Chuyên đề 5 (6tiết): ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG

Chia sẻ: Lotus_3 Lotus_3 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

629
lượt xem 40
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điểm của cạnh thứ ba. b) Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề 5 (6tiết): ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG

Chuyên đề 5 (6tiết): ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG *) Kiến thức cơ bản : a) Đường thẳng đi qua trung điể m một cạnh của tam giác và 1. song song với cạnh thứ hai thì nó đi qua trung điể m của cạnh thứ ba. b) Đường thẳng đi qua trung điể m một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai. a) Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm 2. hai cạnh của tam giác. (h.8) b) Đường trung bình của hình thang là đoạn nối trung điểm hai cạnh bên của A B A F E F E D C D C hình thang.(h.9) h.8 h.9
3.a) Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đấy. b) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. Bổ sung : Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo thì song song với hai đáy và A B bằng nửa hiệu hai đáy. M N Trong h.10 : D C MN // AB // CD CD  AB MN  . 2 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA *) Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điể m của AD và BC. AB  CD Chứng minh rằng nếu MN  thì tứ giác ABCD là hình thang. 2
Giải : Gọi O là trung điể m của BD. Các đoạn thẳng OM, ON lần lượt là B đường trung bình của ABD và BCD nên AB OM  và OM // AB ; (1) A O 2 N CD M ON = và ON // CD ; (2) 2 C D Suy ra O nằm giữa M và N. Vậy ba điể m M, O, N thẳng hàng (3). Từ (1), (2), (3) suy ra AB // CD do đó tứ giác ABCD là hình thang. +) Nhận xét : Trong giả thiết của bài toán có trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nối hai điể m này ta chưa được đường trung bình của tam giác nào cả. Vì thế ta đã vẽ thêm trung điểm của đường chéo BD ( hoặc AC ) và vận dụng được định lí đường trung bình của tam giác để chứng minh. Việc vẽ thêm trung điể m của một đoạn thẳng để vận dụng đường trung bình của tam giác là việc vẽ đường phụ thường gặp khi giải bài toán hình học. *) Ví dụ 2 :
Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ hơn đáy CD ). Tìm điều kiện của hình thang này để hai đường chéo của nó chia đường trung bình thành ba phần bằng nhau. A B Giải : N M Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC ; Q P MN cắt BD tại P, cắt AC tại Q ; MN là đường trung D C bình của hình thang nên MN // AB // CD. Xét ABD có MA = MD ; MP // AB nên PB = PD Xét ADC có MA = MD ; MQ // CD nên QA = QC. MP và NQ lần lượt là đường trung bình của ABD và ABC nên AB MP  NQ  . 2 PQ là đoạn nối trung điểm hai đường chéo của hình thang ABCD nên CD  AB PQ  . 2 AB2 CD  AB Ta có : MP = +Q = QN   2 2  AB  CD  AB  CD  2.AB +) Nhận xét :
Nếu không có điều kiện đáy AB nhỏ hơn đáy CD thì khi AB = 2.CD , chứng minh tương tự như trên ta vẫn có hai đường chéo chia đường trung bình thành ba phần bằng nhau. Tóm lại, nếu hình thang có một đáy gấp đôi đáy kia thì hai đường chéo của nó chia đường trung bình làm ba phần bằng nhau. *) Ví dụ 3 : Từ ba đỉnh của một tam giác, hạ các đường vuông góc xuống một đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác đó. Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường vuông góc đó gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ trọng tâm tam giác xuống đường thẳng d. Giải : Giả sử ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại O; các đoạn thẳng AG, BH, OI, CK đều vuông góc với đường thẳng d. Ta phải chứng minh: AG + BH + CK = 3OI A E F O M C B D H N I G P K
Từ trung điểm M của BO và từ E, ta hạ MN và EP vuông góc với d. Ta có BH // MN // OI // AG // EP //CK ( chúng cùng vuông góc với d). Vì O là tọng tâm của tam giác ABC nên BM = MO = OE. Ta lại có HN = IN = IP (đường thẳng song song cách đều). Như vậy ta được ba hình thang vuông BOIH, MEPN, ACKG lần lượt có MN, OI, EP là các đường trung bình. Từ đó suy ra MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhưng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta được BH + OI + AG + CK = 4.OI suy ra AG + BH + CK = 3.OI.  Ví d ụ 4 : Cho một điể m C ở ngoài một đoạn thẳng AB. Dựng các tam giác · · vuông cân ACA’, BCB’ ra ngoài tam giác ABC ( A ' AC = CBB' = 1v ). Chứng minh rằng vị trí của điểm M ( trung điể m của A’B’) không phụ thuộc vào vị trí chọn điể m C. Giải :
Hạ A’H, C E và B’F cùng vuông góc với đường thẳng AB. Ta dễ B' dàng chứng minh được các cặp tam giác vuông M sau đây bằng nhau : C A' F H E N B A A 'HA = AEC (1) B'FB =  BEC (2) Suy ra AH = BF = CE. Gọi N là trung điểm của HF thì N cũng là trung điểm của AB. MN cũng là đường trung bình của hình thang vuông A’HFB’ nên A'H + B'F MN  AB vµ MN = . 2 Nhưng từ (1) và (2) ta có A’H = AE ; B’F = BE AE + BE AB  MN = nên . 2 2 AB Vậy MN vuông góc với AB tại trung điểm N của AB và MN = , 2 nghĩa là vị trí điể m M được hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào việc chọn điể m C ( C là điểm bất kì, C và M cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1:
µ Cho tam giác ABC có A =  . Trên cạnh CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Kẻ đường thẳng xy qua trung điểm của AD và BC. tính góc do đường thẳng xy tạo với AB. Bài 2 : Trên hai cạnh của góc nhọn xOy, ta đặt các đoạn thẳng AB và CD bằng nhau ( A nằm giữa O và B, C nằm giữa O và D). Các điẻm I và E lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng IE song song với tia phân giác của góc xOy. Cho tam giác ABC. Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông ở A, D và C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC ( vuông ở A, E và B cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AC). Gọi K, I, M lần lượt là trung điểm của EC, BD và BC. Chứng minh rằng tam giác KMI vuông cân. Bài 4: Cho hai điểm A và B ở ngoài đường thẳng xy. tìm hệ thức giữa khoảng cách từ trung điể m O của đoạn thẳng AB đến xy và các khoảng cách từ A và B đến xy. Bài5 :
Cho tam giác ABC. Đường thẳng xy đi qua đỉnh A. Gọi B’ và C’ là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống xy. Hãy xác định vị trí của đường thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn nhất.