zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Một số kết quả về tính giải được cho phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Báo xấu

24
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Một số kết quả về tính giải được cho phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng trình bày các nội dung chính sau: Công thức nghiệm và tính chất toán tử nghiệm; Các tính chất của toán tử nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số kết quả về tính giải được cho phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO PHƯƠNG TRÌNH RAYLEIGH-STOKE SUY RỘNG Nguyễn Ngọc Huy1, Trần Phương Liên1, Đỗ Lân1 1 Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG chính xác cho phương trình tuyến tính (xem [4]; [5]), các phương pháp giải số (xem [1]; Trong các hệ động lực chất lỏng, việc [2]; [3]), bài toán giá trị cuối (xem [6]). nghiên cứu dáng điệu của các chất lỏng Trong bài báo này, dựa trên công thức nghiệm không Newton có cả tính nén và tính đàn hồi của Zhou đưa ra cho phương trình Rayleigh- được quan tâm nghiên cứu rất nhiều, vì Stoke suy rộng (xem [7]), chúng tôi sẽ chứng những ứng dụng của nó trong công nghiệp và minh một số kết quả về tính giải được cho bài kỹ thuật. Theo hướng nghiên cứu này, mô toán (*) trong các trường hợp khác nhau cho hình dòng chảy bậc hai được nghiên cứu bởi phần phi tuyến f. nhiều nhà toán học. Trong bài báo này, với    d là miền bị chặn với biên trơn, chúng 2. NỘI DUNG CHÍNH tôi nghiên cứu phương trình Rayleigh-Stoke 1. Công thức nghiệm và tính chất toán suy rộng tử nghiệm  t u  (1  t )u  f (u ) in , t  0, (1)  Gọi {n }n 1 là cơ sở tự nhiên của L2 () u  0 on , t  0, (2) (*) u (, 0)   in . (3) tương ứng với các giá trị riêng của toán tử   với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất,  tức là: ở đây,   0 ,   (0,1) ,  t  , t là ký hiệu t  n  nn trong , n ( x)  0, x  , đạo hàm Riemann-Liouville bậc  được định trong đó, ta giả sử { }  n n 1 là dãy tăng, n  0 nghĩa như sau và n   khi n   . Từ đó, ta có biểu diễn d t dt 0 t v(t )  h1 (t  s )v( s)ds, nghiệm của bài toán tuyến tính t  1  t u  (1  t )u  F in , t  0, với h (t )  for   0, t  0 .  (  ) u  0 on , t  0, u (, 0)   in , Phương trình Rayleigh-Stoke đã được  nghiên cứu từ thập niên 60 của thế kỷ 20, tuy Trong đó, F  F ( x, t ) với F  L1loc (  ; L2 ()) nhiên, phương trình Rayleigh-Stoke suy rộng và   L2 () . (có thành phần đạo hàm bậc phân) mới chỉ Đặt: được W. Tan [4] đưa ra năm 2006, sau đó là  các kết quả nghiên cứu mở đường của C. u ( x, t )   un (t ) n ( x), n 1 Fetecau và các cộng sự (xem [5]). Từ đó, một  loạt các công trình nghiên cứu về lớp phương F ( x, t )   Fn (t ) n ( x), n 1 trình Rayleigh-Stoke suy rộng được công bố.  Tuy nhiên, sự quan tâm tới lớp phương trình  ( x)    n n ( x). này chủ yếu ở 3 khía cạnh: Biểu diễn nghiệm n 1 57
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 Ta có: Khi đó, tồn tại   0 sao cho bài toán (*) un (t )  n (1  t )un (t )  Fn (t ), có duy nhất nghiệm trên  0;T  với điều kiện un (0)   n . ‖‖  . Vậy: Chứng minh: t un (t )   (t , n ,  ) n    (t  s, n ,  ) Fn ( s )ds. Với những giả thiết trên, với mọi 0   (0, 1   ) , tồn tại   0 sao cho t Nên u (, t )  S (t )  0 S (t  s) F (, s)ds, ‖ f (v)‖ (   )‖v‖, ‖v‖  . Ta định nghĩa S (t ) : L ()  L () là toán 2 2 Gọi B là hình cầu trong C ([0, T ]; L2 ()) tử giải được xác định bởi tâm tại gốc tọa độ, bán kính  . Với  S (t )    (t , n ,  ) n .   L2 () , xét toán tử  : B  C ([0, T ]; L2 ()) n 1 xác định như sau Từ đó, ta có định nghĩa nghiệm của bài t  (u )(, t )  S (t )   S (t  s) f (u (, s ))ds toán như sau: 0 Định nghĩa: Với   L2 () cho trước, một  S (t )   N f (u )(, t ), hàm u  C ([0, T ]; L2 ()) được gọi là một Trong đó N f (u )(, t )  f (u (, t )) . Do f liên nghiệm tích phân của bài toán (*) trên tục nên  liên tục. Mặt khác, áp dụng tính khoảng [0,T] nếu compact của toán tử Cauchy Q , ta có  là t u (, t )  S (t )   S (t  s ) f (u (, s ))ds, t  [0, T ] toán tử compact. Mặt khác, ta có đánh giá 0 ‖ (u )(, t )‖ 2. Các tính chất của toán tử nghiệm t   (t , 1 ,  )‖‖   (t  s, 1 ,  )(   )‖u (, s )‖ds 0 Các tính chất sau của toán tử giải S (t ) có t   (t , 1 ,  ) ‖ ‖(   ) ‖u ‖  0  ( s, 1 ,  ) ds thể xem trong [1] và [7]. Tính chất 1: Với mỗi v  L2 () , T  0 , ta có:   (t , 1 ,  ) ‖ ‖(   ) 1 (1   (t , 1 ,  )) 1 i) S ()v  C ([0, T ]; L2 ( ))  C ((0, T ]; H 2 ( )  H 01 ( ))   (t , 1 ,  )[‖ ‖(   ) 11 ]  (   ) 11. ii)‖S (t )v‖  (t , 1 ,  )‖v‖, với mọi t  0 . Do (   )11  1 , ta có ‖(u )‖   với Đặc biệt: ‖S (t )‖ 1 với mọi t  0 . ‖‖  : 11 . iii) S ()v  C ( m ) ((0, T ]; L2 ()) với mọi m   , Do đó, với ‖ ‖  , xét  : B  B là toán và ‖S (t )v‖ Ct ‖v‖, trong đó C là hằng số tử liên tục và compact. Áp dụng Định lý (m) m dương. điểm bất động Schauder,  có điểm bất iv)‖S ( m ) (t )v‖ Ct  m 1 ‖v‖ với mọi t  0 động. Tức là, bài toán (*) có một nghiệm tích và m   . phân. Định lý được chứng minh. Tính chất 2: Toán tử Cauchy Ta có nhận xét rằng, trong định lý trên,  : C ([0, T ]; L2 ())  C ([0, T ]; L2 ()) phần phi tuyến f có thể tăng trưởng trên tuyến t tính. Trong Định lý 2, ta sẽ chứng minh rằng xác định bởi  ( g )(t )  0 S (t  s) g ( s )ds, là toán nếu phần phi tuyến f có tăng trưởng dưới tử compact. tuyến tính, ta có thể chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán (*) và bỏ được giả 3. Các kết quả về tính giải được thiết về tính đủ nhỏ của điều kiện ban đầu. Định lý 1: Giả sử f : L2 ()  L2 () là một Định lý 2: Giả sử f : L2 ()  L2 () liên hàm liên tục thỏa mãn tục và thỏa mãn ‖ f (v)‖ a‖v‖b, khi đó, bài ‖f (v) ‖ toán (*) có nghiệm trên mọi khoảng  0;T  lim sup    [0, 1 ) ‖‖ v 0 ‖v ‖ với mọi   L2 () . 58
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020. ISBN: 978-604-82-3869-8 Chứng minh: Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng, nghiệm Với   L2 () cho trước, xét toán tử nghiệm: duy nhất đó là nghiệm cổ điển. Lược đồ t chứng minh tính chính quy này được chia  (u )(, t )  S (t )   S (t  s ) f (u (, s ))ds. 0 thành bốn bước cơ bản sau đây. Gọi w là nghiệm duy nhất của phương trình Bước 1: Chứng minh u là liên tục Holder t w(t ) ‖ ‖bT  a  w( s )ds, trên (0, T ] . 0 và D là tập con lồi đóng trong C ([0, T ]; L2 ()) Bước 2: Chứng minh u  C ((0, T ]; L2 ()) . xác định bởi Bước 3: Chứng minh u  C1 ((0, T ]; L2 ()) . D  {u  C ([0, T ]; L2 ())‖ : u (, t )‖ w(t ), t  [0, T ]}. Bước 4: Chứng minh t u  C ((0, T ]; L2 ()) . Khi đó, với mọi u  D , ta có Từ đó, ta thu được tính chính quy của ‖ (u )(, t ) ‖ ‖ ‖  (a ‖ t u (, s ) ‖b)ds nghiệm. 0 t ‖ ‖bT  a  ‖u (, s ) ‖ds  w(t ). 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO 0 Do đó, ( D)  D . Áp dụng nguyên lý [1] E. Bazhlekova, B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou, An analysis of the Rayleigh-Stokes problem điểm bất động Schauder, ta thu được điều for a generalized second-grade fluid, phải chứng minh. Numer. Math. 131 (2015), no. 1, 1-31. Định lý 3: Giả sử f : L2 ()  L2 () thỏa [2] C.M. Chen, F. Liu, K. Burrage, Y. Chen, mãn f (0)  0 và điều kiện Lipschitz cục bộ Numerical methods of the variable-order ‖ f (v1 )  f (v2 )‖  (r )‖v1  v2‖, ‖v1‖,‖v2‖ r , Rayleigh-Stokes problem for a heated trong đó,  () là một hàm không âm thỏa mãn generalized second grade fluid with fractional derivative, IMA J. Appl. Math. 78 lim sup  (r )    [0, 1 ) . Khi đó, tồn tại   0 (2013), no. 5, 924-944. r 0 sao cho bài toán (*) có duy nhất nghiệm cổ [3] C.M. Chen, F. Liu, V. Anh, Numerical analysis of the Rayleigh-Stokes problem for điển trên mỗi đoạn  0;T  với mọi T  0 , nếu a heated generalized second grade fluid ‖‖  . with fractional derivatives, Appl. Math. Chứng minh: Comput. 204 (2008), no. 1, 340-351. Ta nhận thấy, điều kiện ở định lý này kéo [4] F. Shen, W. Tan, Y. Zhao, Y. Masuoka, The theo điều kiện trong định lý 1, do đó, bài toán Rayleigh-Stokes problem for a heated (*) có nghiệm nhẹ toàn cục. Nghiệm này thỏa generalized second grade fluid with mãn phương trình fractional derivative model, Nonlinear t Anal. Real World Appl. 7 (2006), no. 5, u (, t )  S (t )   S (t  s) f (u (, s ))ds 1072-1080. 0  [5] C. Fetecau, M. Jamil, C. Fetecau, D. Vieru,  [ (t , n ,  ) n    (t  s, n ,  ) f n ( s )ds] n , t 0 The Rayleigh-Stokes problem for an edge in n 1 a generalized Oldroyd-B fluid, Z. Angew. Trong đó  n  ( , n ) và f n ( s )  ( f (u (, s )), n ) . Math. Phys. 60 (2009), no. 5, 921-933. Sau đây, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của [6] N. H. Tuan, Y. Zhou, T.N. Thach, N.H. nghiệm bài toán. Giả sử u1 và u2 là hai Can, Initial inverse problem for the nghiệm của bài toán, ta có nonlinear fractional Rayleigh-Stokes t equation with random discrete data,   ‖S (t  s)[ f (u1 (, s))  f (u2 (, s ))] ‖ds ‖u1 (, t )  u2 (, t ) ‖ 0 Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 78 t   (r )  ‖u1 (, s)  u2 (, s ) ‖ds, (2019), 104873, 18 pp. 0 [7] Yong Zhou, Jing Na Wang, The nonlinear Trong đó r  max{‖u1 ‖  ,‖u2 ‖ } , (do Rayleigh-Stokes problem with Riemann- ‖S (t )‖ 1 với mọi t  0 ). Vậy, Liouville fractional derivative, Mathematical Methods in the Applied ‖u1 (t )  u2 (t ) ‖  0 với mọi t  [0, T ] . Sciences, 2019. 59

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.