CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 3
lượt xem 8
download
Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng. Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 3
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 3: C¸c to¸n tö to¹ ®é , xung lîng vµ n¨ng lîng
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta b¾t ®Çu tõ viÖc x©y dùng c¸c to¸n tö cho c¸c ®¹i lîng c¬b¶n nhÊt, Çu y ¹i Ta b¾t ® tõ viÖc x© dùng c¸c to¸n tö cho c¸c ® lîng c¬b¶n nhÊt, ®Æc trng cho mét h¹t: ®ã lµ c¸c to¸n tö to¹ ®é, xung lîng vµ n¨ng l ® Æc trng cho mét h¹t: ® lµ c¸c to¸n tö to¹ ® xung lîng vµ n¨ng l ã é, îng. îng. 1. To ¸n tö xung lîng Cã nhiÒu c¸ch kh¸c nhau ® x¸c ® Ó Þnh to¸n tö xung lîng, vµ kÕt qu¶ thùc chÊt lµ dÉn ® mét to¸n tö duy nhÊt. Õn Xin ®iÓm qua tinh thÇn cña mét vµi c¸ch. C¸c h thø nhÊt: Cã thÓ x¸c ®Þnh to¸n tö xung lîng xuÊt ph¸t tõ c¸c hÖ thøc t¬ tù nh c¸c hÖ thøc cho c¸c “mãc Poisson” ng trong C¬häc gi¶i tÝch cæ ® iÓn. C¸c h thø hai: Cã thÓ xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu: tÝnh b¶o toµn cña xung lîng ® víi hÖ kÝn èi
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le LaithÊy to¸n tö vector tho¶City, Thanh hoa, Viet nam DÔ Str. Thanh Hoa m·n yªu cÇu trªn, chÝnh lµ C¸c h thø to¸na: xuÊt ph¸t tõ ý tëng liªn quan ® c«ng thøc b tö Õn (1.1). ˆ p Cô thÓ, ta sÏ coi to¸nˆtö xung lîng lµ to¸n tö vector gåm 3 thµnh phÇn px , y pz , p ˆ ˆ (3.2) lµ to ¸n tö xung nhËn mäi vectorp( p , p , p ) ˆ sao cho p x y z lîng c Çn t×m lµm trÞ riªng, vµ c¸c hµm riªng t¬ øng ng lµ: i pr trong ® C kh«ng phô thuéc x, y, z . ã ψ p (r ) = C.e h (3.1) Chó ý: NÕu c ßn phô thué c c ¶ vµo thê i g ian t to¸n tö vectorth× s ù m·n thué c ®ã s Ï ®îc thÓ hiÖn to¸n tho¶ phô yªu cÇu trªn, chÝnh lµ qua tö hÖ s è C (C kh«ng phô thué c x, y , z ). ˆ p = −ih (3.2) , , trong ® lµ to¸n tö vector víi 3 thµnh phÇn x y z ã ThËt vËy, ta ∂ψ p i ∂ ( p x+ p y+ p z ) cã: − i (r ) = −i C. e x = p xψ p (r ) y z ∂x ∂x vµ t¬ tù víi 2 thµnh phÇn cßn l¹i. Tõ ® suy ng ã ˆ ψ (r ) = p.ψ ( r ) p p ra: p
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Hµm Dirac Muèn x¸c ® Þnh c¸c to¸n tö to¹ ® ta cÇn ® kh¸i niÖm vÒ é, Õn mét hµm sè ® Æc biÖt gäi lµ hµm Dirac (do Paul Dirac nªu ra). Víi mçi sè d¬(x ) xÐt hµm sè f png p, trªn trôc sè sao cho: (i) f p (x) =0 khi x ≤ − p hoÆc x ≥ p (i tang trªn khoang (-p; 0) vµ giam trªn (0; i) f p (x) p); p (iii) ∫f −p p ( x)dx = 1 df p ( x) ' Ngoµi ra yªu cÇu hay f ( x) p tån t¹i víi mäi x. dx §å thÞ cña hµm sè nµy cã d¹ng nh h× 1 nh .
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi cho p → 0 , hµm sè f p (x ) tiÕn ® mét hµm ® Ðn Æc biÖt (hµm Dirac trªn trôc sè): 0, nÕux ≠ 0 δ ( x) = + ∞ , nÕu = 0 x f p (x) DiÖn tÝc h h×nh ®îc g ¹c h c hÐo b»ng 1. x 0
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta quy íc: +∞ +α +∞ +p ∫ δ ( x)dx = ∫αδ ( x)dx = lim ∫ f −∞ − p →0 −∞ p ( x)dx = lim p →0 ∫f −p p ( x)dx =1 +∞ Ngoµi ra, quy íc thªm: ∫ δ ( x − x ) f ( x)dx = f ( x ) −∞ 0 0
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chó ý : DÞnh ng hi· c hÝnh x¸c c ña hµm Dirac c ã thÓ tim tro ng c ¸c tµi liÖu vÒ hµm s uy ré ng . Tuy nhiªn, ë ®©y ta kh«ng c Çn c hÝnh x¸c ho ¸ ë mø c qu¸ c ao . Ng o µi ra, c hÝnh ®Þnh ng hÜa kiÓu “s ¬ khai” nh trªn c ã vÎ ®Ñp riªng vµ mang “tÝnh l·ng m ¹n Dirac ”. TiÕp the o , hµm Dirac tro ng kh«ng g ian 3 c hiÒu δ (r ® ® nghÜa nh giíi h¹n cña tÝch f p ( x) f p ( y ) f p ( z ) ) îc Þnh khi p → 0 . Ta còng cã thÓ viÕt: δ (r ) = δ ( x)δ ( y )δ ( z ) (3.1)
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam vµ 0, nÕu ≠ 0 r : δ (r ) = + ∞ , nÕu = 0 r ® ång thêi quy δ (r )dv = 1 (3.2) íc: v + µ δ (r − r0 ) f (r )dv = f (r0 ) (3.3) − tro ng (3.2) vµ (3.3) nãi ®Õn tÝc h ph©n 3 líp trªn to µn bé kh«ng g ian
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3. To ¸n tö to ¹ ®é Mét c¸ch tù nhiªn, nÕu mét h¹t cã vÞ trÝ x¸c ® r0 Þnh thi trêng t¬ øng chØ ® phÐp kh¸c 0 t¹i r0 ng îc vµ do ® hµm trêng hay hµm tr¹ng th¸i cña h¹t phai lµ ã, δ (r − r0 ) ˆ Nh vËy, to¸n tö to¹ ® lµ to¸n tö vector r víi 3 thµnh phÇn é ˆ nhËn mäi vector r ˆ ˆ ˆ x, y, z sao cho r 0 lµm trÞ riªng, vµ hµm riªng t¬ øng ng δ (r − r0 ) lµ ˆδ ( r − r ) = r δ ( r − r ) r 0 0 0 (3.4) : .
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam , nªn lu«n cã Do δ (r − r0 ) =0 nÕu r ≠ r0 r0δ (r − r0 ) = r δ (r − r0 ) ˆ r r Tõ ® suy ra: to¸n tö chÝnh lµ phÐp nh© hµm sè víi biÕn vector ã n µ mçi thµnh phÇn cña to¸n tö lµ phÐp nh© víi biÕn to¹ ® t¬ øng n é ng ˆψ = r ψ r xψ = xψ ˆ èi ......... hËn xÐt: Mét lÇn nua ta l¹i ® mÆt víi tÝnh bÊt ® Þnh, ë ® y lµ sù © Êt ®Þnh vÒ vÞ trÝ. H¹t cã vÞ trÝ t¹i r0 khi vµ chØ khi hµm tr¹ng th¸i lµ δ (r − r0 ) NÕu hµm tr¹ng th¸i kh«ng phai lµ hµm Dirac thi h¹t kh«ng ë ® u ca. © MÆt kh¸c trong tr¹ng th¸i víi hµm trêng ψ iÓm nµo mµ ψ ≠ 0 . thi h¹t cã tiÒm nang xuÊt hiÖn t¹i bÊt kú ®
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 4. C¸c hÖ thø c g iao ho ¸n ®è i v íi c ¸c to ¸n tö thµnh p hÇn xung lîng v µ to ¹ ®é Víi ψ lµ hµm tuú ý, ta cã: xyψ = yxψ . Tõ ® suy raxy = yx ã ˆˆ ˆ ˆ nãi mét c¸ch kh¸c, hai to¸n tö to¹ ® kh¸c nhau thi giao ho¸n víi é nhau. ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ TiÕp theo ta cã ∂y = ∂y ∂x ∂x ∂ ∂ψ ∂ ∂ψ tõ ® suy ra: − i ã − i = −i − i ∂x ∂y ∂y ∂x hay p x p y = p y p x ˆ ˆ ˆ ˆ tøc lµ hai thµnh phÇn cña to¸n tö xung lîng còng giao ho¸n víi nhau.
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam B© giê ta xÐt t¬ quan gi÷ mét thµnh phÇn cña to¸n tö xung y ng a lîng vµ mét to¸n tö to¹ ® Ta cã: é. ∂ ∂ψ ∂ψ − i ( xψ ) = −i ψ + x = −i ψ + x. − i ∂x ∂x ∂x tøc lµ: p x ( xψ ) − x( p xψ ) = −i ψ ˆ ˆ ˆ ˆ hay: p x x − xp x = −i ˆ ˆ ˆˆ (3.5) vµ t¬ tù ng p y y − yp y = −i ˆ ˆ ˆˆ (3.6) p z z − zp z = −i ˆ ˆ ˆˆ (3.7) Nh vËy, to ¸n tö c ña mé t to ¹¹ ®é vµ thµnh phÇn xung lîng t Nh vËy, to ¸n tö c ña mé t to ®é vµ thµnh phÇn xung lîng t ¬ng ø ng kh«ng g iao ho ¸n víi nhau. ¬ng ø ng kh«ng g iao ho ¸n víi nhau.
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ ˆ C¸c kÕt qu¶ trªn cã thÓ diÔn ® nh sau. Víi hai to¸n töa vµ b ¹t ta ® ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ [ ] ˆ Æt ab − ba = a, b vµ gäi biÓu thøc nµy lµ ho¸n tö cña víi b ˆ a ˆ ˆ ˆ . Râ rµng a víi b lµ giao ho¸n khi vµ chØ khia, b = 0 ˆ [ ] Ngoµi ra víi . ˆ ˆ a, b tuú ý ta cã: [a, b ] = −[b, a ] ˆ ˆ ˆ ˆ V x1 = x; x 2 = y; x3 = z; p1 = p x ; p 2 = p y ; p3 = p z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ thi: íi [ ] xi , x j = 0 ˆ ˆ [ ] pi , p j = 0 ˆ ˆ (3.8) x , p = 0 nÕu ≠ j [ ˆi ˆ j ] i nÕui = j i
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 5. To ¸n tö n¨ng lîng rong c¬häc cæ ® iÓn, ®éng n¨ng T liªn hÖ víi xung lîng bëi c«ng thø p2 T= 2m Theo nguyªn lý Bohr, hÖ thøc trªn ph¶i ® gi÷nguyªn trong C¬häc îc îng tö víi viÖc thay thÕ c¸c biÕn sè bëi c¸c to¸n tö: T p2 2m 2m ( ˆ = ˆ = 1 p2 + p2 + p2 ˆx ˆy ˆz ) ˆ 2 ∂2 ∂2 ∂2 tøc lµ T =− 2 + 2 + 2 2m ∂x ∂y ∂z ˆ 2 hay T =− ∆ (3.9) 2m ∂2 ∂2 ∂2 trong ®ã ∆= 2 + 2 + 2 ∂x lµ to¸n tö Laplace. ∂y ∂z
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam © giê xÐt trêng hîp h¹t ë trong mét trêng kh¸c. Khi ® to¸n tö nang y ã, ˆ îng toµn phÇn phai b»ng tæng cña T víi to¸n tö thÕ nang U ˆ Nãi mét c¸ch kh¸c chÆt chÏ h¬ thi trêng ngoµi t¸c dông lªn h¹t mµ n ta ®ang nghiªn cøu còng phai ® lîng tö ho¸. îc Tuy nhiªn, trong thùc tÕ thi rÊt nhiÒu bµi to¸n cã thÓ giai víi ®é chÝnh x¸c cao, khi xem trêng ngoµi nµy lµ trêng cæ ® iÓn, tøc lµ hµm cña ® iÓm. Khi ® to¸n tö thÕ nang sÏ ® xem nh phÐp nh© hµm ã, îc n ψ tr¹ng th¸i cña h¹t víi hµm thÕ nang U(x, y, z ):
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆψ (r ) = U (r )ψ (r ) U (3.10) Nh vËy, to¸n tö n¨ng lîng toµn phÇn sÏ lµ: ˆ = − ∆ +U H ˆ (3.11) 2m víi Uˆ lµ to¸n tö x¸c ®Þnh bëi (3.10).
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ViÖc chÊp nhËn hÖ thøc (3.11) hîp lý ®Õn møc nµo, Õn ViÖc chÊp nhËn hÖ thøc (3.11) hîp lý ® møc nµo, ®iÒu ®ã chØ cã thÓ ®îc quyÕt ®Þnh bëi viÖc ®èi ®iÒu ® chØ cã thÓ ® quyÕt ® ã îc Þnh bëi viÖc ®èi chiÕu c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt víi c¸c sè liÖu thùc chiÕu c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt víi c¸c sè liÖu thùc nghiÖm. nghiÖm. M« h×nh KÕt qu¶ hîp lý ® møc nµo? ? ? ? ? ? Õn Lý thuyÕt thùc nghiÖm
- Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cho ®Õn nay, quan ®iÓmx©y dùng to¸n tö n¨ng lîng Õn Cho ® nay, quan ® iÓm x© dùng to¸n tö n¨ng lîng y nh nh vËy nãi chung vÉn cho nh÷ng kÕt qu¶ víi ®é chÝnh ng é vËy nãi chung vÉn cho nh÷ kÕt qu¶ víi ® chÝnh x¸c “®ñ dïng”. ñ x¸c “® dïng”. Cßn nÕu muèn cã c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt chÝnh x¸c Cßn nÕu muèn cã c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt chÝnh x¸c h¬n n÷a ta cÇn dïng mét lý thuyÕt “cao h¬n”lý thuyÕt n a n” h¬ n÷ ta cÇn dïng mét lý thuyÕt “cao h¬ lý thuyÕt trêng lîng tö. trêng lîng tö.
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Vật lí đại cương - Các nguyên lý và ứng dụng - Tập 3: Quang học và vật lí lượng tử - Trần Ngọc Hợi (chủ biên)
420 p | 1543 | 527
-
Quang học và vật lí lượng tử: Tập 3 Vật lí đại cương
420 p | 454 | 213
-
CHƯƠNG 3: Kiến thức cơ bản về cơ học lượng tử
36 p | 484 | 177
-
Giáo trình Cơ học chất lỏng 5
14 p | 261 | 93
-
Vật lý đại cương - Cơ học lượng tử phần 3
10 p | 304 | 79
-
Vật lí điện tử và bán dẫn - Chương 3
47 p | 193 | 48
-
Chương 2 Áp dụng cơ học lượng tử vào cấu tạo nguyên tử
58 p | 251 | 25
-
lý thuyết hạt cơ bản: phần 1
20 p | 102 | 21
-
Chương 3 Áp dụng cơ học lượng tử vào cấu tạo phân tử
73 p | 92 | 16
-
vật lý hạt nhân hiện đại (phần i: cấu trúc hạt nhân): phần 2
142 p | 89 | 14
-
Vật lý hiện đại (modern physics) - Chương 3
20 p | 99 | 11
-
Đề thi cuối kì - Khóa 2010 - Môn học: Cơ học lượng tử - Năm học: 2011-2012
4 p | 120 | 8
-
Xây dựng quy trình nhân nhanh cây đinh lăng có hàm lượng Saponin cao bằng phương pháp in vitro
9 p | 115 | 7
-
Phát xạ huỳnh quang của các chấm lượng tử CdSe và CdSe/Cds cho ứng dụng đánh dấu sinh học
7 p | 82 | 4
-
Giáo trình Hóa lý - Cấu tạo phân tử và liên kết hóa học (Tái bản): Phần 2
140 p | 16 | 4
-
Chế tạo và nghiên cứu tính chất quang của các hạt nano chấm lượng tử CdSe cho ứng dụng đánh dâu sinh học
7 p | 86 | 2
-
Các nguyên lý và ứng dụng Vật lí đại cương (Tập 3): Phần 2
221 p | 7 | 2
-
Khả năng hấp thụ năng lượng cơ học của cấu trúc các bon ba chiều
9 p | 5 | 1
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn