+1 i. Hoaøn toaøn töông töï ta cuõng coù hv1, . . . , vi+1 i ⊆ hu1, . . . , ui+1 i. 16
Ví duï 7.3.5. Trong khoâng gian Euclid R4 vôùi tích voâ höôùng chính taéc cho vectô x = (1, 2, 0, 3) vaø cho khoâng gian con W ñöôïc sinh ra bôûi caùc vectô v1 = (1, 1, 0, 0), v2 = (1, 0, −1, 1), v3 = (0, 1, 1, 1). Ta seõ tìm hình chieáu tröïc giao cuûa x leân W . Tröôùc heát ta seõ duøng quaù trình tröïc giao hoùa Gram-Schmidt ñeå xaây döïng moät cô sôû tröïc chuaån cho W , sau ñoù aùp duïng coâng thöùc trong Meänh ñeà 7.3.6 ñeå tính hình chieáu tröïc giao cuûa x leân W . Nhaän xeùt raèng caùc vectô v1 , v2, v3 ñoäc laäp tuyeán tính neân chuùng taïo thaønh moät cô sôû cuûa W . Ñaët u1 := v1 u2 := v2 + λu1, vôùi λ = − hv 2 ,u1 i ||u1 ||2 = − 12 . Töø ñoù u2 = (1, 0, −1, 1) + (− 12 )(1, 1, 0, 0) = 12 (1, −1, −2, 2). Nhaän xeùt raèng neáu ta thay u2 bôûi u02 = αu2 , α ∈ R thì caùc vectô u1 vaø u02 vaãn tröïc giao vôùi nhau. Do ñoù ta coù theå laáy u2 = (1, −1, −2, 2). Baây giôø tìm u3 döôùi daïng u3 = v3 + λu1 + µu2 , hv ,u i hv ,u i vôùi λ = − ||u2 1 ||12 = − 12 vaø µ = − ||u3 2 ||22 = − 10 1 . Do ñoù u3 = 2 5 (−1, 1, 2, 3). Tuy nhieân ta coù theå laáy u3 = (−1, 1, 2, 3). Tröïc chuaån hoùa cô sôû (u1, u2, u3) ta nhaän ñöôïc cô sôû tröïc chuaån sau cuûa W : 1 1 1 (e1 = √ (1, 1, 0, 0), e2 = √ (1, −1, −2, 2), e3 = √ (−1, 1, 2, 3)). 2 10 15 Ta coù 17
hx, e1ie1 = √1 (1, 2, 0, 0) √ 1 (1, 1, 0, 0) = 12 (1, 2, 0, 0), 2 2 hx, e2ie2 = √1 (1, −2, 0, 6) √1 (1, −1, −2, 2) = 1 (1, 2, 0, 12), 10 10 10 hx, e2ie2 = √1 (−1, 2, 0, 9) √1 (−1, 1, 2, 3) = 1 (1, 2, 0, 27). 15 15 15 Vaäy hình chieáu tröïc giao cuûa x leân W laø prW (x) = hx, e1ie1 + hx, e2ie2 + hx, e3ie3 1 = 30 (20, 40, 0, 90). 7.4. Khoaûng caùch trong khoâng gian Euclid Ñònh nghóa 7.4.1. Cho x vaø y laø hai vectô trong khoâng gian Euclid V . Soá thöïc khoâng aâm ||x − y|| ñöôïc goïi laø khoaûng caùch giöõa caùc vectô x vaø y vaø ñöôïc kyù hieäu laø d(x, y). Vaäy d(x, y) = ||x − y||. Boå ñeà 7.4.2. Ñoái vôùi moïi vectô x, y trong khoâng gian Euclid V ta coù nhöõng khaúng ñònh sau ñaây: (i) d(x, y) = 0 khi vaø chæ khi x = y. (ii) d(x, y) = d(y, x). (iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Chöùng minh. (i) vaø (ii) ñöôïc suy ra ngay töø ñònh nghóa khoaûng caùch vaø chuaån. (iii) AÙp duïng baát ñaúng thöùc tam giaùc ta coù ||x − z|| = ||(x − y) + (y − z)|| ≤ ||x − y|| + ||y − z||. Töø ñoù suy ra ñieàu caàn chöùng minh. 18
Ñònh nghóa 7.4.2. Cho W laø moät khoâng gian con cuûa khoâng gian Euclid V vaø x laø moät vectô cuûa V . Ta goïi khoaûng caùch giöõa x vaø hình chieáu tröïc giao cuûa noù leân W laø khoaûng caùch töø x ñeán W vaø kyù hieäu laø d(x, W ). Vaäy d(x, W ) = ||x − prW (x)||. Meänh ñeà 7.4.3. Khoaûng caùch töø moät vectô ñeán moät khoâng gian con laø khoaûng caùch ngaén nhaát (nhoû nhaát) töø vectô aáy ñeán caùc vectô cuûa khoâng gian con ñaõ cho. Chöùng minh. Giaû söû x laø moät vectô vaø W laø moät khoâng gian con cuûa khoâng gian Euclid V . Ñaët w = prW (x), ta caàn chöùng minh ||x − y|| ≥ ||x − w||, ∀y ∈ W. Ta coù ||x − y|| ≥ ||x − w|| ⇐⇒ ||x − y||2 ≥ ||x − w||2 ⇐⇒ ||x||2 + ||y||2 − 2hx, yi ≥ ||x||2 + ||w||2 − 2hx, wi ⇐⇒ ||y||2 − 2hw, yi ≥ ||w||2 − 2hw, wi ⇐⇒ ||y||2 − (||w + y||2 − ||w||2 − ||y||2) ≥ −||w||2 ⇐⇒ 2||y||2 + 2||w||2 − ||w + y||2 ≥ 0. Theo baát ñaúng thöùc tam giaùc ta coù ||w + y|| ≤ ||w|| + ||y|| hay w + y||2 ≤ ||w||2 + ||y||2 + 2||w||.||y||. Töø ñoù suy ra 2||y||2 + 2||w||2 − ||y + w||2 ≥ 2||y||2 + 2||w||2 − (||y||2 + ||w||2 + 2||y||.||w||) = (||y|| − ||w||)2 ≥ 0. 7.5. Ma traän bieåu dieãn cuûa tích voâ höôùng Giaû söû V laø khoâng gian Euclid vôùi tích voâ höôùng h, i vaø B = 19
Pn (e1 , . . . , en ) laø moät cô sôû cuûa V . Vôùi caùc vectô x = i=1 xi ei vaø P y = ni=1 yi ei baát kyø trong V , ta coù n X hx, yi = xi yj hei , ej i. i,j=1 Ñaët aij = hei , ej i vaø goïi ma traän vuoâng A = (aij ) caáp n laø ma traän bieåu dieãn tích voâ höôùng h, i trong cô sôû B. Ta duøng kyù hieäu h, iB ñeå chæ ma traän noùi treân. Ví duï 7.5.1. Xeùt tích voâ höôùng trong Ví duï 7.1.5. Vôùi x = (x1, x2, x3), y = (y1 , y2, y3) ∈ R3 ta ñaõ ñònh nghóa hx, yi := x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 + x1 y2 + x2y1 vaø chöùng minh ñaây laø moät tích voâ höôùng trong khoâng gian R3. Vaäy ma traän bieåu dieãn tích voâ höôùng naøy trong cô sôû chính taéc laø   1 1 0 A =  1 2 0 . 0 0 3 Meänh ñeà 7.5.1. Cho V laø moät khoâng gian Euclid vôùi tích voâ höôùng h, i, B = (e1 , . . ., en ) laø moät cô sôû cuûa V vaø A laø ma traän bieåu dieãn tích voâ höôùng noùi treân trong cô sôû B. Giaû söû x, y ∈ V vaø X, Y töông öùng laø toïa ñoä cuûa x vaø y trong cô sôû B. Khi ñoù ta coù coâng thöùc hx, yi = X > AY. Chöùng minh. Deã daøng kieåm tra tröïc tieáp. 20