Công thức vận tốc sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi nén chịu được điều kiện biên trở kháng

Chia sẻ: ViPutrajaya2711 ViPutrajaya2711 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sự lan truyền của sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén được với điều kiện biên trở kháng được nghiên cứu gần đây bởi các tác giả Vinh và Xuân. Các tác giả đã đưa ra công thức vận tốc sóng, điều kiện tồn tại và duy nhất của sóng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Công thức vận tốc sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi nén chịu được điều kiện biên trở kháng

KHOA H“C & C«NG NGHª Công thức vận tốc sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi nén chịu được điều kiện biên trở kháng On the fomulas for Rayleigh wave velocities in a compressible elastic half-space with impedance boundary condition Phạm Thị Hà Giang Tóm tắt 1. Giới thiệu Sự lan truyền của sóng Rayleigh trong bán Trong phần lớn các nghiên cứu về sóng Rayleigh, bán không gian đàn hồi được giả thiết là tự do đối với ứng suất, tức là ứng suất bằng không trên mặt biên không gian đàn hồi đẳng hướng nén được của nó. Sóng mặt tương ứng được gọi là “Sóng Rayleigh tự do ứng suất”. Mặc với điều kiên biên trở kháng được nghiên cứu dù vậy, trong nhiều bài toán thực tế của âm học, điện từ học,..., điều kiện biên gần đây bởi các tác giả Vinh và Xuân [1]. Các trở kháng (impedance boundary conditions), liên hệ tuyến tính các hàm cần tìm tác giả đã đưa ra công thức vận tốc sóng, điều và các đạo hàm của chúng trên biên, xuất hiện thường xuyên, tham khảo các bài kiện tồn tại và duy nhất của sóng. Tuy nhiên, báo [2, 3] đối với lĩnh vực âm học, [4, 5] đối với lĩnh vực điện-từ học, và các tài trong [1], điều kiện biên trở kháng chỉ ảnh liệu tham khảo trong đó. hưởng đến ứng suất tiếp. Mục đích chính của Bài toán truyền sóng Rayleigh trong bán không gian đàn hồi đẳng hướng chịu bài báo là thiết lập công thức vận tốc sóng điều kiện biên trở kháng được Godoy và cộng sự [6] nghiên cứu gần đây. Trong trong trường hợp cả ứng suất pháp và ứng [6], các tác giả đã tìm ra phương trình tán sắc và chứng minh được sự tồn tại suất tiếp đều bị ảnh hưởng bởi điều kiện biên và duy nhất của sóng. Mặc dù vậy, công thức của vận tốc sóng vẫn chưa được trở kháng bằng phương pháp hàm biến phức. tìm ra. Bài toán này đã được giải quyết gần đây bởi các tác giả Vinh và Xuân [1]. Từ khóa: Sóng Rayleigh; công thức vận tốc sóng Trong [1] và [6], các tác giả chỉ xét trường hợp điều kiện biên trở kháng chỉ ảnh Rayleigh; vật liệu đàn hồi nén được; điều kiện biên hưởng đến ứng suất tiếp. trở kháng; phương pháp hàm biến phức Mục đích của bài báo là thiết lập công thức vận tốc sóng Rayleigh trong trường hợp cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp đều bị ảnh hưởng bởi điều kiện biên trở Abstract kháng bằng phương pháp hàm biến phức. The spread of Rayleigh waves in a compressible 2. Công thức vận tốc sóng isotropic elastic half-space with impedance Trong tài liệu [7] tác giả Nguyễn Quỳnh Xuân đã thiết lập phương trình tán sắc boundary conditions was investigated recently cho sóng Rayleigh truyền trong bán không gia đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện by Vinh and Xuan [1]. The authors have provided biên trở kháng như sau: the the fomular of velocity, existence and uniqueness of the wave. However, in [1], there f ( x ) :=(2 − x ) 2 − 4 1 − x 1 − γ x is only tangential stress which is affected by the + x x (δ1 1 − x + δ 2 1 − γ x ) impedance boundary condition. The main purpose of this paper is to find such a formula for both +δ1δ 2 x ( 1 − x 1 − γ x − 1) = 0 tangential stress and normal stress which are (1) affected by the impedance boundary condition Trong đó x=c /cT , γ=cT /cL với cL, cT lần lượt là vận tốc sóng dọc và sóng 2 2 2 2 case. By using the complex function method, ngang của sóng Rayleigh, δ1, δ2 là các tham số trở kháng vô hướng. Chú ý rằng an analytical exact formula for the velocity of từ điều kiện tắt dần của sóng Rayleigh chúng ta chứng minh được 0
Trong đó: hàm này ta có mệnh đề sau: C ( z ) = z 2 (9 − 2δ1δ 2 ) − 2 z (3 + δ1δ 2 ) + 1; Mệnh đề 2: (5) (γ 1 ) Γ( z ) ∈ H ( S ) γ D ( w) = 2 − γ z −1 z − (( z + 1)δ1δ 2 − 8 z ) (γ 2 ) Γ(∞) =0 2−γ (γ 3 ) Γ( z ) = Ω0 ( z ) γ +δ1 ( z + 1) z + 1 z − 1 + δ 2 2 − γ ( z + 1) z + 1 z − với z ∈ N ( −1), Γ( z ) =Ω1 ( z ) với z ∈ N (1) . 2 − γ (6) Ω0 ( z )(Ω1 ( z )) là hàm bị chặn trong N (−1)( N (1)) và có Trong biểu thức trên chúng ta chọn các giá trị chính của các giá trị hữu hạn tại z = −1( z = 1). γ Để chứng minh được γ3 ta phải chú ý rằng [8] các căn bậc hai z −1 , z− , z +1 . 2−γ logg (= −1) logg= (1) 0. Xét hàm: Khi đó phương trình (4) sẽ trùng với phương trình (3) với Φ ( z ) = expΓ( z ). (13) │z│ >1. Do đó ta có thể gọi (4) là phương trình dạng phức của (3). Để tìm wr, ta sẽ tìm nghiệm thực zr của (4) thỏa Từ (γ 1 ) − (γ 3 ) ta có mệnh đề sau đối với hàm Φ(z): mãn │zr│>1. Ký hiệu L= L1 ∪ L2 với L1 = [−1, γ / (2 − γ )] và Mệnh đề 3: (φ1 ) Φ ( z ) ∈ H ( S ) L2 [γ / (2 − γ ),1] , S ={z ∈ C, z ∉ L} , N ( z0 ) ={z ∈ S : 0 | z − z0 |< ε } = với ε là số dương nhỏ tùy ý, z0 là một điểm tủy ý nằm trong (φ2 ) Φ ( z ) ≠ 0∀z ∈ S mặt phẳng C. Nếu hàm ϕ(z) chỉnh hình trong miền Ω⸦C, O(1) khi | z |→ ∞ (φ3 ) Φ ( z ) = chúng ta viết φ ( z ) ∈ H (Ω) . (φ4 ) Φ ( z ) = exp Ω 0 ( z ) Chú ý rằng vì 0
KHOA H“C & C«NG NGHª khoảng này. Điều này có nghĩa là nghiệm của phương trình F(z)=0 nằm trong miền S ∪ {−1} ∪ {1}. (ii) Vì 0 < Φ (t ) < ∞∀t ∈ ( −1,1) nên, theo (i), hai ± γ Khai triển z −1 , z− và ( z + 1) nghiệm của phương trình P(z)=0 cũng nằm trong miền 2−γ S ∪ {−1} ∪ {1}. thành chuỗi Laurent tại vô cùng, sau đó thay vào biểu thức (iii) Theo mệnh đề 6 thì thay vì tìm nghiệm của phương hàm F(z) ta được: trình siêu việt F(z)=0 ta sẽ tìm nghiệm phương trình bậc F( z )= B2 z 2 + B1 z + B0 + O ( z −1 ) hai P(z)=0 trong miền S ∪ {−1} ∪ {1}. Phương trình này đơn (23) giản hơn rất nhiều phương trình ban đầu. Với: Mệnh đề 7: B2 = 9 + δ1 − 2δ1δ 2 + 2 − γ (δ 2 − 8 + δ1δ 2 ) Phương trình F(z)=0 có hai nghiệm phân biệt z1=1 và −δ 2 (2γ − 3) + 8 + δ1δ 2 − δ1δ 2γ z2=-A1/A2-1. B1 =−6 + δ1 − 2δ1δ 2 + Chứng minh 2−γ (24) - Từ (1)-(4) dễ thấy z1=1 chính là một nghiệm của phương Thay (22), (23) vào biểu thức xác định P(z) ta được: trình F(z)=0. A2 B2 , = = A1 a1 B2 + B1 - Từ mệnh đề 6, phương trình bậc hai P(z)=0 cũng phải (25) có một nghiệm z1=1. Theo Định lý Vieta và (ii), nghiệm thứ Sử dụng (24, 25) Mệnh đề 7 công thức nghiệm của (1) hai của phương trình P(z)=0 là z2=-A1/A2-1 và nó nằm tương ứng với sóng Rayleigh là: trong miền S ∪ {−1} ∪ {1}. Từ đây, cũng theo mệnh đề 6, 1 + z2 z2=-A1/A2-1 là nghiệm thứ hai của phương trình F(z)=0. xr = 2 z2 (26) Hoàn thành chứng minh mệnh đề 7. Như vậy, để có thể xác định được nghiệm z2 của phương với: z 2 =1-A1 /A 2 , A1 A 2 được xác định như (25). trình F(z)=0 ta phải xác định các hệ số A1, A2. Bây giờ chúng ta sẽ giả sử tồn tại hai sóng Rayleigh, Từ (11) ta có nghĩa là (1) tồn tại hai nghiệm 0