Cơ Khí Học - Ứng Suất Vật Liệu part 18

Chia sẻ: Qdqwfqf Fwefwef | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'cơ khí học - ứng suất vật liệu part 18', kỹ thuật - công nghệ, cơ khí - chế tạo máy phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Cơ Khí Học - Ứng Suất Vật Liệu part 18

GV : Leâ ñöùc Thanh Mx y' ' = − (8.1) EI x trong ñoù: Tích soá EJx laø ñoä cöùng khi uoán cuûa daàm . 8.3 LAÄP PHÖÔNG TRÌNH ÑÖÔØNG ÑAØN HOÀI BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN KHOÂNG ÑÒNH HAÏN Veá phaûi cuûa phöông trình vi phaân (8.1) chæ laø moät haøm soá cuûa z neân (8.1) laø phöông trình vi phaân thöôøng. Tích phaân laàn thöù nhaát (8.1) ⇒ phöông trình goùc xoay: Mx (8.2) ϕ = y' = ∫ − dz + C EJ x Tích phaân laàn thöù hai ⇒ phöông trình ñöôøng ñaøn hoài: ⎛ ⎞ M (8.3) y = ∫ ⎜ ∫ − x dz + C ⎟dz + D ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ EJ x Trong (8.2) vaø (8.3), C vaø D laø hai haèng soá tích phaân seõ ñöôïc xaùc ñònh caùc ñieàu kieän bieân. Caùc ñieàu kieän naøy phuï thuoäc vaøo lieân keát cuûa daàm vaø phuï thuoäc vaøo söï thay ñoåi taûi troïng treân daàm. A C A B a) yA = ϕA = 0 b) yA = 0 yB = 0 H. 8.4 Ñoái vôùi daàm ñôn giaûn, coù theå coù caùc ñieàu kieän nhö sau: + Ñaàu ngaøm cuûa daàm console coù goùc xoay vaø ñoä voõng baèng khoâng yA = ϕA = 0 (H.8.4a): + Caùc ñaàu lieân keát khôùp ñoä voõng baèng khoâng (H.8.4b): y A = yB = 0 + Taïi nôi tieáp giaùp giöõa hai ñoaïn daàm coù phöông trình ñöôøng ñaøn hoài khaùc nhau, ñoä voõng vaø goùc xoay beân traùi baèng vôùi ñoä voõng vaø goùc xoay yCtr = yCph; ϕCtr = ϕCph beân phaûi ( ñieåm C treân H.8.4b): http://www.ebook.edu.vn Chöong 8: Chuyeån vò cuûa daàm chòu uoán 4
GV : Leâ ñöùc Thanh Thí duï 8.1 Vieát phöông trình ñöôøng ñaøn hoài vaø goùc xoay cho daàm coâng son (console) nhö H.8.5. Töø ñoù suy ra ñoä voõng vaø goùc xoay lôùn nhaát. Cho EJx = haèng soá. Giaûi. P B A Phöông trình moâmen uoán taïi z maët caét coù hoaønh ñoä z laø: yB = ϕ B = 0 z L Mx=–Pz (a) y H.7.5 theá vaøo (8.1) ⇒ phöông trình vi phaân cuûa ñöôøng ñaøn hoài : Mx Pz (b) y' ' = − = EJ x EJ x Pz 2 tích phaân hai laàn, ⇒ ϕ = y ' = (c) +C 2 EJ x Pz 3 (d) y= + Cz + D 6 EJ x C vaø D ñöôïc xaùc ñònh töø caùc ñieàu kieän bieân veà ñoä voõng vaø goùc xoay taïi ngaøm: z = L; ϕ = 0 vaø y = 0 thay caùc ñieàu kieän naøy vaøo (c) vaø (d) ⇒ PL2 PL3 C=− ; D= 2 EJ x 3EJ x Vaäy phöông trình ñöôøng ñaøn hoài vaø goùc xoay laø: Pz 3 PL2 PL3 y= − z+ ; 6 EJ x 2 EJ x 3EJ x Pz 2 PL2 ϕ= − 2 EJ x 2 EJ x Ñoä voõng vaø goùc xoay lôùn nhaát ôû ñaàu töï do A cuûa daàm; öùng vôùi z = 0, ta coù: PL3 PL2 ; ϕ=− ymax = 3EJ x 2 EJ x ymax > 0 chæ raèng ñoä voõng cuûa ñieåm A höôùng xuoáng ϕ < 0 chæ raèng goùc xoay cuûa ñieåm A ngöôïc kim ñoàng hoà. http://www.ebook.edu.vn Chöong 8: Chuyeån vò cuûa daàm chòu uoán 5
GV : Leâ ñöùc Thanh Thí duï 8.2 Tính ñoä voõng vaø goùc xoay lôùn nhaát cuûa daàm (H.8.6). Cho EJx = haèng Giaûi. q B Phöông trình moâmen uoán taïi z A yB = ϕB = 0 maët caét coù hoaønh ñoä z laø: z L qz2 (a) Mx = − 2 y H.8.6 qz 2 theá vaøo (8.1), ⇒ (b) y' ' = − 2 EJ x qz 3 tích phaân hai laàn, ⇒ ϕ = y ' = (c) +C 6 EJ x qz 4 (d) y= +C z+ D 24 EJ x hai ñieàu kieän bieân ôû ñaàu ngaøm z = L; ϕ = 0 vaø y = 0 cho : qL3 qL4 C=− ; D= 6 EJ x 8 EJ x Vaäy phöông trình ñaøn hoài vaø goùc xoay laø: qL4 qL3 qL4 y= − z+ ; 24 EJ x 6 EJ x 8 EJ x qL3 qL3 ϕ= − 6 EJ x 6 EJ x Ñoä voõng vaø goùc xoay lôùn nhaát ôû ñaàu töï do A cuûa daàm; öùng vôùi z = 0, ta coù: qL4 qL3 = ϕA = − vaø ymax 8EJ x 6 EJ x Thí duï 8.3 Tính ñoä voõng vaø goùc xoay lôùn nhaát cuûa daàm ñôn giaûn chòu taûi phaân boá ñeàu (H.8.7). Ñoä cöùng EJx cuûa daàm khoâng ñoåi. Giaûi. z q Phöông trình moâmen uoán taïi B A maët caét ngang coù hoaønh ñoä z laø: z L/2 qz2 ( ) qL q (a) Lz − z2 Mx = z− = L 2 2 2 y thay vaøo (8.1), ⇒ phöông trình vi H.8.7 phaân cuûa ñöôøng ñaøn hoài nhö sau: http://www.ebook.edu.vn Chöong 8: Chuyeån vò cuûa daàm chòu uoán 6
GV : Leâ ñöùc Thanh ( ) q (b) y' ' = − Lz − z 2 2 EJ x q ⎛ Lz 2 z 3 ⎞ tích phaân hai laàn, ⇒ ϕ = y ' = − (c) ⎜ − ⎟+C 2 EJ x ⎜ 2 3⎟ ⎝ ⎠ q ⎛ Lz 3 z 4 ⎞ (d) ⎜ − ⎟+C z + D y=− 2 EJ x ⎜ 6 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎧khi : z = 0; y = 0 ñieàu kieän bieân ôû caùc goái töïa traùi vaø phaûi cuûa daàm: ⎨khi : z = L; y = 0 ⎩ qL3 ⇒ D = 0; C = 24 EJ x Nhö vaäy phöông trình ñöôøng ñaøn hoài vaø goùc xoay laø: ⎛ z2 z3 ⎞ qL3 (e) z ⎜1 − 2 2 + 3 ⎟ y= ⎜ L L⎟ ⎝ ⎠ 24 EJ x qL3 ⎛ z3 ⎞ z2 (g) ⎜1 − 6 2 + 4 3 ⎟ ϕ = y' = 24 EJ x ⎜ L⎟ ⎝ ⎠ L Ñoä voõng lôùn nhaát cuûa daàm ôû taïi maët caét ngang giöõa nhòp öùng vôùi: L z= (taïi ñaây y’ = 0) 2 5qL4 L thay z = vaøo (e), ymax = y⎛ = L⎞ 2 ⎜ z= ⎟ 384 EJ x ⎝ 2⎠ Goùc xoay lôùn nhaát, nhoû nhaát (y’max , y’min) taïi maët caét ngang coù y” = 0 (hay Mx = 0), töùc ôû caùc goái töïa traùi vaø phaûi cuûa daàm. Thay z = 0 vaø z = L 1 qL3 1 qL3 laàn löôït vaøo (g) ⇒ ϕ max = y 'max = ϕ min = y 'min = − 24 EJ x 24 EJ x Goùc xoay cuûa maët caét ôû goái töïa traùi thuaän chieàu kim ñoàng hoà, goùc xoay cuûa maët caét ôû goái töïa phaûi ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà. http://www.ebook.edu.vn Chöong 8: Chuyeån vò cuûa daàm chòu uoán 7
GV : Leâ ñöùc Thanh Thí duï 8.4 Laäp phöông trình ñoä voõng vaø goùc xoay cuûa daàm treân hai goái töïa chòu löïc taäp trung P nhö H.8.8 cho bieát EJx = haèng soá. P B A z z1 Z2 a b L Y Pab/L H.8.8 Giaûi. Daàm coù hai ñoaïn, bieåu thöùc moâmen uoán trong hai ñoaïn AC vaø CB khaùc nhau neân bieåu thöùc goùc xoay vaø ñoä voõng trong hai ñoaïn cuõng khaùc nhau. Vieát cho töøng ñoaïn caùc bieåu thöùc Mx, y’’, y’, y nhö sau: Moâmen uoán Mx trong caùc ñoaïn sau: Pb Ñoaïn AC (0 ≤ z1 ≤ a): (a) M x(1) = z1 L Pb Ñoaïn CB (a ≤ z2 ≤ L): (b) z2 − P (z2 − a ) M x(2) = L Phöông trình vi phaân cuûa ñöôøng ñaøn hoài trong moãi ñoaïn: Ñoaïn AC: Pb (c) y1 ' ' = − z1 LEJ x Ñoaïn CB: ( z2 − a ) Pb P (d) y2 ' ' = − z2 + LEJ x EJ x Tích phaân lieân tieáp caùc phöông trình treân, ta ñöôïc: Ñoaïn AC (0 ≤ z1 ≤ a): Pb 2 (e) y1 ' = − z1 + C1 2 LEJ x Pb 3 (g) y1 = − z1 + C1 z1 + D1 6 LEJ x Ñoaïn CB (a ≤ z2 ≤ L): http://www.ebook.edu.vn Chöong 8: Chuyeån vò cuûa daàm chòu uoán 8
GV : Leâ ñöùc Thanh ( z 2 − a ) 2 + C2 Pb 2 P (h) y2 ' = − z2 + 2 LEJ x 2 EJ x (z2 − a ) 3 + C2 z2 + D2 Pb 3 P (i) y2 = − z2 + 6 LEJ x 6 EJ x Xaùc ñònh caùc haèng soá tích phaân C1, D1, C2, D2 töø caùc ñieàu kieän bieân - ÔÛ goái töïa A, B ñoä voõng baèng khoâng - ÔÛ maët caét ngang C noái tieáp hai ñoaïn, ñoä voõng vaø goùc xoay cuûa hai ñoaïn phaûi baèng nhau. z1 = 0; y1 = 0 ⇔ khi: z2 = 0; y2 = 0 z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ Töø boán ñieàu kieän naøy ⇒: ⎧ D1 = 0 ⎪ ⎪− Pb L3 + P (L − a ) 3 + C2 L + D2 = 0 ⎪ 6 LEJ x 6 EJ x ⎪ ⎨ Pb 3 Pb 3 ⎪− 6 LEJ a + c1a + D1 = − 6 LEJ a + c2 a + D2 ⎪ x x ⎪ Pb Pb ⎪− 2 LEJ a + c1 = − 2 LEJ a + c2 2 2 ⎩ x x Giaûi heä phöông trình treân, ⇒ ( ) D1 = D2 = 0; C1 = C2 = Pb L2 − b 2 6 LEJ x Vaäy phöông trình goùc xoay vaø ñoä voõng trong töøng ñoaïn laø: Ñoaïn AC (0 ≤ z1 ≤ a): ⎧ Pb ⎛ L2 − b 2 z12 ⎞ ⎪ϕ1 = y1 = ⎜ −⎟ ' LEJ x ⎜ 6 2⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎨ ⎪ y = Pb ⎛ L − b z − z1 ⎞ 2 2 3 ⎜ ⎟ ⎪ 1 LEJ ⎜ 6 6⎟ 1 x⎝ ⎠ ⎩ Ñoaïn BC (a ≤ z2 ≤ L): Pb ⎛ z2 L(z2 − a ) L2 − b 2 ⎞ ⎧ 2 2 ⎜− ⎟ ⎪ϕ 2 = y2 = − ' LEJ x ⎜ 2 6⎟ ⎪ ⎝ ⎠ 2b ⎨ Pb ⎛ (z2 − a ) z2 ⎞ L −b ⎪ 3 2 2 3 ⎜ ⎟ ⎪ y2 = LEJ ⎜ 6b L + 6 z2 − 6 ⎟ x⎝ ⎠ ⎩ Tính ñoä voõng lôùn nhaát trong daàm baèng caùch döïa vaøo ñieàu kieän y’ = 0, http://www.ebook.edu.vn Chöong 8: Chuyeån vò cuûa daàm chòu uoán 9
GV : Leâ ñöùc Thanh Giaû söû a > b. Tröôùc heát ta seõ xeùt ñoä voõng lôùn nhaát trong ñoaïn naøo ÔÛ goái töïa A (z1 = 0) goùc xoay baèng: PbL ⎛ b 2 ⎞ ϕ1 A = ⎜1 − ⎟ > 0 6 EJ x ⎜ L2 ⎟ ⎝ ⎠ vaø ôû C (z1 = a): (a − b ) < 0 PbL ϕ1C = − 3EJ x Nhö vaäy, giöõa hai ñieåm A vaø C goùc xoay ϕ1 ñoåi daáu, nghóa laø seõ bò trieät tieâu moät laàn. Ñieàu ñoù cho thaáy ñoä voõng coù giaù trò lôùn nhaát trong ñoaïn AC. Ñeå tìm hoaønh ñoä z1(0) cuûa maët caét ngang coù ñoä voõng lôùn nhaát, ta cho phöông trình ϕ1 = 0: 0,500L E B Pb ⎡ L − b 2 (z1 (0 )) ⎤ A 2 ϕ1 [z1 (0)] = − ⎥=0 D z ⎢ LEJ x ⎣ 6 2⎦ 0,577L 2 2 L −b (o) ⇒ z1 (0) = H.8.9 3 Sau ñoù ñöa vaøo bieåu thöùc (l) cuûa ñoä voõng,⇒ giaù trò lôùn nhaát cuûa ñoä ( ) ⎛ b2 ⎞ 3Pb L2 − b 2 voõng (p) ⎜1 − 2 ⎟ ymax = y1(z1( 0 ) ) = ⎜ L⎟ ⎝ ⎠ 27 EJ x Caùc heä quaû: - Neáu P ñaët ôû giöõa nhòp daàm (b = L / 2) , thì töø (o) vaø (p) , ta ñöôïc: PL3 L z1 (0) = = 0,500 L ; ymax = 2 48EJ x - Khi P ôû gaàn goái B, töùc b → 0 ta coù: z1(0) = = 0577L L 3 Nhö vaäy, neáu taûi troïng di chuyeån töø trung ñieåm D giöõa nhòp daàm ñeán goái töïa B (H.8.9) thì hoaønh ñoä z1(0) seõ bieán thieân töø 0,5L ñeán 0,577L, töùc laø töø ñieåm D ñeán ñieåm E. Trong thöïc teá ngöôøi ta thöôøng quy öôùc laø khi taûi troïng P taùc duïng ôû moät vò trí naøo ñoù thì vaãn coù theå coi ñoä voõng lôùn nhaát ôû giöõa nhòp daàm. Thí duï, neáu taûi troïng P taùc duïng ôû vò trí nhö H.8.8 thì ñoä voõng ôû giöõa ( ) Pb nhòp daàm seõ baèng: y(l 2 ) = 3L2 − 4b 2 48 EJ x So saùnh hai giaù trò ymax vaø y(l 2 ) thaáy hai giaù trò naøy khaùc nhau vaø raát ít . http://www.ebook.edu.vn 10 Chöong 8: Chuyeån vò cuûa daàm chòu uoán