Chuyên đề LTĐH: Chuyên đề 6 - Ôn tập lượng giác phương trình lượng giác

Chia sẻ: Van Thien Tuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

160
lượt xem 22
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo Chuyên đề luyện thi Đại học: Chuyên đề 6 - Ôn tập lượng giác phương trình lượng giác tư liệu này sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi sắp tới. Chúc các bạn thành công.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề LTĐH: Chuyên đề 6 - Ôn tập lượng giác phương trình lượng giác

Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuyeân ñeà 6 ÔN T P LƯ NG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC TÓM T T GIÁO KHOA A. CÔNG TH C LƯ NG GIÁC I. Ñôn vò ño goùc vaø cung: 1. Ñoä: 180 o Goùc 10 = 1 goùc beït . O x 180 y 2. Radian: (rad) 1800 = π rad 3. Baûng ñoåi ñoä sang rad vaø ngöôïc laïi cuûa moät soá goùc (cung ) thoâng duïng: Ñoä 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Radian 0 π π π π 2π 3π 5π π 2π 6 4 3 2 3 4 6 II. Goùc löôïng giaùc & cung löôïng giaùc: 1. Ñònh nghóa: y (tia ng n) y ( i m ng n) + + B α t t α M x α O x A ( i m g c) O (tia g c) (Ox , Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) AB = α + k 2π 32
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 2. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: Soá ño cuûa moät soá cung löôïng giaùc ñaëc bieät: AM = α + k2π y A → 2kπ B + B → π + 2kπ 2 C → π + 2kπ C O A x M D → - π + 2kπ 2 D − A, C → kπ B, D → π + kπ 2 y t III. Ñònh nghóa haøm soá löôïng giaùc: B u u' 1 + 1. Ñöôøng troøn löôïng giaùc: • A: ñieåm goác −1 R =1 1 x • x'Ox : truïc coâsin ( truïc hoaønh ) x' C O A • y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) • t'At : truïc tang −1D − • u'Bu : truïc cotang t' y' 2. Ñònh nghóa caùc haøm soá löôïng giaùc: a. Ñònh nghóa: Treân ñöôøng troøn löôïng giaùc cho AM = α . Goïi P, Q laàn löôït laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân x'Ox vaøø y'Oy T, U laàn löôït laø giao ñieåm cuûa tia OM vôùi t'At vaø u'Bu Ta ñònh nghóa: y t t Tr c sin Tr c cotang u' B U u Q M T + cos α = OP t α α sin α = OQ x x' O P A tanα = AT − cot α = BU Tr c cosin −1 Tr c tang y' t' 33
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn b. Caùc tính chaát : • Vôùi moïi α ta coù : −1 ≤ sin α ≤ 1 hay sinα ≤ 1 −1 ≤ cosα ≤ 1 hay cosα ≤ 1 π • tanα xaùc ñinh ∀α ≠ + kπ 2 • cotα xaùc ñinh ∀α ≠ kπ c. Tính tuaàn hoaøn sin(α + k 2π ) = sin α cos(α + k 2π ) = cos α (k ∈ Z ) tan(α + kπ ) = tan α cot(α + kπ ) = cot α IV. Giaù trò caùc haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc ) ñaëc bieät: Ta neân söû duïng ñöôøng troøn löôïng giaùc ñeå ghi nhôù caùc giaù trò ñaëc bieät y t 3 - 3 -1 - 3 /3 B π /2 3 /3 1 3 u' 1 π/3 u 2π/3 3 /2 π/4 3π/4 2 /2 π/6 5π/6 3 /3 1/2 + x' π - 3 /2 - 2 /2 -1/2 1/2 2 /2 3 /2 1 A (Ñieåm goác) x -1 O -1/2 − -π/6 - 3 /3 - 2 /2 - 3 /2 -π/4 -1 -π/3 -1 -π/2 π - 3 y' t' 34
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Goùc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 0 π π π π 2π 3π 5π π 2π Hslg 6 4 3 2 3 4 6 sin α 0 1 2 3 1 3 2 1 0 0 2 2 2 2 2 2 cos α 1 3 2 1 0 1 2 3 -1 1 − − − 2 2 2 2 2 2 tan α 0 3 1 3 kxñ − 3 -1 3 0 0 − 3 3 cot α kxñ 3 1 3 0 3 -1 − 3 kxñ kxñ − 3 3 V. Haøm soá löôïng giaùc cuûa caùc cung (goùc) coù lieân quan ñaëc bieät: Ñoù laø caùc cung : π π 1. Cung ñoái nhau : α vaø -α (toång baèng 0) (Vd: &− ,…) 6 6 π 5π 2. Cung buø nhau : α vaø π -α ( toång baèng π ) (Vd: & ,…) 6 6 π π π π 3. Cung phuï nhau : α vaø −α ( toång baèng ) (Vd: & ,…) 2 2 6 3 π π π 2π 4. Cung hôn keùm : α vaø +α (Vd: & ,…) 2 2 6 3 π 7π 5. Cung hôn keùm π : α vaø π + α (Vd: & ,…) 6 6 1. Cung ñoái nhau: 2. Cung buø nhau : cos(−α ) = cos α cos(π − α ) = − cos α sin(−α ) = − sin α Ñoái cos Buø sin sin(π − α ) = sin α tan(−α ) = − tan α tan(π − α ) = − tan α cot(−α ) = − cot α cot(π − α ) = − cot α 35
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn π 3. Cung phuï nhau : 4. Cung hôn keùm 2 π π cos( − α ) = sin α cos( + α ) = − sin α 2 π 2 π Hôn keùm π sin( − α ) = cos α Phuï cheùo 2 sin( + α ) = cos α 2 sin baèng cos 2 π tan( − α ) = cotα cos baèng tröø sin π tan( + α ) = − cotα 2 2 π π cot( − α ) = tan α cot( + α ) = − tan α 2 2 5. Cung hôn keùm π : cos(π + α ) = − cos α sin(π + α ) = − sin α Hôn keùm π tan(π + α ) = tanα tang , cotang cot(π + α ) = cot α VI. Coâng thöùc löôïng giaùc: 1. Caùc heä thöùc cô baûn: 1 2 2 1 + tan 2α = cos α + sin α = 1 cos2α sinα 1 tanα = 1 + cot 2α = cosα sin 2 α cosα tanα . cotα = 1 cotα = sinα 2. Coâng thöùc coäng : cos(α + β ) = cos α .cos β − sin α .sin β cos(α − β ) = cos α .cos β + sin α .sin β sin(α + β ) = sin α .cos β + sin β .cos α sin(α − β ) = sin α .cos β − sin β .cos α tanα +tanβ tan(α +β ) = 1 − tan α .tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = 1 + tan α .tan β 36
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Coâng thöùc nhaân ñoâi: 1 + cos 2α cos2 α = 2 cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 1 − cos 2α = 1 − 2sin 2 α sin2 α = 2 = cos4 α − sin 4 α sin 2α = 2 sin α .cos α 2 tan α 1 tan 2α = sin α cos α = sin 2α 1 − tan 2 α 2 4 Coâng thöùc nhaân ba: cos 3α + 3 cos α cos 3 α = cos 3α = 4 cos 3 α − 3cos α 4 sin 3α = 3sin α − 4sin 3 α 3 sin α − sin 3α sin 3 α = 4 5. Coâng thöùc haï baäc: 1 + cos 2α 1 − cos 2α 1 − cos 2α cos2 α = ; sin2 α = ; tan2 α = 2 2 1 + cos 2α α 6.Coâng thöùc tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan 2 2t 1 − t2 2t sin α = ; cos α = ; tan α = 1 + t2 1 + t2 1 − t2 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång : 1 cosα .cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β )] 2 1 sin α .sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] 2 1 sin α .cos β = [sin(α + β ) + sin(α − β )] 2 37
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 8. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích : α +β α −β cos α + cos β = 2 cos .cos 2 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin .sin 2 2 α +β α −β sin α + sin β = 2 sin .cos 2 2 α +β α −β sin α − sin β = 2 cos .sin 2 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β 9. Caùc coâng thöùc thöôøng duøng khaùc: π π 3 + cos 4α cosα + sin α = 2 cos(α − ) = 2 sin(α + ) cos 4 α + sin 4 α = 4 4 4 π π 5 + 3 cos 4α cosα − sin α = 2 cos(α + ) = − 2 sin(α − ) cos6 α + sin 6 α = 4 4 8 B. PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC Caùc böôùc giaûi moät phöông trình löôïng giaùc Böôùc 1: Tìm ñieàu kieän (neáu coù) cuûa aån soá ñeå hai veá cuûa pt coù nghóa Böôùc 2: Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi töông ñöông ñeå bieán ñoåi pt ñeán moät pt ñaõ bieát caùch giaûi Böôùc 3: Giaûi pt vaø choïn nghieäm phuø hôïp ( neáu coù) Böôùc 4: Keát luaän I. Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng )  u = v+k2π sinu=sinv ⇔   u = π -v+k2π  u = v+k2π cosu=cosv ⇔  ⇔ u = ± v + k2π  u = -v+k2π π tanu=tanv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ + kπ ) 2 cotu=cogv ⇔ u = v+kπ (u;v ≠ kπ ) ( u; v laø caùc bieåu thöùc chöùa aån vaø k ∈ Z ) 38
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Ví d : (B.2013) Ví d : (C .2013) II. Caùc phöông trình löôïng giaùc cô baûn: 1. Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m ∈ R ) * Gpt : sinx = m (1) • Neáu m > 1 thì pt(1) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù  x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔   x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) • Neáu m > 1 thì pt(2) voâ nghieäm • Neáu m ≤ 1 thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù  x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔   x = − β +k2π * Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) • Ñaët m = tan γ thì (3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotx = m (4) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) • Ñaët m = cot δ thì (4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ Caùc tröôøng hôïp ñaëc bieät: y π sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π B 2 + sinx = 0 ⇔ x = kπ π sin x = 1 ⇔ x =+ k 2π x 2 C O A cosx = −1 ⇔ x = π + k 2π π − cosx = 0 ⇔ x= + kπ D 2 cos x = 1 ⇔ x = k 2π 39
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài t p rèn luy n 1) cos10 x + 2 cos 2 4 x + 6 cos 3 x.cos x = cos x + 8cos x.cos3 3 x ( x = k 2π ) 2 π 2) cos 3 x.cos3 x + s in3x.sin 3 x = (x=± + kπ ) 4 8 3 2 π 3) 2 tan x + cot x = + (x= + kπ ) 3 s in2x 6 tan x + sin x x 2π 4) 3 = 4 cos 2 (x=± + k 2π ) tan x − sin x 2 3 3 cos 2 x π 5) = 3 + s in4x (x=± + kπ ) 2 π 12 cos  x +   4 s in3x + cos 3 x π 6) = 3cos x + sin x (x=− + kπ ) 1 + 2sin 2 x 4 2. Daïng 2: a sin 2 x + b sin x + c = 0 a cos2 x + b cos x + c = 0 ( a ≠ 0) a tan 2 x + b tan x + c = 0 a cot 2 x + b cot x + c = 0 Caùch giaûi: Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta ñöôïc phöông trình : at 2 + bt + c = 0 (1) Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy ra x Chuù yù : Phaûi ñaët ñieàu kieän thích hôïp cho aån phuï (neáu coù) Bài t p rèn luy n  s in3x + cos 3 x  π 1) 5  + sin x  = cos 2 x + 3 (x=± + k 2π )  1 + 2 sin 2 x  3 kπ π kπ 2 4 cos5 x sin x − 4 sin 5 x cos x = sin 2 4 x (x= ,x = + ) 4 8 2 cos 2 x + 3cot 2 x + s in4x π 7π 3) =2 (x=− + kπ , x = + kπ ) cot 2 x − cos 2 x 12 12 4) ( 2 sin x + 3 2 ) cos x − 2 cos 2 x −1 =1 (x= π + k 2π ) 1 + sin 2 x 4 40
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 3. Daïng 3: a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0) (Phương trình b c nh t i v i cosx và sinx) Caùch giaûi: • Chia hai veá cuûa phöông trình cho a 2 + b 2 thì pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = (2) a2 + b 2 a2 + b2 a2 + b 2 a b • Ñaët = cosα vaø = sin α vôùi α ∈ [ 0;2π ) thì : a2 + b2 a2 + b 2 c (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = a2 + b 2 c ⇔ cos(x-α ) = (3) a2 + b 2 Pt (3) coù daïng 1. Giaûi pt (3) tìm x. Chuù yù : Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b 2 ≥ c 2 Bài t p rèn luy n π kπ 7π kπ 1) 3sin 4 x − 3 cos12 x = 1 + 4 sin 3 4 x (x= + ;x = + ) 24 6 72 6 2π ( ) 2) 3 cos x + 3 sin x = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x (x= 3 + k 2π ; x = k 2π ) 3 3 π kπ π kπ ( ) 3) 4 sin 6 x + cos 6 x + 2 s in4x = 1 (x= + 4 2 ;x = − + 12 2 ) 1 3 π π kπ 4) + = 8sin x ( x = + kπ ; x = − + ) sin x cos x 6 12 2 3x x  π π 7π 5) 2 sin cos − 2sin  x +  = 3 ( cos 2 x − cos x ) + 1 ( x = + kπ ; x = + kπ ) 2 2  3 4 12 41
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn d. Daïng 4: a sin 2 x + b sin x.cos x + c cos2 x = 0 (a;c ≠ 0) (1) (Phương trình ng c p b c hai i v i sin và cos) Caùch giaûi 1: 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x Aùp duïng coâng thöùc haï baäc : sin 2 x = vaø cos2 x = 2 2 1 vaø coâng thöùc nhaân ñoâi : sin x.cos x = sin 2 x thay vaøo (1) ta seõ bieán ñoåi pt (1) veà daïng 3 2 Caùch giaûi 2: ( Quy veà pt theo tang hoaëc cotang ) Chia hai veá cuûa pt (1) cho cos2 x ta ñöôïc pt: a tan2 x + b tan x + c = 0 Ñaây laø pt daïng 2 ñaõ bieát caùch giaûi. π Chuù yù: Tröôùc khi chia phaûi kieåm tra xem x = + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? 2 Ví duï : Giaûi phöông trình: 3 sin 2 x + (1 − 3 ) sin x. cos x − cos 2 x + 1 − 3 = 0 Nói thêm: Phương trình d ng ng c p b c ba: a sin 3 x + b sin 2 x cos x + c sin x cos 2 x + d cos3 x = 0 ho c các ng c p cao hơn s th c hi n theo cách gi i 2. d. Daïng 5: a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 (1) Caùch giaûi : π • Ñaët t = cos x + sin x = 2 cos( x − ) vôùi - 2 ≤ t ≤ 2 4 2 t2 − 1 Do (cos x + sin x ) = 1 + 2 sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= 2 • Thay vaøo (1) ta ñöôïc phöông trình : t2 − 1 at + b + c = 0 (2) 2 π • Giaûi (2) tìm t . Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: 2 cos( x − ) = t tìm x. 4 42
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Chuù yù : Ta giaûi töông töï cho pt coù daïng : a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = 0 4. Caùc phöông phaùp giaûi phöông trình löôïng giaùc thöôøng söû duïng : a. Phöông phaùp 1: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà moät trong caùc daïng pt löôïng giaùc cô baûn ñaõ bieát Ví duï 1: (B-2012) Ví du 2ï: Giaûi phöông trình: 3 1) sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x − =0 2 2) sin 3x − 3 cos 3x = 2 s in2x 1 3) tan x − 3 = cos x b. Phöông phaùp 2: Bieán ñoåi pt ñaõ cho veà daïng tích soá Cô sôû cuûa phöông phaùp laø döïa vaøo caùc ñònh lyù sau ñaây:  A=0  A=0 A.B = 0 ⇔  hoaëc A.B.C = 0 ⇔  B=0   B=0 C=0  Ví du 1ï : (D-2013) Ví du 2ï: (A-2012) Ví du 3 : (D-2012) Ví duï 4: (A-2013) Ví du 5: Giaûi caùc phöông trình : a. sin2 x + sin2 2 x + sin2 3 x = 2 b. 2sin3 x + cos 2 x − cos x = 0 c. Phöông phaùp 3: Bieán ñoåi pt veà daïng coù theå ñaët aån soá phuï Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : • Phöông trình chöùa cuøng moät moät haøm soá löôïng giaùc ( cuøng cung khaùc luõy thöøa) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a. cos 3 x + cos 2 x − cos x − 1 = 0 b. 4 cos 3 x − cos 2 x − 4 cos x + 1 = 0 43
Chuyên LT H Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn • Phöông trình coù chöùa (cos x ± sin x ) vaø sinx.cosx 3 Ví duï : Giaûi phöông trình : 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x 2 BÀI T P RÈN LUY N Bài 1: Gi i các phương trình lư ng giác sau 1 1  7π  1) + = 4 sin  − x 4  sin x sin x − 3π         2 2) 2 sin x (1 + cos 2x ) + sin 2x = 1 + 2 cos x 3) sin 3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x Bài 2: Gi i các phương trình lư ng giác sau 1) (1 + sin2 x ) cos x + (1 + cos2 x ) sin x = 1 + s in2x 2) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x  x x 2 3) sin + cos  + 3 cos x = 2    2 2 Bài 3: Gi i các phương trình lư ng giác sau 2 (cos6 x + sin 6 x ) − sin x cos x 1) =0 2 − 2 sin x  x 2) cot x + sin x 1 + tan x tan  = 4    2 3) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0 Bài 4: Gi i các phương trình lư ng giác sau 1) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0 2) 1 + sin x + cos x + s in2x+cos2x=0  π  π 3 3) cos4 x + sin 4 x + sin 3x −  cos x −  − = 0      4  4 2 Bài 5: Gi i các phương trình lư ng giác sau cos 2x 1 1) cot x − 1 = + sin2 x − s in2x 1 + tan x 2 2 2) 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) tan x 3) (2cosx − 1)(2 sin x + cos x ) = s in2x − sin x ------------------------------------H t---------------------------------- 44