Công thức nghiệm của hệ động lực suy biến không dừng có điều khiển

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008<br /> <br /> CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN<br /> KHÔNG DỪNG CÓ ĐIỀU KHIỂN<br /> Vi Diệu Minh-Trần Thiện Toản (Trường ĐH Sư phạm- ĐH Thái Nguyên)<br /> <br /> Mục đích của bài báo này là đưa ra công thức nghiệm dạng tường minh cho hệ động lực<br /> có điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân hoặc sai phân suy biến tuyến tính không dừng<br /> nhằm áp dụng vào nghiên cứu các tính chất định tính (tập đạt được, tính điều khiển được và<br /> quan sát được) của các hệ này.<br /> 1. Hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với ma trận lũy linh<br /> Xét phương trình vi phân tuyến tính suy biến dạng<br /> Nxɺ (t ) = x(t ) + B (t )u (t ) , t ≥ 0 ,<br /> (1)<br /> trong đó N là ma trận vuông cấp n2 , không phụ thuộc vào t và là ma trận lũy linh bậc<br /> h , tức là N h = 0n2 với 0n2 là ma trận vuông cấp n2 có tất cả các thành phần bằng 0; x (t ) là<br /> một hàm khả vi hầu khắp nơi nhận giá trị trong không gian ℝ n2 và thỏa mãn phương trình (1)<br /> hầu khắp nơi (là nghiệm của phương trình vi phân suy biến (1)); B(t ) là ma trận cấp n2 × m<br /> và u(t ) là vectơ hàm m chiều.<br /> Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau.<br /> Bổ đề 1. Giả sử B(t ) và u(t ) tương ứng là ma trận hàm và vectơ hàm có các thành<br /> phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h , trong đó h là bậc của ma trận lũy linh N . Khi ấy<br /> với mọi 1 ≤ k ≤ h ta có<br /> k −1<br /> <br /> N k x ( k ) (t ) = N k −1 x ( k −1) (t ) + N k −1 ∑ Cki −1 B ( k −1−i ) (t )u (i ) (t ) ,<br /> i =0<br /> (k )<br /> trong đó x (t ) là đạo hàm cấp k của vectơ hàm x(t ) , tương tự, u (i )(t )<br /> <br /> (2)<br /> là đạo hàm<br /> <br /> (s )<br /> <br /> cấp i của vectơ hàm u(t ) , còn B (t ) là đạo hàm cấp s của ma trận B(t ) ,<br /> <br /> C ki =<br /> <br /> k!<br /> với 0 ≤ i ≤ k .<br /> i !(k − i )!<br /> Chứng minh. Nhân phương trình (1) với ma trận N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được:<br /> <br /> N 2 ɺɺ<br /> x(t ) = Nxɺ (t ) + N ( Bɺ (t )u (t ) + B (t )uɺ (t ) ) .<br /> <br /> Lại tiếp tục nhân phương trình này với N rồi lấy đạo hàm hai vế ta được:<br /> <br /> ɺɺ(t )u (t ) + Bɺ (t )uɺ (t ) + Bɺ (t )uɺ (t ) + B(t )uɺɺ(t ) )<br /> N 3ɺɺɺ<br /> x (t ) = N 2 ɺɺ<br /> x(t ) + N 2 ( B<br /> 2<br /> <br /> = N 2 ɺɺ<br /> x(t ) + N 2 ∑ C2i B (2−i ) (t )u (i ) (t ).<br /> i =0<br /> <br /> Như vậy, công thức (2) đúng với s = 1,2, 3 .<br /> Giả sử công thức (2) đúng với mọi s ≤ k < h . Ta sẽ chứng minh nó đúng với<br /> s = k + 1 . Thật vậy, theo qui nạp ta có<br /> k −1<br /> N k x ( k ) (t ) = N k −1 x ( k −1) (t ) + N k −1 ∑ Cki −1 B ( k −1−i ) (t )u (i ) (t ) .<br /> i =0<br /> Nhân phương trình này với N rồi lấy đạo<br /> hàm hai vế ta được:<br /> <br /> 105<br /> <br /> T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008<br /> k −1<br /> <br /> (<br /> (t )u (t ) + N ( C<br /> <br /> N k +1 x ( k +1) (t ) = N k x ( k ) (t ) + N k ∑ Cki −1 B ( k −i ) (t )u (i ) (t ) + B ( k −1−i ) (t )u ( i +1) (t )<br /> i =0<br /> <br /> = N k x ( k ) (t ) + N k Ck0−1 B ( k )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> k<br /> <br /> 0<br /> k −1<br /> <br /> )<br /> <br /> )<br /> <br /> + Ck1−1 B ( k −1) (t )uɺ (t )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> + N k Ck1−1 + Ck2−1 B ( k −2) (t )uɺɺ(t ) + ... + N k Cks−−11 + Cks−1 B ( k − s ) (t )u ( s ) (t )<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> +... + N k Ckk−−12 + Ckk−−11 Bɺ (t )u ( k −1) (t ) + N k Ckk−−11 B(t )u ( k ) (t ).<br /> Nhưng<br /> <br /> Cks−−11 + Cks−1 = Cks<br /> nên<br /> <br /> k<br /> <br /> N k +1 x ( k +1) (t ) = N k x ( k ) (t ) + N k ∑ Cks B ( k −s ) (t )u ( s ) (t ).<br /> <br /> s =0<br /> Vậy theo qui nạp, công thức (2) được<br /> chứng minh.<br /> Từ Bổ đề 1 ta có công thức nghiệm sau đây của hệ (1).<br /> Mệnh đề 1. Giả sử B(t ) là ma trận hàm và u(t ) vectơ hàm có các thành phần là các<br /> hàm khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của (1) được tính theo công thức<br /> <br /> h −1<br /> <br /> x(t ) = ∑ Fk (t )u ( k ) (t ) ,<br /> <br /> (3)<br /> <br /> k =0<br /> <br /> h −1<br /> <br /> ∑N C<br /> s<br /> <br /> trong đó Fk (t ) = −<br /> <br /> k<br /> s<br /> <br /> B (s −k )(t ) .<br /> <br /> s =k<br /> <br /> Chứng minh. Viết lại (2) với k = 1,2,..., h ta được<br /> <br /> Nxɺ (t ) = x(t ) + C00 B (t )u (t ) ;<br /> N 2 ɺɺ<br /> x(t ) = Nxɺ (t ) + NC10 Bɺ (t )u (t ) + NC11 B (t )uɺ (t ) ;<br /> ……….<br /> k −1<br /> <br /> N k x ( k ) (t ) = N k −1 x ( k −1) (t ) + N k −1 ∑ Cki −1 B ( k −1−i ) (t )u (i ) (t )<br /> i =0<br /> <br /> = N k −1 x ( k −1) (t ) + N k −1Ck0−1 B ( k −1) (t )u (t ) + N k −1Ck1−1 B ( k −2) (t )uɺ (t )<br /> +... + N k −1Cki −1 B ( k −1−i ) (t )u (i ) (t ) + ... + N k −1Ckk−−11 B(t )u ( k −1) (t ).<br /> ………<br /> h −1<br /> <br /> N h x ( h ) (t ) = N h−1 x ( h−1) (t ) + N h−1 ∑ Chi −1 B ( h−1−i ) (t )u (i ) (t )<br /> i =0<br /> <br /> =N<br /> <br /> h −1 ( h −1)<br /> <br /> x<br /> <br /> (t ) + N<br /> <br /> h −1<br /> <br /> 0<br /> h −1<br /> <br /> C B<br /> <br /> ( h −1)<br /> <br /> (t )u (t ) + N h−1Ch1−1 B ( h−2) (t )uɺ (t )<br /> <br /> +... + N h−1Chi −1 B ( h−1−i ) (t )u (i ) (t ) + N h−1Chh−−11 B (t )u ( h−1) (t ).<br /> 106<br /> <br /> T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008<br /> <br /> Cộng vế với vế các đẳng thức này và để ý đến tính chất lũy linh của ma trận N , tức là<br /> <br /> N h = 0 , sau khi nhóm các số hạng ở hai vế, ta được<br /> h−1<br /> <br /> h−1<br /> <br /> 0 = x(t ) + ∑ N C B (t )u(t ) + ∑ N C B<br /> s =0<br /> <br /> s<br /> <br /> 0<br /> s<br /> <br /> (s)<br /> <br /> s =1<br /> <br /> s<br /> <br /> 1<br /> s<br /> <br /> ( s−1)<br /> <br /> h−1<br /> <br /> (t )uɺ (t ) + ... + ∑ N s Csk B( s−k ) (t )u ( k ) (t )<br /> s =k<br /> <br /> h−1<br /> <br /> +... + N h−1B(t )u ( h−1) (t ) = x(t ) − ∑ Fk (t )u ( k ) (t ).<br /> k =0<br /> <br /> h −1<br /> <br /> Từ đây suy ra<br /> <br /> x(t ) = ∑ Fk (t )u ( k ) (t ).<br /> k =0<br /> <br /> Vậy Mệnh đề 1 được chứng minh.<br /> Trong trường hợp B(t ) ≡ B là ma trận hằng ta có<br /> Hệ quả 1 ([2], trang 17) Giả sử B(t ) ≡ B là ma trận hằng và u(t ) vectơ hàm có các<br /> thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h . Khi ấy nghiệm của phương trình<br /> Nxɺ (t ) = x(t ) + Bu (t )<br /> (4)<br /> được tính theo<br /> công thức<br /> h −1<br /> <br /> x(t ) = − ∑ N k Bu ( k ) (t ) .<br /> <br /> (5)<br /> <br /> k =0<br /> <br /> Chứng minh. Khi B(t ) ≡ B thì<br /> h −1<br /> <br /> Fk (t ) = −∑ N sC sk B (s −k )(t ) = −N kC kk B = −N k B<br /> s =k<br /> <br /> nên ta có ngay công thức (5).<br /> 2. Công thức nghiệm của phương trình vi phân suy biến tuyến tính có điều khiển<br /> Trong mục này ta sẽ đưa ra công thức nghiệm cho phương trình vi phân tuyến tính suy<br /> biến dạng<br /> Exɺ (t ) = Ax + B (t )u (t ) .<br /> (6)<br /> <br /> E , A ∈ ℝ n×n được gọi là chính quy nếu tồn tại một số phức<br /> α ∈ ℂ không đổi sao cho α E + A ≡/ 0 hoặc đa thức sE − A ≡/ 0 .<br /> <br /> Định nghĩa 1. Cặp ma trận<br /> <br /> Bổ đề 2 (Bổ đề 1-2.2, [2], trang 7) Cặp ma trận ( E , A ) là chính quy nếu và chỉ nếu tồn<br /> tại hai ma trận không suy biến P và Q sao cho<br /> QEP = diag ( I n , N ) , QAP = diag ( A1 , I n ) ,<br /> 1<br /> <br /> trong đó n1 + n2 = n ,<br /> <br /> A1 ∈ ℝ<br /> <br /> n ×n1<br /> 1<br /> ,<br /> <br /> 2<br /> <br /> I n1 và I n2 là hai ma trận đơn vị tương ứng cấp<br /> <br /> n1 và n2 ; N ∈ ℝ n2 ×n2 là ma trận lũy linh.<br /> Bổ đề 2 chỉ ra rằng với giả thiết không suy biến của cặp ma trận ( E , A ) , hệ (6) có thể<br /> viết dưới dạng sau:<br /> 107<br /> <br /> T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008<br /> <br />  xɺ1 (t ) = A1 x1 (t ) + B1 (t )u (t ),<br /> <br />  Nxɺ2 (t ) = x2 (t ) + B2 (t )u (t ).<br /> <br /> (7 a)<br /> (7b)<br /> <br /> (7)<br /> <br /> Từ nay về sau, ta luôn giả thiết cặp ma trận ( E , A ) là chính qui. Khi ấy để nghiên cứu<br /> hệ (6) ta chỉ cần nghiên cứu hệ (7).<br /> Hệ (7a) là hệ phương trình vi phân thường có điều khiển. Nó đã được nghiên cứu kĩ<br /> trong các tài liệu về lý thuyết điều khiển. Cụ thể, với mỗi điều kiện ban đầu<br /> hàm đo được cho trước<br /> <br /> x10 ∈ ℝ n1 và mỗi<br /> <br /> u (t ) , t ≥ 0 , nghiệm của (7a) có dạng (xem, thí dụ, [3], [5]):<br /> <br /> x1 (t ) = e A1t x10 +<br /> <br /> t<br /> <br /> A (t −s )<br /> ∫ e 1 B1 ( s)u ( s)ds .<br /> <br /> (9a)<br /> <br /> s =0<br /> <br /> Theo Mệnh đề 1, nghiệm của hệ (7b) được tính theo công thức sau<br /> h −1<br /> h −1 h −1<br /> <br /> <br /> x2 (t ) = ∑ Fk (t )u ( k ) (t ) = − ∑  ∑ N s Csk B2( s −k ) (t ) u ( k ) (t ) . (9b)<br /> k =0<br /> k =0  s = k<br /> <br />  x1 (t ) <br /> Như vậy, nghiệm x(t ) = <br />  của (7) hoàn toàn tính được tường minh theo công thức (9a)<br /> x<br /> (<br /> t<br /> )<br />  2 <br /> <br /> và (9b). Ta nói nghiệm (9) tương ứng với điều khiển u(t ) đã chọn.<br /> Chúng ta cũng lưu ý rằng, để có được công thức (9b) (công thức (3)), ta đã phải giả thiết<br /> B(t ) và u(t ) có các thành phần là các hàm khả vi liên tục đến cấp h , mặc dù đối với sự tồn<br /> tại duy nhất nghiệm của (9a), thì chỉ cần tính chất đo được của hàm u(t ) .<br /> 3. Công thức nghiệm của phương trình sai phân suy biến tuyến tính có điều khiển<br /> Trong mục này ta sẽ đưa ra công thức nghiệm tường minh cho hệ phương trình sai phân<br /> suy biến tuyến tính có điều khiển sau<br /> Ex (k + 1) = Ax (k ) + B(k )u(k ) , k = 0,1,2,...<br /> (10)<br /> Ở đây, các ma trận E , A, B(k ) và các vectơ x (k ), u(k ) có số chiều tương ứng<br /> như trong mục 2.<br /> Nếu đặt x (k ) = Pxɶ(k ) thì (10) có thể viết thành<br /> <br /> Exɶ(k + 1) = Axɶ(k ) + B(k )u(k ) , k = 0,1,2,...<br /> (10’)<br /> Giả sử ( E , A ) là cặp ma trận chính qui. Khi ấy theo Bổ đề 2, tồn tại hai ma trận không<br /> suy biến P và Q sao cho<br /> <br /> QEP = diag ( I n1 , N ) , QAP = diag ( A1 , I n2 ) ,<br /> trong đó n1 + n2 = n ,<br /> <br /> A1 ∈ ℝ<br /> <br /> n ×n1<br /> 1<br /> ,<br /> <br /> I n1 và I n2 là hai ma trận đơn vị tương ứng cấp n1 và<br /> <br /> n2 ; N ∈ ℝ n2 ×n2 là ma trận lũy linh.<br /> Như vậy, với điều kiện ( E , A ) là cặp ma trận chính qui, bao giờ ta cũng đưa được hệ<br /> (10) về dạng<br /> 108<br /> <br /> T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008<br /> <br />  x 1(k + 1) = A1x 1(k ) + B1(k )u(k );<br /> <br />  Nx 2 (k + 1) = x 2 (k ) + B2 (k )u(k ).<br /> <br /> <br /> (11a )<br /> (11b)<br /> <br /> (11)<br /> <br /> Hệ (11a) là hệ phương trình sai phân thường, nó đã được nghiên cứu tương đối kĩ trong<br /> n<br /> các tài liệu. Với với mỗi điều kiện ban đầu x10 ∈ ℝ 1 và mỗi dãy điều khiển cho trước<br /> u (k ), k = 0,1, 2,... , nghiệm của (11a) có dạng (xem, thí dụ, [2], [4]):<br /> k −1<br /> <br /> x 1(k ) = A x + ∑ A1k −i −1B1(i )u(i ) .<br /> k<br /> 1 10<br /> <br /> (12a)<br /> <br /> i =0<br /> <br /> Giả sử L > 0 là một số cố định cho trước. Xét hệ (11b) với k = 0,1,2,..., L .<br /> Ta có:<br /> <br /> N L−kx2(L) = N L−k −1x2(L − 1) + N L−k −1B(L − 1)u(L − 1)<br /> = N L−k−2Nx2(L − 1) + N L−k−1B(L − 1)u(L − 1)<br /> = N L−k−3Nx2(L − 2) + N L−k−2B(L − 2)u(L − 2) + N L−k −1B(L − 1)u(L − 1)<br /> = N L−k−3 ( x2(L − 3) + B(L − 3)u(L − 3)) + N L−k −2B(L − 2)u(L − 2) + N L−k−1B(L − 1)u<br /> (L − 1)<br /> L−k −1<br /> <br /> = ... = x2(k) +<br /> <br /> ∑ N B (k + i)u(k + i)<br /> i<br /> <br /> 2<br /> <br /> i =0<br /> <br /> L −k −1<br /> <br /> Suy ra : x 2 (k ) = N<br /> <br /> L −k<br /> <br /> x 2 (L) −<br /> <br /> ∑ N B (k + i)u(k + i) .<br /> i<br /> <br /> 2<br /> <br /> (12b)<br /> <br /> i =0<br /> <br /> Như vậy, nghiệm của phương trình sai phân suy biến tuyến tính không dừng (11) được tính<br /> tường minh theo công thức 12 (các công thức (12a) và (12b)).<br /> Trong trường hợp B(k ) ≡ B công thức (12b) trở thành (xem [2], trang 233):<br /> L-k-1<br /> <br /> x 2 (k)=NL-k x 2 (L)- ∑ Ni B2u(k+i) .<br /> i=0<br /> <br /> 4. Kết luận<br /> Bài báo trình bày chứng minh công thức nghiệm của hệ phương trình vi phân và sai<br /> phân suy biến tuyến tính không dừng. Các công thức này cho thấy rõ hơn sự khác biệt của<br /> phương trình vi phân và sai phân suy biến so với phương trình vi phân hoặc sai phân thường.<br /> Thí dụ, đối với phương trình vi phân suy biến, để đảm bảo tính duy nhất nghiệm (khi đã<br /> chọn điều khiển), chỉ cần điều kiện ban đầu x 10 nằm trong không gian con ℝ n1 (không đòi hỏi<br /> điều kiện x 0 ∈ ℝ n như trong phương trình vi phân thường). Với phương trình sai phân suy<br /> biến, để bảo đảm hệ có duy nhất nghiệm, cần điều kiện đầu x 10 ∈ ℝ n1 và điều kiện cuối<br /> x 2 (L) ∈ ℝ n1 . Ngoài ra, các công thức này tỏ ra rất có ích khi nghiên cứu các tính chất định<br /> tính (tập đạt được, tính điều khiển được, tính quan sát được) của hệ điều khiển tuyến tính không<br /> dừng (xem [6]).<br /> 109<br /> <br />