Đề thi cuối kì - Khóa 2010 - Môn học: Cơ học lượng tử - Năm học: 2011-2012

Chia sẻ: Bùi Ngọc Tâm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

121
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề thi cuối kì - Khóa 2010 - Môn học: Cơ học lượng tử - Năm học: 2011-2012 sau đây gồm 2 đề. Mỗi đề gồm 3 câu hỏi sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên đang chuẩn bị học môn học này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi cuối kì - Khóa 2010 - Môn học: Cơ học lượng tử - Năm học: 2011-2012

ĐỀ THI CUỐI KÌ – KHÓA 2010 Môn học: CƠ HỌC LƯỢNG TỬ – Năm học: 2011 – 2012 Thời gian làm bài: 90 phút (Sinh viên chỉ làm hoặc đề 1 hoặc đề 2) ĐỀ 1: Câu 1: a) Tìm số electron cực đại trong một nguyên tử có cùng những số lượng tử sau: (a1) n, l, m. (a2) n, l. ( ) (a3) n; biết rằng: ∑ ( ) b) Tìm trị riêng của tích vô hướng ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ của hai electron khi spin của chúng: (a1) song song. (a2) đối song. Câu 2: Một hạt có các toán tử hình chiếu spin như sau: ̂ ̂ ̂ Trong đó: ( ) ( ) √ √ Với: ( ) ( ) Chứng tỏ rằng: [ ̂ ̂ ] ̂ Hạt trên có spin bằng bao nhiêu? Câu 3: Toán tử Hamilton của nguyên tử Hydro có dạng: ̂ trong đó: ( ) Chọn hàm thử ( ) ( ) Điều kiện chuẩn hóa hàm sóng có dạng: ∫ ( ) ( ) (∫ ( ) ) ( ) Xác định hằng số chuẩn hóa A. Cho: ( ) ∫ ( )̂ ( ) Xác định để ( ) đạt giá trị cực tiểu. Từ đó, hãy tính năng lượng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản ( ) của nguyên tử hydro. Biết rằng ( ) - - - HẾT - - - More Documents: http://physics.forumvi.com
ĐỀ 2: Câu 1: Thí sinh được quyền chọn câu 1a hoặc 1b: 1a: Hệ gồm các hạt đồng nhất. 1b: Giải phương trình Schrodinger bằng lý thuyết nhiễu loạn: trường hợp nhiễu loạn dừng cho các mức năng lượng không suy biến. Câu 2: Kí hiệu ̂ ̂ ̂ là các toán tử hình chiếu moment động lượng, ̂ là toán tử bình phương moment động lượng và hai toán tử ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Hãy chứng minh các hệ thức giao hoán sau đây: [̂ ̂] ̂ [̂ ̂ ] [ ̂ ̂] ̂ Câu 3: a) Dùng các ma trận Pauli hãy chứng minh hệ thức giao hoán sau cho các toán tử hình chiếu spin của điện tử: [ ̂ ̂ ] ̂ Hãy xác nhận rằng hàm spin ma trận trận cột ( ) là hàm riêng của toán tử ̂ và hãy cho biết trị riêng tương ứng. b) Điện tử trong một nguyên tử có các mức năng lượng (từ thấp đến cao) như sau: 3S, 3P, 3D, 4S, 4P, 4D, 4F, 5G. Hỏi khi điện tử chuyển dời giữa các mức năng lượng này thì nguyên tử cho bao nhiêu vạch quang phổ trong hai trường hợp: không tính đến spin của điện tử; tính đến spin của điện tử. - - - HẾT - - - More Documents: http://physics.forumvi.com
Câu 1: 1a) ** Nguyên lý về sự không phân biệt được giữa các hạt đồng nhất: ĐỀ 2 Trong cơ học lượng tử, các hạt đồng nhất là các hạt vi mô ( ). Trạng thái của hệ gồm các hạt đồng nhất trước và sau khi hoán vị 2 hạt bất kỳ hoàn toàn tương đương về phương diện vật lý. Hệ gồm N hạt đồng nhất: ( ) (a là chỉ số trạng thái của hạt tương ứng) Xác suất: | ( )| Hoán vị 2 hạt : Trước khi hoán vị: ( ) Sau khi hoán vị: ( ) Ta có: | ( )| | ( )| | ( )| | ( )| ** Hàm sóng đối xứng và phản đối xứng đối với phép hoán vị hai hạt:  Trường hợp hệ gồm 2 hạt đồng nhất (spin nguyên S = 0, 1, 2,…): ( ) là hàm đối xứng. Bỏ qua tương tác giữa 2 hạt: ( ) ( ) ( ). Hoán vị 2 hạt: ( ) ( ). Theo nguyên lý chồng chất trạng thái: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S nguyên ( ) là hàm đối xứng ( ) ( ) ( ) ( ) B = A. ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] . Từ điều kiện chuẩn hóa A= √ ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] √  Trường hợp hệ gồm 2 hạt đồng nhất (spin bán nguyên S = , ,…): ( ) là hàm phản xứng. Bỏ qua tương tác giữa 2 hạt: ( ) ( ) ( ). Hoán vị 2 hạt: ( ) ( ). Theo nguyên lý chồng chất trạng thái: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S bán nguyên ( ) là hàm phản xứng ( ) ( ) ( ) ( ) B = –A. ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] . Từ điều kiện chuẩn hóa A= √ ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] √ ( ) ( ) Hoặc biểu diễn dưới dạng định thức Slater: ( ) | | √ ( ) ( ) ** Nguyên lý loại trừ Pauli: Xét hệ gồm N hạt đồng nhất với spin bán nguyên có hàm sóng phản xứng biễu ( ) ( ) diễn dưới dạng định thức Slater như sau: ( ) | | √ ( ) ( ) Khi a1 = a2 2 trạng thái lượng tử khác nhau. Nguyên lý loại trừ Pauli: Ở mỗi trạng thái lượng tử không có quá 1 hạt. 1b) Giải phương trình Schrodinger: ̂ ( ) ( ) ( ) ; ̂ ̂ ̂ (| ̂| | ̂ |) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta đã có lời giải: ̂ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) , ( ) (̂ ̂) ( ) ( ) ̂ ( ) ( ) ̂ ( ) ( ̂) ( ) ̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ( ) ( ) ̂ ( ) ∑ ( ( ) ( )) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Nhân 2 vế cho ( ) ta được: ∑ ( ) ( ) ( ) ∑ ( )̂ ( ) ( ) ( ) Lấy tích phân 2 vế ta được: ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Thế (5), (6) vào (4) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ∑( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ** Xác định Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( ) More Documents: http://physics.forumvi.com
( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ∑( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k = n: ( )( ) ∑( ) ( ) ( )  Bậc 1: ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  Bậc 2: ∑ ∑ ∑ ( ) (9) ( ) ** Xác định Xét phương trình (8) với ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  Bậc 1: ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (10) ̂ ̂ ( ) ( ) | | Thế (10) vào (9) ta được: ∑ ( ) ( ) { ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | ∑ ( ) ( ) Câu 2: Ta có: ̂ ̂ ̂ ; ̂ ̂ ̂ ; ̂ ̂ ̂ ; ̂ ̂ ̂ ̂ ̂̂ ̂( ̂ ̂) ̂ ̂ ̂̂ (̂ ̂) ( ̂ ̂) [ ̂ ̂ ] ( ̂ ̂ )̂ (̂̂ ̂̂) * ̂̂ ( ̂ ̂) ̂ ̂̂ ̂̂ } [ ̂ ]̂ [ ̂ ̂] ̂ ̂ ̂̂ ̂̂ ( [ ̂ ̂] ) ( ̂ ̂) ̂ * [̂ ̂ ] *̂ ̂ + *̂ ̂ + *̂ ̂ + ▪ *̂ ̂ + ▪ *̂ ̂ + ̂̂̂ ̂̂̂ (̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) (̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) (̂ ̂ ̂ ̂)̂ ̂(̂ ̂ ̂ ̂) [̂ ̂]̂ ̂[̂ ̂] ̂̂ ̂̂ (̂ ̂ ̂ ̂) ▪ *̂ ̂ + ̂̂̂ ̂̂̂ (̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) (̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂) (̂ ̂ ̂ ̂ )̂ ̂( ̂ ̂ ̂ ̂) [ ̂ ̂]̂ ̂[̂ ̂] ̂̂ ̂̂ (̂ ̂ ̂ ̂) [̂ ̂ ] (̂ ̂ ̂ ̂) (̂ ̂ ̂ ̂) * [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] ̂ [ ̂ ̂] ̂ ( ̂) ̂ ̂ (̂ ̂) ̂ ̂̂ ( ) ( ) ( ) ( ̂ ̂) ( ̂ ̂) [ ̂ ̂] ( ) Câu 3: a) * } ̂̂ ( ) ( ) ( ) ( ) ̂ * ̂( ) ( )( ) ( ) ( ) là hàm riêng của ̂ và trị riêng bằng b) Có tính đến spin Không tính đến spin 5G9/2 5G 5G7/2 4F7/2 4F 4F5/2 4D 4D5/2 4D3/2 4P 4P3/2 4P1/2 4S 4S1/2 3D5/2 3D 3D3/2 3P3/2 3P HẾT 3P1/2 3S 3S1/2 More Documents: http://physics.forumvi.com