Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

Chia sẻ: Nguyễn Xuân Hiền | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

269
lượt xem 31
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề "Dãy số viết theo quy luật" được thực hiện với mục đích nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy phân môn Toán trung học cơ sở, giúp học sinh trung học cơ sở có phương pháp giải đối với từng dạng bài tập dãy số viết theo quy luật,... Hy vọng nội dung chuyên đề phục vụ hữu ích nhu cầu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật

Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU I. Lý do chọn chuyên đề:……………………………………………… 2 II. Mục đích, phạm vi của chuyên đề:………………………………… 3 PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ. A. NỘI DUNG: I. Cơ sở lí luận:………………………………………………………… 3 II. Cơ sở thực tiễn:……………………………………………………… 3 III. Các kiến thức vận dụng …………………………………………... 4 IV. Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải. 6 1. Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên .............. 8 2 . Dạng 2: Tính tổng của các tích: .......................................................... 9 3. Dạng 3: Dãy phân số: ……………………………………………… 13 4. Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy: ……………………… 18 5. Dạng 5: Dùng phương pháp quy nạp để chứng minh đẳng thức: … 20 B. ỨNG DỤNG VÀO THỰC TIỄN VÀ CÔNG TÁC GIẢNG DẠY 1. Ứng dụng vào thực tiễn...................................................................... 22 2. Hiệu quả khi áp dụng chuyên đề........................................................ 22 3. Bài học kinh nghiệm........................................................................... 22 PHẦN III: KẾT LUẬN. 1. Kết quả nghiên cứu:............................................................................ 23 2. Đề xuất............................................................................................... 23 NHỮNG TỪ, CỤM TỪ VIẾT TẮT 1
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: THCS: Trung học cơ sở. SGK: Sách giáo khoa. GVG: Giáo viên giỏi BCNN: Bội chung nhỏ nhất. PHẦN I: MỞ ĐẦU I. Lý do chọn chuyên đề: Như chúng ta đã biết Toán học có một vị trí vô cùng quan trọng trong đời sống, nó không những giúp chúng ta có khả năng tính toán, phát triển tư duy, suy luận logic mà còn là tiền đề của các môn khoa học khác. Vì thế Toán học được gọi là môn “công cụ” . Nhưng trong quá trình học toán đặc biệt là phần Đại số việc nắm và vận dụng kiến thức, tìm ra phương pháp giải đối với học sinh là khó khăn. Vì vậy với những người làm công tác giáo dục trong nhà trường có nhiệm vụ trang bị kiến thức cũng như phương pháp giải đối với từng dạng toán cho học sinh. Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy học sinh, tôi đã không ngừng học hỏi và trao đổi với đồng nghiệp. Tôi nhận thấy trong việc giảng dạy môn Đại số còn nhiều mảng kiến thức mà học sinh chưa có phương pháp giải cụ thể như : Các bài toán chia hết, các bài toán về cấu tạo số, các dạng toán về biểu thức, các dạng phương trình ... Đặc biệt là dạng toán “Dãy số viết theo quy luật” đây là dạng toán tương đối khó đối với học sinh THCS. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này vì thế các em còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này chưa đề cập nhiều trong sách giáo khoa, chủ yếu chỉ đưa ra một vài bài toán trong sách nâng cao, không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh 2
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: tự vận động kiến thức của mình. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Dãy số viết theo quy luật” để giúp các em tháo gỡ khó khăn trên. II. Mục đích, phạm vi của chuyên đề: 1. Mục đích của chuyên đề: Nhằm trao đổi kinh nghiệm giảng dạy phân môn Toán THCS. Giúp học sinh THCS có phương pháp giải đối với từng dạng bài tập dãy số viết theo quy luật. 2. Phạm vi của chuyên đề: Áp dụng cho dạng toán dãy số viết theo quy luật ở bậc THCS. PHẦN II: NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ. A. NỘI DUNG: I. Cơ sở lí luận: Theo Polya thì phương pháp tìm lời giải thường được tiến hành theo 4 bước: Tìm hiểu đề toán. Xây dựng chương trình giải. Thực hiện chương trình giải. Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. Khai thác, phát triển bài toán. II. Cơ sở thực tiễn. Từ thực tế giảng dạy của giáo viên và học toán của học sinh THCS. Qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. III. Kiến thức vận dung: 1. Quy đồng mẫu số nhiều phân số: 3
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Tìm mẫu số chung (tìm BCNN của các mẫu) Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu. Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 2. Các phép tính của phân số: a. Cộng, trừ phân số cùng mẫu: A B A B (M 0) M M M A B A B (M 0, A B) M M M b. Cộng, trừ phân số không cùng mẫu: Quy đồng mẫu các phân số. Cộng các tử của các phân số đã được quy đồng và giữ nguyên mẫu chung. A C A.C c. Nhân các phân số: . (B, D 0) B D B.D A C A.D d. Chia 2 phân số: : (B, C, D 0) B D B.C 3. Tính chất cơ bản của phép cộng và nhân phân số: a. Tính chất giao hoán: a c c a Phép cộng: (b, d 0) b d d b a c c a Phép nhân: . . (b, d 0) b d d b b. Tính chất kết hợp : a c m a c m Phép cộng : (b, d, n 0) b d n b d n a c m a c m Phép nhân: . . . . (b, d, n 0) b d n b d n 4
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép công (trừ): a c m a m c m . .. . (b, d, n 0) b d n b n d n 4. Các phép tính về lũy thừa. a. §Þnh nghÜa luü thõa víi sè mò tù nhiªn an = a .a.........    a (n N*) n thõa sè b. Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n N am. an = am+n, am. an . ap = am+n+p (p N) am : an = amn (a ≠ 0, m > n) (a.b)m = am. bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) Quy íc: a1 = a a0 = 1 (a ≠ 0) Víi : x, y Q; m, n N; a, b Z x.x......... 2 43x xn = 14 n (x N*) n a an (b ≠ 0, n ≠ 0) b bn xo = 1 xm . xn = xm+n xm xm n xn (x ≠ 0) 5
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: 1 xn = (x ≠ 0) xn (xm)n = xm.n (x.y)m = xm. ym n x xn (y ≠ 0) y yn 5. Bất đẳng thức: Bất đẳng thức có dạng a > b, a b, b > c thì a > c Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b thì a + c > b + c Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b thì a . c > b . c (c > 0) Cộng từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều: Nếu a > b, c > d thì a + c > b + d IV. Một số dạng toán về dãy số viết theo quy luật và phương pháp giải. 1. Dạng 1: Tính tổng của các lũy thừa với cơ số là số tự nhiên. 1.1 Bài toán 1: Tính các tổng sau: 1) A= 1+3+32+33+…+ 399+3100 2) B= 12+2223+24 … 299+2100 Giải 1) Ta có: 2A=3+32+33+…+ 399+3100+3101 3101 1 => 3AA= 31011 => A= 2 2) 2B=222+2324+25 … 2100+2101 6
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: 2101 1 => 2B+B=2101+1 => 3B=2101+1=> B= 3 * Ta nghĩ tới bài toán tổng quát: Tính tổng: S= 1+a+a2+a3+…+ an1+an a 1; n N . Ta nhân cả 2 vế an 1 1 của S với a. Rồi trừ vế với vế ta được S= . a 1 Tính tổng: P= 1a+a2a3+…+ a2n a 1; n N . Ta nhân cả 2 vế của P a 2n 1 1 với a. Rồi cộng vế với vế ta được P= . a 1 * Khai thác bài toán: Vì S, P là các sổ nguyên nên (a n 1 1)  a 1 và (a 2 n 1 1)  a 1 . Ta có bài toán 2 1.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng a) 2009 2009 12008 b) 2009 2010 12010 Giải: a) Xét tổng S=1+2009+20092+20093+…+ 20092007+20092008 ( S N) => 2009.S= 2009+20092+20093+…+ 20092008+20092009 => 2009.SS= 200920091 2009 2009 1 => S=  2009 2009 12008 2008 b) S=12009+2009220093+…+ 2009200820092009( S N) => 2009.S= 200920092+20093…20092010 => 2009.S+S= 20092010+1 (2009 2010 1) =>S= => 2009 2010 12010 2010 1.3 Bài toán 3: Tính tổng 7
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: 1) A= 1+32+34+…+ 398+3100 2) B= 123+2629+ … +296299 Giải: a) Vấn đề đặt ra là nhân cả hai vế của A với số nào, để khi trừ 2 vế cho A thì một loạt các lũy thừa bị triệt tiêu? Ta thấy số mũ của hai số liền nhau cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32, rồi trừ cho A, ta được: 32.A A = (32+34+…+ 398+3100+3102) (1+32+34+…+ 398+3100) 3102 1 8.A=31021 =>A= 8 b) Tương tự phần a, ta nhân cả hai vế của B với 2 3 rồi cộng vế với vế cho B ta được: 23.B+B=(2326+29 … 296+299)+( 123+2629+ … +296299+2102) 2102 1 9.B=2102+1B = 9 * Bài toán tổng quát: Tính tổng: S= 1+ad+a2d+a3d+…+and a 1; n N . n 1d a 1 Ta nhân cả 2 vế của S với ad. Rồi trừ vế với vế ta được S= d . a 1 Tính tổng: P= 1ad+a2da3d+…+ a2nd a 1; n N . 2n 2 d a 1 Ta nhân cả 2 vế của S với a . Rồi cộng vế với vế ta được P= d d . a 1 * Bài tập vận dụng: 1.Tính tổng: a) A=2+33+ 25+…+ 399+3101 b) B=153+5659+ … +596599 2. Chứng minh rằng: 8
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: a) 3000 2009 12009 b) 3000 2009 13001 2. Dạng 2: Tính tổng của các tích: 2.1 Bài toán 1 : Tính tổng A= 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100 Lời giải Nhận xét: Khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng là 1. Nhân cả hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được: 3A=3.( 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100) = 1.2(30)+2.3(41)+…+99.100(10198) = 1.2.31.2.3+2.3.42.3.4+ … + 98.99.10098.99.100+99.100.101 = 99.100.101 99.100.101 => A= =333 300 3 Ta chú ý tới đáp số 99.100.101 là tích của 3 số, trong đó 99.100 là số hạng cuối của A và 101 là số tự nhiên liền sau của 100, tạo thành tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta có kết quả tổng quát như sau: n 1n n 1 A = 1.2+2.3+3.4+ …+ (n1)n= 3 Khai thác 1 3A = 3.( 1.2+2.3+3.4+ …+ 98.99+99.100) = 3(0.1+1.2+2.3+ …+ 99.100) =31 0 2 32 4 54 6 ... 99 98 100 = 3(1.1.2+3.3.2+5.5.2+ …+ 99.99.2) = 3.2(12+32+52+ … +992) = 6(12+32+52+ … +992) 9
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Ta chưa biết cách tính tổng các bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ 1, nhưng liên hệ với bài toán 1, ta có: 6(12+32+52+ … +992)= 99.100.101 99.100.101 (12+32+52+ … +992)= 6 2n 1 . 2n 2 . 2n 3 * Ta có bài toán tổng quát: P= 12+32+52+ ...+(2n+1)2= 6 Khai thác 2 Xét biểu thức: C= 1.2+2.3+3.4+ …+99.100+100.101 = (1.2+2.3)+( 3.4+4.5)+(5.6+6.7)+ … +(99.100+100.101) = 2(1+3)+4(3+5)+6(5+7)+…+100(99+101) = 2.4+4.8+6.12+…+100.200 100.101.102 = 2(22+42+62+…+1002)= 3 100.101.102  22+42+62+…+1002 = 6 2n. 2n 1 2n 2 * Ta có bài toán tổng quát: M=22+42+62+…+(2n)2= 6 Khai thác 3 2n. 2n 1 2n 2 M=22+42+62+…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2) = 6 n. n 1 2n 1 * Ta có bài toán tổng quát: Q=12+22+32+…+n2= 6 2.2 Bài toán 2: Tính: A= 1.3+3.5+5.7+...+97.99 Giải: 10
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Nhận xét: khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2, nhân hai vế của A với 3 lần khoảng cách này ta được. 6A=1.3.6+3.5.6+5.7.6+...+97.99.6 = 1.3(5+1)+3.5(71)+5.7(93)+...+97.99(10195) = 3+97.99.101 1 97.33.101 A= 161651 2 Trong bài toán 1 ta nhân A với 3, trong bài toán 2 ta nhân A với 6. Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách k giữa hai thừa số trong mỗi hạng tử. 3.3 Bài toán 3: Tính A = 1.2.3+2.3.4+…+98.99.100 Giải: Trở lại bài toán 1, mỗi hạng tử của tổng A có hai thừa số thì ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số đó. Học tập cách đó, trong bài toán này ta nhân hai vế của A với 4 lần khoảng cách đó vì ở đây mỗi hạng tử có 3 thừa số. Ta giải được bài toán như sau. 4A= 1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+…+98.99.100.4 = 1.2.3.4+2.3.4(51)+3.4.5(62)+…+98.99.100(10197) = 1.2.3.4+2.3.4.51.2.3.4+3.4.5.62.3.4.5+…+98.99.100.10197.98.99.100 = 98.99.100.101 98.99.100.101 A = = 24 497 550 4 * Ta có bài toán tổng quát: n 1n n 1 n 2 A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n1)n(n+1)= 4 Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài 11
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: toán: 2.4 Bài toán 4: Tính: A= 1.3.5+3.5.7+…+5.7.9+…+95.97.99 Giải: 8A=1.3.5.8+3.5.7.8+5.7.9.8+…+95.97.99.8 =1.3.5(7+1)+3.5.7(91)+5.7.9(113)+…+95.97.99(10193) =1.3.5.7+15+3.5.7.91.3.5.7+5.7.9.113.5.7.9+…+95.97.99.101 93.95.97.99 =15+95.97.99.101 15 + 95.97.99.101 � A= =11 517 600 8 Trong bài 3 ta nhân A với 4(bốn lần khoảng cách). Trong bài 4 ta nhân a với 8 (bốn lần khoảng cách). Như vậy để giải bài toán dạng n n(n + k )(n + 2k ) ta nhân với 4k(bốn lần khoảng cách) sau đó tách: n =1 4kn(n+k)(n+2k)=n(n+k)(n+2k)(n+3k)(nk)(n+k)n(n+2k) Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán: 2.5 Bài toán 5: Tính A=1.2+3.4+5.6+…+99.100 Lời giải 1: A= 2+(2+1)4+(4+1)6+…+(98+1).100 =2+2.4+4+4.6+6+…+98.100+100 =(2.4+4.6+…+98.100)+(2+4+6+8+..+100) 12
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: =98.100.102:6+102.50:2 =166600+2550 =169150 Lời giải 2: A=1(31)+3(51)+5(71)+…+99(1011) =1.31+3.53+5.75+…+99.10199 =(1.3+3.5+5.7+…+99.101)(1+3+5+7+..+99) =1716502500 =169150 Trong bài toán này ta không nhân a với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. làm tương tự với các bài toán: 2.6 Bài toán 6: Tính: A= 1.2.3+3.4.5+5.6.7+…+99.100.101 Giải: A= 1.3(53)+3.5(73)+5.7(93)+…+99.101(1033) =(1.3.5+3.5.7+5.7.9+...+99.101.103)(1.3.3+3.5.3+...+99.101.3) =(15+99.101.103.105):83(1.3+3.5+5.7+...+99.101) =135174003.171650 =13002450 2.7 Bài toán 7: Tính: A=13+23+33+...+1003 Giải: Sử dụng: (n1)n(n+1)=n3n n3=n+(n1)n(n+1) 13
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: A= 1+2+1.2.3+3+2.3.4+...+100+99.100.101 =(1+2+3+...+100)+(1.2.3+2.3.4+...+99.100.101) =5050+101989800 =101994850 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 7 ta có bài toán: 2.7 Bài toán 8: Tính: A= 13+33+53+...+993 Giải: Sử dụng (n2)n(n+2)=n34n n3=(n2)n(n+2)+4n A= 1+1.3.5+4.3+3.5.7+4.5+...+97.99.101+4.99 = 1+(1.3.5+3.5.7+...+97.99.101)+4(3+5+7+...+99) = 1+ 12487503+9996 =12497500 Với khoảng cách là a ta tách: (na)n(n+a)=n3a2n Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 8 ta có: 2.9 Bài toán 9: Tính: A= 1.22+2.32+3.42+...+99.1002 Giải: A= 1.2(31)+2.3(41)+3.4(51)+...99.100(1011) =1.2.31.2+2.3.42.3+3.4.53.4+...+99.100.10199.100 =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+99.100.101)(1.2+2.3+3.4+...+99.100) =25497450333300 =25164150 Với cách khai thác như trên ta có thể khai thác, phát triển các bài toán trên thành rất nhiều bài toán hay mà trong quá trình giải đòi hỏi học sinh 14
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: phải có sự linh hoạt, sáng tạo. Trong các bài toán trên ta có thể thay đổi số hạng cuối cùng của dãy số bằng số hạng tổng quát theo quy luật của dãy. * Vận dụng cách giải trên hãy giải các bài toán sau: 1. Tính A = 1.99+2.98+3.97+...+49.51+50.50 2. Tính B = 1.3+5.7+9.11+...+97.101 3. Tính C = 1.3.53.5.7+5.7.97.9.11+...97.99.101 4. Tính D = 1.99+3.97+5.95+...+49.51 5. Tính E = 1.33+3.53+5.73+...+49.513 6. Tính F = 1.992+2.982+3.972+...+49.512 3. Dạng 3: Dãy phân số Các kiến thức 1 1 1 1) = − . n(n + 1) n n + 1 k �1 1 � 2) =k� �− �. n(n + 1) �n n + 1 � 1 1 �1 1 � 3) = ��− �. n(n + k ) k �n n + k � k �1 1 � 4) =� − �. n(n + k ) �n n + k � 1 1 1 �1 1 � 1 �1 1 � 5) = = �� − �= ��− �. 2n(2n + 2) 4n(n + 1) 2 �2n 2n + 2 � 4 �n n + 1 � 1 1 � 1 1 � 6) = �� − �. (2n + 1)(2n + 3) 2 �2n + 1 2n + 3 � 1 1 1 7) < 2< . n.(n + 1) n (n − 1).n (Trong đó: n, k N∗ , n > 1 ) 15
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: 3.1 Bài toán 1: Chứng minh rằng 1 1 1 1 2 3 99 100 1 ... ... 2 3 100 2 3 4 100 *) Hướng dẫn tìm lời giải: Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, ta phải biến đổi vế trái bằng vế phải. Ở bài này ta thấy vế phải của đẳng thức là tổng của các phân số có mẫu lớn hơn tử 1 đơn vị. Để tổng mỗi phân số đó với một phân số nào đó bằng 1 thì ta phải cộng vế phải với biểu thức trong ngoặc của vế trái. Từ đó ta có điều phải chứng minh. *) Cách giải: 1 1 1 1 2 3 99 100 1 ... ... 2 3 100 2 3 4 100 1 1 1 Cộng vào hai vế của đẳng thức trên với 1 ... ta được đẳng 2 3 100 thức mới như sau: 1 1 1 1 1 1 1 2 3 99 100 1 ... + 1 ... = ... 2 3 100 2 3 100 2 3 4 100 1 1 1 + 1 ... 2 3 100 1 1 2 1 3 1 99 1 100= 1+ + + +…+ 2 2 3 3 4 4 100 100 100=1+1+1+1+…+1 100 số 1 100=100 (đpcm) 3.2 Bài toán 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 3 4 a) Cho S = + + + ... + . Chứng minh rằng: < S < 31 32 33 360 5 5 16
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: 1 1 1 1 b) 2 + 2 + 2 +...+ S < + + = < = 30 40 50 60 60 5 10 10 10 37 36 3 => S > + + = < = 40 50 60 60 60 5 b) Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu là bình phương của một số tự nhiên n. (n 2 ). 1 1 1 1 1 1 1 1 2 < = ; 2 < = 2 1.2 1 2 3 2.3 2 3 1 1 1 1 2 < = ; ... 4 3.4 3 4 1 1 1 1 2 < = 100 99.100 99 100 a b Sau đó áp dụng tính chất: => a+c
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: 1 1 1 1 Mở rộng bài toán: Chứng minh rằng: A= 2 + 2 + 2 +...+ 2
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a1 ; a2 ; ... ; a44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì 1 1 1 1 1 1 2 2 ... 2 ... a1 a2 a44 22 32 45 2 Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : 3.8 Bài toán 8: Tìm các số tự nhiên khác nhau a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a43 ; a44 sao cho 1 1 1 2 2 ... 2 1 a1 a2 a44 Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau : 3.9 Bài toán 9: Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ... ; a44 thỏa mãn 1 1 1 2 2 ... 2 1 a1 a2 a44 Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. 3.10 Bài toán 10: Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ... ; a44 ; a45 thỏa mãn a1
Chuyên đề: Dãy số viết theo quy luật GV: 1 1 1 1 1 + + +L + + b) B = 299 3 984 97 99 100 1 . + + +L + 1 2 3 99 Hướng dẫn: a) Biến đổi số bị chia: 1 1 1 1 1 1 1 100 100 100 100 (1 + ) + ( + ) + ( + ) +L+ ( + ) = + + +L 99 3 97 5 95 49 51 1.99 3.97 5.95 49.51 Biểu thức này gấp 50 lần số chia. Vậy A = 50. 100 − 1 100 − 2 100 − 3 100 − 99 + + +L + = 1 2 3 99 �100 100 100 100 � �1 2 3 99 � b) Biến đổi số chia: = �1 + 2 + 3 + L + 99 �− �1 + 2 + 3 + L + 99 �= � �� 1 1 1 � �1 1 1 1 � = 100 + 100 � + + L + �− 99 = 1 + 100 � + + L + + � �2 3 99 � �2 3 99 100 � 1 Biểu thức này bằng 100 lần số bị chia. Vậy B = . 100 4. Dạng 4: Tính tổng, tính số số hạng của dãy. 1. Công thức tính số hạng thứ n của một dãy cộng (khi biết n và d) Xét dãy cộng a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an trong đó a2 = a1 + d . Ta có: a3 = a1 + 2d ; a4 = a1 + 3d ;... Tổng quát: an = a1 + (n − 1)d (I) Trong đó : n gọi là số số hạng của dãy cộng d hiệu giữa hai số hạng liên tiếp an − a1 Từ (I) ta có: n = + 1 (II) d Công thức (II) giúp ta tính được số số hạng của một dãy cộng khi biết : Số hạng đầu a1 , số hạng cuối an và hiệu d giữa hai số hạng liên tiếp. 2. Để tính tổng S các số hạng của dãy cộng: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ,..., an . Ta viết: S = a1 + a2 + L + an −1 + an S = an + an −1 + L + a2 + a1 20