CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 29

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong lý thuyết phi tương đối tính, trường thuần tĩnh điện không có ảnh hưởng khác biệt nào lên hạt có spin so với hạt không có spin: moment từ riêng chỉ thể hiện trong tương tác với từ trường.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 29

Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 29 NGUYÊN TỬ TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Trong lý thuyết phi tương đối tính, trường thuần tĩnh điện không có ảnh hưởng khác biệt nào lên hạt có spin so với hạt không có spin: moment từ riêng chỉ thể hiện trong tương tác với từ trường. Ở đây, ta sẽ thấy năng lượng của electron (và nguyên tử) có một thành phần phụ thuộc spin ngay cả khi electron chỉ chịu tác dụng của trường tĩnh điện, nếu tính đến các “hiệu chỉnh tương đối tính”. Việc khảo sát trạng thái của nguyên tử ở đây là không thể thực hiện được, nếu không dùng đến phương pháp nhiễu loạn.
Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam    e   ˆ − A η cσ  pđối vớ+ mc η1 − eΦη1 = Eη1của electron 2 (26.8) 1. Các hiệu chỉnh tương đối   c  i năng lượng tính 2    e  cσ  p − như trường eΦηp=giη i Khi nhận được phương trìnhPauli c A η1 − mc 2η 2 − hợ 2 E ớ ˆ 2 hạn của (26.9)    phương trình Dirac, ta đã rút ψ 3  η =  ψ   4 Từ (26.9) và được hệ thức sau: c   e  η2 = ˆ σ p + A η1 (29.1) E + mc 2 + eΦ  c  Sau đó, coi E ≈ mc2 và bỏ qua eΦ, ta có hệ phương trình gần đúng: c   e  η2 = ˆ σ p + A η1 (29.2) 2mc  c 
Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta sẽ thay (29.2) bởi một hệ thức chính xác hơn. Muốn vậy, ta dùng khai triển sau (với x đủ nhỏ về trị tuyệt đối): 1 = 1 − x + x 2 − x 3 + ... (29.3) 1+ x Khi đó, nếu đặt E = mc2+ε thì ε và ε +eΦ sẽ đủ nhỏ và: n ( − 1)  ε + eΦ  (29.4) ∞ 1 1 1 1 1 ∑  2mc 2  n = = . = E + mc 2 + eΦ 2mc 2 + ε + eΦ 2mc 2 1 + ε + eΦ 2mc 2 n =0   2mc 2 Nếu trong khai triển (29.4) ta chỉ dữ lại số hạng bậc 0, ta nhận lại được (29.2). Muốn có kết quả chính xác hơn, ta lấy thêm số hạng bậc nhất. Khi đó: 1 1  ε + eΦ  (29.5) = . 1− 2  2  E + mc + eΦ 2mc  2 2mc 
Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam (ở đây viết dấu ‘=’ nhưng ta hiểu là gần bằng). Thế (29.5) vào (29.1), ta được:  ˆ  ε − U  σp η 2 = 1 − 2  η1 (29.6)  2mc  2mc trong đó U = eΦ. Mặt khác, từ (26.8), tức là từ phương trình:   e   ˆ cσ  p + A η 2 + mc 2η1 − eΦη1 = Eη1 (29.7)  c   với A = 0 , ta được: ( )  ˆ E − mc + eΦ η1 = cσpη 2 2  hay ( ε − U )η1 = cσpη 2 ˆ (29.8)
Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam kết hợp (29.6) và (29.8) ta có:  ˆ  ε − U  σp ( ε − U )η1 = cσp1 − ˆ 2  η1 (29.9)  2mc  2mc Bây giờ ta dùng đẳng thức sau (bạn đọc tự chứng minh !):   (   [  ˆ fσp = fp 2 − i ∇f . p + iσ ∇f × p σp ˆ ˆ ˆ ]) (29.10) Áp dụng (29.10) vào (29.9), ta được:  ε −U  p σ [ ] 2 εη1 = 1 −  η1 + Uη1 + ˆ η − i ( ∇U ) pϕ  ( ∇U ) × p 1  ˆ  2mc 2  2m 4m 2 c 2 4m 2 c 2 (29.11)
Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bây giờ ta chú ý rằng ε - U là động năng của hạt và có thể coi gần bằng 2 ˆ p 2m Khi đó toán tử ở vế phải của (29.11) sẽ là: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H = H 0 + V1 + V2 + V3 (29.12) trong đó: 2 ˆ ˆ = p +U(r )  H0 (29.13) 2m ˆ =− ˆp4 (29.14) V1 8m 3 c 2
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ V2 = σ 4m 2 c 2 [  ( ∇U ) × p ˆ ] (29.15) 2 ˆ V3 = 2 2 [ ( ∇U ) × ∇ ] (29.16) 4m c Ý nghĩa của Hˆ 0 đó là tổng năng lượng ‘phi tương đối tính’ của hạt. ˆ Toán tử V1 là hiệu chỉnh tương đối tính của động năng. ˆ Toán tử V2được gọi là năng lượng tương tác spin - quỹ đạo là rõ ràng : ˆ (chú ý rằng V2 ≠ 0 mặc dù từ trường bằng không);
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam năng lượng này phụ thuộc vào điện trường.  r dU Trong trường xuyên tâm, vì ∇U = r dr ˆ  2 dU   ˆˆ (29.17) nên: V2 = 2 MS 2mc r dr ˆ ˆ ˆ 2 Cuối cùng toán tử V3 là toán tử phi - hermitic V3+ = −V3 + ∇ 2U 4m 2 c 2 ˆ Ta lấy phần hermtic của nó và vẫn ký hiệu là V3 ˆ 2 Khi đó V3 = ∇ 2U (29.18) 8m 2 c 2 Phần năng lượng này của hạt hoàn toàn xa lạ với mọi sự cắt nghĩa cổ điển cũng như giả cổ điển.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Cấu trúc tinh tế của nguyên tử Vì trong các trạng thái dừng bên trong nguyên tử, xung lượng của electron rất nhỏ so với mc, nên có thể coi ˆ ˆ ˆ V1 ;V2 ;V3 là các nhiễu loạn, và ta có thể hạn chế bởi xấp xỉ bậc nhất. Để cho tiện, ta sẽ dùng hệ đơn vị nguyên tử, trong đó ta có 1 2 e4 3 = 2 = 2 (29.19) m m  e2 1 tỷ số có giá trị gần bằng c 137 được ký hiệu là α và gọi là hằng số cấu trúc tinh tế
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 1 2 e4 Từ (29.19) ta có: 3 = 2 = 2 m m  1 2 e4 = 2 2 = 2 2 =α2 m 3c 2 m c  c do đó: ˆ α2 4 V1 = − ˆ p 8 ˆ α 2 1 dU   ˆˆ V2 = MS 2 r dr ˆ α2 2 V3 = ∇U 8 Z trong trường Coulomb, ta có U = − Vì vậy: r
Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam α 2 2 Z πZα 2  ˆ V3 = − 3 ≈ δ (r ) 8 r 2 và trị riêng (trong xấp xỉ bậc nhất) của nó là: α 2Z 4 E3(1) = 3 δ l0 (29.20) 2n Như vậy phần năng lượng này khác 0 chitrong trạng thái với l = 0 ˆ Tiếp theo, có thể chứng tỏ rằng các trị riêng của V1 bằng:   α 2Z 4  3  − 1   E1(1) = 2n  4n 3 1 (29.21)  l+   2
Hong Duc University 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì trong giới hạn phi tương đối tính thì năng lượng của electron trong trường tĩnh điện không phụ thuộc vào spin, nên khi tính hiệu chỉnh năng lượng spin - quỹ đạo có thể coi các hàm trạng thái “không nhiễu loạn” chính là các hàm riêng đồng thời của ˆ 2 ˆ 2 và ˆ z M j j ˆ ˆ ˆ ˆ Chú ý đến đẳng thức: 2 SM = ˆ 2 − M 2 − S 2 j ˆ ˆ ta có thể viết lại V2 như sau: V2 = α 2Z 1 ˆ2 ˆ 2 ˆ 2 4 r 3 j −M −S ( ) Do đó, trị riêng tương ứng là:  Zα 4  1   3     j ( j + 1) − l ( l + 1) −  (29.22) E 21) ( =  4  r  4 0 
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Vì: 1 Z3  3=  r  n 3 l  l + 1 ( l + 1)    2 nên cuối cùng ta có (với l ≠ 0):  3 2 4  j ( j + 1) − l ( l + 1) −  α Z E 21) = (  ( 4  1−δ l0 ) (29.23) 4n 3   1   l  l + ( l + 1)    2  1 Đặc biệt, với j = l + từ (29.23) ta có 2
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam   α 2Z 4   E 21) ( =  4n   1  3 1 (  1− δl ) (29.23’)  0   l + 2 ( l + 1)     1 và với j = l − 2 thì:   α 2Z 4  1  E 21) ( =−  (  1− δl ) (29.23’’) 4n   1   3 0  l l + 2      1 Với cả j = l ± tổng hiệu chỉnh cho E1 và E2 đều là: 2
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam   α 2Z 4  3 1  (29.24) E1+ 2 = (1) 3  − 4n  4n 1 j+    2  Có thể thấy rằng (29.24) lại cũng đúng cả khi l = 0. Công thức này gọi là ‘công thức cấu trúc tinh tế’ và được A. Sommerfeld tìm ra trong năm 1916 (tức là trước khi có cơ học lượng tử). Chú ý rằng, công thức (29.24) không phụ thuộc trực tiếp vào l, nhưng dùng được cho cả hai giá trị 1 j =l± 2 với j ≠ 0 cho trước
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cũng cần lưu ý rằng công thức này cho thấy năng lượng phụ thuộc vào cả spin (vì spin phụ thuộc j), mặc dù trường ngoài là thuần tĩnh điện.
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam
Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam