CHUYÊN ĐỀ 7 PARABOL

Chia sẻ: Cao Thi Nhu Kieu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

626
lượt xem 67
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

CHUYÊN ĐỀ 7 PARABOL Các bài toán về parabol thường qui về việc xác định các yếu tố của parabol (tiêu điểm, đường chuẩn), lập phương trình của parabol và các vấn đề về tiếp tuyến của parabol. Do đó ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau đây : Parabol (P) = F là tiêu điểm và ( Δ ) là đường chuẩn. Các dạng phương trình chính tắc : y y {M∈ (Oxy) / MF = d M ( Δ )} (Δ)O F F( P , 0) 2 x (Δ)O x -P 2...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHUYÊN ĐỀ 7 PARABOL

CHUYEÂN ÑEÀ 7 PARABOL Caùc baøi toaùn veà parabol thöôøng qui veà vieäc xaùc ñònh caùc yeáu toá cuûa parabol (tieâu ñieåm, ñöôøng chuaån), laäp phöông trình cuûa parabol vaø caùc vaán ñeà veà tieáp tuyeán cuûa parabol. Do ñoù ta caàn naém vöõng caùc kieán thöùc cô baûn sau ñaây : { } M∈ (Oxy) / MF = d M ( Δ ) Parabol (P) = F laø tieâu ñieåm vaø ( Δ ) laø ñöôøng chuaån. Caùc daïng phöông trình chính taéc : y y (Δ) (Δ) F x O O F( P , 0) P −P x 2 2 2 (P) (P) (P) : y2 = 2px (P) : y2 = –2px p p (Δ) (Δ) :x= − :x= 2 2 ⎛p ⎞ ⎛p ⎞ F ⎜ ,0⎟ F ⎜ − ,0⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2⎠ M ∈ (P) ⇒ xM ≥ 0 M ∈ (P) ⇒ xM ≤ 0 p p vaø r = MF = xM + vaø r = MF = –xM + 2 2 (d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ (d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ pB2 = 2AC pB2 = –2AC Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm 1
M0(x0, y0) coù phöông trình M0(x0, y0) coù phöông trình y0y = p(x0 + x) y0y = –p(x0 + x) y y P (Δ) 2 x O (P) −P F 2 P F 2 x (P) O (Δ) (P) : x2 = 2py (P) : x2 = –2py p p (Δ) (Δ) :y= − :y= 2 2 ⎛ p⎞ p⎞ ⎛ F ⎜ 0, ⎟ F ⎜ 0, − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ M ∈ (P) ⇒ yM ≥ 0 M ∈ (P) ⇒ yM ≤ 0 p p vaø r = MF = yM + vaø r = MF = –yM + 2 2 (d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ (d) : Ax + By + C = 0 tieáp xuùc vôùi (P) ⇔ pA2 = 2BC pA2 = –2BC Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm Tieáp tuyeán vôùi (P) taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình M0(x0, y0) coù phöông trình x0x = p(y0 + y) x0x = –p(y0 + y) Ví duï1 : Cho parabol (P) : y2 – 8x = 0 1) Xaùc ñònh tieâu ñieåm F vaø ñöôøng chuaån (Δ) cuûa (P) 2) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) taïi ñieåm M(2; –4) 2
3) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) bieát noù song song vôùi ñöôøng thaúng (D) : 2x – y + 5 = 0. Suy ra toïa ñoä tieáp ñieåm. 4) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) bieát noù xuaát phaùt töø ñieåm I(–3, 0), suy ra toïa ñoä tieáp ñieåm. Giaûi 1) Tieâu ñieåm vaø ñöôøng chuaån (P) : y2 – 8x = 0 ⇔ y2 = 8x coù daïng y2 = 2px vôùi p = 4 ⇒ Tieâu ñieåm F(2, 0) vaø ñöôøng chuaån (Δ) : x = –2. 2) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) taïi M(2; –4) Tieáp tuyeán vôùi (P) : y2 = 8x taïi tieáp ñieåm M(2, –4) coù phöông trình cho bôûi coâng thöùc phaân ñoâi toïa ñoä : –4(y) = 4(2 + x) x+y+2=0 ⇔ 3) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) vaø song song vôùi (D) Ñöôøng thaúng (d) // (D) vôùi (D) : 2x – y + 5 = 0 (d) : 2x – y + C = 0 ⇒ (d) tieáp xuùc vôùi (P) : y2 = 8x 4 = 2 . 2C = 4C ⇔ C=1 ⇔ Vaäy tieáp tuyeán vôùi (P) phaûi tìm coù phöông trình 2x – y + 1 = 0 Tieáp tuyeán (d) vôùi (P) : y2 = 8x taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coøn coù phöông trình y0y = 4(x0 + x) ⇔ 4x – y0y + 4x0 = 0 maø (d) : 2x – y + 1 = 0, do ñoù : ⎧ 1 ⎪x0 = y 4x0 ⎛1 ⎞ 4 hay M0 ⎜ , 2 ⎟ = 0= ⇒⎨ 2 ⎝2 ⎠ 2 1 1 ⎪y0 = 2 ⎩ 4) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (P) xuaát phaùt töø I(–3, 0). Tieáp tuyeán vôùi (P) vaø cuøng phöông vôùi 0y laø x = 0. Vaäy pt tieáp tuyeán ( d′ ) qua I(–3, 0) coù daïng: ( d′ ) : y – 0 = k(x + 3) kx – y + 3k = 0 ⇔ 3
( d′ ) tieáp xuùc vôùi (P) : y2 = 8x 2 6 ⇔ 4 = 2k(3k) = 6k2 ⇔ k = ± =± 3 6 Vaäy töø ñieåm I(–3, 0) coù 2 tieáp tuyeán vôùi parabol (P) laø: 6 6 x–y+ 6 =0 hay – x–y– 6=0 3 3 6 x–y+ 6 =0 hay 6 x +3 y +3 6 = 0 ⇔ 3 Tieáp tuyeán ( d′ ) vôùi (P) taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình 4x – y0y + 4x0 = 0 4x0 y 6 4 Do ñoù vôùi ( d′ ) : x–y+ 6 =0 ⇒ = 0= 3 1 6 6 3 ⎧ x0 = 3 ⎪ ⇒ ⎨ 12 ⎪y0 = 6 = 2 6 ⎩ 4x0 −y0 4 Vôùi ( d′ ) : 6 x + 3y + 3 6 = 0 = = ⇒ 3 6 36 ⎧x0 = 3 ⎪ ⇒⎨ 12 y0 = − = −2 6 ⎪ ⎩ 6 Vaäy 2 tieáp ñieåm phaûi tìm laø (3; 2 6 ) vaø (3; –2 6 ). Ví du2( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕKHOÁI A –2003) : Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy, cho parabol (P) coù phöông trình y2 = x vaø ñieåm I (0; 2). Tìm toïa ñoä hai ñieåm M, N thuoäc (P) sao cho IM = 4 IN . Giaûi Goïi M(m2; m) ∈ (P), N(n2; n) ∈ (P) ⎯→ IM = (m2; m – 2) ⎯→ IN = (n2; n – 2) ⎯→ ⇒ 4 IN = (4n2; 4n – 8) 4
⎧m2 = 4n 2 ⎯→ ⎪ ⎯→ Vì IM = 4 IN ⇔ ⎨ ⎪m − 2 = 4n − 8 ⎩ ⎧m = 4n − 6 ⎡n1 = 1 ⇒ m1 = −2 ⎪ ⇔⎨ 2 ⇒⎢ ⎣n 2 = 3 ⇒ m2 = 6 ⎪n − 4n + 3 = 0 ⎩ ⇒ M1(4; −2), N1(1; 1), M2(36; 6), N2(9; 3) Ví du 3 ( ÑEÀ DÖÏ TRÖÕKHOÁI A –2003) :Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Ñeàcac vuoâng goùc Oxy cho x2 y2 = 1 . M(−2; 3); N(5; n). Vieát phöông trình caùc ñöôøng thaúng d1, d2 qua M vaø tieáp xuùc + elip (E): 4 1 vôùi (E). Tìm n ñeå trong soá caùc tieáp tuyeán cuûa (E) ñi qua N coù moät tieáp tuyeán song song vôùi d1 hoaëc d2. Giaûi 1) Vieát phöông trình caùc ñöôøng thaúng qua M tieáp xuùc vôùi E. x = ± 2 laø 2 tieáp tuyeán thaúng ñöùng cuûa (E) Vaäy d1 : x = −2 laø 1 tieáp tuyeán cuûa (E) qua M. Phöông trình tieáp tuyeán d qua M(−2; 3) khaùc döôøng thaúng x = −2 coù daïng : y – 3 = k(x + 2) y ⇔ kx – y + 3 + 2k M 3 d tieáp xuùc vôùi (E) ⇔ 4k2 + 1 = (3 + 2k)2 ⇔ 4k2 + 1 = 9 + 4k2 + 12k −8 2 −2 O x ⇔k= =− 12 3 d2 : 2x + 3y – 5 = 0 2) deã thaáy tieáp tuyeán d cuûa (E) qua N(5; n) khoâng song song vôùi : x = −2. Do ñoù d song song vôùi d2 : 2x + 3y – 5 = 0 vaø qua N(5; n) coù heä soá goùc : 2 2 k = − . Vaäy d : y = − ( x − 5 ) + n hay 3 3 2 10 d: − x−y+ + n = 0 ⇔ −2x – 3y + 10 + 3n = 0 3 3 d tieáp xuùc vôùi E ⇔ 4(−2)2 + 1.(−3)2 = (10 + 3n)2 5 ⇔ 3n2 + 20n + 25 = 0⇔ n = – 5 hay n= − 3 5 n = − : loaïi vì khi ñoù d truøng vôùi d1. 3 Vaäy N(5; −5). *** 5