intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 3

Chia sẻ: Lê Nam | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:18

Thêm vào BST
Báo xấu
61
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta bắt đầu từ việc xây dựng các toán tử cho các đại lượng cơ bản nhất, đặc trưng cho một hạt: đó là các toán tử toạ độ, xung lượng và năng lượng. Có nhiều cách khác nhau để xác định toán tử xung lượng, và kết quả thực chất là dẫn đến một toán tử duy nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ - BÀI 3

  1. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 3: C¸c to¸n tö to¹ ®é , xung l­îng vµ n¨ng l­îng
  2. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta b¾t ®Çu tõ viÖc x©y dùng c¸c to¸n tö cho c¸c ®¹i l­îng c¬b¶n nhÊt, Çu y ¹i Ta b¾t ® tõ viÖc x© dùng c¸c to¸n tö cho c¸c ® l­îng c¬b¶n nhÊt, ®Æc tr­ng cho mét h¹t: ®ã lµ c¸c to¸n tö to¹ ®é, xung l­îng vµ n¨ng l­ ® Æc tr­ng cho mét h¹t: ® lµ c¸c to¸n tö to¹ ® xung l­îng vµ n¨ng l­ ã é, îng. îng. 1. To ¸n tö xung l­îng Cã nhiÒu c¸ch kh¸c nhau ® x¸c ® Ó Þnh to¸n tö xung l­îng, vµ kÕt qu¶ thùc chÊt lµ dÉn ® mét to¸n tö duy nhÊt. Õn Xin ®iÓm qua tinh thÇn cña mét vµi c¸ch. C¸c h thø nhÊt: Cã thÓ x¸c ®Þnh to¸n tö xung l­îng xuÊt ph¸t tõ c¸c hÖ thøc t­¬ tù nh­ c¸c hÖ thøc cho c¸c “mãc Poisson” ng trong C¬häc gi¶i tÝch cæ ® iÓn. C¸c h thø hai: Cã thÓ xuÊt ph¸t tõ yªu cÇu: tÝnh b¶o toµn cña xung l­îng ® víi hÖ kÝn èi
  3. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le LaithÊy to¸n tö vector tho¶City, Thanh hoa, Viet nam DÔ Str. Thanh Hoa m·n yªu cÇu trªn, chÝnh lµ C¸c h thø to¸na: xuÊt ph¸t tõ ý t­ëng liªn quan ® c«ng thøc b tö Õn (1.1).  ˆ p Cô thÓ, ta sÏ coi to¸nˆtö xung l­îng lµ to¸n tö vector gåm 3 thµnh phÇn px , y pz , p ˆ ˆ  (3.2) lµ to ¸n tö xung  nhËn mäi vectorp( p , p , p ) ˆ sao cho p x y z l­îng c Çn t×m lµm trÞ riªng, vµ c¸c hµm riªng t­¬ øng ng lµ: i   pr trong ® C kh«ng phô thuéc x, y, z . ã ψ p (r ) = C.e  h (3.1) Chó ý: NÕu c ßn phô thué c c ¶ vµo thê i g ian t to¸n tö vectorth× s ù m·n thué c ®ã s Ï ®­îc thÓ hiÖn to¸n tho¶ phô yªu cÇu trªn, chÝnh lµ qua tö  hÖ s è C (C kh«ng phô thué c x, y , z ). ˆ p = −ih (3.2)  , , trong ® lµ to¸n tö vector víi 3 thµnh phÇn x y z ã ThËt vËy, ta ∂ψ p   i ∂  ( p x+ p y+ p z )  cã: − i (r ) = −i C. e x = p xψ p (r ) y z  ∂x ∂x vµ t­¬ tù víi 2 thµnh phÇn cßn l¹i. Tõ ® suy  ng ã    ˆ ψ  (r ) = p.ψ  ( r ) p p ra: p
  4. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 2. Hµm Dirac Muèn x¸c ® Þnh c¸c to¸n tö to¹ ® ta cÇn ® kh¸i niÖm vÒ é, Õn mét hµm sè ® Æc biÖt gäi lµ hµm Dirac (do Paul Dirac nªu ra). Víi mçi sè d­¬(x ) xÐt hµm sè f png p, trªn trôc sè sao cho: (i) f p (x) =0 khi x ≤ − p hoÆc x ≥ p (i tang trªn khoang (-p; 0) vµ giam trªn (0; i) f p (x) p); p (iii) ∫f −p p ( x)dx = 1 df p ( x) ' Ngoµi ra yªu cÇu hay f ( x) p tån t¹i víi mäi x. dx §å thÞ cña hµm sè nµy cã d¹ng nh­ h× 1 nh .
  5. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Khi cho p → 0 , hµm sè f p (x ) tiÕn ® mét hµm ® Ðn Æc biÖt (hµm Dirac trªn trôc sè): 0, nÕux ≠ 0 δ ( x) =  + ∞ , nÕu = 0 x f p (x) DiÖn tÝc h h×nh ®­îc g ¹c h c hÐo b»ng 1. x 0
  6. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Ta quy ­ íc: +∞ +α +∞ +p ∫ δ ( x)dx = ∫αδ ( x)dx = lim ∫ f −∞ − p →0 −∞ p ( x)dx = lim p →0 ∫f −p p ( x)dx =1 +∞ Ngoµi ra, quy ­íc thªm: ∫ δ ( x − x ) f ( x)dx = f ( x ) −∞ 0 0
  7. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Chó ý : DÞnh ng hi· c hÝnh x¸c c ña hµm Dirac c ã thÓ tim tro ng c ¸c tµi liÖu vÒ hµm s uy ré ng . Tuy nhiªn, ë ®©y ta kh«ng c Çn c hÝnh x¸c ho ¸ ë mø c qu¸ c ao . Ng o µi ra, c hÝnh ®Þnh ng hÜa kiÓu “s ¬ khai” nh­ trªn c ã vÎ ®Ñp riªng vµ mang “tÝnh l·ng m ¹n Dirac ”. TiÕp the o , hµm Dirac tro ng kh«ng g ian 3 c hiÒu  δ (r ® ® nghÜa nh­ giíi h¹n cña tÝch f p ( x) f p ( y ) f p ( z ) ) ­îc Þnh khi p → 0 . Ta còng cã thÓ viÕt:  δ (r ) = δ ( x)δ ( y )δ ( z ) (3.1)
  8. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam  vµ  0, nÕu ≠ 0 r : δ (r ) =   + ∞ , nÕu = 0 r ® ång thêi quy ­  δ (r )dv = 1 (3.2) íc: v +   µ δ (r − r0 ) f (r )dv = f (r0 ) (3.3) − tro ng (3.2) vµ (3.3) nãi ®Õn tÝc h ph©n 3 líp trªn to µn bé kh«ng g ian
  9. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 3. To ¸n tö to ¹ ®é  Mét c¸ch tù nhiªn, nÕu mét h¹t cã vÞ trÝ x¸c ® r0 Þnh thi tr­êng t­¬ øng chØ ® phÐp kh¸c 0 t¹i r0 ng ­îc vµ do ® hµm tr­êng hay hµm tr¹ng th¸i cña h¹t phai lµ ã,   δ (r − r0 )  ˆ Nh­ vËy, to¸n tö to¹ ® lµ to¸n tö vector r víi 3 thµnh phÇn é  ˆ nhËn mäi vector r  ˆ ˆ ˆ x, y, z sao cho r 0 lµm trÞ riªng, vµ hµm riªng t­¬ øng ng   δ (r − r0 ) lµ       ˆδ ( r − r ) = r δ ( r − r ) r 0 0 0 (3.4) : .
  10. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam    , nªn lu«n cã  Do δ (r − r0 ) =0 nÕu r ≠ r0       r0δ (r − r0 ) = r δ (r − r0 )  ˆ  r r Tõ ® suy ra: to¸n tö chÝnh lµ phÐp nh© hµm sè víi biÕn vector ã n µ mçi thµnh phÇn cña to¸n tö lµ phÐp nh© víi biÕn to¹ ® t­¬ øng n é ng  ˆψ = r ψ  r xψ = xψ ˆ èi ......... hËn xÐt: Mét lÇn nua ta l¹i ® mÆt víi tÝnh bÊt ® Þnh, ë ® y lµ sù ©  Êt ®Þnh vÒ vÞ trÝ. H¹t cã vÞ trÝ t¹i r0 khi vµ chØ khi hµm tr¹ng th¸i lµ   δ (r − r0 ) NÕu hµm tr¹ng th¸i kh«ng phai lµ hµm Dirac thi h¹t kh«ng ë ® u ca. © MÆt kh¸c trong tr¹ng th¸i víi hµm tr­êng ψ iÓm nµo mµ ψ ≠ 0 . thi h¹t cã tiÒm nang xuÊt hiÖn t¹i bÊt kú ®
  11. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 4. C¸c hÖ thø c g iao ho ¸n ®è i v íi c ¸c to ¸n tö thµnh p hÇn xung l­îng v µ to ¹ ®é Víi ψ lµ hµm tuú ý, ta cã: xyψ = yxψ . Tõ ® suy raxy = yx ã ˆˆ ˆ ˆ nãi mét c¸ch kh¸c, hai to¸n tö to¹ ® kh¸c nhau thi giao ho¸n víi é nhau. ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ  TiÕp theo ta cã   ∂y  = ∂y  ∂x   ∂x     ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ  tõ ® suy ra: − i ã  − i   = −i   − i  ∂x  ∂y  ∂y  ∂x  hay p x p y = p y p x ˆ ˆ ˆ ˆ tøc lµ hai thµnh phÇn cña to¸n tö xung l­îng còng giao ho¸n víi nhau.
  12. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam B© giê ta xÐt t­¬ quan gi÷ mét thµnh phÇn cña to¸n tö xung y ng a l­îng vµ mét to¸n tö to¹ ® Ta cã: é. ∂  ∂ψ   ∂ψ  − i ( xψ ) = −i ψ + x  = −i ψ + x. − i  ∂x  ∂x   ∂x  tøc lµ: p x ( xψ ) − x( p xψ ) = −i ψ ˆ ˆ ˆ ˆ hay: p x x − xp x = −i ˆ ˆ ˆˆ (3.5) vµ t­¬ tù ng p y y − yp y = −i ˆ ˆ ˆˆ (3.6) p z z − zp z = −i ˆ ˆ ˆˆ (3.7) Nh­ vËy, to ¸n tö c ña mé t to ¹¹ ®é vµ thµnh phÇn xung l­îng t­ Nh­ vËy, to ¸n tö c ña mé t to ®é vµ thµnh phÇn xung l­îng t­ ¬ng ø ng kh«ng g iao ho ¸n víi nhau. ¬ng ø ng kh«ng g iao ho ¸n víi nhau.
  13. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ˆ ˆ C¸c kÕt qu¶ trªn cã thÓ diÔn ® nh­ sau. Víi hai to¸n töa vµ b ¹t ta ® ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ [ ] ˆ Æt ab − ba = a, b vµ gäi biÓu thøc nµy lµ ho¸n tö cña víi b ˆ a ˆ ˆ ˆ . Râ rµng a víi b lµ giao ho¸n khi vµ chØ khia, b = 0 ˆ [ ] Ngoµi ra víi . ˆ ˆ a, b tuú ý ta cã: [a, b ] = −[b, a ] ˆ ˆ ˆ ˆ V x1 = x; x 2 = y; x3 = z; p1 = p x ; p 2 = p y ; p3 = p z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ thi: íi   [ ]  xi , x j = 0 ˆ ˆ  [ ]  pi , p j = 0 ˆ ˆ (3.8)   x , p = 0 nÕu ≠ j  [ ˆi ˆ j ] i nÕui = j  i
  14. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam 5. To ¸n tö n¨ng l­îng rong c¬häc cæ ® iÓn, ®éng n¨ng T liªn hÖ víi xung l­îng bëi c«ng thø p2 T= 2m Theo nguyªn lý Bohr, hÖ thøc trªn ph¶i ® gi÷nguyªn trong C¬häc ­îc ­îng tö víi viÖc thay thÕ c¸c biÕn sè bëi c¸c to¸n tö: T p2 2m 2m ( ˆ = ˆ = 1 p2 + p2 + p2 ˆx ˆy ˆz ) ˆ  2  ∂2 ∂2 ∂2  tøc lµ T =−  2 + 2 + 2 2m  ∂x  ∂y ∂z   ˆ 2 hay T =− ∆ (3.9) 2m  ∂2 ∂2 ∂2  trong ®ã ∆= 2 + 2 + 2  ∂x lµ to¸n tö Laplace.  ∂y ∂z  
  15. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam © giê xÐt tr­êng hîp h¹t ë trong mét tr­êng kh¸c. Khi ® to¸n tö nang y ã, ˆ îng toµn phÇn phai b»ng tæng cña T víi to¸n tö thÕ nang U ˆ Nãi mét c¸ch kh¸c chÆt chÏ h¬ thi tr­êng ngoµi t¸c dông lªn h¹t mµ n ta ®ang nghiªn cøu còng phai ® l­îng tö ho¸. ­îc Tuy nhiªn, trong thùc tÕ thi rÊt nhiÒu bµi to¸n cã thÓ giai víi ®é chÝnh x¸c cao, khi xem tr­êng ngoµi nµy lµ tr­êng cæ ® iÓn, tøc lµ hµm cña ® iÓm. Khi ® to¸n tö thÕ nang sÏ ® xem nh­ phÐp nh© hµm ã, ­îc n ψ tr¹ng th¸i cña h¹t víi hµm thÕ nang U(x, y, z ):
  16. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam    ˆψ (r ) = U (r )ψ (r ) U (3.10) Nh­ vËy, to¸n tö n¨ng l­îng toµn phÇn sÏ lµ: ˆ = −  ∆ +U H ˆ (3.11) 2m víi Uˆ lµ to¸n tö x¸c ®Þnh bëi (3.10).
  17. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ViÖc chÊp nhËn hÖ thøc (3.11) hîp lý ®Õn møc nµo, Õn ViÖc chÊp nhËn hÖ thøc (3.11) hîp lý ® møc nµo, ®iÒu ®ã chØ cã thÓ ®­îc quyÕt ®Þnh bëi viÖc ®èi ®iÒu ® chØ cã thÓ ® quyÕt ® ã ­îc Þnh bëi viÖc ®èi chiÕu c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt víi c¸c sè liÖu thùc chiÕu c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt víi c¸c sè liÖu thùc nghiÖm. nghiÖm. M« h×nh KÕt qu¶ hîp lý ® møc nµo? ? ? ? ? ? Õn Lý thuyÕt thùc nghiÖm
  18. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Cho ®Õn nay, quan ®iÓmx©y dùng to¸n tö n¨ng l­îng Õn Cho ® nay, quan ® iÓm x© dùng to¸n tö n¨ng l­îng y nh­ nh­ vËy nãi chung vÉn cho nh÷ng kÕt qu¶ víi ®é chÝnh ng é vËy nãi chung vÉn cho nh÷ kÕt qu¶ víi ® chÝnh x¸c “®ñ dïng”. ñ x¸c “® dïng”. Cßn nÕu muèn cã c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt chÝnh x¸c Cßn nÕu muèn cã c¸c kÕt qu¶ lý thuyÕt chÝnh x¸c h¬n n÷a ta cÇn dïng mét lý thuyÕt “cao h¬n”lý thuyÕt n a n” h¬ n÷ ta cÇn dïng mét lý thuyÕt “cao h¬ lý thuyÕt tr­êng l­îng tö. tr­êng l­îng tö.
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2